福建省南平市延平區(qū)四年級上學(xué)期數(shù)學(xué)《“梯形”種類（等腰梯形、直角梯形）認識》在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，平面圖形是非常重要的一部分。之前我們已經(jīng)認識了長方形、正方形、平行四邊形和三角形等圖形，今天我們要學(xué)習(xí)一種新的四邊形——梯形。梯形在我們的生活中有著廣泛的應(yīng)用，比如我們常見的梯子、堤壩的橫截面、跳箱的側(cè)面等都是梯形的形狀。掌握梯形的相關(guān)知識，能幫助我們更好地理解和解決生活中的實際問題。一、梯形的定義和各部分名稱首先，我們來明確什么是梯形。在一個四邊形中，如果只有一組對邊平行，那么這個四邊形就叫做梯形。這里有幾個關(guān)鍵點需要我們注意：第一，梯形必須是四邊形，也就是說它有四條邊、四個角；第二，必須是“只有一組對邊平行”，如果有兩組對邊平行，那就成了平行四邊形，而不是梯形了。為了更好地研究梯形，我們需要知道它各部分的名稱。在梯形中，平行的一組對邊叫做梯形的底。通常我們把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底。那是不是說上底一定比下底短呢？其實也不一定，這只是我們習(xí)慣的叫法，有時候根據(jù)圖形的擺放位置，我們也可以靈活地確定上底和下底。不平行的一組對邊叫做梯形的腰。另外，從梯形一條底邊上的一點到它對邊的垂直線段，叫做梯形的高。和平行四邊形一樣，梯形也有無數(shù)條高，因為我們可以在底邊上任意取一點向?qū)呑鞔咕€。我們可以通過畫圖來加深對梯形各部分名稱的理解。比如，我們畫一個梯形ABCD，其中AB和CD是平行的對邊，那么AB和CD就是梯形的底，假設(shè)AB較短，那AB就是上底，CD就是下底；AD和BC就是梯形的腰。如果我們從A點向CD作一條垂線，垂足為E，那么AE就是這個梯形的高。二、等腰梯形的認識在梯形家族中，有兩種特殊的梯形，它們分別是等腰梯形和直角梯形。我們先來認識等腰梯形。什么是等腰梯形呢？兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。從這個定義我們可以知道，等腰梯形首先必須是一個梯形，也就是只有一組對邊平行，其次它的兩條腰是相等的。等腰梯形有哪些重要的特征呢？首先，等腰梯形的兩腰相等，這是它的基本定義特征。其次，等腰梯形同一底邊上的兩個角相等。我們可以通過對折的方法來驗證這一點。把一個等腰梯形沿著兩底中點的連線對折，我們會發(fā)現(xiàn)梯形的左右兩邊能夠完全重合，這說明等腰梯形是一個軸對稱圖形，它的對稱軸就是兩底中點的連線所在的直線。正是因為等腰梯形是軸對稱圖形，所以它同一底邊上的兩個角才會相等。比如在等腰梯形ABCD中，AD和BC是腰且AD=BC，那么∠A=∠B，∠C=∠D。我們還可以通過測量和推理來進一步認識等腰梯形同一底邊上的兩個角相等這個特征。假設(shè)我們有一個等腰梯形ABCD，上底是AD，下底是BC，AD平行于BC，AB=CD。我們過點A作AF平行于CD，交BC于點F。因為AD平行于BC，AF平行于CD，所以四邊形AFCD是一個平行四邊形，那么AF=CD，AD=FC。又因為AB=CD，所以AB=AF，那么三角形ABF是一個等腰三角形，所以∠B=∠AFB。而∠AFB和∠C是同位角，因為AF平行于CD，所以∠AFB=∠C，因此∠B=∠C。同理，我們也可以證明∠A=∠D。等腰梯形在生活中也有很多應(yīng)用。比如一些裝飾性的窗戶、燈罩的形狀，還有我們坐的椅子的側(cè)面輪廓等，有時候會設(shè)計成等腰梯形，因為等腰梯形具有一種對稱的美感。三、直角梯形的認識接下來我們認識另一種特殊的梯形——直角梯形。有一個角是直角的梯形叫做直角梯形。同樣，直角梯形首先也必須滿足梯形的定義，即只有一組對邊平行。直角梯形有什么特征呢？因為直角梯形有一個角是直角，而梯形有一組對邊平行，根據(jù)平行線的性質(zhì)，我們知道兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。所以如果梯形的一個角是直角，那么和它相鄰的角也是直角。也就是說，直角梯形有兩個角是直角。這兩個直角所在的腰就是梯形的高，因為這個腰和它的兩條底邊是垂直的關(guān)系。我們來畫一個直角梯形感受一下。比如梯形EFGH，其中EF和GH是平行的對邊，EF是上底，GH是下底，∠E是直角。因為EF平行于GH，∠E是直角，所以∠F也是直角，那么EF和FG就是垂直的，F(xiàn)G就是這個直角梯形的高，同時FG也是梯形的一條腰。直角梯形在生活中的應(yīng)用也非常多。比如我們常見的臺階的側(cè)面、一些箱子的側(cè)面等，很多都是直角梯形的形狀。因為直角梯形有一個直角邊，能夠很好地和其他平面貼合，具有穩(wěn)定和實用的特點。四、等腰梯形和直角梯形的區(qū)別與聯(lián)系學(xué)習(xí)了等腰梯形和直角梯形之后，我們來比較一下它們的區(qū)別與聯(lián)系。它們的聯(lián)系主要有以下幾點：首先，等腰梯形和直角梯形都屬于梯形，所以它們都滿足梯形的定義，即只有一組對邊平行。其次，它們都是四邊形，都有四條邊和四個角。它們的區(qū)別也很明顯：第一，從腰的角度看，等腰梯形的兩腰相等，而直角梯形的兩腰不一定相等，它有一條腰是垂直于底邊的（也就是高）。第二，從角的角度看，等腰梯形同一底邊上的兩個角相等，它有兩組相等的角；而直角梯形有兩個角是直角，另外兩個角不是直角（且這兩個角互補，因為梯形的內(nèi)角和是360度，兩個直角和是180度，所以另外兩個角的和也是180度）。第三，從對稱性看，等腰梯形是軸對稱圖形，它有一條對稱軸；而直角梯形不是軸對稱圖形，無論我們沿著哪條直線對折，它的兩邊都不能完全重合。我們可以通過一些具體的例子來區(qū)分等腰梯形和直角梯形。比如給出幾個梯形圖形，讓我們判斷哪些是等腰梯形，哪些是直角梯形。對于一個梯形，如果我們測量它的兩條腰，發(fā)現(xiàn)長度相等，那么它就是等腰梯形；如果我們看到梯形中有兩個直角，那么它就是直角梯形。五、梯形的判斷方法在認識了梯形、等腰梯形和直角梯形之后，我們需要掌握如何判斷一個圖形是不是梯形，以及是哪種特殊的梯形。判斷一個圖形是不是梯形，關(guān)鍵要看它是否滿足“只有一組對邊平行”這個條件。我們可以使用直尺和三角板來判斷對邊是否平行。將三角板的一條直角邊與其中一條邊重合，然后用直尺緊貼三角板的另一條直角邊，固定直尺，平移三角板，如果三角板的這條直角邊能夠與另一條邊完全重合，那么這兩條邊就是平行的。我們需要檢查四邊形的兩組對邊，看是否只有一組對邊平行。如果有兩組對邊平行，那就是平行四邊形；如果沒有一組對邊平行，那就不是梯形；只有一組對邊平行，才是梯形。判斷一個梯形是不是等腰梯形，我們可以根據(jù)它的定義，即兩腰是否相等。我們可以用直尺測量梯形的兩條腰的長度，如果長度相等，那么這個梯形就是等腰梯形。另外，我們也可以根據(jù)等腰梯形的特征來判斷，比如如果一個梯形同一底邊上的兩個角相等，那么它也可能是等腰梯形（不過對于四年級的我們來說，用測量腰長的方法更直接）。判斷一個梯形是不是直角梯形，主要看它是否有一個角是直角。我們可以用三角板的直角去比一比梯形的四個角，如果有一個角是直角，那么這個梯形就是直角梯形。六、梯形知識的實際應(yīng)用學(xué)習(xí)了梯形的知識，我們可以用它來解決生活中的一些實際問題。比如，我們家里的梯子，它的側(cè)面就是一個梯形。如果這個梯子是一個等腰梯形，那么它的兩條腰長度相等，這樣梯子在使用的時候會更加穩(wěn)定和平衡。我們可以測量一下梯子的上底、下底和腰的長度，來判斷它是不是等腰梯形。再比如，學(xué)校要建一個梯形的花壇，上底長5米，下底長8米，腰長4米。如果要給花壇的周圍圍上柵欄，那么柵欄的長度就是梯形花壇的周長，也就是上底加下底加兩條腰的長度，即5+8+4+4=21米。通過計算，我們就可以知道需要準備多長的柵欄了。還有，我們在計算梯形的面積時，也需要用到梯形的底和高的知識（雖然我們現(xiàn)在主要學(xué)習(xí)認識梯形，但為了拓展，我們可以簡單了解一下）。梯形的面積公式是（上底+下底）×高÷2。比如一個直角梯形，它的上底是3厘米，下底是5厘米，高是4厘米（也就是它的那條直角腰），那么它的面積就是（3+5）×4÷2=16平方厘米。雖然我們現(xiàn)在可能還不需要熟練計算面積，但了解這些知識能讓我們知道學(xué)習(xí)梯形的用處。在解決這些實際問題的過程中，我們要先判斷圖形是不是梯形，是哪種梯形，然后根據(jù)題目中給出的條件，運用我們所學(xué)的梯形知識進行分析和計算。七、易錯點和注意事項在學(xué)習(xí)梯形的過程中，有一些易錯點需要我們特別注意。一個易錯點是容易把梯形和平行四邊形混淆。有些同學(xué)看到一個四邊形有一組對邊平行，就認為是梯形，但是忽略了“只有一組對邊平行”這個關(guān)鍵條件。平行四邊形有兩組對邊平行，所以它不是梯形，我們一定要記住梯形只有一組對邊平行。另一個易錯點是對等腰梯形和直角梯形的特征掌握不準確。比如認為直角梯形的兩腰相等，或者認為等腰梯形有直角，這些都是錯誤的。我們要明確，等腰梯形的特征是兩腰相等，直角梯形的特征是有兩個直角。還有，在確定梯形的上底和下底時，不要誤以為上底一定比下底短。有時候根據(jù)圖形的擺放，上面的邊可能比較長，下面的邊比較短，這時候我們還是可以把上面的邊叫做上底，下面的邊叫做下底，或者根據(jù)題目中的要求來確定，關(guān)鍵是要知道它們是平行的對邊。八、拓展延伸：生活中的梯形欣賞為了讓大家對梯形有更直觀和豐富的認識，我們可以欣賞一下生活中更多梯形的例子。在建筑方面，很多古建筑的窗戶設(shè)計成了梯形，既美觀又具有一定的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。比如一些寺廟的窗戶，上底窄下底寬，形成一個梯形，給人一種莊重的感覺。在交通方面，有些橋梁的橋洞側(cè)面也是梯形的形狀。梯形的結(jié)構(gòu)能夠很好地分散壓力，使橋梁更加堅固。在日常用品方面，除了前面提到的梯子、跳箱，還有一些收納盒的側(cè)面、書本的側(cè)面（當(dāng)書本傾斜放置時）等，都可能呈現(xiàn)出梯形的形狀。通過欣賞這些生活中的梯形，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)和生活是緊密聯(lián)系的，數(shù)學(xué)