北京市小學(xué)五年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)第八單元測(cè)試卷-數(shù)學(xué)廣角（知識(shí)過關(guān)）一、知識(shí)點(diǎn)講解（一）植樹問題植樹問題是數(shù)學(xué)廣角中的重要內(nèi)容，主要研究在一定長(zhǎng)度的線路上，按照一定的間隔距離植樹時(shí)，所植樹的棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系。常見的植樹問題有以下三種情況：兩端都栽：當(dāng)線路的兩端都要栽樹時(shí)，棵數(shù)比間隔數(shù)多1。具體關(guān)系為：間隔數(shù)=總長(zhǎng)÷間距，棵數(shù)=間隔數(shù)+1，總長(zhǎng)=間距×間隔數(shù)，間隔數(shù)=棵數(shù)-1。例如，在一條長(zhǎng)800米的公路一側(cè)從頭到尾每隔20米栽一棵楊樹，這里間隔數(shù)為800÷20=40，棵數(shù)則為40+1=41棵。兩端不栽：當(dāng)線路的兩端都不栽樹時(shí)，棵數(shù)比間隔數(shù)少1。其關(guān)系為：間隔數(shù)=總長(zhǎng)÷間距，總長(zhǎng)=間距×間隔數(shù)，棵數(shù)=間隔數(shù)-1，間隔數(shù)=棵數(shù)+1。比如，在兩座樓房之間相距56米，每隔4米栽雪松一棵，因?yàn)閮啥耸菢欠坎荒茉詷?，所以間隔數(shù)為56÷4=14，棵數(shù)為14-1=13棵。一端栽一端不栽：這種情況下，棵數(shù)與間隔數(shù)相等。即間隔數(shù)=總長(zhǎng)÷間距，總長(zhǎng)=間距×間隔數(shù)，棵數(shù)=間隔數(shù)，間隔數(shù)=棵數(shù)。像敲鐘問題，敲鐘的次數(shù)相當(dāng)于棵數(shù)，兩次敲鐘之間的時(shí)間間隔相當(dāng)于間隔數(shù)，就屬于一端栽一端不栽的情況。封閉圖形植樹：在一個(gè)封閉的圖形（如圓形、橢圓形）上植樹時(shí)，棵數(shù)等于間隔數(shù)。其關(guān)系為：總長(zhǎng)÷間距=間隔數(shù)，棵數(shù)=間隔數(shù)。例如，一個(gè)圓形池塘周長(zhǎng)是1000米，每隔50米栽1棵樹，一共要栽1000÷50=20棵樹。（二）鋸木問題鋸木問題中，段數(shù)和次數(shù)之間存在特定的關(guān)系，段數(shù)=次數(shù)+1，次數(shù)=段數(shù)-1。總時(shí)間等于每次鋸木所用的時(shí)間乘以次數(shù)。比如，把一根木頭鋸成5段，需要鋸的次數(shù)為5-1=4次，如果每次鋸木需要3分鐘，那么總時(shí)間就是4×3=12分鐘。（三）方陣問題方陣問題主要研究正方形方陣中物體的數(shù)量關(guān)系。最外層的數(shù)目可以通過邊長(zhǎng)×4-4或者（邊長(zhǎng)-1）×4來計(jì)算；單邊邊長(zhǎng)=(最外層數(shù)目+4)÷4；整個(gè)方陣的總數(shù)目是邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)。例如，一個(gè)正方形花壇最外層每邊擺放30盆花，那么最外層一共擺放了（30-1）×4=116盆花，整個(gè)花壇一共擺放了30×30=900盆花。（四）找次品問題次品定義：次品與合格品外觀完全相同，但質(zhì)量不同（已知次品比合格品輕或重），且待測(cè)物品中僅有一個(gè)次品。核心目標(biāo)：通過天平稱重，用最少次數(shù)找出次品，滲透化歸思想（復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化）和優(yōu)化思想（尋找最優(yōu)策略）?；静僮髟恚禾炱狡胶鈺r(shí)，兩邊物品質(zhì)量相等，次品在未稱量的物品中；不平衡時(shí)，次品在較輕（或較重）的一側(cè)，具體方向由已知條件確定（如次品更輕）。分組規(guī)則：盡可能均分三組。能均分則均分，如9個(gè)物品分為3、3、3；不能均分時(shí)，前兩組數(shù)量相同，第三組多1或少1，如10個(gè)物品分為3、3、4。最少稱量次數(shù)規(guī)律：2~3個(gè)物品需1次，4~9個(gè)需2次，10~27個(gè)需3次，28~81個(gè)需4次。規(guī)律為每增加3倍的物品范圍，次數(shù)加1。操作步驟：首先按均分三組原則分組，然后將前兩組放在天平兩端進(jìn)行首次稱量，若平衡，次品在第三組；若不平衡，次品在較輕（或較重）的一組，接著對(duì)含次品的組重復(fù)分組和稱量步驟，直至找出次品。（五）優(yōu)化問題（烙餅問題）烙餅問題主要研究如何合理安排烙餅順序，以最短的時(shí)間烙完所有餅。當(dāng)每次只能烙兩張餅，兩面都要烙時(shí)，烙餅的最優(yōu)策略是盡量讓鍋中每次都放兩張餅。如果要烙的餅的張數(shù)是雙數(shù)，兩張兩張地烙就可以；如果是單數(shù)，可以先兩張兩張地烙，最后三張按最優(yōu)方法烙，即第一次烙第一張和第二張的正面，第二次烙第一張的反面和第三張的正面，第三次烙第二張和第三張的反面，這樣最節(jié)省時(shí)間。二、填空題有一條長(zhǎng)800米的公路，在公路的一側(cè)從頭到尾每隔20米栽一棵楊樹，需（）棵楊樹苗。在一條長(zhǎng)2500米的公路一側(cè)架設(shè)電線桿，每隔50米架設(shè)一根，若公路兩端都不架設(shè)，共需電線（）根。在一條長(zhǎng)50米的跑道兩旁，從頭到尾每隔5米插一面彩旗，一共插（）面彩旗。公園大門前的公路長(zhǎng)80米，要在公路兩邊栽上白楊樹，每?jī)煽脴湎嗑?米（兩端也要種）。園林工人共需要準(zhǔn)備（）棵樹。有一條公路長(zhǎng)1000米，在公路的一側(cè)每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂柳（）棵。兩座樓房之間相距56米，每隔4米栽雪松一棵，一行能栽（）棵。紅領(lǐng)巾公園內(nèi)一條林蔭大道全長(zhǎng)800米，在它的一側(cè)從頭到尾等距離地放著41個(gè)垃圾桶，每?jī)蓚€(gè)垃圾桶之間相距（）米。在一條綠蔭大道的一側(cè)從頭到尾堅(jiān)電線桿，共用電線桿86根，這條綠蔭大道全長(zhǎng)1700米。每?jī)筛娋€桿相隔（）米。街心公園一條甬道長(zhǎng)200米，在甬道的兩旁從頭到尾等距離栽種美人蕉，共栽種美人蕉82棵，每?jī)煽妹廊私断嗑啵ǎ┟住Ｔ谝粭l長(zhǎng)250米的路兩旁栽樹，起點(diǎn)和終點(diǎn)都栽，一共栽了101棵，每?jī)煽孟噜彽臉渲g的距離都相等，是（）米。在一條公路上兩側(cè)每隔16米架設(shè)一根電線桿，共用電線桿52根，這條公路全長(zhǎng)（）米。在一段公路的一邊栽95棵樹，兩頭都栽，每?jī)煽脴渲g相距5米，這段公路全長(zhǎng)（）米。有320盆菊花，排成8行，每行中相鄰兩盆菊花之間相距1米，每行菊花長(zhǎng)（）米。一個(gè)圓形池塘，它的周長(zhǎng)是300米，每隔5米栽種一棵柳樹，需要樹苗（）株。一個(gè)圓形水池周圍每隔2米栽一棵楊樹，共栽了40棵，水池的周長(zhǎng)是（）米。一個(gè)圓形養(yǎng)魚池全長(zhǎng)200米，現(xiàn)在水池周圍種上楊樹25棵，隔（）米種一棵才能都種上。學(xué)校圖書館前擺了一個(gè)方陣花壇，這個(gè)花壇的最外層每邊各擺放12盆花，最外層共擺了（）盆花，這個(gè)花壇一共要（）盆花。節(jié)目里廣場(chǎng)中心擺了一個(gè)正方形花壇，花壇外1層都是菊花，最外層每邊放了10盆，一共放了（）盆菊花；如果最外層每邊放20盆，一共放了（）盆菊花。張大伯在承包的正方形池塘四周種上樹，池塘邊長(zhǎng)為60米，每隔5米種一課，四個(gè)角上各種一棵，張大伯買了50棵樹苗（）（填“夠”或“不夠”）。現(xiàn)有60個(gè)小朋友圍城一個(gè)正方形做游戲，那么每邊要站（）個(gè)學(xué)生；如果圍城五邊形，每邊要站（）個(gè)學(xué)生；如果圍城六邊形，每邊要站（）個(gè)學(xué)生。方方一家包的40個(gè)粽子中，有一個(gè)是方方學(xué)著包的，質(zhì)量稍輕一些，爸爸媽媽包的每個(gè)粽子一樣重。如果用天平稱，至少（）次保證能找到方方包的粽子。有14瓶同樣的木糖醇，其中13瓶的質(zhì)量相同，另有一瓶少了幾顆。如果用天平稱，至少稱（）次就能保證找出較輕的這瓶來。有13袋瓜子，其中12袋質(zhì)量相同，另一袋質(zhì)量輕一些，用天平稱，至少稱（）次才能保證找到較輕的那袋瓜子。某工廠生產(chǎn)的20個(gè)零件中有一個(gè)次品，它比正品略輕一點(diǎn)，用天平稱，至少要稱（）次能保證找出來。某工廠生產(chǎn)的11個(gè)機(jī)器零件中有一個(gè)是次品，它比正品略輕一些，用天平稱一稱，最少稱（）次就一定能找出來。有15瓶飲料，其中一瓶變質(zhì)了（略重一些），用無砝碼的天平稱，至少稱（）次一定能找出次品。有15盒餅干，其中14盒質(zhì)量相同，另有1盒質(zhì)量重一些。假如用天平稱，至少稱（）次就能保證把它找出來。在18件產(chǎn)品中有一件不合格產(chǎn)品（不合格產(chǎn)品重些）。用天平稱，至少稱（）次就一定能找出這件不合格產(chǎn)品。一批零件共有28個(gè)，有一個(gè)質(zhì)量稍小的不合格零件混在其中，用天平秤至少稱（）次能保證找出這個(gè)不合格零件。有10個(gè)玻璃珠，其中一個(gè)略輕一些，用天平稱，至少稱（）次才能保證找到它。三、判斷題在一條長(zhǎng)100米的小路一旁植樹，每隔5米栽一棵，兩端都栽，一共要栽20棵樹。（）把一根木頭鋸成3段，需要鋸3次。（）一個(gè)正方形方陣，最外層每邊有8人，最外層一共有32人。（）一個(gè)圓形花壇的周長(zhǎng)是30米，在它的周圍每隔3米栽一棵月季花，一共要栽10棵。（）有8瓶礦泉水，其中2瓶較輕（次品），最少需3次稱量找出。（）10瓶鈣片中找1瓶次品（較輕），最多需3次找出次品。（）27個(gè)物品中找1個(gè)次品（較輕），至少需要4次才能保證找出。（）找次品時(shí)，將物品分成2組比分成3組更節(jié)省次數(shù)。（）用天平找次品時(shí)，所稱物品的數(shù)目與稱的次數(shù)成正比例關(guān)系。（）烙3張餅，每次只能烙兩張餅，兩面都要烙，每面3分鐘，最少需要9分鐘。（）四、選擇題有一條長(zhǎng)800米的公路，在公路的一側(cè)從頭到尾每隔20米栽一棵楊樹，需多少棵楊樹苗？（）A.40B.41C.39D.42在一條長(zhǎng)2500米的公路一側(cè)架設(shè)電線桿，每隔50米架設(shè)一根，若公路兩端都不架設(shè)，共需電線多少根？（）A.50B.49C.51D.48在一條長(zhǎng)50米的跑道兩旁，從頭到尾每隔5米插一面彩旗，一共插多少面彩旗？（）A.10B.11C.20D.22公園大門前的公路長(zhǎng)80米，要在公路兩邊栽上白楊樹，每?jī)煽脴湎嗑?米（兩端也要種）。園林工人共需要準(zhǔn)備多少棵樹？（）A.10B.11C.20D.22兩座樓房之間相距56米，每隔4米栽雪松一棵，一行能栽多少棵？（）A.13B.14C.15D.16紅領(lǐng)巾公園內(nèi)一條林蔭大道全長(zhǎng)800米，在它的一側(cè)從頭到尾等距離地放著41個(gè)垃圾桶，每?jī)蓚€(gè)垃圾桶之間相距多少米？（）A.20B.19C.21D.18在一條綠蔭大道的一側(cè)從頭到尾堅(jiān)電線桿，共用電線桿86根，這條綠蔭大道全長(zhǎng)1700米。每?jī)筛娋€桿相隔多少米？（）A.20B.21C.19D.22街心公園一條甬道長(zhǎng)200米，在甬道的兩旁從頭到尾等距離栽種美人蕉，共栽種美人蕉82棵，每?jī)煽妹廊私断嗑喽嗌倜祝浚ǎ〢.5B.4C.6D.3一批零件共有28個(gè)，有一個(gè)質(zhì)量稍小的不合格零件混在其中，用天平秤至少稱幾次能保證找出這個(gè)不合格零件？（）A.3B.4C.5D.6有10個(gè)玻璃珠，其中一個(gè)略輕一些，用天平稱，至少稱幾次才能保證找到它？（）A.2B.3C.4D.5有10袋白糖，其中9袋每袋500g，另1袋不是500g，但不知道比500g重還是輕，用天平稱，至少幾次就能保證把它找出來？（）A.3B.4C.5D.6有12個(gè)蘋果，其中11個(gè)一樣重，另有一個(gè)質(zhì)量輕一些，用天平至少稱幾次才能保證找出這個(gè)蘋果？（）A.2B.3C.4D.5有8個(gè)同樣的零件，其中有1個(gè)次品略輕一些，用天平稱至少幾次能保證找到次品？（）A.1B.2C.3D.4有15瓶飲料，其中一瓶變質(zhì)了（略重一些），用無砝碼的天平稱，至少稱幾次一定能找出次品？（）A.2B.3C.4D.5一個(gè)圓形水池周圍每隔2米栽一棵柳樹，共栽40棵，水池的周長(zhǎng)是（）米。A.80B.78C.82D.76五、解決問題在橢圓形魚塘周圍栽樹，魚塘的周長(zhǎng)是1000m，如果每隔50m栽1棵，一共要栽多少棵樹？學(xué)校里有一個(gè)正方形的花壇，邊長(zhǎng)為50m，現(xiàn)在要在花壇四周栽樹，四個(gè)角都要栽，每相鄰兩棵樹之間的間隔是5m。一共要栽多少棵樹？建筑工程隊(duì)要蓋一棟樓，需要在長(zhǎng)150m、寬60m的地基上打樁。四個(gè)角都要打樁，每隔2.5m打一根樁。這棟樓地基的四周要打多少根樁？學(xué)校體操隊(duì)排成方陣進(jìn)行表演，最外層每邊有16人，最外層一共有多少人？一張桌子坐8人，兩張桌子并起來坐12人，三張桌子并起來坐16人……照這樣，8張桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有48人，需要并多少張桌子才能坐下？廣場(chǎng)中心設(shè)有一個(gè)正方形花壇，花壇的最外層一共擺放了116盆花，最外層每邊擺放了多少盆花？這個(gè)花壇一共擺放了多少盆花？一塊正方形地，沿四周每隔8m種一棵樹，一共種了100棵。這塊地里種的玉米共收獲28t，這塊地平均每公頃收獲玉米多少噸？有一條公路長(zhǎng)1000米，在公路的一側(cè)每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂柳多少棵？?jī)勺鶚欠恐g相距56米，每隔4米栽雪松一棵，一行能栽多少棵？紅領(lǐng)巾公園內(nèi)一條林蔭大道全長(zhǎng)800米，在它的一側(cè)從頭到尾等距離地放著41個(gè)垃圾桶，每?jī)蓚€(gè)垃圾桶之間相距多少米？在一條綠蔭大道的一側(cè)從頭到尾堅(jiān)電線桿，共用電線桿86根，這條綠蔭大道全長(zhǎng)1700米。每?jī)筛娋€桿相隔多少米？街心公園一條甬道長(zhǎng)200米，在甬道的兩旁從頭到尾等距離栽種美人蕉，共栽種美人蕉82棵，每?jī)煽妹廊私断嗑喽嗌倜?？在一條長(zhǎng)250米的路兩旁栽樹，起點(diǎn)和終點(diǎn)都栽，一共栽了101棵，每?jī)煽孟噜彽臉渲g的距離都相等，你知道是多少米嗎？在一條公路上兩側(cè)每隔16米架設(shè)一根電線桿，共用電線桿52根，這條公路全長(zhǎng)多少米？在一段公路的一邊栽95棵樹，兩頭都栽，每?jī)煽脴渲g相距5米，這段公路全長(zhǎng)多少米？有320盆菊花，排成8行，每行中相鄰兩盆菊花之間相距1米，每行菊花長(zhǎng)多少米？一個(gè)圓形池塘，它的周長(zhǎng)是300米，每隔5米栽種一棵柳樹，需要樹苗多少株？一個(gè)圓形水池周圍每隔2米栽一棵楊樹，共栽了40棵，水池的周長(zhǎng)是多少米？一個(gè)圓形養(yǎng)魚池全長(zhǎng)200米，現(xiàn)在水池周圍種上楊樹25棵，隔幾米種一棵才能都種上？學(xué)校圖書館前擺了一個(gè)方陣花壇，這個(gè)花壇的最外層每邊各擺放12盆花，最外層共擺了多少盆花？這個(gè)花壇一共要多少盆花？節(jié)目里廣場(chǎng)中心擺了一個(gè)正方形花壇，花壇外1層都是菊花，最外層每邊放了10盆，一共放了多少盆菊花？如果最外層每邊放20盆，一共放了多少盆菊花？張大伯在承包的正方形池塘四周種上樹，池塘邊長(zhǎng)為60米，每隔5米種一課，四個(gè)角上各種一棵，張大伯買了50棵樹苗夠嗎？現(xiàn)有60個(gè)小朋友圍城一個(gè)正方形做游戲，那么每邊要站幾個(gè)學(xué)生？如果圍城五邊形呢？六邊形呢？一個(gè)圓形水池周圍每隔2米栽一棵柳樹，共栽40棵，水池的周長(zhǎng)是多少？方方一家包的40個(gè)粽子中，有一個(gè)是方方學(xué)著包的，質(zhì)量稍輕一些，爸爸媽媽包的每個(gè)粽子一樣重。如果用天平稱，至少幾次保證能找到方方包的粽子？有14瓶同樣的木糖醇，其中13瓶的質(zhì)量相同，另有一瓶少了幾顆。如果用天平稱，至少稱幾次就能保證找出較輕的這瓶來？有13袋瓜子，其中12袋質(zhì)量相同，另一袋質(zhì)量輕一些，用天平稱，至少稱幾次才能保證找到較輕的那袋瓜子？某工廠生產(chǎn)的20個(gè)零件中有一個(gè)次品，它比正品略輕一點(diǎn)，用天平稱，至少要稱幾次能