高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷

(人教A版2019選擇性必修第一冊(cè))

強(qiáng)化卷-全解全析

(考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小即答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：人數(shù)A版選擇性必修第一冊(cè)全部。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知點(diǎn)力(1/)，"(5,3),則以線段/出為直徑的圓的方程為()

A.(X-2)2+(^-3)2=5B.(x-2)2+(y-3)2=1

C.(X-3)2+(^-2)2=5D.(X-3)2+(J^-2)2=1

【答案】C

【詳解】因?yàn)闉橹睆剑詧A心為0(3,2),

半徑r=J(5-l『+(3-l)2=宕,

2

所以圓的方程為(x-3『+(y-2)2=5.

故選：C.

2.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。到直線/的距離為2,并且x軸正半軸與直線/的垂線的傾斜角為則直線/

6

的方程是().

A.拒x+y-4=0B.VJx-y+4=0

C.-yf3x+y+4=0D.x+＞/3y+4=0

【答案】A

【詳解】因?yàn)閤軸正半軸與直線I的垂線的傾斜角為?，

6

???直線’的傾斜角為?十三==,

623

所以直線/的斜率為太/號(hào)=-石，

對(duì)于B：Gx—y+4=0的斜率為石，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C：-Gx+y+4=0的斜率為JJ,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)「D：x+島+4=0的斜?率為一且，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

3

4

對(duì)干A：點(diǎn)O到直線/的距離為向j=2,A選項(xiàng)正確；

故選：A.

3.“-2父＜2”是“直線y=x+b與曲線=■恰有1個(gè)公共點(diǎn)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】曲線y=表示圓心（。,0）,半徑為2的圓的上半部分（包括與x軸的交點(diǎn)），

直線y=x+b的斜率為1,在V軸上的截距為〃，

當(dāng)直線y=X+/＞與曲線y=14—x2恰有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，該直線與曲線相切或有一個(gè)交點(diǎn)，

如圖所示:

相切時(shí)，圓心（0,0）到直線y=x+b距離等于2,則MV2=22'

即6=2五或6=-2五（舍去，因?yàn)楫?dāng)人=-2五時(shí)與下半部分和切，不符合題意）.

由圖象可知，有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，-2<b<2.

綜上可知，當(dāng)直線y=x+6與曲線y=H^恰有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，-2父<2或6=2&.

于是，當(dāng)時(shí)，直線“尸x+6與曲線尸”T7恰有1個(gè)公共點(diǎn)”，則充分性成立；

當(dāng)直線J，=x+〃與曲線),="77恰有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b=26或-2&b<2,則必要性不成立.

所以，”-2W6v2”是“直線y=與曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)”的充分不必要條件.

故選：A

4.4知函數(shù)/(力=-"工-./_3_2的圖象上有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線了=-1的對(duì)稱點(diǎn)在歹="-1的

圖象上，則4的取值范圍是()

卜MB-[0,|c.聞p(°4)

【答案】A

【詳解】歹二履-1關(guān)于直線，=-1的對(duì)稱直線為)，=-h-1,

則題設(shè)等價(jià)于函數(shù)/(力=2_3—2的圖象和y=-ALY-1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

令)=/(工)=_,4工_工2_3_2等價(jià)于(/_2)2+(y+2『=I(y<-2),

設(shè)直線尸-履-1和y=/(x)相切，

臼+2-1|=]4

由，解得或2=0(舍),

42+1

又當(dāng)直線歹=-左”1過點(diǎn)。(1,-2)時(shí)，解得左=1,

所以a的取值范圍是

故選：A.

5.如圖，在斜三棱柱48。-44G中，"為8c的中點(diǎn)，N為4G靠近4的三等分點(diǎn)，設(shè)益工,％

=b,AA,=c?則用表示而為（）

“廣彳74

/---47

1*1**-]>[；>

A.-a+—b-cB.——a+—b+c

2626

[T1：T1->17

C.—a—b-cD.—a—b+c

2626

【答案】A

【詳解】NM=NC.+C.C+CM=-b-c+-[a-b）=-a+-b-c.

3226

故選：A

6.已知橢圓方程二+必=1,過左焦點(diǎn)￡的直線與橢圓交于44兩點(diǎn),

連接力乙，BF「則三角形力5鳥的

43

周長為（）

A.8B.1（）C.12D.14

【答案】A

【詳解】橢圓方程￡+￡=1,得：/=4,則。=2.

43

由橢圓的定義得|/周+|4瑪|=2a=4,忸用+忸周=4,

所以△力6瑪?shù)闹荛L為為3|+?閭+|明|=1用+|4段+|班|+忸閭=8.

故選:A.

一

7.己知直線y=2x+切與橢圓c：二+V=;1相交于48兩點(diǎn)，則線段43的中點(diǎn)M的軌跡必經(jīng)過點(diǎn)（）

5’

A,（Tb-卜TC-（VD.1啕

【答案】C

【詳解】設(shè)/a，必）,必）,“（%,兒），

r2

——Fy*=1,,

?5=>21尸+20〃忒+5"/一5二（）,

y=2x+m

20m5in2-5

/十七=一丁，中2=2］，

△=400〃/一84（5〃/-5）=420-20/7/2>0,=>m2<21,即-y/2\<m<>/27,

10m

x=--------

0n911

又M為線段48的中點(diǎn)，所以《，則M的軌跡方程為歹=--，

m10

所以(7｝卜吟)都在＞=*上，

又所以—迎史＜x0〈迎空，因?yàn)開3＜—成型，所以D錯(cuò)誤.

212121

故選：C.

8.如圖，在直三棱柱為8C-44G中，ACLAB,AC=AB=CCX=1,E是線段AB的中點(diǎn)，在AC內(nèi)

則網(wǎng)+閥的最小值是().

25/33「后

V-/?------

236

【答案】C

【詳解】以c為原點(diǎn),。所在直淺為X軸，過點(diǎn)c且平行于月8的直線為y軸，cq所在宜線為Z軸，建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。孫N,

則4(1,0,1),4(1,1,0),C(0,0,0),4(1,0,0),

所以而二(11,0),G4；=(l,0,l),刀>(0,0,1).

設(shè)工關(guān)于平面48。的對(duì)稱點(diǎn)為々(x,y,N),z>0,

1

則力'4=(1-x,一乂1-N),AA=(x-\fy,z).

八/\[CBn=x.+y.=0

設(shè)平面45c的法向量萬=(和必,zj,則<_.1%

[CA{-/?=x,+Z|=0

令石=1,則弘=T,2)=-1,所以萬二(1,一1,一1),

所以力與力'到平面48c的距離d=;且=33=包4回'

同3同G

則T+y+z|=l①.

又17〃萬，所以?===?，\^x-\=-y=-z②.

1-1—1

12?

由①②得生一】|=1,由N>0可得x=；,y=j,z=j,

所以網(wǎng)+度卜國|+國4弱2」、3叵

3-2>96

當(dāng)且僅當(dāng)H,尸,E三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

所以國+閥的最小值為華.

故選:C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法正確的是（）

A.直線〃?x-p+l-w=O必過定點(diǎn)(I/)

B.直線y=3x-2在》軸上的截距是一2

C.過點(diǎn)尸(1,2)且在xj釉截距相等的直線方程為x+y-3=0

D.已知直線3x+4y-1=0與直線6x+機(jī)》-12=0平行，則平行線間的距離是1

【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A,由〃出一》+1-〃7=0="1('一1)一()，-1),顯然工=1時(shí)，y=l恒成立，

即該直線恒過定點(diǎn)(1,1),故A正確；

對(duì)于B,根據(jù)直線的斜截式定義可確定直線y=3x-2在歹軸上的截距是一2,故B正確；

對(duì)于C,若截距均為0,則該直線為y=2x；

若截距不為0,可設(shè)該宜線方程為'+2=1,代入點(diǎn)P(l,2)可得,+2=1=3,

aaaaa

即a=3,/.x+y-3=0,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由兩直線平行可知3m=4x6,.?.川二8,

此時(shí)方程6x+〃少-12=0可化為3戈+4y—6=0,故兩直線距離為［=上曇01=1,

V32+42

故D正確.

故選：ABD

10.已知雙曲線￡/-1=1("0)的漸近線與圓UX2+Q_2)2=1相切，耳,用分別為E的左、右焦點(diǎn),

動(dòng)點(diǎn)。在￡的左支上，則()

A.a=1

B.△C"6為等腰直角三角形

C.周長的最小值為4、5

D.|"|的最小值為正

【答案】ABD

【詳解】雙曲線上:￡-仁=1("0)的漸近線方程為丁=±且「即瓜±少=0,

由圓C:/+(y—2)=l,圓心為C(0,2),半徑為,?=1,

因?yàn)闈u近線與圓C相切，所以=解得。=1,故A正確;

J3+/

而力=3,則02=〃2+〃=4,即C=2,所以耳（一2,0）,，（2,0）,

則|可|=|。周=2夜,|￡周=4,故|S『+|c勾2=歸周2,即

所以鳥為等腰直角三角形，故B正確：

△C《P的周長為|CK|+|PC|+|P用=2&+|尸。|+2。+|?用=2虛+2+|尸。|+|尸用

N2拒+2+仁用=4拉+2,

當(dāng)且僅當(dāng)尸,。,打三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，

則△小尸的周長的最小值為4人+2,故C不正確；

設(shè)P（X°JO）,%?T,%€R,則片容1,即"+圣

所以r”=Jx：+（盟-2y=j+5+/-4yo+4=Jg為_T）+2,

則y0=T時(shí)，|CP|取得最小值&,故D正確.

H.如圖所示，在長方體力BCD—H9。77中，AA,=6,AB=4,AD=3,E,尸分別在棱CC和附'上,

CE=gcE，F(xiàn)E=B7C,+JF^則下列說法正確的是（）

A.^iy-AEF*^F-A'AE

B.直線E尸與力。所成角的余弦值為亞

13

C.直線AD'和平面44所成角的正弦值為2更

21

D.若G為線段"”的中點(diǎn)，則直線。下//平面4GC

【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)榻?麗+脛+瓦，又麗=西+游，所以而+前+怎=灰+游,

反=阮,所以金=2所,

1__2____________1___

又CEfE,CE=-CC\麗=聲，所以BF=aBB'

綜二可知，區(qū)”分別為所在棱的三等分點(diǎn)，

以。為原點(diǎn)，。4。。,。。'所在直線分別為工乂2軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則E（0,4,4）,尸（3,4,2）,4（3,0,0）,0（0,0,0）,。'（0,0,6）,。（0,4,0）］（3,4,0）,

所以方=（3,0「2）,萬=（0,4,2）,西=次=（3,0,0）,

設(shè)平面/E尸的法向量為萬=（。,瓦c）,

歷F=3"2c=0/3、

貝IJ一，取。=2,則萬=2,一不3,

|力產(chǎn)?萬=4〃+2c=0k2J

所以兩,萬=6,所以宜線不平行于平面力石尸，

所以W,。'兩點(diǎn)到平面的距離不相等，所以“_壁戶=故A正確;

對(duì)于B,EF=(3,0,-2),DJ=(3,0,0),

EFDA9_3拒

則直線EF與力。所成角的余弦值為|cosEF,A?|=

礪―"FF故B正確;

對(duì)于C,布=(-3,(),6),礪=((),(),6),萬7=(3,4,0),

設(shè)平面BBDD的一個(gè)法向量為w=(x,y,z)，則｛_,

DBm=3x+Ay=Q

取工=_4,得平面880。的一個(gè)法向最為比=(-4,3,0),

設(shè)直線AD'與平面BBDD所成的角為0,

——_AD'm124>/5

則sin0=cosAD；m=?——=—T=——；==-----,

AD^n\回x后25

所以百.線力。'和平面44力力所成角的正弦值為生叵，故C錯(cuò)誤；

25

對(duì)于D,連接交HC'于點(diǎn)"，連接房，

因?yàn)镠*C'。'為矩形，所以〃是的中點(diǎn)，

有G為8尸的中點(diǎn)，所以0N////G,

又DA&平面4GU,〃Gu平面HGC',從而。///平面4GC',故D正確.

故選:ABD

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知直線4：QX+y+l=0與直線，2：mT)x-政+2=0垂直，則實(shí)數(shù)。的值為

【答案】2或0

【詳解】由于直線卜4+歹+1=0與直線，2：S-l)x-即+2=0垂直,

故a(a-1)-a=0,解得a=2或0.

故答案為：2或0.

13.已知點(diǎn)力(4,2),設(shè)點(diǎn)尸是拋物線V=8x上任一點(diǎn)，尸是拋物線的焦點(diǎn)，則仍尸|+|尸山的最小值為.

【答案】6

【詳解】根據(jù)題意，過點(diǎn)，作尸M垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)M,如圖所示：

根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)到拋物線“二&》的焦點(diǎn)產(chǎn)的距離等.卜到它的準(zhǔn)線丫=_2的距離,

所以|P/|+|Pd=|PM+|P4|,當(dāng)以P,M三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值,

所以四|十|/訓(xùn)的最小值為6.

故答案為：6.

14.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為呻日

馬如圖，在陽馬尸一45CO中，PDL底面力BCD,底面力4c。是矩形，AB=2AD=4,PD=—,E

5

是21的中點(diǎn)，F(xiàn)B=2PF.若點(diǎn)〃在矩形力AC力內(nèi)，且產(chǎn)田,立面。則。必=.

【詳解】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，方彳皮，而的方向分別為x，P，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

則D(0,0,0),P0,0,竽)，40」)，F(xiàn)DE=皿半)而=K吟)

n-DE=x+z=0

25"

設(shè)平面0E尸的法向量為萬=(x,P,z),貝?卜

-TTF248^5

=0

33,15

令2=逐，得E=(-2,-l,b).

設(shè)M(w,n,0),則PM=m,n,----j.

_84

因?yàn)镻M_L平面。E/L所以閑//萬，則“n5?解得機(jī)=:，〃=工，

WF=b55

所以“C),兩=之,0),故DM=網(wǎng)卜桶2+停j=竽.

故答案為：生叵

5

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

已知三點(diǎn)。(0,0),力(2,0),8(-記的外接圓為圓C.

(1)求圓。的方程：

(2)若直線/：.?歹-1=0與圓。交于歷,%兩點(diǎn)，求ACMN的面積.

【答案】⑴a-l)2+(y+2)2=5⑵n

【詳解】(1)設(shè)圓C的一般方程為/+/+m+￡>+/=0,

b=0,

將4民。三點(diǎn)代入上式可得，4+2Q+尸=0,

l+l-D-￡+F=0.

解得O=-2,E=4,〃=0,

所以圓C的一般方程為』-25+4y=0

將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（*-1）2+0+2）2=5；

（2）由（1）可知，圓心C（L—2）,半徑/=6.

則網(wǎng)心C到直線/的距離為d=仁二1=72,

所以\MN\=2介-/=2/后=2G,

故CMN的面積為Sy.=；"=gx2&x收=6.

16.（15分）

如圖，在平行六面體"C75-4"CZ）'中，AB=AD=2,44'=3,/BAD=90”,ZBAA'=ZDAA=60\

⑴求證：BD1AC；

（2）求,4U的長.

【答案】（1）證明見解析（2）同

【詳解】（1）證明：以力及彳方，五？為基底向量，則而=翔-彘,元=1萬+*0+*=/^+）萬+五乙

所以而?麗=（而—荔）?（方+而+五？）=而15+施「+而?刀—前2—四.而—方?前所以定?麗

=0+4+2x3x——4-0-2x3x—=0,

22

所以祝7_L麗，所以8O_L4C”.

（2）由（1）可得，/=赤+布+五？.

所以，AC,2=（在+而+ZT）2=病+2ABAD+而2+2方+2JD-Z7+AAf2

=4+2x（）+4+2x2x3x—+2x2x3x—+9=29,

22

所以|洞卜回，即偌的長為國.

17.（15分）

已知三條直線：/1:2x-y+a=0(a>0),/2:4x-2y-l=0,l3:x+y-\=Ot且乙與乙間的距離是型,

10

⑴求。的值：

(2)能否找到一點(diǎn)。，使夕同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①點(diǎn)2在第一象限；②點(diǎn)、P至I"的距離是點(diǎn)2到4的

距離的；：③點(diǎn)P至此的距離與點(diǎn)戶到。的距離之比是拒:石，若能，求點(diǎn)戶的坐標(biāo)：若不能，說明理

由

(137)

【答案】(1)〃=3；(2)存在點(diǎn)P.

I，io7

【詳解】(1)v/2:2x-y-1=0,

a-U]Lil.

/,與/，間的距離為"一」I2/一12|_7及，

百+(-1『610

17

gpa+—=—,?/tz>0,

22

a=3；

(2)假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P(//o),

由條件②知，點(diǎn)尸在與4,，2平行的直線/'2x—y+c=0上,

1

c+—

且”3|_12,

~4T~2^jr

13T11

:.c=—或c=—

26

/.4%—+13=0或12x0-6yo+11=0,

|2%-%+3|_&島+凡-1|

由條件③知,

~45~75耳

12x0->>0+31=|x0+y0-1|,即/-2%+4=0或3x°+2=0,

因?yàn)辄c(diǎn)尸在第一象限，，%>0,3/+2=0(舍),

?七一2%+4=0%-2%+4=0

或，12x-6.y+ll=O,

4,v0-2yQ+13=0oo

1

%=-3x=-

no9

解得1(舍),

W。=5371

所以存在點(diǎn)Hu)同時(shí)滿足①②③.

I，13J

18.(17分)

己知四棱柱力44G2中，底面月〃C。為梯形，AB//CD,力/,平面力"。。，ADJ.AB,其中

AB=A、A=2,AD=DC=\.M是。2上的一動(dòng)點(diǎn)，N是4G上的一動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)AM的長是多少時(shí)，平面平面44。。，請(qǐng)說明理由;

(2)當(dāng)"是。"的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)8到平面。曲”的距離;

⑶若"是。"的中點(diǎn)，且〃N〃平面C4"時(shí)，求三棱錐N-4MC的體積.

【答案】(1)2,理由見解析(2)處(3)1

116

【詳解】(1)當(dāng)。陽=2時(shí)，平面斜“，平面44。目,理由如下：

由題意知，力隊(duì)力。,44兩兩垂直，故以力為原點(diǎn)建江如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則C(1,1,O)再(2,0,2),G(1,1,2),4(0,1,2),所以西=(1,一1,2),

設(shè)M(O,1"),則由=(—1,(),/),

設(shè)平面。緯”的法向量為，;二(x,y,z),

萬J.西[n=x-y+2z=0

則

nlCM1/CM=-x+々=0

取z=l,則x=/,y=/+2,所以〃="j+2,1),

易知平面Ki。1。的?個(gè)法向量為m二(1,0,。)，

因?yàn)槠矫?。與“1_平面4/Q。，所以/i=(l,0,0)?j+2,l)=f=0,

即M(0」,0),

所以當(dāng)QM=2時(shí)，平面CB\M_L￥面AA.D.D.

(2)當(dāng)”是。。的中點(diǎn)時(shí)，M(OJl),即/=1,

所以平面。5M的法向量為3="/+2,1)=(1,3,1),而函=(0,0,2),

明叫_22vFT

所以點(diǎn)B到平面的距離為p|"^r--rr,

(3)當(dāng)〃是。"的中點(diǎn)時(shí)，"(0,1,1),平面。8也的法向量為；;=(1,3,1),

設(shè)*=%幣;=4(1,一1,0),2e[0,l],所以麗=配+彳=(1+4—/1,()),

因?yàn)?N//平面C用例，所以萬Ri=(l+4-月0)(1,3,1)=1+/-3/1=0,

解得a=；,即點(diǎn)N是4G的中點(diǎn),

因?yàn)镃(l」,0)，4(2,0,2),M(0