八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷02（江西專用）

全解全析

（考試時間：120分鐘，分值：120分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：北師大版2024八上第一章~第二章。

第一部分（選擇題共18分）

一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.下列是勾股數(shù)的一組是（）

A.3,5,9B.4,6,8C.1,也,2D.8,15,17

【答案】D

【分析】此題主要考查了勾股數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義，如果b,c為正整數(shù)，且滿足

/+/=02,那么4、b、C叫做一組勾股數(shù).先判斷所給數(shù)據(jù)是否為正整數(shù)，再驗(yàn)證兩個較小的數(shù)的平方和

是否等于最大數(shù)的平方即可.

【詳解】解：A.32+52/92,故不是勾股數(shù)，不符合題意；

B.42+62工82,故不是勾股數(shù)，不符合題意；

C.存在無理數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；

D.82+152=172,故是勾股數(shù)，符合題意.

故選:D.

2.如圖，AB1BC,三個正方形的面積分別為S”S2，S,且￡=2,邑=3,則S的值為（）

【答案】B

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)結(jié)合正方形的面積公式和勾股定理進(jìn)行求解，即可解

題.

【詳解】解：-AB1BC,

222

??AB+BC=AC,即:S}+S2=St

=2,5,=3,

二S=2+3=5；

故選：B.

3.下列計(jì)算正確的是（）

A.^（-5）2=-5B.46-6二1

C.6義也=網(wǎng)D.M+也=9

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式的減法、乘法、除法以及二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是

解題的關(guān)鍵；

根據(jù)二次根式的減法、乘法、除法以及二次根式的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】A、/尸=卜5|=5,故本選項(xiàng)不符合題意；

B、46-6=36，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、'6=瓜，故本選項(xiàng)符合題意；

【）、/歷+0=囪=3，故本選項(xiàng)不符合題意:

故選：c.

4.實(shí)數(shù)J7,0,y,痘，-2.367,瓜,p0.6，3.1212212221…（相鄰的兩個1之間依次多一個

2）,無理數(shù)的個數(shù)為（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】B

【分析】本題考查了尢理數(shù)的概念，立方根，理解尢理數(shù)就是尢限小循環(huán)小數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.根據(jù)尢

理數(shù)的概念先確定無理數(shù)個數(shù)即可.

【詳解】解：^36=6?

則在實(shí)數(shù)J7,0，弓，加1，-2.367,V36，p0.6，3.1212212221…（相鄰的兩個1之間依次多一個

2）中是無理數(shù)的有近，限p3.1212212221…（相鄰的兩個1之間依次多一個2）共4個，

故選：B.

5.如圖，某超市為了吸引顧客，在超市門口離地高4.5m的墻上，裝有一個由傳感器控制的門鈴人如圖①

所示，人只要移至該門鈴5m及5m以內(nèi)時，即4CK5m,門鈴就會自動發(fā)出語音“歡迎光臨”.如圖②所示,

一個身高1.5m的學(xué)生走到。處，即CO=1.5m,門鈴恰好自動響起，則8。的長為（）

①②

A.2米B.3米C.4米D.5米

【答案】C

【分析】本題考杳了勾股定理的應(yīng)用，由題意可知=BE=CD=\.5m,ZC=5m,則

AE=AB-BE=3m,再由勾股定理求出CE的長，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由題意可知，BD=CE,BE=CD=1.5m,JC=5m,則4E=48-8E=4.5-1.5=3（m）,

在RtzUCE中，由勾股定理得：CE=>1AC2-AE2=V52-32=4（m）,

:.BD=CE=4米,

即門鈴恰好自動響起，則8。的長為4米,

c

【答案】33cm

【分析】本題主要考杳勾股定理的應(yīng)用——最短路件問題,根據(jù)圓柱側(cè)而展開圖,利用勾股定理計(jì)算出4C

的長即為最短距離.

【詳解】解：；圓柱體的底面周長為6cm,高8C=3cm,

把圓柱側(cè)面沿4c展開，得到長方形，如圖，

?./!5=—x6=3(cm),

，AC=LB2+BC2=>/32+32=3及(cm)，

故答案為：3J5cm.

9.若02〃?+2〃-5與"??；都是最簡一次根式、并且是同類一次根式，則利+〃=.

【答案】5

【分析】本題主要考查了同類二次根式的定義，即化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同

類二次根式，掌握以上知識是解答本題的關(guān)鍵；

本題根據(jù)題意，它們的被開方數(shù)相同，列出方程求解.

【詳解】解：：也刖+2〃-5與〃標(biāo)二都是最簡二次根式、并且是同類二次根式，

m=2,〃-1=2,

解得：ni=2f〃=3,

此時被開方數(shù)2”?+2〃-5=2X2+2X3-5=5,m+〃=2+3=5,被開方數(shù)相同，滿足同類.次根式的條件。

二加+〃=2+3=5,

故答案為:5；

10.如圖，在4x4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊K均為1,則點(diǎn)3到線段力。的距離為

【答案】拽

5

【詳解】解：由題意得

"=物+不=2石，

^c=1（2+4）x4-lx2x3-|xlx4=7,

設(shè)8到線段AC的距離為力，

:.-ACJi=l,

2

，X2G〃=7,

2

解杼：h=7一；

5

故答案為：拽.

5

11.劉謙的魔術(shù)表演風(fēng)靡全國，小明也學(xué)起了劉謙，發(fā)明了一個魔術(shù)盒：當(dāng)任意實(shí)數(shù)對3。）進(jìn)入其中時，

會得到一個新的實(shí)數(shù)右+。-1，例如把（4,-2）放入其中，就會得到4+（-2）-1,現(xiàn)將實(shí)數(shù)對（由-2加）放入

其中，得到實(shí)數(shù)-1,則加=.

【答案】2

【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.利用題中的新定義計(jì)算即可求出機(jī)的

值.

【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：V16+（-2/H）-1=-1,

解得：m=2.

故答案為：2.

12.如圖，長方形48CO中，AD=\5,/B=17,點(diǎn)￡為射線ZX:上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)。重合），將△力。石沿

的翻折得到△力。'七，連接?！?,若△48。為直角三角形，則。E的長為.

DEC

2-

【答案】9或25

【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，長方形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類討論.

分為兩種情況，一種是點(diǎn)E在線段QC上，另一種是點(diǎn)石在。C的延長線上，利用勾股定理分別求解即可.

【詳解】解：.??將ZUQE沿力月翻折得到△力。凡

AAD=AD',Z/1DE=ZJD/E=90°,

①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段。。上時,

NED'<-ZD-ZAD'H-90

圖1

：.B,D',E三點(diǎn)共線.

?；S、ABE=；X/8X?1O=；X

BExAD'

BE=AB=17.

BD'=7AB2-AD'2=V172-152=8，

:.DE=D'E=BE-BD'=\7-8=9；

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在。C的延長線上時,

AD,=AD=BC=\5,AB=CD=\1,

圖2

???BD'=>JAB2-AD,2=V172-152=8.

設(shè)CE=x,貝ijQ'EuQfnx+U,

/.BE=D'E—BD'=x+9,

???CE2+BC2=BE，,

x2+152=(x+9)2,

解得x=8,

DE=CD+CE=\7+S=25,

綜上，力E的值為9或25.

故答案為：9或25.

三、(本大題共5小題，每小題6分，共30分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步理)

13.(1)計(jì)算：商+也萬一|6-2卜G.

(2)解方程.(2x—I)?—16=9.

【答案】(1)4：(2)x=3或x=-2

【分析】本題考查了算術(shù)平方根、立方根、絕對值、平方根，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的

關(guān)鍵.

(1)先計(jì)算算術(shù)平方根、立方根、絕對值，再計(jì)算加減即可；

(2)利用平方根的定義解方程即可.

【詳解】解：⑴商+夷萬一卜5一2卜

=9+(-3)-(2-

=9-3-2+73-73

=4；

(2)V(2X-1)2-I6=9,

.?.(2X-1)2=25,

二2x-1=5或2x-1=-5,

二x=3或x=-2.

14.已知牝-11的平方根是-3和3,3a+6-1的算術(shù)平方根是4,。是舊的整數(shù)部分.

(1)求。，b,c的值；

⑵求3af+c的平方根.

【答案】(1)。=5,h=2,c=3；

(2)±4.

【分析】本題考查了算術(shù)平方根、平方根的定義、無理數(shù)估算，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握這三者是關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義即可求出。、方，估算出后的范圍即可求出

(2)將。、b.。的值代入所求式子計(jì)算，再根據(jù)平方根的定義解答.

【詳解】(1)解：???4a—11的平方根是-3和3,3a+b-1的算術(shù)平方根是4,

4(?-11=9,3a+b-1=16,

二。=5,b=2,

,:耶<用<屈，

.-?3<V13<4,

M是J萬的整數(shù)部分，

AC=3;

(2)解：：a=5,6=2,c=3,

，3。一b+c=16,

二3。一力+。的平方根為±4.

15.【初步感知】

(1)如圖1,在三角形紙片43c中，ZC=90°,JC=18,點(diǎn)、D,E分別在邊44,4C上，將一力沿。E

折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)“重合.EC=5,求8c的長；

【深入探究】

(2)如圖2.將長方形紙片44CD沿對角線8。折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，BC交4D于點(diǎn)E.若力8=4,

BC=8,求力E的長.

圖1圖2

【答案】(1)12；(2)AE=3

【分析】此題主要考查了圖形的翻折變換及其性質(zhì)，勾股定理.

(1)先求出/E=13,由折疊性質(zhì)得：BE=AE=T3,在RsACE中，由勾股定理即可求出的長;

(2)根據(jù)長方形性質(zhì)得CQ=/8=4,4D=BC=8,N4=NC=90。，由折疊性質(zhì)得CT)=CO=4,

ZC=ZC=90°,由此依據(jù)AAS判定AC'PE和△力8g全等得C'EnXE,設(shè)4E=a,^iCE=AE=a,

DE=AD-AE=S-a,然后在RtZXCDE中，由勾股定理求出〃=3,繼而可得力￡的長.

【詳解】解：(1)在△48C中，ZC=90°,JC=18,

,:EC=5,

.-./!￡：=JC-￡C=13,

由折疊性質(zhì)得：BE=AE=T3,

在中，由勾股定理得：BC=>lBE2-EC2=V132-52=12：

(2)?.?四邊形"CQ是長方形，AB=4,BC=8,

.-.CD=AB=4f4D=BC=8,4=NC=90°,

由折疊性質(zhì)得：CO=8=4,/C'=NC=9()。，

CD=AB=4,"=4=90°,

在qDE和“BE中,

ZC=ZA

<Z.CED=NAEB,

CD=AB

；.ACDE知ABE(AAS),

CE=AE,

設(shè)=則C￡=/E=a,DE=AD-AE=8-a,

在RtZXCOE中，由勾股定理得：CE2+CD2=DE2,

:.a'+4'=(8-a)~,

解得：Q=3,

；.AE=3.

16.如圖所示，a,b,c是數(shù)軸上三個點(diǎn)A,B,。所對應(yīng)的實(shí)數(shù).其中。是4的一個平方根，b是-27的

立方根，。是1-3人的相反數(shù).

1?1?/

BA0C

⑴填空：a=_,b=_,c=_；

（2）先化簡，再求值：J（4『+|6-a|-|c|

【答案】（1）—2,-3,35/2-1

（2）-力-。；4-30

【分析】本題考查了整式的加減，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，平方根，立方根，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解

題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)數(shù)軸可得匕<。<0<。，根據(jù)平方根，立方根，相反數(shù)的意義，即可解答；

（2）根據(jù)數(shù)軸可得。<0力-。<0]>0,化簡各式，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解.

【詳解】（1）根據(jù)數(shù)軸可得分

是4的一個平方根，

:.a=±2

根據(jù)數(shù)軸可得a<0

:.a=-2,

一27的立方根為—3,則6=—3,

???c是1-3a的相反數(shù)

:，c-3>/2—1，

故答案是：一2,—3,3>/2-1;

（2）b<a<0<c

.-.a<0,b-a<0,c>0,

」?[（"）-+\b-a\~\c\

=-a+a-b-c

=-b-c

11^=—3,c=3>/2—1H'J?

原式=_（一3）_（3&-1）

=3-3&+1

=4-3立

17.第十四屆國際數(shù)學(xué)教育大會aCME-14）于2021年在上海舉辦，其大會標(biāo)識（如圖1）的中心圖案是

趙爽弦圖（如圖2）,該圖由四個全等的直角三角形（△力8￡,MF,KDG,△加〃）和中間一個小正

方形￡FG〃組成.連接/1G,BG,若力E=4,BE=3.

D

B

圖1圖2

(I)求線段8G的長度；

(2)判斷△力G8是否為宜角三角形，并說明理由.

【答案】(1)如

(2)不是直角三角形，理由見解析

【分析】本題主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理.

⑴由趙爽弦圖中四個直角三角形全等，可知CG="=/E=4,CF=BE=3,從而可求/G=l,根據(jù)勾股

定理可求BG=J萬：

(2)利用勾股定理可以求出4G2=32+r=10,4爐=32+42=25,由⑴“『知8G2=17,因?yàn)?/p>

AG?+BG?wA即,△力G8不是直角三角形.

【詳解】(1)解：???四個直角三角形全等，

CG=BF=AE=4,CF=BE=3,

；.FG=CG-CF=4-3=1,

在中，BG7BF?+GF=依+1?=折；

(2)解：a/lGB不是直角三角形.

理由如下：

如卜圖所示，連接“G、BG,

在中，AH=BE=3,GH=\,

.\^G2=32+12=1O,

在RtZX/lBE中，AE=4,BE=3,

.?."2=32+42=25，

由⑴可知8G2=17,

+=10+17=27，

：.AG2+BG2^AB2,

.??△.4G8不是直角三角形.

四,(本大題共3小題，每小題8分，共24分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步理)

18.葉老師在與學(xué)生研究“螞蟻怎樣爬最近”的課題時設(shè)計(jì)了以下問題.請你根據(jù)下面所給的條件分別求出螞

蚊需要爬行的最短路程(結(jié)果保留根號).

①②③

(1)如圖①，正方體的棱長為5cm,一只螞蟻欲從正方體底面上的點(diǎn)/處沿著正方體表面爬到點(diǎn)0處；

(2)如圖②，長方體的長和寬都為5cm,高為6cm,一只螞蟻從長方體底面上的點(diǎn)力處沿著長方體表面爬到

點(diǎn)G處；

(3)如圖③，長方體的長、寬、高分別是6cm、5cm和3cm,一只螞蟻要從頂點(diǎn)4處沿著長方體的表面爬

到長方體上和A相對的頂點(diǎn)8處.

【答案】⑴螞蟻需要爬行的最短路程為5百cm；

(2)螞蟻爬行的最短路程為2后cm:

(3)螞蟻爬行的最短路程是10cm.

【分析】本題主要考杳了勾股定理的應(yīng)用，找出最短路徑，用勾股定理來解決路徑長，在進(jìn)行實(shí)數(shù)大小比

較是解題關(guān)鍵.

(1)將正方體的右側(cè)面翻折，使它與前面在同一平面內(nèi)，連接ZG，兩點(diǎn)之間線段最短，力C是最短路徑,

利用勾股定理求4G即可；

(2)分兩種情況討論：①將長方體的右面翻折，使它與前面在同一平面內(nèi)，連接力G，兩點(diǎn)之間線段最短,

4G是最短路徑，利用勾股定理求4G，②將長方體的上面翻折，使它與前面在同一平面內(nèi)，連接力G，兩

點(diǎn)之間線段最短，是最短路徑，利用勾股定理求比較兩種方法之下的力G，確定最短的即可.

(3)將長方體按三種方案展開，回出圖形，求出結(jié)果，然后進(jìn)行比較即可.

【詳解】(1)解：將正方體的右惻面翻折，使它與前面在同一平面內(nèi)，連接4G，

兩點(diǎn)之間線段最短，4G是最短路徑，

如圖所示，在汝△4CG中，由勾股定理得

AG=JAC、CC；

=yl(5+5)2+52=5限cm)；

(2)解：分兩種情況討論：

①將長方體的右面翻折，使它與前面在同一平面內(nèi)，連接力G，

兩點(diǎn)之間線段最短，4G是最短路徑，

如圖所示，有4Ci=ylAC2+CC：=J10」+62=Vi^(cm).

②將長方體的上面翻折，使它與前面在同一平面內(nèi)，連接4G，

兩點(diǎn)之間線段最短，4G是最短路徑，

如圖所示ACi=1AB2+BC；=V52+ll2=J麗(cm).

因?yàn)镴i布＞Ji正,

所以最短路程為，即最短路程為2血m.

ACi

AB

(3)解：將長方體按下列三種方案展開：

第一種；如圖④，

53g

6JD=5+3=8(cm),DB=6(cm)

④

???根據(jù)勾股定理得

AB=y]AD2+DB2=V82+62=IO(cm)：

第二種：如圖⑤，

1

IIvC8=6+5=1l（cm）,AC=3cm；

⑤

???根據(jù)勾股定理得

AB=>l\\2+32=V130（cm）

第三種：如圖⑥，

______B

~713

/6;C8=3+6=9（cm）,/1C=5cm.

J5C

⑥

???根據(jù)勾股定理得

J5=>/92+52=V106(cm)

*/10<Vi06<Vi30，

二?螞蟻爬行的最短路程是10cm.

19.先閱讀，再解答：

由心+G）（逐-6）=（6）2-（行尸=2可以看出，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，枳不含有二次根式,

我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式.在進(jìn)行二次根式的計(jì)算時，利用有理化因式，有時可以化去分母中

的根號，例如：

6+亞一（石+&）（6-何一,

請解決下列問題：

（1）女-1的有理化囚式是；

（2）化去式子分母中的根號：*后=________；（直接寫結(jié)果）

（3）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：/+出+…+麻:旃卜/+?

【答案】（1）收+1

（2）3+76

（3）2024

【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，分母有理化，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)有理化因式的定義即可求得答案：

（2）將分子分母同乘（3+C）并將計(jì)算即可;

（3）根據(jù)規(guī)律將原式化簡后再利用平方差公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：（1）由題意可得&-1的有理化因式是J5+1,

故答案為：-J14-1;

3（3+指）3（3+指）_

（2）原式二；~'r廠\=、「3+1

（3-5/6）（3+V6）9-6

故答案為：3+V6:

(3)JMjt=(V2-l+V3-V2+...4-72025-72024)x(72025+1)

=(72025-1)x(72025+1)

=2025-1

=2024

20.如圖，點(diǎn)M、N把線段依次分成4必、MN、NB三段,若以4M、MN、N4為邊組成的三角形

是一個直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段48的“勾股分點(diǎn)”.

AMNB

(1)若力8=9,4"=3,8N=4,則點(diǎn)M、N線段"的“勾股分點(diǎn)”(填“是”或“不是”)；

⑵若M、N是線段44的“勾股分點(diǎn)”，力8=30,4必=12,且4W是組成的直角三角形的一條直角邊，求MM

的長.

【答案】(1)不是：

⑵5或13

【分析】本題考查勾股定理，結(jié)合勾股定理求解是解決問題的關(guān)鍵.

(1)結(jié)合勾股分割點(diǎn)，由已知條件得到4112=9,MN2=4,BN2=16,從而根據(jù)力十,切『。用丫？，即

可得出答案；

(2)點(diǎn).“，N是線段的勾股分割點(diǎn)，且4W為直角邊，分兩種情況，利用勾股定理列方程求解即可得

到答案.

【詳解】(1)解：?-AB-9,AM-3,BN-4,

.?.MN=9-3-4=2,

-AM2=9,MN?=4,8^=16,

AM?+MN、BN?,

，以4MN,N8為邊的三角形不是一個直角三角形，

???根據(jù)勾股分割點(diǎn)定義，M，N不是線段48的勾股分割點(diǎn)，

故答案為：不是；

(2)?.?點(diǎn)M,N是線段44的勾股分割點(diǎn)，且力必為直角邊，有兩種情況：

①為斜邊時，君AM'+BN=MN。

設(shè)8N=x,WlJ122+x2=(30-12-x)2,

x=5：

②8N為斜邊時，有BN。=AM'MN-

設(shè)BN=x,KlJx2=122+(30-12-x)2,

???x=13；

???BM的長為5或13,

??.MN的長為30—12-5=13或30—12—13=5,

???MN的長為5或13.

五、(本大題共2小題，每小題9分，共18分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步理)

21.小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2近=(1+&『，

于是進(jìn)行了以下探索：

若設(shè)a+by/2=(m+n>/2)2=nr+2n2+21rm五(其中a,方,m,〃均為整數(shù))，則有〃+h\[2=m2+2//+2〃?〃&，

所以a=m2+2“2,b=2inn.

這樣小明就找到一種把類似a+A&的式子化為平方式的方法.

清你依照小明的方法解決下列問題：

(1)若〃+36=(2+6)2,則。=,b=；

⑵若。+W7=?+小萬>,當(dāng)。,瓦加,〃均為整數(shù)時，用含，*〃的式子分別表示。力，得“=,b=

(3)若。+6石=(7〃+〃石尸，當(dāng)凡外〃均為正整數(shù)時，求“的值.

【答案】(1)7,4

(2)第2+77,2mn

(3)28或12

【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡、整式的加減、完全平方式，熟練掌握完全包方式的應(yīng)用,

讀懂材料明確題意是解題關(guān)鍵.

(1)仔細(xì)閱讀材料根據(jù)探索得問題，通過完全平方公式去掉括號表示出力；

(2)通過完全平方公式去掉括號表示出

(3)根據(jù)題意，求出m=3,根據(jù)d也〃均為正整數(shù)，分兩種恃況求出。的值.

【詳解】(1)解：4+Z?￡=(2+3)2=4+46+3=7+4石

：.a=7,b=4,

故答案為：7,4；

(2)解：a+hy/l=(rn+iiy/l)2=)n2+2mn幣+hr=nr+7n2+Imn4l,

:.a=nr+7/,b=2nui,

故答案為：川+7〃2,2mn；

(3)解：a+65/3=(m+zz>/3)2=m'+2mn\13+3n2=m2+3n2+2mn>/3

6=2nm,

???nvi=3.

?.?。，孫〃均為正整數(shù)，

m=1,〃=3或/〃=3,〃=1.

'與陽=1,〃=3時，a=m2+3n2=1+3x9=28;

當(dāng)初=3,〃=1時，f7=w2+3??2=9-F3xI=12?

即a的值為28或12.

22.著名的趙爽弦圖(如圖1,其中四個直角三角形較大的直角邊長都為“，較小的直角邊長都為人斜邊

長都為。)，大正方形的面積可以表示為c?,也可以表示為4X；H+(Q-Z)『，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理:

如果直角三角形的兩條直角邊長為。、b,斜邊長為％則

(1)如圖2為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖2推導(dǎo)勾股定理；

(2)如圖3,在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點(diǎn)A、B,AB=AC,由于某種原因，

由C到A的路現(xiàn)在己經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點(diǎn)H(A、〃、8在同一條直線

上)，并新修一條路CH,且CH_L/f8.測得C〃=0.8千米，〃3=0.4千米，求新路C"比原路C4短多少

千米？

【答案】(1)見解析

(2)新路67/比原路C4少0.2千米

【分析】此題考查了勾股定理的證明方法、勾股定理的應(yīng)用等知識.

(1)利用梯形ABCD的面積的兩種表示方法即可證明；

(2)設(shè)4A=4C=x千米，在RM/C”中，根據(jù)勾股定理。彳=。，2+4“2得到-=082+(.”0.4)2,解得

x=l,即C4=l千米，即可得到答案.

【詳解】(1)證明：梯形彳88的面積為3(〃+〃)(。+〃)=；/十/+夕2,

也可以.表小為一abT—abH—c~,

222

/.—ab+—ab+—c~=—a~+ab+—b',

22222

即a2+b2=c2;

(2)設(shè)28=4C=