22.3相似三角形的性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解相似三角形的性質(zhì)定理；②相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比；③面積比等于相似比的平方。①掌握相似三角形的性質(zhì)定理，并運用相似三角形的性質(zhì)求三角形中的線段的長和角的大?。虎跁⒌确e式、比例式、相似三角形互相轉(zhuǎn)換；③會靈活運用相似三角形的判定和性質(zhì)解決問題。知識點01相似三角形的性質(zhì)·相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例【即學(xué)即練1】（23-24九年級上·安徽安慶·期末）如圖，在銳角三角形中，于點E，點D在邊上，連接交于點F，且．(1)求證：；(2)求證：；(3)連接，已知，求．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵．（1）證明，得到，即可證明結(jié)論；（2）由可得，即可證明相似；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，證明，得到，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，，，，（2）證明：∵，，又，；（3）解：由（2）得，，，，，，．·相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比【即學(xué)即練2】（23-24九年級上·湖南郴州·期中）若，相似比為，則對應(yīng)邊的中線比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能理解相似三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：相似三角形對應(yīng)邊上中線的比等于相似比．相似三角形對應(yīng)邊上中線的比等于相似比，根據(jù)以上性質(zhì)得出即可．【詳解】解：與的相似比為，∴與對應(yīng)邊上中線的比是，故選：A．·相似三角形周長的比等于相似比【即學(xué)即練3】（22-23九年級上·江蘇鹽城·期末）若，相似比為，已知的周長是3，則的周長是（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長之比等于相似比是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比求出兩個三角形的周長比，最后根據(jù)題意計算即可．【詳解】解：∵，相似比為，∴與的周長之比為，∵的周長是3，∴的周長是，故選：B．·相似三角形面積的比等于相似比的平方【即學(xué)即練4】（23-24九年級上·湖南郴州·期末）兩個相似三角形的對應(yīng)邊上的中線之比為，它們的面積比為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握：相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；相似三角形的面積比等于相似比的平方．【詳解】解：∵兩個相似三角形的對應(yīng)邊上的中線之比為，∴兩個相似三角形的相似比為，又∵，∴兩個相似三角形的面積比為．故選：C．【即學(xué)即練5】已知，且相似比為，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．是的3倍 B．是的3倍C．周長之比為 D．面積之比為【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，主要利用了相似三角形對應(yīng)邊的比等于相似比，相似三角形的對應(yīng)角相等，比較簡單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比等于相似比以及對應(yīng)角相等即可求解．【詳解】解：，且相似比為，，，正確，不符合題意；錯誤，符合題意；周長之比為，面積之比為，、均正確，不符合題意．故選：B※知識點02相似多邊形的性質(zhì)①相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例②相似多邊形周長的比、對應(yīng)對角線的比都等于相似比③相似多邊形中的對應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比④相似多邊形面積的比等于相似比的平方在解相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合問題中：·利用相似的基本性質(zhì)進(jìn)行等積變換、等比代換、等線代換例：等比代換——a2=bc型結(jié)論的證明如圖，直角中，，，證明：，，.解析：·利用基本相似模型填加輔助線構(gòu)造相似【題型一：相似模型與圖形綜合——8字型】例1．（23-24九年級上·安徽六安·期末）如圖，在中，F(xiàn)是上一點，交于點E，的延長線交的延長線于點G，，，則的長為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】由平行四邊形，得到，，進(jìn)而得到，，，，結(jié)合，，，代入，即可求解，本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，，，，∴，，∴，，即：，∵，，，∴，解得：，故選：C．變式1.（23-24九年級上·安徽合肥·期末）如圖，點A在線段上，在的同側(cè)作等腰直角和等腰直角，，與、分別交于點P、M．（1）；（2）若、，則．【答案】【分析】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理，熟記定理內(nèi)容，尋找?guī)缀螚l件證相似是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意易得，，，從而易證，即可得到；（2）由（1）易證，從而可得轉(zhuǎn)換為可證，根據(jù)勾股定理即可求得的長，可得，都是三邊比例為的直角三角形，設(shè)，則，可得，解得的值，即可推出的長．【詳解】解：（1）和是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，故答案為：；（2），，，，，即，，，，，，都是三邊比例為的直角三角形，設(shè)，則，，，解得，，故答案為：．【題型二：相似模型與圖形綜合——A字型相似模型】例2．（2024·安徽合肥·一模）如圖，正方形的邊長為，的邊，分別與邊相交于點，，若的面積為，則與的長度比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，由正方形的性質(zhì)可求，，由面積的和差關(guān)系可求，即可求，，由相似三角形的判定和性質(zhì)可求解．【詳解】解：如圖，過點作于，交于，

在正方形中，，，又，四邊形是矩形，，且正方形的邊長為，正方形的面積，，的面積為，，，，，，，，，故選：C．【題型三：相似模型與圖形綜合——一線三等角相似模型】例3．在中，，，D為上一個動點（不與B、C重合），在上取E點，使．(1)求證：；(2)設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及自變量取值范圍，并求當(dāng)為何值時，取最小值，最小值為多少？【答案】(1)見詳解(2)當(dāng)時，有最小值，最小值為【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，易證．（2）由，對應(yīng)邊成比例及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)可求出其最小值．【詳解】（1）∵，，∴，∵，∴，∴．（2）由（1）得，∴，∵，，∴，，，∴，，當(dāng)時，有最小值，最小值為．變式3-1.（23-24九年級上·安徽合肥·期末）如圖，點P是正方形邊上一點，Q是邊延長線上一點，若，．求的長．【答案】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理求出的長度，再通過證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，，，，，，，，，，即，，．變式3-2．（23-24九年級上·安徽合肥·期末）如圖，將等邊三角形折疊，使點A落在邊上的點D處（不與B、C重合），折痕為．(1)若，分別求，的周長；(2)在（1）的條件下，直接寫出的長．【答案】(1)14；10；(2)．【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）由已知條件可得，由等邊三角形的性質(zhì)可得，再由折疊的性質(zhì)可得，，最后根據(jù)三角形周長的定義即可解答；（2）由等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)可得、即可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵等邊三角形，∴，∵三角形折疊，使點A落在邊上的點D處，∴，，∴的周長為：，的周長為：．（2）證明：∵等邊三角形，∴，∵三角形折疊，使點A落在邊上的點D處，∴，∵，，∴，∵，∴．又∵的周長為：14，的周長為：10，∴，∵，∴，∴．【方法技巧與總結(jié)】①找準(zhǔn)變量之間的關(guān)系，列等量關(guān)系；②變形為二次函數(shù)的一般形式?！绢}型四：相似模型與圖形綜合——母子型相似模型】例4．（23-24九年級上·安徽蚌埠·期中）如圖，在中，，，D是中點，，垂足為，（1）的值為．（2）若，則．【答案】9【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，充分發(fā)揮基本圖形的作用，在應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)時利用相似比進(jìn)行幾何計算．（1）先證，則利用相似比得到，然后根據(jù)是的中點得到，從而得到的值；（2）利用（1）的結(jié)論得到，即，則可判斷，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，然后計算出的度數(shù)，從而得的度數(shù)．【詳解】解：（1），，，，，，是的中點，，，，故答案為：9；（2），，，即，又，，，，，，，故答案為：．變式4.如圖1，中，，點是上一點，連接，過作，交于，交于，求證：．【答案】見解析【詳解】解：，，，，【題型五：根據(jù)基本相似模型添加輔助線構(gòu)造相似】例5（平行輔助線構(gòu)造8字相似）．（2024·安徽淮北·三模）如圖，在中，，，BD是邊AC上的中線，，垂足為點，交BD于點，則（

）

A．12 B．8 C．7 D．4【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形三線合一的性質(zhì)、勾股定理等知識點，解題關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造比例線段轉(zhuǎn)化線段比．由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，由勾股定理求出，過點作，交BD延長線于，得，，從而求得，，進(jìn)而求解．【詳解】解：過點作，交BD延長線于，

∵，∴，∴，∵，∴，，∴，，∵BD是邊上的中線，即，∴，即，∴，即∴，故選B．變式5-1.（平行輔助線構(gòu)造A字相似）（23-24九年級上·安徽合肥·期末）在中，，點D是邊上一點，，，和交于點E．(1)如圖，如果，猜想和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)在（1）的情況下，如果，，，求的長．【答案】(1)，證明見解析；(2)．【分析】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等和三角形相似的判定．（1）作，交于點F，根據(jù)，得出，求出，證明，得出，求出；（2）設(shè)，則，由勾股定理得：，求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：，理由如下：作，交于點F，如圖所示：，，，，，，，，，，，，，即；（2）解：，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，解得：，，根據(jù)（2）可知，．變式5-2.（平行輔助線構(gòu)造“一線三直角”相似）（2024·安徽合肥·三模）如圖，中，，點是上一點，連接，過作，交于，交于．(1)求證：；(2)當(dāng)為邊的中點時，求的值；【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)：（1）證明即可；（2）過作交延長線于點，證明，得，，再證明即可得出結(jié)論；【詳解】（1）解：，，，，（2）解：如圖，過作交延長線于點，，∵為邊的中點；例6.（垂直輔助線構(gòu)造A字相似）（2024·安徽合肥·二模）如圖，已知正方形的邊長為4，以為底向外作等腰三角形，連接，點是的中點，連接，并延長分別交于點，交延長線于點，若，則的值為（）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】過點H作于M，交延長線于N，過點G作于P，先由等腰三角形的性質(zhì)求得，證明四邊形是矩形，得，再證明，得，求得，然后證明，得，求得，從而可求得，最后利用勾股定理可求解．【詳解】解：過點H作于M，交延長線于N，過點G作于P，如圖，∵正方形的邊長為4，∴，∵，∴，∵是等腰三角形，∴，∵∴∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵點是的中點，∴，∵，，∴，∴∴∴，∵，，∴，∴，∴，∴∴∴∵∴∴∴∴，故選：D．【方法技巧與總結(jié)】根據(jù)問題，利用平行輔助線或垂直輔助線構(gòu)造出基本的相似模型：A字、8字、一線三直角等。【題型六：利用相似求坐標(biāo)】例7．（22-23九年級上·福建泉州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，使點A的對應(yīng)點在線段上，連接，則點的坐標(biāo)是．【答案】【分析】先利用點在函數(shù)上求出點的橫縱坐標(biāo)數(shù)量關(guān)系，然后利用勾股定理直接求出邊長；再通過一線三等角構(gòu)造相似三角形，利用相似比求出點的坐標(biāo)即可．【詳解】如圖所示，過作于M，過作于N，設(shè)AB所在直線解析式為帶入，，解得設(shè)在中，，解得故答案為：平行；變式7．（23-24九年級上·安徽阜陽·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的位置如圖所示，點A的坐標(biāo)為1,0，點D的坐標(biāo)為0,2，延長交x軸于點，作第2個正方形，延長交x軸于點，作第3個正方形，…，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2021個正方形的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了正方形規(guī)律題，熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，歸納出正方形邊長的規(guī)律，是解本題的關(guān)鍵是．利用勾股定理求出，再用三角形相似得出，得到，求出，，推導(dǎo)出，即得．【詳解】∵點A的坐標(biāo)為1,0，點D的坐標(biāo)為∴，，∴，∵正方形中，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，同理可得，，，…，∴，∴．故選：A．一、選擇題1．如果兩個相似三角形的面積之比為，那么這兩個三角形的周長之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案，熟練掌握相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵兩個相似三角形的面積之比為，∴兩個相似三角形的相似比為，∵相似三角形的周長比等于相似比，∴這兩個三角形的周長之比為，故選：D．2．在中，，，點D，E分別在上．與相似，且，則的值為（

）A． B．或2 C．2 D．或【答案】B【分析】本題主要相似三角形的性質(zhì)，先根據(jù)題意得到，再分當(dāng)時，當(dāng)時，兩種情況根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：∵，∴，當(dāng)時，則，∴，∵，∴；當(dāng)時，則，∴，∵，∴；綜上所述，的值為或2，故選：B．二、填空題3．（23-24九年級上·海南儋州·期中）如圖，，，那么與的相似比為．

【答案】/23【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明，結(jié)合已知求出，即可得解．【詳解】解：∵，，∴，∴為相似比，∵，∴，即相似比為，故答案為：．4．（23-24九年級上·安徽六安·期末）如圖，在中，,點分別是邊上的點，連結(jié),將沿翻折得到，點的對稱點恰好落在邊上，若以點為頂點的三角形與相似，則的長為．【答案】或2【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)及相似三角形知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，再由相似三角形的性質(zhì)分兩種情況討論即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵將沿DE翻折得到，∴，∵，∴，∵以點C、E、F為頂點的三角形與相似，∴或，即或，解得：或2，故答案為：或2．5．（23-24九年級上·安徽蕪湖·期末）如圖．正方形的邊長為4，E為邊的中點．點F在邊上．且．則的長為【答案】1【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)及判定，掌握相似三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．證明得到，由E為邊的中點，得到，然后代值計算即可．【詳解】解：，，四邊形是正方形，，，，，，為邊的中點，，，，故答案為：1．三、解答題6．（23-24九年級上·安徽六安·期末）如圖，為等腰直角三角形，，點D、E在線段上，．(1)求證：；(2)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)16【分析】本題主要考查了相似三角形的判定以及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得出，再證明，即可得出．（2）由相似三角形的性質(zhì)可得出，再結(jié)合已知條件可得出的值．【詳解】（1）證明：∵為等腰直角三角形，，∴，∴，∵，，∴，又，∴；（2）解：∵，∴∴，∵，∴．7．（23-24九年級上·安徽合肥·期末）如圖，已知中，D為上一點，E為延長線上一點，，和相交于點F，求證：【答案】證明見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知添加平行線是證明成比例線段的常用方法．作，分別證明兩組三角形相似，得出兩組成比例線段，再結(jié)合可推得結(jié)果．【詳解】證明：如圖，過點D作，交于點G；∴，則∴，，而，即1．（23-24八年級下·安徽蕪湖·期末）如圖，在中，，，，D是上的一點，G為CD中點，過點G的直線分別交和于點E，F(xiàn)，．（1）若D是的中點，則；（2）連接，若是直角三角形，則的長為．【答案】2.53.2或4【分析】（1）由勾股定理得，再證四邊形是矩形，則可得．根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”可得，則．（2）①若，先證，則可得，即可求出的長；②若，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得．【詳解】解：（1）在中，，，，，∵G是的中點，，又∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形，，∵中，D是的中點，，．故答案為：2.5；解：（2）①如圖，若，則，又，，，，解得．②如圖，若，則，又，．故答案為：3.2或4．2．（2024·安徽合肥·三模）如圖1，C為線段上一點，分別以，為底，在的同側(cè)作等腰和等腰且．在線段上取一點F，使得，連接，．(1)求證：；(2)如圖2，延長交于點G，若G是的中點，且，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得出，利用平行線的判定得出，利用平行線的性質(zhì)得出，然后利用證明即可；（2）取中點H，連接，利用三角形中位線定理得出，，設(shè)，則，，利用平行線的傳遞性得出，則可證，利用相似三角形的性質(zhì)得出，解方程即可求解．【詳解】（1）證明：∵等腰和等腰∴，，∴，，又，∴，∴，∵，，∴；（2）解：取中點H，連接，∵G是的中點，∴，，設(shè)，則，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得，（舍去），∴，3．（23-24九年級上·安徽滁州·期末）如圖，在等腰直角三角形中，點是斜邊上一點，且，點是上一點且，求：的值．【答案】2【分析】此題重點考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．過點作交于點，交于點，可證明，由，，推導(dǎo)出，則，再證明，得，所以，則．【詳解】解：過點作交于點，交于點，點是等腰直角三角形斜邊上一點，且，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的值是．1．（23-24九年級上·安徽六安·期末）如圖，正方形的邊長為4，點E，F(xiàn)分別在邊上，且，平分，連接，分別交于點G，M，P是線段上的一個動點，過點P作，垂足為N，連接