第22章相似形（復(fù)習(xí)講義）理解比例線段和黃金分割的概念與性質(zhì)．2．．3．掌握相似三角形對(duì)應(yīng)要素（邊長、高、中線、周長）的比等于相似比，而面積的比等于相似比的平方．4．理解圖形位似變換的概念、性質(zhì)及其在坐標(biāo)系中的應(yīng)用,能綜合運(yùn)用相似知識(shí)解決實(shí)際生活中的測量和作圖問題．●一、相似多邊形的概念★1、相似多邊形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形，它們的形狀相同，稱為相似多邊形.★2、相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比或相似系數(shù).【注意】當(dāng)用符號(hào)“∽”表示兩個(gè)多邊形相似時(shí)，要把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上.●二、成比例線段★1、線段的比：在同一長度單位下，量得的兩條線段長度的比叫做這兩條線段的比.★2、四條線段成比例：對(duì)于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的比(即它們長度的比)與另兩條線段的比相等.如ab=cd(即ad=bc).★3、判斷四條線段是否成比例的方法:首先統(tǒng)一單位，并把四條線段按從小到大(或從大到小)的順序排列，然后計(jì)算并判斷.計(jì)算的方法有兩種：(1)計(jì)算前兩條線段的比和后兩條線段的比，若比值相等，則這四條線段成比例；(2)分別計(jì)算第一條線段與第四條線段的乘積、第二條線段與第三條線段的乘積，如果乘積相同，則這四條線段成比例.●三、比例的基本性質(zhì)★1、比例的相關(guān)性質(zhì)：（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)．（2）常用的性質(zhì)有：①內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．若ab=cd，則②合比性質(zhì)．若ab=c③分比性質(zhì)．若ab=c④合分比性質(zhì)．若ab=c⑤等比性質(zhì)．若ab=cd=?=mn（b+d+…★2、比例中項(xiàng)：在ab=cd中，如果b＝c，即ab=bd那么b2＝ad，這時(shí)我們把b叫作a●四、黃金分割★1、黃金分割：把線段分成兩條線段，且使是的比例中項(xiàng)，即，叫做把線段黃金分割，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，其中≈0.618．即.簡記為：●五、平行線分線段成比例★1、平行線分線段成比例的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.★2、符號(hào)語言：★3、平行線分線段成比例定理的推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.●六、相似三角形的判定★1、判定兩個(gè)三角形相似的預(yù)備定理（1）平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.（2）幾何語言：如下圖所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC.★2、定理1：利用兩組角判定兩個(gè)三角形相似的定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.幾何語言:∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.★3、定理2：利用兩邊和夾角來判定三角形相似的定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．★4、定理3：利用三邊判定兩個(gè)三角形相似的定理：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．★4、定理4：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似.●七、相似三角形的性質(zhì)★1、相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等．如圖，，則有．★2、相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．★3、相似三角形對(duì)應(yīng)線段的性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比，即相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.★4、相似三角形周長比等于相似比．★5、相似三角形面積比等于相似比的平方．●八、圖形的位似變換★1、位似圖形◆1、位似多邊形：兩個(gè)相似多邊形，如果它們對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線相交于一點(diǎn)，我們就把這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心．◆2、利用位似可以按所給相似比把一個(gè)圖形放大或縮?。?、位似圖形的性質(zhì)（1）兩個(gè)位似圖形一定是相似形；（2）對(duì)應(yīng)圖形的所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)；（3）對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一直線）；（4）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比．★3、畫位似圖形◆1、畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；④順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形.★4、平面直角坐標(biāo)系中的位似圖形1.在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心作一個(gè)圖形的位似圖形可以作兩個(gè)．2.當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)同側(cè)時(shí)，其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的比為k；當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的比為－k．3.當(dāng)k＞1時(shí)，圖形擴(kuò)大為原來的k倍；當(dāng)0＜k＜1時(shí)，圖形縮小為原來的1k．題型題型一相似多邊形的識(shí)別【例1】（24-25八年級(jí)下·重慶江北·階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中，是相似圖形的是（

）A．B． C． D．3．（24-25九年級(jí)上·河南鄭州·期末）人們出行方式越來越豐富，以下四組LOGO中，不相似的一組是（

）A． B．C． D．【變式1-2】（24-25九年級(jí)上·河南周口·期中）觀察下列各組中的兩個(gè)圖形，其中兩個(gè)圖形一定相似的一組是（

）A． B．C． D．題型題型二相似多邊形的性質(zhì)【例2】（23-24九年級(jí)下·河北張家口·開學(xué)考試）如圖，在邊長為1的正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，四邊形ABCD和四邊形EFGH的相似比是（

）

A．1：2 B．1：4 C．【變式2-1】（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，AB⊥A．125° B．135° C．115° D．120°【變式2-2】裝裱一幅寬40cm、長60cm的矩形畫，要使裝裱完成后的大矩形與原矩形畫相似，裝裱上去的部分的上下的寬都為15cm，若裝裱上去的左右部分的寬都為xcm，題型題型三利用比例的基本性質(zhì)判斷式子變形【例3】（24-25九年級(jí)上·甘肅天水·期中）若2x=3yA．x2=y3 B．x3=【變式3-1】（24-25八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）已知ab=cA．a(chǎn)d=cC．a(chǎn)+1a=【變式3-2】（24-25八年級(jí)下·山東威?！て谀┫铝薪Y(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）A．若a4=c5，則a-C．若ab=25，則題型題型四利用比例的基本性質(zhì)求值式子變形【例4】（24-25九年級(jí)上·湖南益陽·期中）已知xy=54，則A．1 B．-14 C．±1【變式4-1】（24-25九年級(jí)上·河北滄州·期中）已知x-3yy=A．73 B．-73 C．-【變式4-2】（24-25八年級(jí)下·河南周口·階段練習(xí)）已知a2=b3=A．45 B．23 C．56題型題型五利用比例的基本性質(zhì)求參式子變形【例5】．已知，a，b，c是任意實(shí)數(shù)，且滿足a+bcA．1 B．2 C．﹣2或+1 D．﹣1或+2【變式5-1】（2024秋?靖西市期中）如果ab=cd=ef=k（b+d+f≠0），且a+c+e＝3（【變式5-2】（2024秋?臨平區(qū)月考）已知，線段a，b，c，且a2（1）求a+（2）設(shè)a2=b3=c4=k，線段a，b，c滿足a題型題型六成比例線段【例6】已知四條線段長分別為2,3,x,6，若這四條線段是成比例線段，則A．1 B．4 C．5 D．9【變式6-1】（24-25九年級(jí)上·廣東河源·期中）下列四組長度的線段中，是比例線段的是（

）A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15【變式6-2】題型題型七比例中項(xiàng)的應(yīng)用【例7】（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·期中）已知線段a=1,b=9，線段c是線段aA．1 B．3 C．5 D．9【變式7-1】（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知線段a=9，b=1，如果線段c是線段a、b的比例中項(xiàng)，那么c【變式7-2】（2025·浙江·一模）已知線段a,b滿足ba(1)求線段a,(2)若線段c是線段a,b的比例中項(xiàng)，求線段題型題型八黃金分割的應(yīng)用【例8】7．（24-25九年級(jí)下·寧夏銀川·階段練習(xí)）大自然鬼斧神工，一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”的美．如圖，P為線段AB的黃金分割點(diǎn)AP>PB.如果AB的長度為10cm，那么A．(55-5)C．(10-55)cm【變式8-1】（24-25九年級(jí)上·湖南婁底·期末）如圖，正五角星圖案中，若點(diǎn)N是線段BE的黃金分割點(diǎn)，且BE=2，則BN的長為（

A．5-12 B．5+12 C【變式8-2】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）“黃金比例分割法”是啟功先生研究的一套楷書結(jié)構(gòu)法，是將正方形按照黃金分割的比例來分割，形成“黃金格”（如圖，四條與邊平行的線的交點(diǎn)都是黃金分割點(diǎn)），漢字的筆畫至少要穿過兩個(gè)黃金分割點(diǎn)才美觀．若正方形“黃金格”的邊長為10cm，四個(gè)黃金分割點(diǎn)組成的正方形的邊長為題型題型九對(duì)平行線分線段成比例的判段【例9】（24-25九年級(jí)上·河南鶴壁·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥ABA．ADDB=AEAC B．FCDE=【變式9-1】（24-25九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）如圖，已知l1∥l2∥l3，直線l1,l2,l3分別交直線l4于點(diǎn)AA．ACDF=BCEF B．ABBE=【變式9-2】（24-25九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，連接DE、EF、AF，AF交DE于點(diǎn)G，四邊形BFEDA．ADBD=DECF B．AEAC=題型題型十平行線分線段成比例的應(yīng)用【例10】（24-25九年級(jí)上·遼寧本溪·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在AB上，EF∥AD交CD于點(diǎn)F，若AE:BE=1:2A．3 B．5 C．6 D．9【變式10-1】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE是AC邊上的中線，過點(diǎn)E作EG∥BC交AB于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G.若AB=10A．6 B．4 C．3 D．2【變式10-2】（24-25九年級(jí)上·陜西渭南·期中）如圖，點(diǎn)E，G在△ABC的邊AB，AC上，連接EG，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，連接AD，CD，點(diǎn)F在AD上，連接GF，EG∥BC，GF∥DC，AE=3題型題型十一相似三角形的判定---預(yù)備定理【例11】（2024秋?虹口區(qū)月考）如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，AQ平分∠BAC，交DE于點(diǎn)P，如果DE＝6，BC＝8，AQ＝12，那么AP的長是．【變式11-1】（2024秋?項(xiàng)城市期中）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段BC上，且AC∥EF∥DB，若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，則BDAC的值為【變式11-2】（2024秋?鶴壁期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB的四等分點(diǎn)，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四邊形DECF的周長．題型題型十二添加條件使得三角形相似【例12】（24-25九年級(jí)下·河南開封·階段練習(xí)）如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列的一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC∽△ADEA．∠C=∠EC．ABAD=BC【變式12-1】（24-25九年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：，使△【變式12-2】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，△ADE與△ABC有公共頂點(diǎn)A，∠BAD=∠CAE題型題型十三相似三角形的判定的證明【例13】（24-25九年級(jí)下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△【變式13-1】（2025·廣東廣州·三模）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，且AE⊥EF．求證：【變式13-2】（23-24九年級(jí)上·廣東梅州·期中）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，連接EF，過點(diǎn)B作BG⊥EF于點(diǎn)G，F(xiàn)H∥CD交AD于點(diǎn)題型題型十四網(wǎng)格中的相似三角形【例14】（24-25九年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，畫一個(gè)三角形與給定的三角形相似，下列四種畫法中，正確的是（

）A． B． C． D．【變式14-1】（24-25九年級(jí)上·四川宜賓·期中）如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長均為1，則下列A、B、C、D四個(gè)圖中的三角形陰影部分與△EFG相似的是（

A． B． C． D．【變式14-2】（24-25九年級(jí)下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）如圖，在邊長為1個(gè)單位的方格紙上，有△ABC與△DEF．求證：題型題型十五相似三角形在坐標(biāo)系中的運(yùn)用【例15】如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），連結(jié)AB并延長到C，連結(jié)CO，若△COB∽△CAO，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（1，52） B．（43，83） C．（5，25） D．（3，【變式15-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B、C在y軸上，△ABC是等邊三角形，AB=4，AC與x軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，0），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（1，23） B．（2，23） C．（23，1） D．（23，2）【變式15-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A10,0，OB=25，∠B=90°，則點(diǎn)題型題型十六由相似三角形的性質(zhì)求角度【例16】（24-25八年級(jí)下·山東淄博·期末）如圖，△ABC∽△A'B'C'A．65° B．66° C．67° D．68°【變式16-1】（2024秋?新化縣期末）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)O，且△AOD∽△COB，若∠A＝56°，∠B＝30°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．30° B．56° C．86° D．94°【變式16-2】（24-25九年級(jí)下·福建廈門·階段練習(xí)）如圖，△ABC∽△ACP，若∠A=60°，∠題型題型十七由相似三角形的性質(zhì)求線段長【例17】（24-25九年級(jí)下·陜西安康·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC邊上一點(diǎn)，AB=10,AC=8A．3 B．4 C．94 D．【變式17-1】（24-25九年級(jí)上·河北滄州·期末）如圖，已知△ABC∽△EBD，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，點(diǎn)D在邊BC上．若AB=3，BC=6，BEA．3 B．3.5 C．4 D．5【變式17-2】（24-25九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，△ABC∽△ADE，S△ABCA．2 B．22 C．32 D題型題型十八由相似三角形的性質(zhì)求周長【例18】（23-24九年級(jí)上·廣東梅州·期末）已知△ABC的三邊長分別為5，6，7，另有一個(gè)與它相似的△DEF，其最短邊為15，則A．45 B．48 C．51 D．54【變式18-1】（2025·云南西雙版納·二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD，∠BAD=∠BCA若AB=5，BC=8，△ABDA．20 B．25.5 C．30 D．35.5【變式18-2】（24-25九年級(jí)下·安徽六安·開學(xué)考試）將一副三角板按圖疊放，則△AOB與△A．1:2 B．1:2 C．1:3 D．題型題型十九由相似三角形的性質(zhì)求面積【例19】（24-25九年級(jí)下·湖南岳陽·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊上的中點(diǎn)，若△ABC的面積為12，則△DEFA．3 B．4 C．6 D．8【變式19-1】（24-25九年級(jí)上·云南昆明·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是△ABC的兩條中線CD和BE的交點(diǎn)，連接DE，則S△DOEA．12 B．13 C．14【變式19-2】（24-25九年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC,BC邊上的點(diǎn)，且DE∥AB，CDAD=2:1，△題型題型二十相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合【例20】（24-25九年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，已知∠BAC=∠DAE

(1)求證：△ABD(2)若ABAC=32，【變式20-1】（2024?青海模擬）如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且ABAC=ADCE，∠（1）求證：∠DAC＝∠B；（2）若AD是△ABC的中線，AC＝4，求CD的長．【變式20-2】（2024秋?靜安區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在BA延長線上，點(diǎn)F在AC邊上，∠EDF＝∠B．求證：（1）△BDE～△CFD；（2）DF2＝EF?CF．題型題型二十一相似三角形與動(dòng)點(diǎn)問題【例21】（24-25九年級(jí)上·安徽馬鞍山·期末）在△ABC中，AB=9，BC=7，點(diǎn)D在邊AB上，且BD=2，點(diǎn)E在BC上，當(dāng)BE=時(shí)，以B，D【變式21-1】如圖，AB⊥DB于點(diǎn)B，CD⊥DB于點(diǎn)D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，點(diǎn)P在DB上移動(dòng)．若以點(diǎn)C，D，P為頂點(diǎn)的三角形與點(diǎn)A，B，P為頂點(diǎn)的三角形相似，則DP＝．【變式21-2】（2024秋?安陽期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝8cm，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是2cm/s，點(diǎn)Q的速度是1cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P，Q就停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求：（1）用含t的代數(shù)式表示CP＝，CQ＝；（2）當(dāng)t為多少時(shí)，PQ的長度等于61（3）當(dāng)t為多少時(shí)，以點(diǎn)C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？題型題型二十二相似三角形的實(shí)際應(yīng)用問題【例22】（24-25九年級(jí)下·廣東梅州·階段練習(xí)）小明設(shè)計(jì)用手電來測量某古城墻高度，如圖所示，點(diǎn)P處水平放置一平面鏡（平面鏡的厚度忽略不計(jì)），光線從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB=2米，BPA．9米 B．12米 C．15米 D．21.6米【變式22-1】（2025八年級(jí)下·山東·專題練習(xí)）小李在學(xué)習(xí)了相似三角形的知識(shí)后，用標(biāo)桿來測量學(xué)校旗桿的高度．如圖所示，已知標(biāo)桿高度AB=4m，人與標(biāo)桿的水平距離BC=2m，人的眼睛距離地面的高度CD=1.6m，標(biāo)桿與旗桿的水平距離A．12m B．12.8m C．13.6m【變式22-2】（24-25九年級(jí)下·甘肅臨夏·階段練習(xí)）某校九年級(jí)一班的興趣小組準(zhǔn)備測量西安古城墻的高度MN，制定了如下的測量方案：如圖，首先，王磊站在點(diǎn)B，當(dāng)在正前方1.5米（即BC=1.5米）的點(diǎn)C放置一平面鏡時(shí)，通過平面鏡王磊剛好可以看到城墻的最高點(diǎn)M，此時(shí)測得王磊的眼睛到地面的距離AB為1.5米；然后，在陽光下某一時(shí)刻，李華再在點(diǎn)D處豎立一根高2米的標(biāo)桿DE，城墻的影子頂端與標(biāo)桿DE的影子頂端恰好重合于點(diǎn)F，此時(shí)測得DF=4米，BD=6.5米，已知圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，MN⊥NF，AB⊥NF，ED⊥NF，點(diǎn)N、C題型題型二十三位似的相關(guān)概念【例23】（24-25九年級(jí)上·山東日照·階段練習(xí)）方框中的兩個(gè)圖形不是位似圖形的是（

）A． B． C． D．【變式23-1】（23-24八年級(jí)下·山東泰安·期末）下圖所示的四種畫法中，能使得△ABC與△DEF是位似圖形的有（A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④【變式23-2】（2025·河北·模擬預(yù)測）將△ABC的各邊按如圖所示的方式向外等距離擴(kuò)1cm，得到Ⅰ：△ABC與△PNMⅡ：△ABC與△下列判斷正確的是（

）A．Ⅰ正確，不正確 B．Ⅰ不正確，Ⅱ正確C．1，Ⅱ都正確 D．Ⅰ，Ⅱ都不正確題型題型二十四位似中心的確定【例24】（2025·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖，△ABC與△A'A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)Q D．點(diǎn)PA．P1 B．P2 C．P3【變式24-2】（2025·浙江·二模）已知△ABC和△A'B'C'是位似圖形，它們對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1,2，B3,4，C2,1 B．1,2 C．0,0 D．3,4題型題型二十五位似的性質(zhì)的運(yùn)用【例25】（24-25九年級(jí)上·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，已知△ABC與△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為1:3，下列說法錯(cuò)誤的是（A．AB:DE=1:3 B．若C．OAOD=OC【變式25-1】（2025·浙江溫州·三模）如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH關(guān)于點(diǎn)O位似，且OBOF=12．若四邊形ABCD的面積為A．34 B．6 C．12 D．【變式25-2】（23-24九年級(jí)下·貴州貴陽·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'是位似圖形，位似比為23，且四邊形A．16 B．24 C．54 D．81題型題型二十六求位似圖形的坐標(biāo)【例26】（24-25九年級(jí)下·廣東中山·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB與△OCD是以O(shè)為位似中心的位似圖形，若A-3,2，B-A．4,-6 B．6,-4 C．6,-5 D．-【變式26-1】（24-25九年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）已知△ABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，以O(shè)為位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'BA．-8,-4 B．-8,4 C．8,-4 D．-【變式26-2】（24-25九年級(jí)上·遼寧沈陽·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知B(2,1),△ABC與△DEF位似，原點(diǎn)O是位似中心，且ABDE=A．(9,4) B．(9,3) C．(6,2) D．(6,3)題型題型二十七平面坐標(biāo)系中的位似變換【例27】（24-25九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(1)畫出將△OAB向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到的△(2)以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫出△OAB的一個(gè)位似△OA2B(3)判斷△O1A1B【變式27-1】（24-25九年級(jí)上·安徽宿州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點(diǎn)均在網(wǎng)格格點(diǎn)上，且點(diǎn)A2,8，B4,4(1)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限畫出△A1B1C1，使得(2)在（1）的條件下，△A1B1C(3)若點(diǎn)Ma,b為△ABC上一點(diǎn)，寫出點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)【變式27-2】（23-24九年級(jí)上·陜西咸陽·期末）如圖，△OBC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為B-3,6(1)以原點(diǎn)O為位似中心，在第四象限畫出△OB'C'，使△OBC與△OB'C'(2)寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)B'（_______，(3)△OB'C'題型題型二十八相似三角形的綜合題【例28】（2025·山東泰安·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)D，DE⊥BC交BC于點(diǎn)E，作∠BCF交DE于點(diǎn)(1)求∠AFC(2)探究線段CD，(3)若DG=2GE，求【變式28-1】（24-25八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）在△ABC中，動(dòng)點(diǎn)M在邊AC上從點(diǎn)A向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N在邊CB上從點(diǎn)C向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接AN，BM【特例初探】（1）如圖1，若△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M和點(diǎn)N以同樣的速度運(yùn)動(dòng)，則在此運(yùn)動(dòng)過程中，∠APB的度數(shù)始終為【類比探究】（2）如圖2，若△ABC為等腰直角三角形，斜邊為AC，點(diǎn)M的速度為1，點(diǎn)N的速度為2，則在此運(yùn)動(dòng)過程中，∠【總結(jié)提升】（3）如圖3，若△ABC為等腰三角形，底邊為AC，且ACAB=n，∠C=α，點(diǎn)M的速度為v，點(diǎn)N的速度為nv，則在此運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)直接寫出用含有n【變式28-2】（24-25九年級(jí)下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖1，在正方形ABCD中，AB=5，在AD上取一點(diǎn)E，使得AE=3,以AE為邊作正方形AEFG，連接問題發(fā)現(xiàn)：（1）BECF的值是；直線BE，CF所夾銳角的度數(shù)是拓展探究：（2）如圖2，正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合圖2證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；解決問題：（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)E到直線AB的距離為2時(shí)，請(qǐng)直接寫出CF的長．基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測1．（24-25八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）下列長度的四組線段中，成比例的一組是（

）A．2cm，2.5cm，3cm，3.5cm B．3cm，C．2cm，4cm，8cm，18cm D．2cmcm，32．（24-25九年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）若一張地圖的比例尺是1:150000，在地圖上量得甲、乙兩地的距離是5cm，則甲、乙兩地的實(shí)際距離是（

）A．3000m B．3500m C．5000m3．（24-25九年級(jí)上·湖南永州·期末）已知a2=b3=A．45 B．54 C．2 D4．（24-25九年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，在△ABC中，∠A=78°，AB=6，AC=9A． B．C． D．5