2025-2026學年九年級上冊數(shù)學單元檢測卷第22章相似形·基礎(chǔ)通關(guān)（參考答案）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）12345678910BCDDCBACCA二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11．12．513513．14．/0.125三、解答題（共9小題，共90分）15．（8分）已知：線段a，b，c，根據(jù)以下條件回答問題．(1)若，，c是a，b的比例中項線段，求c的長；(2)若，，求a，b，c的長．【答案】(1)(2)，，．【分析】本題考查了比例線段，寫比例式的時候一定要注意順序，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)求解即可．（1）根據(jù)比例中項的定義列式得到，即，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解，即可得到c的長；（2）設(shè)，然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值．【詳解】（1）解：∵c是a，b的比例中項線段，∴，∴（負值舍去）即c的長為；（2）解：設(shè)，∴，，，∵，∴，∴，∴，，．16．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為．(1)以原點為位似中心，在軸的右側(cè)畫出的一個位似，使它與的相似比為；(2)畫出將向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到的；(3)判斷和是位似圖形嗎？若是，請在圖中標出位似中心點，并寫出點的坐標．【答案】(1)作圖見詳解(2)作圖見詳解(3)作圖見詳解，點坐標為【分析】本題主要考查了作圖-位似變換，平移變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握位似的性質(zhì)．（1）根據(jù)位似變換的性質(zhì)找出對應(yīng)點即可求解；（2）根據(jù)平移變換的性質(zhì)找出對應(yīng)點即可求解；（3）連接，，，發(fā)現(xiàn)三條直線交于同一點，再根據(jù)位似圖形的定義判斷可得答案．【詳解】（1）解：如圖，即為所作圖形；（2）解：如圖，即為所作圖形；（3）解：和是位似圖形，點為所求位似中心，如圖點即為所求．可以看作的正方形的對角線，可以看作的矩形的對角線，兩直線交于一點，該點即為，并再網(wǎng)格點上，∴點坐標為．17．（8分）如圖，，，．(1)，求；(2)，求的長．【答案】(1)6(2)5【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，然后代值計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，即，∴；（2）解：∵，∴，∵，，，∴，解得，∴的長為5．18．（8分）張師傅有一塊如的銳角三角形木料，其中，高張師傅想把它加工成矩形零件，使一邊在上，其余兩個頂點分別在邊、上，與交于點．(1)當四邊形為正方形時，求出這個零件的邊長；(2)若這個零件長是寬的2倍，求這個零件的長和寬？【答案】(1)(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）結(jié)合正方形的性質(zhì)，得出，得，再結(jié)合相似三角形的高的比等于相似比，列式計算，即可作答．（2）結(jié)合矩形的性質(zhì)，得出，得，再結(jié)合相似三角形的高的比等于相似比，列式計算，即可作答．【詳解】（1）解：設(shè)這個零件的邊長為r，∵四邊形為正方形，且的高，邊，∴，∴，∴，∴，解得．這個零件的邊長為；（2）解：依題意，設(shè)這個零件的邊，∵四邊形是矩形，且的高，邊，∴，∴，∴（相似三角形的高的比等于相似比），∴，解得．∴這個零件的長、寬分別是．19．（10分）如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)，沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動，同時動點從點出發(fā)，沿折線以每秒2個單位長度的速度向點運動．當點到達終點時，點也停止運動，設(shè)運動的時間為秒．(1)求的長；(2)當在上運動時，若以點、、為頂點的三角形與相似，求的值．【答案】(1)10(2)或【分析】本題考查了勾股定理，動點問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理直接求解；（2）根據(jù)題意列出代數(shù)式，分當和時兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，解方程即可求解．【詳解】（1）解：在中，由勾股定理，得,∴，故答案為：10；（2）解：由題意，得，，①當時，，∴，∴，解得，②當時，，∴，∴，解得，綜上所述，當或時，以點A、P、Q為頂點的三角形與相似．20．（10分）【初步探究】（1）如圖，在中，點，，分別在，，邊上，迬接，．已知四邊形是平行四邊形，．①若，求的長；②若的面積為，求的面積；【拓展提開】（2）若的面積為，求的面積．【答案】（1）①為；②的面積為；（2）的面積為【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握利用相似三角形的性質(zhì)得到線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證得，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；②利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，可證得，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求得，通過的面積即可求解．【詳解】解：（1）①四邊形是平行四邊形，，，，，，，，解得：，為2；②由①知，，，和的相似比為1：4，．的面積為16，，的面積為1．（2）由②，知．的面積為2，，．四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，和的相似比為，．，，，的面積，的面積為12．21．（12分）如圖，在等邊三角形中，，連接，交于點．(1)求出的度數(shù)；(2)求證：；(3)連接，當時，求證：．【答案】(1)；(2)見解析；(3)見解析．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得：，，利用可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)角之間的關(guān)系可得；由可知，從而可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證結(jié)論成立；延長至，連接、，使，由可知，，利用可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可證，根據(jù)平行線的性質(zhì)可證，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得：，從而可證結(jié)論成立．【詳解】（1）解：是等邊三角形，，，在和中，，，，，；（2）證明：由可知，在和中，，，，，，又是等邊三角形，，；（3）證明：如下圖所示，延長至，連接、，使，由可知，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，又，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的性質(zhì)找邊和角之間的關(guān)系．22．（12分）如圖，拋物線與x軸交于、兩點，與y軸交于點C．點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點P作直線軸于點D，交直線于點E．(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在一點P，使得以C、P、E為頂點的三角形相似，如果存在求出點的坐標，如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求解拋物線解析式，相似三角形的判定，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及解一元二次方程等知識．（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求出C點坐標，即可得，，，再推出，進而可得，當時，，再由直線軸得，進而得到，則以C、P、E為頂點的三角形相似，，可得或，分別畫出圖形求解即可．【詳解】（1）解：將、代入中，得：，解得：，即拋物線解析式為：；（2）解：令，則，∴，又∵、，∴，，，∴，，，設(shè)直線解析式為，代入得，解得，∴直線解析式為，又∵，∴，∴，∴，∴，∵以C、P、E為頂點的三角形相似，，∴或，當時，，，∴，∴點P縱坐標為4，代入，得，解得或(舍)；∴；當時，，設(shè)，則，∴，，∴，解得，與在第一象限矛盾；綜上所述，．23．（14分）【數(shù)學模型】（1）如圖1，在矩形中，，，點E、F分別在邊、上，，垂足為點O，則．【模型探究】（2）如圖2，在平行四邊形中，點E、F分別在邊、上，與交于點O，且，請證明：；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在平行四邊形中，點E、F、G分別在邊、、上，連接與交于點O，其中，，，且，求的值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）證明，得出，根據(jù)，，得出即可；（2）證明，得出，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，證明，得出，即可得出，求出結(jié)果即可；（3）過點C作，交于點H，同（2）可得，即可得出，證明，得出，設(shè)，則，，根據(jù)，得出，求出，最后求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，故答案為：；（2）證明：∵，，∴，又∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：過點C作，交于點