專題22.1比例線段（四大題型總結(jié)）【題型一：比例的性質(zhì)】1．（24-25九年級(jí)上·上海·階段練習(xí)）已知線段a、b、c、d、m，如果ab=cd，A．a(chǎn)b=cd B．a(chǎn)-m【解題過程】解：A.∵∴b∵a,∴a∴a∴ab=B.若a=2c,b=2d∵m∴m∴a-mC.已知線段m，且m≠0,所以m>0;當(dāng)分子分母同時(shí)加上一個(gè)正數(shù)，分?jǐn)?shù)變大，即a+D.若a=2c此時(shí)a2b=2故選:A.2．（23-24九年級(jí)上·河南鄭州·期末）已知2ab+c=A．1 B．±1 C．1或-2 D．【思路點(diǎn)撥】本題考查了比例的性質(zhì)，熟悉等比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，根據(jù)等比性質(zhì)計(jì)算得出結(jié)果；②當(dāng)a【解題過程】解：分兩種情況：①當(dāng)a+b+②當(dāng)a+則a+b=-綜上所述，k的值為1或-2故選：C．3．（23-24九年級(jí)上·遼寧丹東·階段練習(xí)）已知ab=cd=ef=5【思路點(diǎn)撥】本題考查了比例的性質(zhì)，代數(shù)式求值，由ab=cd=ef=5可得a=5【解題過程】解：∵ab∴a=5b，c=5∵a+∴5b∴5b∴b+故答案為：6．4．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足1a+1=2b【思路點(diǎn)撥】本題考查了比例的性質(zhì)，由已知代數(shù)式可以用設(shè)比值為一個(gè)參數(shù)的方法求解．設(shè)1a+1=2b+2=3c【解題過程】解：設(shè)1a+1=∴∴∴a故答案為：65．（24-25九年級(jí)上·全國·單元測試）根據(jù)下列條件求x:（1）x:y=3:7（2）x:y=【思路點(diǎn)撥】此題考查了比例的性質(zhì)．要把含有同一個(gè)字母所占的份數(shù)變成相同的，即可表示出來．用同一個(gè)字母表示，然后再進(jìn)一步求得三個(gè)字母的比值．【解題過程】（1）解：因?yàn)閤:y=3:7x=37所以x==12=12:28:49；（2）解：∵x:y∴y=3x==1:=6:9:4．【題型二：比例線段】6．（23-24九年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）下列各組中的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（

）A．a(chǎn)=1，b=1，c=1，d=5 B．a(chǎn)=1，C．a(chǎn)=2，b=5，c=23，d=15 D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)成比例線段的定義進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．【解題過程】解：∵ab=1∴ab≠c∵ab=1∴ab≠c∵ab=2∴ab=c∵ab=2∴ab≠c故選：C．7．（23-24九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）線段a、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了比例線段．解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例線段的定義．由四條線段a、b、c、d成比例，根據(jù)比例線段的定義，即可求得a的值．比例線段的定義是在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．【解題過程】解：∵四條線段a、b、c、d成比例，∴ab=cd或∴ad=bc或ab=∵b=3cm，c=2∴3×2=6a或3a=2×6解得：a=1cm或a=4故答案為：1或4或9．8．（24-25九年級(jí)上·全國·單元測試）已知線段a=0.3m，b=60（1）求線段a與線段b的比和線段b與線段c的比；（2）如果線段a、b、c、d成比例，求線段d的長．（3）在比例式a:b=b:c或b2=ac中，我們把b稱為a【思路點(diǎn)撥】本題比例線段，掌握比例線段的定義和比例中項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)a=0.3m=30cm；b=60cm，（2）根據(jù)線段a、b、c、d是成比例線段，可得ab=cd，再根據(jù)（3）根據(jù)b2=3600，ac=30×120=3600，可得b2=ac，進(jìn)而得出【解題過程】（1）解：∵a=0.3m∴a∵b=60cm∴b（2）解：∵線段a、b、c、d是成比例線段，∴a∴1:2=120:d∴d（3）解：∵b2=∴b∴b是a和c9．（23-24九年級(jí)上·山西晉中·階段練習(xí)）如圖，一塊矩形綢布的長AB=am，寬AD=2m

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，得到AE=【解題過程】解：根據(jù)題意可知，AB=am，寬AD由AEAD得1即1∴a開平方，得a=23，10．（23-24九年級(jí)上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，BE，CD交于點(diǎn)O，ADAB=DEBC=DOCO，AB（1）求DE，（2）若△ABC的面積為70，求△【思路點(diǎn)撥】（1）先求得AD=AB-DB=3，再根據(jù)DEBC=（2）先由“高相等的兩個(gè)三角形的面積的比等于底的比”求得SΔDBCSΔABC=DB【解題過程】（1）∵AB=7，DB=4，BC∴AD∵DEBC∴DE∵DOCO∴CO∴DE=277（2）設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為h，點(diǎn)B到CD的距離為m，∵SΔ∴S∵SΔ∴S∴ΔBOC的面積是【題型三：黃金分割】11．（24-25九年級(jí)上·河北秦皇島·階段練習(xí)）若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AB=2，則AC=（A．5-1 B．3-5 C．5-1【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了黃金分割點(diǎn)的定義等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，AC可能是較長線段，也可能是較短線段；則AC=5-12【解題過程】解：根據(jù)題意得：當(dāng)AC是較長線段時(shí)，ACAB∵AB=2∴AC=當(dāng)AC是較短線段時(shí)，ACAB∵AB=2∴AC=故選：D．12．（23-24九年級(jí)上·上海長寧·期末）已知點(diǎn)C在線段AB上，且滿足AC2=A．ACBC=5-12 B．AC【思路點(diǎn)撥】本題考查黃金分割、解一元二次方程，把AB當(dāng)作已知數(shù)求出AC，求出BC，再分別求出各個(gè)比值，根據(jù)結(jié)果判斷即可．【解題過程】解：令A(yù)C=x，AB=AC2=整理，得x2Δ=解得x=∵邊長為正數(shù)，∴x=-a即AC=5-∴ACBC=5ACAB=5BCAB=3-BCAC=3-故選B．13．（23-24九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）在歐幾里得的《幾何原本》中給出一個(gè)找線段的黃金分割點(diǎn)的方法．如圖所示，以線段AB為邊作正方形ABCD，取AD的中點(diǎn)E，連接BE，延長DA至F，使得EF=BE，以AF為邊作正方形AFGH，則點(diǎn)H即是線段AB的黃金分割點(diǎn)．若AD=20，記正方形AFGH的面積為S1，矩形BCIH的面積為S2，則S

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)H是AB的黃金分割點(diǎn)求出AH2=BH?AB，求出【解題過程】解：∵H是AB的黃金分割點(diǎn)，∴AH∵S1=A∴S1=∵AD=20，點(diǎn)E是線段AD∴AE∴BE∴EF∴AF∴S∴S1與S2故填1200-400514．（2024·四川樂山·一模）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問題：點(diǎn)G將線段MN分為兩線段MG，GN，使得其中較長的一段MG是全長MN與較短的一段GN的比例中項(xiàng)，即滿足MGMN=GNMG=5-12，后人把5-12這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段MN的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在△ABC中，已知AB=AC=3，【思路點(diǎn)撥】本題主要考查黃金分割，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，理解“黃金分割”點(diǎn)的定義是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BH=CH=12BC=2，根據(jù)勾股定理求出AH，根據(jù)線段“【解題過程】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)∵AB=AC∴BH在Rt△ABH中，∵D，E是邊BC的兩個(gè)“黃金分割”∴CD∴DE∴S故答案為：10-4515．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·期中）背景知識(shí)：寬與長的比等于5-12（1）如圖，經(jīng)測量，帕特農(nóng)神廟的面寬約為31米，那么它的高度大約是______米．（結(jié)果取整數(shù)）實(shí)驗(yàn)操作：折一個(gè)黃金矩形第一步，在矩形紙片的一端利用圖1的方法折出一個(gè)正方形MNCB，然后把紙片展平；第二步：如圖2，將正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再將其展平；第三步：折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線AB，并將AB折到圖3所示的AD處；第四步，展平紙片，按照所得的點(diǎn)D折出DF，矩形BCDF就是黃金矩形（如圖4）．問題思考：（2）圖4中是否還存在其它黃金矩形，請(qǐng)判斷并說明理由；（3）以圖3中的折痕AQ為邊，構(gòu)造黃金矩形，若MN=2，則這個(gè)矩形的面積是______

【思路點(diǎn)撥】本題考查黃金分割，掌握黃金矩形的定義，是解題的關(guān)鍵：（1）直接根據(jù)黃金矩形的定義，列式計(jì)算即可；（2）設(shè)MN=2a，根據(jù)題意，易得：ME=BE=a，根據(jù)黃金分割求出（3）分AQ為黃金矩形的長和黃金矩形的寬，兩種情況，進(jìn)行討論求解即可．【解題過程】解：（1）由題意，得：帕特農(nóng)神廟的高度與面寬的比約為0.618，∴帕特農(nóng)神廟的高度≈31×0.618≈19；故答案為：19；（2）存在，理由如下：設(shè)MN=2a，則：由折疊可知ME=∵矩形BCDF就是黃金矩形，∴BFBC∴BF=∴MF=∴MNMF∴矩形MNDF為黃金矩形；（3）∵M(jìn)N=2，則：MB∴BE=∴AB=∵折疊，∴∠BAQ∵矩形紙片，∴MQ∥∴∠BQA∴BQ=∴EQ=∴AQ=當(dāng)AQ為黃金矩形的長時(shí)，則寬為5-則矩形的面積為：5-當(dāng)AQ為黃金矩形的寬時(shí)，則長為25則矩形的面積為：5+1綜上：矩形的面積為10+65或4【題型四：平行線分線段成比例】16．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF

A．BDAD=DFFC B．DEFB=【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定與性質(zhì)逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．【解題過程】解：A、∵DE∥BC，∴四邊形DFCE是平行四邊形，∴DF∵DE∥∴BD∵AE與FC∴BDADB、∵DE∥BC，∴四邊形DFCE是平行四邊形，∴DE∵DF∥∴AD∵DE∥∴AD∴DEFBC、∵DF∥∴BFFC∵DE∥∴BDAD∴BFFC∴BFFCD、∵DE∴AD∵由ADFC=AB∵AE與FC∴ADFC故選：C．17．（23-24九年級(jí)下·江蘇南京·自主招生）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分別是AD、BC中點(diǎn)，試判斷BA、NM、【思路點(diǎn)撥】此題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，延長BA、CD交于點(diǎn)P，連接PN，PN交AD于點(diǎn)M'，由AD∥BC得到AM'BN=PM'PN，DM'CN=PM'PN【解題過程】解：三線延長線交于一點(diǎn)，證明如下：延長BA、CD交于點(diǎn)P，連接PN，PN交AD于點(diǎn)M'∵AD∥∴AM'BN∴AM∵N為BC中點(diǎn)，∴BN=∴AM'=DM又∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，∴M與M'重合，即P、M、N∴BA、CD、NM延長線交于一點(diǎn)P．18．（24-25九年級(jí)上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）已知如圖，點(diǎn)D是ΔABC邊BC上一點(diǎn)，且BD:DC=2:3，過點(diǎn)C任作一條直線與AB、AD分別交于點(diǎn)F和【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)D作DG∥AB，DH∥FC構(gòu)造平行四邊形DGFH，得到DG=HF，再根據(jù)平行線分線段成比例定理，得到【解題過程】證明：過D點(diǎn)分別作DG∥AB，得到四邊形DGFH是平行四邊形，∴DG∵DG∴DG∵BD∴CD∴DG設(shè)DG=3a，則FH=∴BH∴FH∵DG∴AE∵DG∴AE∵FH∴AEED即AEED19．（23-24九年級(jí)下·廣東深圳·開學(xué)考試）如圖，將正方形ABCD沿著BE，BF將BC，AB翻折，使A，C兩點(diǎn)恰好落在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作MN∥BC，交BF于點(diǎn)Q．若QP=1

【思路點(diǎn)撥】設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則BC=CD=AD=AB=2，QP=12BC=1，由折疊的性質(zhì)可得PE=CE，AF=PF，∠AFB=∠PFB，結(jié)合MN∥AD證明△PFQ為等腰三角形，進(jìn)而可得AF=PF=PQ=1；設(shè)CE=a，則PE【解題過程】解：設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則BC=∴QP=由折疊的性質(zhì)可得PE=CE，AF=∵M(jìn)N∥BC，AD∴MN∥∴∠AFB∴∠PFB∴AF=∴DF=設(shè)CE=a，則PE=CE=在Rt△DEF中，由勾股定理可得12解得a=∴PE=23，DE∵M(jìn)N∥∴NEDE=PE解得NE=∴BM=∴AM=∵M(jìn)N∥∴FQBQ故答案為：2320．（23-24九年級(jí)上·山西太原·階段練習(xí)）由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示．將小正方形對(duì)角線EF雙向延長，分別交邊AB，和邊BC的延長線于點(diǎn)G，H．若大正方形與小正方形的面積之比為5，GH=25，則大正方形的邊長為【思路點(diǎn)撥】設(shè)小正方形在線段DE上的一個(gè)頂點(diǎn)為M，CD與GH相交于點(diǎn)P，由大正方形與小正方形的面積之比為5，可推出AD=5EM，設(shè)EM=a，AE=b，則AD=5a，利用勾股定理和多項(xiàng)式的因式分解推出a=b；延長BF交CD于點(diǎn)N，利用平行線分線段成比例定理可證N是CD的中點(diǎn)以