專題22.11相似三角形幾何模型（旋轉(zhuǎn)模型）（基礎(chǔ)練）一、單選題1．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）將兩個全等的斜邊長為2的等腰直角三角板如圖放置，其中一塊三角板角的頂點與另一塊三角板的直角頂點A重合，若將三角板固定，當另一個三角板繞點A旋轉(zhuǎn)時，它的直角邊和斜邊所在的直線分別與邊交于點E、F．設(shè)，，則y關(guān)于x的函數(shù)圖像大致是（

）A．B．C． D．2．（2022春·九年級課時練習）如圖，一副三角板，，頂點重合，將繞其頂點A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，以下4個位置，不存在相似三角形的是（）A． B．C． D．3．（2022·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，將線段AB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點A落在BD上的點H，E為邊BC的中點，連接HE，交AC于點P．若AC＝12，BD＝16，則線段PC的長為（）A．3 B．3 C．4 D．54．（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形和四邊形都是正方形，將正方形繞點旋轉(zhuǎn)，連接BE，CF．則的值為（

）A． B． C． D．5．（2021秋·浙江·九年級期末）如圖，矩形是矩形以點A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所得到的圖形，延長線交于點E．若，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2020春·河南新鄉(xiāng)·九年級河南師大附中?？茧A段練習）如圖，在矩形OABC中，，，把矩形OABC繞點A旋轉(zhuǎn)，得到矩形ADEF且點D恰好落在BC上，連接OF交AD于點G．則點G的坐標是（

）A． B． C． D．7．（2022秋·海南?？凇ぞ拍昙壗y(tǒng)考期末）如圖，為矩形為中心，繞點旋轉(zhuǎn)，兩直角邊式中與邊、分別相較于、．若，，，則與的關(guān)系是（）A． B． C． D．8．（2022秋·八年級課時練習）如圖，△ABC，△EFG均是邊長為2的等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點，直線AG、FC相交于點M．當△EFG繞點D旋轉(zhuǎn)時，線段BM長的最小值是（）A．2- B．+1 C． D．-1二、填空題9．（2022秋·安徽淮南·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，直線與y軸交于點P，將它繞著點P旋轉(zhuǎn)90°所得的直線對應的函數(shù)解析式為．10．（2023秋·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知等腰的頂角的大小為，點D為邊上的動點（與B、C不重合），將AD繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)角度時點D落在處，連接．給出下列結(jié)論：①；②平分；③當時，的面積取得最小值．其中正確的結(jié)論有（填結(jié)論對應的序號）．11．（2022秋·河南周口·九年級?？计谀┰谥?，，，繞點A旋轉(zhuǎn)后能與重合，那么與的周長之比是．12．（2023秋·全國·九年級專題練習）在平面內(nèi)，先將一個多邊形以點O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應的線段的比值為k，逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度θ，這種經(jīng)過相似和旋轉(zhuǎn)變化的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換（k，θ），O為旋轉(zhuǎn)相似中心，k為相似比，△ABC是邊長為1cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變化A（，90°），則BD長cm．13．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在△ABC中，，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，使點B落在AC邊上的點D處，點C落在點E處，如果點E恰好在線段BD的延長線上，那么邊BC的長等于14．（2023·吉林長春·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標系xOy中，點，點．將線段BA繞點B旋轉(zhuǎn)180°得到線段BC，則點C的坐標為．15．（2022秋·河南南陽·九年級?？茧A段練習）已知正方形的邊長為4，點是邊上靠近點的四等分點，連接，將線段繞點旋轉(zhuǎn)，交外角的平分線于點，若，則的長為．16．（2020春·九年級統(tǒng)考課時練習）如圖，已知有兩堵墻AB，CD，AB墻高2米，兩墻之間的距離BC為8米，小明將一架木梯放在距B點3米的E處靠向墻AB時，木梯有很多露出墻外，將木梯繞點E旋轉(zhuǎn)90°靠向墻CD時，木梯剛好達到墻的頂端，則墻CD的高為米．17．（2021·上海·九年級專題練習）如圖，AD是△ABC的中線，點E在邊AB上，且DE⊥AD，將△BDE繞著點D旋轉(zhuǎn)，使得點B與點C重合，點E落在點F處，連接AF交BC于點G，如果，那么的值等于．18．（2023·河北滄州·?？级＃┤鐖D，在中，，，直角的頂點在上，、分別交、于點、，繞點任意旋轉(zhuǎn)．當時，的值為；當時，為．（用含的式子表示）三、解答題19．（2023春·重慶萬州·九年級重慶市萬州第三中學?？茧A段練習）如圖，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE．求證：△ADB∽△AEC．20．（2022秋·廣西貴港·九年級?？茧A段練習）如圖與是兩個全等的等腰直角三角形，，繞點A旋轉(zhuǎn)，邊與分別相交于點F、G．（1）求證：；（2）求證：．21．（2022春·九年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在平面內(nèi)任取一點D，連結(jié)AD（AD＜AB），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE，連結(jié)DE，CE，BD．（1）直線BD和CE的位置關(guān)系是；（2）猜測BD和CE的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）設(shè)直線BD，CE交于點P，把△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當∠EAC＝90°，AB＝2，AD＝1時，直接寫出PB的長．22．（2022秋·山東德州·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，點D、E分別是邊AB、AC的中點，連接DE，將△ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α，BD、CE所在直線相交所成的銳角為β．（1）問題發(fā)現(xiàn)當α＝0°時，＝_____；β＝_____°．（2）拓展探究試判斷：當0°≤α＜360°時，和β的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．（3）在△ADE旋轉(zhuǎn)過程中，當DE∥AC時，直接寫出此時△CBE的面積．23．（2013·九年級單元測試）如圖（1），△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，將△EFD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止．不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)DE、DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G、H點，如圖（2）．（1）問：始終與△AGC相似的三角形有；（2）請選擇（1）中的一組相似三角形加以證明．24．（2023·河北·模擬預測）問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝k?AC（k＞1），D是AB上一點，DE∥BC，則BD，EC的數(shù)量關(guān)系為．類比探究（2）如圖2，將△AED繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（0°＜a＜90°），連接CE，BD，請問（1）中BD，EC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由拓展延伸：（3）如圖3，在（2）的條件下，將△AED繞點A繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（a＞90°）．直線BD，CE交于F點，若AC＝1，AB＝，則當∠ACE＝15°時，BF?CF的值為．參考答案1．C【分析】由題意得，，推出，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．解：由題意得，，，，，，，，又是等腰直角三角形，且，，又，，，即，．故選：C．【點撥】本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應邊比例相等的性質(zhì)，本題中求證是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理逐一推理即可得到答案．解：∵，∴，故A不符合題意；∵，∴，∴，∴，故B不符合題意；∵和是對頂角，∴，∵，∴，故C不符合題意；∵和沒有明確的度數(shù)，∴不存在相似三角形．故選D．【點撥】本題考查了相似三角形的判定定理，熟知相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵：兩個角對應相等，則這兩個三角形相似；兩條邊對應成比例，且它們的夾角相等，則這兩個三角形相似．3．D【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理得BC=10，即可得BH＝AB＝BC＝10，則OH＝BH﹣OB＝2，根據(jù)角之間的關(guān)系和線段之間的關(guān)系得△HOP∽△HFE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得OP＝1，即可得．解：過E點作EF⊥BD于F，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF∥AC，∵AC＝12，BD＝16，∴OC＝OA＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，∴，∴BH＝AB＝BC＝10，∴OH＝BH﹣OB＝2，∵E是BC的中點，EF∥AC，∴EF＝OC＝3，OF＝OB＝4，∴HF＝OH+OF＝6，

∵EF∥AC，∴△HOP∽△HFE，∴，∴，∴OP＝1，∴CP＝OC﹣OP＝5，故選D．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)．4．C【分析】連接AF，AC，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，可證得△ABE∽△ACF，即可求解．解：如圖，連接AF，AC，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴AB=BC，AE=EF，∠BAC=∠EAF=45°，∠ABC=∠AEF=90°，∴∠BAE=∠CAF，∴，∴，∴△ABE∽△ACF，∴．故選：C【點撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠AD1B1=∠B1DE，從而證明△AD1B1∽△EDB1，得到，根據(jù)AB和BC分別求出B1D和B1D1，從而計算出B1E．解：由旋轉(zhuǎn)可得：∠AD1B1=∠B1DE，∵∠AB1D1=∠DB1E，∴△AD1B1∽△EDB1，∴，∵AB=3，BC=4，∴B1D=AD-AB1=4-3=1，B1D1=，∴，∴，故選B．【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△AD1B1∽△EDB1．6．A【分析】過D作DM⊥OA于M，F(xiàn)N⊥OA于N，則∠DMA=∠FNA=90°，求出OA=5，AB=3，根據(jù)勾股定理求出AM，求出點D坐標，求出△DAM∽△AFN，求出AN和FN，求出F坐標，求出直線AD和OF的解析式，再求出交點G的坐標即可．解：過D作DM⊥OA于M，F(xiàn)N⊥OA于N，則∠DMA=∠FNA=90°，∵在矩形OABC中，A（5，0）．C（0，3），∴OA=BC=5，AB=OC=3=DM，∵把矩形OABC繞點A旋轉(zhuǎn)，得到矩形ADEF且點D恰好落在BC上，∴AD=OA=5，∠OAB=∠DAF=90°，AF=AB=3，∴∠DAM=∠BAF=90°-∠DAB，∵∠BAO=∠FNA=90°，∴∠BAF=∠AFN，∴∠DAM=∠AFN，在Rt△DMA中，由勾股定理得：AM=∴CD=OM=5-4=1，即點D坐標是（1，3），∵∠DMA=∠FNA，∠DAM=∠AFN，∴△DAM∽△AFN，∴，∴，解得：FN=，AN=，∴ON=5+=，即F點的坐標是（，），設(shè)直線AD的解析式是y=kx+b，把A（5，0），C（1，3）代入得：，解得：k=-，b=，∴直線AD的解析式是y=-，設(shè)直線OF的解析式是y=ax，把F（，）代入得：，解得：a=∴直線OF的解析式是y=，解方程組得：，即點G的坐標是（，），故選：A．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點的坐標，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．7．D【分析】作交AB于點H，作交BC于點G，易證，利用相似三角形對應線段成比例可得結(jié)論.解：如圖，作交AB于點H，作交BC于點G，由題意得，又為矩形為中心，，，即.故選：D.【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活的添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.8．D解：AC的中點O，連接AD、DG、BO、OM，如圖．∵△ABC，△EFG均是邊長為2的等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點，∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，∴∠ADG=90°-∠CDG=∠FDC，，∴△DAG∽△DCF，∴∠DAG=∠DCF．∴A、D、C、M四點共圓．根據(jù)兩點之間線段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO-OM，當M在線段BO與該圓的交點處時，線段BM最小，此時，BO=，OM=AC=1，則BM=BO-OM=-1．故選D．考點：1.等邊三角形的性質(zhì)、2.等腰三角形的性質(zhì)、3.相似三角形的判定與性質(zhì).9．【分析】利用旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形相似，可得到新函數(shù)解析式與x軸的交點．解：∵，∴函數(shù)與x軸的交點是，與y軸的交點是．∴．設(shè)函數(shù)與x軸交于點A，新函數(shù)與x軸交于點B，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴點．設(shè)新函數(shù)解析式為，把點B代入求得，．∴新函數(shù)解析式為，故答案為：．【點撥】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)的圖象上點的坐標特征，三角形相似的判斷和性質(zhì)，求出點B的坐標是解題的關(guān)鍵．10．①②③【分析】結(jié)論①，，，和是兩個頂角相等的等腰三角形，可得，即可得出最后結(jié)論．結(jié)論②利用推出，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得最后結(jié)論．結(jié)論③由等腰三角形性質(zhì)得出，利用面積與相似比結(jié)合即可得出最后結(jié)論．解：，，，，，，，，，，故①對．，，，，，，，又是等腰三角形，，，平分，故②對．，，，，，，即最小時最小，當時，最小，由等腰三角形三線合一，此時D點是中點，故③對．故答案為：①②③【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，①中利用了三角形內(nèi)角和以及平角的度數(shù)，③中將面積與相似比結(jié)合是解題的關(guān)鍵．11．/【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知與是頂角相等的兩個等腰三角形，易證它們相似，利用相似三角形的性質(zhì)解題．解：如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，旋轉(zhuǎn)角，所以，，相似比，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比可知，與的周長之比為3：4，故答案為：3：4．【點撥】本題利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明相似三角形，再用相似三角形的性質(zhì)求周長的比．12．2【分析】已知△ABC旋轉(zhuǎn)相似變換A（，90°），得到△ADE，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理可求出BD的值．解：將△ABC作旋轉(zhuǎn)相似變換A（，90°），則cm，∠BAD=90°，由勾股定理得：BD＝＝2（cm）．故答案為：2．【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及勾股定理，理解題目中的旋轉(zhuǎn)相似是解題的關(guān)鍵．13．【分析】如圖所示，連接CE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AD=AB=4，BC=DE，∠BCD=∠DEA，AE=AC=5，則CD=AC-AD=1，然后證明△BDC∽△ADE，得到，即，則，由此即可得到答案．解：如圖所示，連接CE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AD=AB=4，BC=DE，∠BCD=∠DEA，AE=AC=5，∴CD=AC-AD=1又∵∠BDC=∠ADE，∴△BDC∽△ADE，∴，即，∴，∴（負值已經(jīng)舍去），故答案為：．【點撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．14．（2，2）【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得出點B是A、C的中點，過點C作CD⊥x軸于D，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得OD和CD即可求解．解：∵點，點，∴OA=2，OB=1，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：AB=BC，即點B是A、C的中點，過點C作CD⊥x軸于D，則CD∥OB，∴△AOB∽△ADC，∴，∴OD=2，CD=2，∴點C坐標為（2，2），故答案為：（2，2）．【點撥】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．15．【分析】過點F作FH⊥AD于H，F(xiàn)N⊥AM于N，由“HL”可證Rt△NFE≌Rt△BEC，可得∠BCE=∠NEF，可證∠FEC=90°，由勾股定理可求FC的長，通過證明△FHG∽△CDG，可得，即可求解．解：過點F作FH⊥AD于H，F(xiàn)N⊥AM于N，設(shè)∠BAD的外角為∠MAD，∵AF平分∠MAG，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)N⊥AM，∴∠FAH=45°，F(xiàn)N=FH，∵FH⊥AD，∴∠FAH=∠AFH=45°，∴AH=FH，∴AF=FH=，∴FH=AH=1，∴FN=FH=1，∵點E是邊AB上靠近點B的四等分點，∴BE=1，∴EC===，∵將線段EC繞點E旋轉(zhuǎn)，∴EC=EF，在Rt△NFE和Rt△BEC中，，∴Rt△NFE≌Rt△BEC（HL），∴∠BCE=∠NEF，∵∠BCE+∠BEC=90°，∴∠BEC+∠NEF=90°，∴∠FEC=90°，∴CF=EC=，∵∠FHG=∠D=90°，∠FGH=∠CGD，∴△FHG∽△CDG，∴，∴FG=FC=．故答案為：．【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．16．7.5【分析】先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠CED，則可判斷Rt△ABE∽△ECD，然后利用相似比計算CD的高度．解：根據(jù)題意，得，米，米，米，∴=5米，，，∴．∴，∴，∴，∴米．故答案為：7.5；【點撥】本題主要考查了相似三角形的應用，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.17．【分析】證明△EDB≌△FDC，可得ED＝DF，∠EBD＝∠FCD，F(xiàn)C＝BE，即FC∥AB，所以△CFG∽△BAG，可得，所以FGAF，因為DE⊥AD，DE＝DF，所以AE＝AF，進而可得出的值．解：如圖，∵將△BDE繞著點D旋轉(zhuǎn)，使得點B與點C重合，點E落在點F處，∴BD＝CD，ED＝FD，∵∠EDB＝∠FDC，∴△EDB≌△FDC（SAS），∴∠EBD＝∠FCD，F(xiàn)C＝BE，∴FC∥AB，∴△CFG∽△BAG，∵∴∴，∴FGAG又AF=AG+GF,∴FGAF，∵DE⊥AD，DE＝DF，∴AE＝AF，∴．故答案為：．【點撥】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．18．,解：如圖，過點O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由條件可以表示出HO、GO的值，通過證明△PHO∽△QGO由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．解：過點O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，∴∠OHP=∠OGQ=90°．∵∠ACB=90°，∴四邊形HCGO為矩形，∴∠HOG=90°，∴∠HOP=∠GOQ，∴△PHO∽△QGO，∴．∵，設(shè)OA=x，則OB=2x，且∠ABC=30°，∴AH=x，OG=x．在Rt△AHO中，由勾股定理，得OH=x，∴，∴=．故答案為．19．見分析．【分析】由題知，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，可得到AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，即可證明．解：∵將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，∴，∴△ADB∽△AEC．【點撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題，明白旋轉(zhuǎn)前后的邊和角都不變是解題的關(guān)鍵．20．（1）見分析；（2）見分析【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，由外角的性質(zhì)得到，，于是得到，即可得到結(jié)論；（2）方法同（1）證得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：（1）證明：∵與是兩個全等的等腰直角三角形，，∴，∵，，∴，∴；（2）證明：∵與是兩個全等的等腰直角三角形，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（1）BD⊥CE；（2）BD＝CE，證明見分析；（3）或．【分析】（1）依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB＝AC，AD＝AE，依據(jù)同角的余角相等得到∠DAB＝∠CAE，然后依據(jù)SAS可證明△ADB≌△AEC，最后，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）分為點E在AB上和點E在BA的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△BPE∽△BAD，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行證明即可．解：（1）BD⊥CE，理由：延長CE交BD于P，∵將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∵∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝∠ABP+∠ABC+∠PCB＝90°，∴∠BPC＝90°，∴BD⊥CE，故答案為：BD⊥CE；（2）BD和CE的數(shù)量是：BD＝CE；由（1）知△ABD≌△ACE，∴BD＝CE；（3）①當點E在AB上時，BE＝AB﹣AE＝1．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝，同（1）可證△ADB≌△AEC．∵∠AEC＝∠BEP，∴∠BPE＝∠EAC＝90°，∵∠PBE＝∠ABD，∴△BPE∽△BAD，∴＝，∴＝，∴BP＝．②當點E在BA延長線上時，BE＝3，∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝，由△BPE∽△BAD，∴＝，∴＝，∴PB＝，綜上所述，PB的長為或．【點撥】本題通過旋轉(zhuǎn)圖形的引入，綜合考查了三角形全等、三角形相似、直角三角形性質(zhì)知識點.22．（1），45；（2）和β的大小無變化；（3）△BCE的面積為或．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)，線段的中點的定義即可判斷．（2）結(jié)論：和β的大小無變化．如圖2中，延長CE交AB于點O，交BD于K．證明△DAB∽△EAC，即可解決問題．（3）分兩種情形：①當點E在線段AB上時，②當點E在線段BA的延長線上時，分別求解即可．（1）解：如圖1中，∵∠B＝90°，BA＝BC，∴∠A＝45°，AC＝=AB，∵點D、E分別是邊AB、AC的中點，∴BD＝AB，EC＝AC，∴＝，β＝45°；故答案為，45．（2）解：結(jié)論：和β的大小無變化．理由如下：如圖2中，延長CE交AB于點O，交BD于K．由（1）得：AE＝AD，AC＝AB，∠DAE＝∠BAC，∴＝，∠DAB＝∠EAC，∴，∴△DAB∽△EAC，∴＝＝，∠OBK＝∠OCA，∵∠BOK＝∠COA，∴∠BKO＝∠CAO＝45°，即β＝45°，∴和β的大小無變化．（3）解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴，∵點E分別是邊AC的中點，∴，當點E在線段AB上時，，∴S△BCE＝=，當點E在線段BA的延長線上時，，∴S△BCE＝=．綜上所述，△BCE的面積為或．【點撥】本題屬于幾何變換綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．23．（1）△HGA及△HAB

（2）見分析試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)，易得∠GAC=∠H，然后由公共角相等，即可得△AGC∽△HGA；由∠B=∠ACG=45°，即可得△AGC∽△HAB．（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)，即可證得結(jié)論．解：（1）始終與△AGC相似的三角形有△HGA及△HAB；故答案為△HGA、△HAB．（2）選擇：△AGC∽△HGA．證明：∵∠AGB是△AGC和△