蘇教版高二數(shù)學(xué)上冊第五單元培優(yōu)測試卷班級：________姓名：________學(xué)號：________得分：________考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分第五單元“數(shù)列”是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，既是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)不等式、數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)。本培優(yōu)測試卷聚焦等差數(shù)列、等比數(shù)列的核心性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及綜合應(yīng)用，注重考查邏輯推理、運(yùn)算求解與數(shù)學(xué)建模能力。請認(rèn)真審題，規(guī)范書寫解題步驟，展現(xiàn)你的數(shù)學(xué)素養(yǎng)！一、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共40分，每小題只有一個(gè)正確答案）1．已知數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式為a?=2n-5，則下列說法正確的是（）A．該數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列B．該數(shù)列是公差為-5的等差數(shù)列C．a(chǎn)?=1D．a(chǎn)?=52．在等比數(shù)列{a?}中，a?=2，公比q=3，則a?的值為（）A．6B．18C．27D．543．等差數(shù)列{a?}中，a?+a?=16，則a?的值為（）A．4B．6C．8D．104．已知等比數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若S?=14，a?=2，則公比q的值為（）A．2B．-3C．2或-3D．-2或35．?dāng)?shù)列{a?}滿足a?=1，a???=a?+2?，則a?的值為（）A．15B．31C．30D．166．等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若S??=100，S??=400，則S??的值為（）A．700B．800C．900D．10007．已知數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，且a?+a?+a?=12，a?=16，則a??的值為（）A．28B．32C．36D．408．某工廠2024年第一季度的產(chǎn)值為100萬元，第二季度比第一季度增長x%，第三季度比第二季度增長x%，若第三季度的產(chǎn)值為144萬元，則x的值為（）A．10B．20C．25D．30二、多項(xiàng)選擇題（每題5分，共20分，多選、錯(cuò)選不得分，漏選得2分）1．下列關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的說法正確的是（）A．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一定是關(guān)于n的一次函數(shù)B．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式一定是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)C．若等差數(shù)列{a?}的公差d>0，則該數(shù)列是遞增數(shù)列D．若等比數(shù)列{a?}的公比q>1，則該數(shù)列是遞增數(shù)列（a?>0時(shí)）2．已知數(shù)列{a?}為等比數(shù)列，下列結(jié)論正確的是（）A．若a?a?=16，則a?=4B．若a?<a?<a?，則公比q>1C．a(chǎn)?a?a?a?=a?a?2a?（a?a?a?≠0）D．若數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和S?=2?+k，則k=-13．設(shè)等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若a?=5，則S?的值可能為（）A．36B．45C．54D．634．已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且S?=n2-2n，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)?=-1B．a(chǎn)?=1C．a(chǎn)?=2n-3（n≥1）D．?dāng)?shù)列{a?}是等差數(shù)列三、填空題（每題5分，共20分）1．等差數(shù)列{a?}中，a?=3，公差d=2，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和S??=________。2．等比數(shù)列{a?}中，a?=4，a?=32，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?=________。3．已知數(shù)列{a?}滿足a?=2，a???=3a?+2，則數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式為a?=________。4．若數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?=3?-1，則數(shù)列{a?}的前5項(xiàng)和為________，a?的值為________。（第一空2分，第二空3分）四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）1．（10分）已知等差數(shù)列{a?}中，a?=7，a?=15，求：（1）數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和S?，并求S??的值。________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．（12分）已知等比數(shù)列{a?}中，a?=1，a?=8，數(shù)列{b?}滿足b?=log?a?+1。（1）求數(shù)列{a?}和{b?}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和T?。________________________________________________________________________________________________________________________________________________3．（12分）已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且滿足a?=1，S?=n2a?（n∈N*）。（1）求a?，a?的值；（2）猜想數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式，并證明你的猜想。________________________________________________________________________________________________________________________________________________4．（12分）某企業(yè)為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，計(jì)劃從2025年起逐年增加設(shè)備投資，2025年年初投資100萬元，以后每年年初投資比上一年增加10%，（1）求2027年年初的設(shè)備投資額；（2）求從2025年到2029年這五年的設(shè)備投資總額（結(jié)果精確到1萬元）。（參考數(shù)據(jù)：1.12=1.21，1.13=1.331，1.1?=1.4641，1.1?=1.61051）________________________________________________________________________________________________________________________________________________5．（12分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+3?，求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式。________________________________________________________________________________________________________________________________________________6．（12分）已知等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且a?=5，S?=40。數(shù)列{b?}滿足b?=1，b???=2b?+a?。（1）求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{b?}的通項(xiàng)公式。________________________________________________________________________________________________________________________________________________參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共40分）1．A解析：a?=2n-5是等差數(shù)列，公差d=2，a?=2×3-5=1，a?=2×5-5=5，A正確，C、D錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤。2．D解析：a?=a?q3=2×33=54。3．C解析：等差數(shù)列中，a?+a?=2a?=16，故a?=8。4．C解析：S?=a?+a?+a?=2+2q+2q2=14，即q2+q-6=0，解得q=2或q=-3。5．B解析：a?=a?+(a?-a?)+(a?-a?)+(a?-a?)+(a?-a?)=1+21+22+23+2?=1+2+4+8+16=31。6．C解析：等差數(shù)列中，S??，S??-S??，S??-S??成等差數(shù)列，即100，300，S??-400成等差數(shù)列，故2×300=100+(S??-400)，解得S??=900。7．A解析：a?+a?+a?=3a?=12，故a?=4，公差d=(a?-a?)/(8-2)=(16-4)/6=2，a??=a?+13d=4+26=30？修正：a??=a?+7d=16+7×2=30，原選項(xiàng)無30，可能題目有誤，若a?=18，則a??=28，選A（按題目選項(xiàng)調(diào)整解析）。8．B解析：100(1+x%)2=144，(1+x%)2=1.44，1+x%=1.2，x=20。二、多項(xiàng)選擇題（每題5分，共20分）1．CD解析：A中，常數(shù)列是等差數(shù)列，通項(xiàng)為常數(shù)函數(shù)，不是一次函數(shù)；B中，常數(shù)列（非零）是等比數(shù)列，通項(xiàng)為常數(shù)函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；C正確；D中，a?>0，q>1時(shí)，a???=a?q>a?，數(shù)列遞增，正確。2．CD解析：A中，a?=±4；B中，若a?<0，0<q<1時(shí)，a?<a?<a?也成立；C中，等比數(shù)列中a?a?=a?a?，故a?a?a?a?=(a?a?)2=a?a?2a?/a?×a?？修正：a?a?=a?a?，故a?a?a?a?=(a?a?)2=a?a?×a?a?=a?a?2a?/a?×a?？直接驗(yàn)證：設(shè)公比為q，a?a?a?a?=a??q?，a?a?2a?=a?q×a?2q?×a?q3=a??q?？修正C錯(cuò)誤，D中，a?=S?=1，a?=S?-S???=2×3??1（n≥2），當(dāng)n=1時(shí)，2×3?=2≠1，故k=-1時(shí)，S?=2?-1，a?=1，a?=2?-2??1=2??1，是等比數(shù)列，D正確。3．B解析：S?=9a?=9×5=45，故只能為45。4．ACD解析：a?=S?=1-2=-1，a?=S?-S?=(4-4)-(-1)=1？修正：S?=22-2×2=0，a?=0-(-1)=1，a?=S?-S???=(n2-2n)-[(n-1)2-2(n-1)]=2n-3（n≥2），n=1時(shí)，2×1-3=-1=a?，故a?=2n-3，是等差數(shù)列，A、C、D正確，B正確？修正全正確。三、填空題（每題5分，共20分）1．120解析：S??=10×3+10×9×2/2=30+90=120。2．2?解析：q3=a?/a?=8，q=2，a?=a?q??2=4×2??2=2?。3．3?-1解析：a???+1=3(a?+1)，數(shù)列{a?+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)3，公比3，故a?+1=3?，a?=3?-1。4．242，18解析：前5項(xiàng)和S?=3?-1=243-1=242；a?=S?-S?=(27-1)-(9-1)=18。四、解答題（共70分）1．（10分）（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，由a?=7，a?=15，得：（2分）a?+2d=7，a?+6d=15，解得d=2，a?=3（3分）故a?=3+(n-1)×2=2n+1（4分）（2）S?=n(a?+a?)/2=n(3+2n+1)/2=n(n+2)（7分）S??=20×22=440（10分）2．（12分）（1）等比數(shù)列{a?}中，q3=a?/a?=8，q=2（2分）故a?=1×2??1=2??1（4分）b?=log?2??1+1=(n-1)+1=n（6分）（2）數(shù)列{b?}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列（8分）T?=n(b?+b?)/2=n(1+n)/2=(n2+n)/2（12分）3．（12分）（1）S?=4a?，a?+a?=4a?，1+a?=4a?，a?=1/3（2分）S?=9a?，a?+a?+a?=9a?，1+1/3+a?=9a?，a?=1/6（4分）（2）猜想a?=2/[n(n+1)]（6分）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a?=2/(1×2)=1，成立（7分）②假設(shè)n=k時(shí)成立，即a?=2/[k(k+1)]（8分）當(dāng)n=k+1時(shí)，S???=(k+1)2a???，S?=k2a?（9分）a???=S???-S?=(k+1)2a???-k2a?（10分）整理得：a???=[k2/(k+1)2-1]a?=[k2/(k2+2k)]×2/[k(k+1)]=2/[(k+1)(k+2)]，成立（11分）由①②知，猜想成立（12分）4．（12分）（1）2025年年初投資100萬元，2026年年初投資100×1.1萬元，2027年年初投資100×1.12=100×1.21=121萬元（4分）（2）五年投資總額為100+100×1.1+100×1.12+100×1.13+100×1.1?（6分）=100×(1.1?-1)/(1.1