/2025-2026學(xué)年四川省綿陽市三臺縣九年級上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題

1.剪紙是中國的傳統(tǒng)文化之一，剪紙圖案中一般蘊(yùn)含著對稱美，下列圖案中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（

）A. B. C. D.

2.下列各事件，是必然事件的是（

）A.擲一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是3B.某同學(xué)投籃球，一定投不中C.通常加熱到100°D.經(jīng)過紅綠燈路口時，遇到紅燈

3.將拋物線y=2(x?1)A.y=2(x?2)2

4.已知實(shí)數(shù)a是關(guān)于x的一元二次方程x2?3x?A.?4 B.?2 C.2

5.一根鋼管放在V形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是30cm，如果VT=60cm，則∠UVW=A.30° B.45° C.50°

6.關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2?3x+A.k≥94 B.k≤94

7.如圖，一次函數(shù)y1=kx+b與反比例函數(shù)y2=ax的圖象交于A(1,A.x<0或1<x<4 B.x<1或x

8.正六邊形蜂巢的建筑結(jié)構(gòu)密合度最高、用材最少、空間最大、也最為堅固．如圖，某蜂巢的房孔是邊長為4的正六邊形ABCDEF，點(diǎn)O是正六邊形的中心，則BF的長為（

）

A.8 B.43 C.42

9.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)向終點(diǎn)C以每秒1個單位長度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)向終點(diǎn)A以每秒2個單位長度移動，P,QA.1 B.5 C.1或5 D.2或4

10.石拱橋是中國傳統(tǒng)的橋梁四大基本形式之一，是用天然石料作為主要建筑材料的拱橋，以歷史悠久，形式優(yōu)美，結(jié)構(gòu)堅固等特點(diǎn)聞名于世，它的主橋是圓弧形．如圖，某石拱橋的跨度AB（AB所對的弦的長）約為36m，拱高CD（AB的中點(diǎn)到弦AB的距離）約為6m，則AB所在圓的半徑OA為（

）

A.30m B.27m C.617

11.如圖，圓錐的軸截面（過圓錐頂點(diǎn)和底面圓心的截面）是邊長為6cm的等邊三角形ABC，點(diǎn)D是母線AC的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)B出發(fā)沿圓錐的表面爬行到點(diǎn)D處，則這只螞蟻爬行的最短距離是（

）

A.3cm B.33cm C.3

12.如圖，是一個三角形點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點(diǎn)，第二行有2個點(diǎn)……第n行有n個點(diǎn)，則前n行的所有點(diǎn)的和可能為（

）

A.2016 B.2023 C.2024 D.2025二、填空題

13.方程x2

14.已知點(diǎn)A(2,m)和點(diǎn)B(?2,?3

15.一個不透明的袋子里裝有紅球和白球共m個，它們除顏色外完全相同，每次攪勻后從中隨機(jī)摸出一個球并記下顏色，再放回袋中，經(jīng)過大量重復(fù)實(shí)驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.40左右，已知袋子里白球有20個，根據(jù)此信息，可估計m的值為______________．

16.如圖，⊙O的半徑為2，弦AB=23，則⊙O上到直線AB的距離為

17.在體育課上，小穎站在操場上的O點(diǎn)練習(xí)擲實(shí)心球，發(fā)現(xiàn)若不考慮空氣阻力，實(shí)心球的飛行路線是一條拋物線．如圖，已知實(shí)心球出手時的高度OA=53米，當(dāng)飛行到與點(diǎn)O的水平距離為4米時達(dá)到最大高度3米，則小穎這次實(shí)心球訓(xùn)練的成績?yōu)開_____________米（即OB的長度）．

18.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作⊙C，過AB上的動點(diǎn)P作⊙C的切線PD，PE，過劣弧DE上一點(diǎn)Q作⊙C的另一條切線分別交三、解答題

19.解方程：2y2?3y=1．

(2)如圖，在方格紙上，每個小方格都是邊長為1的正方形，△ABC的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將△ABC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′B′C′（其中A，B，C

20.隨著智能時代的到來，快捷方便的支付方式已被人們認(rèn)可，生活中除了現(xiàn)金、刷卡支付以外，還有微信、支付寶以及刷臉支付等．星期天，溫迪和張亮兩人去游樂場玩，到售票處買票時，他倆都想從“刷卡”、“現(xiàn)金”、“微信”、“支付寶”四種支付方式中選擇一種方式進(jìn)行支付．（1）溫迪用“微信”支付的概率是______．（2）請用樹狀圖（或列表法），求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率．

21.今年某超市以每件30元的進(jìn)價購進(jìn)一批商品，當(dāng)商品售價為每件40元時，9月份銷售500件，第10月和第11月這兩個月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)上漲，11月份的銷售量達(dá)到720件．（1）求第10月和第11月這兩個月銷售量的月平均增長百分率；（2）經(jīng)市場預(yù)測，12月份的銷售量將與11月份持平，現(xiàn)商場為了減少庫存，采用降價促銷方式，若該商品每降價1元，月銷售量增加180件，當(dāng)商品每件降價多少元時，商場12月可以達(dá)到最大利潤？最大利潤是多少元？

22.如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為BC延長線上一動點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到AE，直線CE與AB交于點(diǎn)F．過點(diǎn)E作EG∥AC交AB的延長線于點(diǎn)G（1）若∠BAE=45（2）求證：BD=

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx(k>0,x>0)第一象限的圖象上，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，以O(shè)A（1）求k的值；（2）過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，BC，BF分別與反比例函數(shù)y=kx(k

24.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE上一點(diǎn)，DF=DB，連接BF并延長交⊙O于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作MN∥BD，分別交DC，BA的延長線于點(diǎn)M,N,連接BM交⊙O（1）求證：∠CHM（2）求證：MN是⊙O（3）若BDCD=58，

25.如圖1，拋物線y=ax2?2x+c(a≠0)與x（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時，過點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線于點(diǎn)D，連接AP，DP，DP與BC相交于點(diǎn)E．當(dāng)△APE的面積最大時，求點(diǎn)P（3）如圖2，連接AP，BP，直線BP交y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作直線BM∥AP交y軸于點(diǎn)M，求

參考答案與試題解析2025-2026學(xué)年四川省綿陽市三臺縣九年級上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.【答案】B【考點(diǎn)】軸對稱圖形中心對稱圖形【解析】此題暫無解析【解答】解：A中圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

B中圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，符合題意；

C中圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

D中圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意，

故選：B．2.【答案】C【考點(diǎn)】事件的分類【解析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．

本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．【解答】解：A、擲一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是6，是隨機(jī)事件，不符合題意；

B、某同學(xué)投籃球，一定投不中，是隨機(jī)事件，不符合題意；

C、通常加熱到100°C時，水沸騰，是必然事件，符合題意；

D、經(jīng)過紅綠燈路口時，遇到紅燈，是隨機(jī)事件，不符合題意；

故選：3.【答案】B【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律【解析】本題考查了二次函數(shù)圖象和結(jié)合變換，熟練掌握拋物線的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)拋物線的平移規(guī)律得到新拋物線的解析式y(tǒng)=【解答】解：∵拋物線y=2(x?1)2+2的圖象先向左平移1個單位，再向下平移24.【答案】D【考點(diǎn)】已知式子的值，求代數(shù)式的值【解析】本題考查了應(yīng)用二次方程的解，代數(shù)式求值，熟練掌握方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)題意得到a2?3【解答】解：∵實(shí)數(shù)a是關(guān)于x的一元二次方程x2?3x?1=0的根，

∴a2?5.【答案】D【考點(diǎn)】全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）切線的性質(zhì)解直角三角形的相關(guān)計算【解析】本題考查了全等三角形的判斷與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先證明△TWV?△TUV，結(jié)合半徑是30cm，VT=【解答】解：依題意，∠TWV=∠TUV=90°,UT=TW,TV=TV，

∴△TWV?△TUV，

∴∠UVW=2∠TVW6.【答案】D【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)【解析】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，會運(yùn)用根的判別式去求參數(shù)是解題的關(guān)鍵．運(yùn)用根的判別式Δ=b【解答】解：∵y=x2?3x+k的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，

7.【答案】C【考點(diǎn)】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題【解析】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，正確從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)函數(shù)圖象得到當(dāng)0<x<1或x>【解答】解：∵一次函數(shù)y1=kx+b與反比例函數(shù)y2=ax的圖象交于A(1,m)，B(4,n)兩點(diǎn)，

∴根據(jù)還是圖象可知當(dāng)0<x<8.【答案】B【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形勾股定理的應(yīng)用正多邊形的內(nèi)角問題【解析】本題根據(jù)正多邊形性質(zhì)得到∠A，AF=AB，利用等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和求得∠AFB=∠ABF=30°，作AM⊥BF【解答】解：解：由題知，AF=AB=4，

∠A=180°?360°6=120°，

∴∠AFB=∠ABF=30°，

作AM⊥BF9.【答案】A【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用——幾何問題【解析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列方程是解題的關(guān)鍵．

設(shè)移動時間為t秒，因為8÷2=4秒，所以【解答】解：設(shè)移動時間為t秒，

∵8÷2=4秒，

∴0≤t≤4，

根據(jù)題意得12×2t×(6?t)=5，

10.【答案】A【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用垂徑定理【解析】本題考查了垂徑定理的推論以及勾股定理，點(diǎn)O圓心，連接OA、OB，由垂徑定理的推論可得【解答】解：如圖，點(diǎn)O圓心，連接OA、OB，

由題意可得，CD=6m，AD=12AB=18m，OD⊥AB，

∴∠ADO=90°，

設(shè)圓的半徑為xm，則OD=(x11.【答案】C【考點(diǎn)】求圓錐側(cè)面積勾股定理的應(yīng)用——求最短路徑【解析】根據(jù)圓錐的軸截面是邊長為4cm的等邊三角形可知，展開圖是半徑是4的半圓．點(diǎn)B是半圓的一個端點(diǎn)，而點(diǎn)D是平分半圓的半徑的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理就可求出兩點(diǎn)B和D在展開圖中的距離，就是這只螞蟻爬行的最短距離．

【解答】解：∵圓錐的底面周長是6π，則6π=nπ×6180，

∴n=180°即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180°，

∴在圓錐側(cè)面展開圖中AD=3，AB=6，∠12.【答案】A【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類解一元二次方程-因式分解法根的判別式【解析】本題考查了一元二次方方程的應(yīng)用，先求出前n行的點(diǎn)數(shù)之和，再分別求出該代數(shù)式的值分別為2016、2023、2024、2025時n的值是否為整數(shù)，再判斷即可得解．【解答】解：由題意可得：前n行的點(diǎn)數(shù)之和為1+2+3+…+n=12n(n+1)，

若前n行的點(diǎn)數(shù)之和為2016，則12n(n+1)=2016，

∴n2+n?4032=0即(n+64)(n?63)=0，

解得：n=?64（舍去）或n=63，即前63行的點(diǎn)數(shù)之和為2016，故A符合題意；

若前n行的點(diǎn)數(shù)之和為2023，則12n(n+1)=2023，

∴n2+n?二、填空題13.【答案】x1=【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法【解析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解題的關(guān)鍵是熟記常見的解法，直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法及正確掌握一元二次方程的解法．【解答】解：x2=3x

x2?3x=0

x(x14.【答案】【考點(diǎn)】由反比例函數(shù)圖象的對稱性求點(diǎn)的坐標(biāo)【解析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)題意得出點(diǎn)A(2,m)【解答】解：∵點(diǎn)A(2,m)和點(diǎn)B(?2,?3)都在反比例函數(shù)y=k15.【答案】【考點(diǎn)】已知概率求數(shù)量利用頻率估計概率【解析】本題考查了概率公式，利用概率公式求出球的總個數(shù)即可解題．【解答】解：m=20÷0.4016.【答案】【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離勾股定理的應(yīng)用利用垂徑定理求值【解析】本題考查了垂徑定理，勾股定理以及點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是先求出圓心到直線AB的距離，再結(jié)合圓的半徑判斷圓上到直線AB距離為1的點(diǎn)的個數(shù)．先作OC⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)F，利用垂徑定理求出AC的長度，再在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理求出OC的長度，最后根據(jù)OC及CF的長度，圓的半徑與1【解答】解：過O作OC⊥AB于C，交⊙O于點(diǎn)F，連接OA，過O作OD?//?AB交⊙O與E、D兩點(diǎn)，

∵OC⊥AB,OC過圓心O,AB=23，

∴AC=BC=3，∠OCA=90°,

由勾股定理得：

OC=OA217.【答案】【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用——投球問題待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【解析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)題意可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,53，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3)【解答】解：根據(jù)題意可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,53，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3)，

設(shè)拋物線解析式為y=a(x?4)2+3，

將0,53代入y=a(x?4)2+3得a18.【答案】2【考點(diǎn)】垂線段最短勾股定理的應(yīng)用應(yīng)用切線長定理求解【解析】本題考查切線長定理，勾股定理，垂線段最短，先根據(jù)切線長定理得到△PMN的周長為2PE，然后連接PE，CE，則∠CEP=90°，即可得到當(dāng)PC⊥【解答】解：∵PD，PE，MN是⊙C的切線，

∴PD=PE，MD=MQ，NQ=NE，

∴△PMN的周長為PM+MN+PN=PM+MD+PN+NE=PD+PE=2PE，

連接PE，CE，則∠CEP=90°，

∵⊙C的半徑不變，

∴PE長隨著PC的變化而變化，

即當(dāng)PC最小時，PE最小，△PMN的周長最?。?/p>

三、解答題19.【答案】y1=3+174【考點(diǎn)】解一元二次方程-公式法求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動路徑長度生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象【解析】此題暫無解析【解答】本題考查解一元二次方程，畫旋轉(zhuǎn)圖形，求弧長，掌握這些知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵：

(1)利用公式法解一元二次方程即可；

(2)①根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)A′、B′、C′的位置，然后順次連接即可；

②利用勾股定理列式求出OA的長，再根據(jù)弧長公式列式計算即可得解．

解：(1)移項，得2y2?3y?1=0．

∵a=2，b=?3，c=?1，

∴Δ=b2?20.【答案】1樹狀圖見解析，1【考點(diǎn)】根據(jù)概率公式計算概率列表法與樹狀圖法【解析】（1）溫迪在四種支付方式中選擇“微信”支付，屬于四種方案中的一種；（2）先畫出所有可能，再找出其中兩人使用同種支付方式的次數(shù)，再求概率．【解答】（1）解：∵選擇任意一種支付方式的概率相同，

∴溫迪選擇“微信”支付的概率為14，

故答案為：1（2）設(shè)刷卡為1，現(xiàn)金為2，微信為3，支付寶為

樹狀圖如下：

兩人選擇的支付方式所有等可能的結(jié)果共有16種，其中兩人恰好選擇同一種支付方式的情況有4種，故P（兩人恰好選擇同一種支付方式）=41621.【答案】20當(dāng)每件商品降價3元時，商場12月份可以達(dá)到最大利潤，最大利潤為8820元【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用——增長率問題二次函數(shù)的應(yīng)用——銷售問題【解析】（1）設(shè)第十，十一這兩月銷售量的月平均長率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程，即可求解；（2）設(shè)該商品每件減價m元，商場第12月份的利潤為w元．根據(jù)題意列出二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值，即可求解．【解答】（1）解：設(shè)第十，十一這兩月銷售量的月平均長率為x．

根據(jù)題意，得500(1+x)2=720，

化簡，得(1+x)2=（2）設(shè)該商品每件減價m元，商場第12月份的利潤為w元．

由題意得，w=(40?30?m)(720+180m)，

即w=?180(m?3)2+22.【答案】45見解析【考點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）等邊三角形的性質(zhì)【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC，然后根據(jù)∠BAE+∠CAD（2）先根據(jù)AAS證明△EAG?△ADB，即可得到EG【解答】（1）解：證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC．

∵∠DAE=（2）∵EG∥AC，

∴∠G=∠BAC=∠ABC=60°．

在△EAG和△ADB中，

∠BAE=∠D，∠G=∠ABD，AE=AD，?

∴△23.【答案】9x【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題利用平行四邊形的性質(zhì)求解根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題【解析】（1）過點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，在Rt△AOG中，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到AG=33（2）根據(jù)題意得到四邊形ABFG為矩形，BF=AG=33，則EF=334，OC=AB=GF【解答】（1）解：過點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，

在Rt△AOG中，∠AOG=60°，

∴∠OAG=30°，

∴OG=1（2）解：由(1)可得反比例函數(shù)解析式為y=93x，

∵四邊形OABC為平行四邊形，

∴AB∥x軸，

∴四邊形ABFG為矩形，

∴BF=AG=33，

∵BE=3EF，

∴EF=14BF=334，

在y=93x中，令y=334，即334=93x，

解得x=12，即OF=12，

∴OC=24.【答案】見解析見解析9【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用圓周角定理證明某直線是圓的切線已知圓內(nèi)接四邊形求角度【解析】（1）連接AD，根據(jù)圓周角定理，直角三角形的兩個銳角互余，圓內(nèi)接四邊形等知識即可得到結(jié)論；（2）連接OG，由DF=DB，得∠DBF=∠DFB，由MN∥BD，得∠MGF=∠DBF，進(jìn)而得（3）連接OD，OM，設(shè)BD=5a，則DF=BD=5a，CD=8a，DE=4a，EF=a，BE=BD2?DE2=3a．BF【解答】（1）解：證明：如圖，連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠