遼寧省營口市普通高中2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列直線中，傾斜角為的是（

）A． B． C． D．2．若點(diǎn)在雙曲線上，則到該雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為（

）A． B． C． D．103．設(shè)空間向量，則（

）A．6 B．9 C．-6 D．-94．設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，的橫坐標(biāo)與的橫坐標(biāo)相等，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（

）A．長軸長為，短軸長為4，焦點(diǎn)在軸上的橢圓B．長軸長為，短軸長為4，焦點(diǎn)在軸上的橢圓C．長軸長為，短軸長為，焦點(diǎn)在軸上的橢圓D．長軸長為，短軸長為，焦點(diǎn)在軸上的橢圓5．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．6．若雙曲線的焦距為4，直線與交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（

）A．2 B． C．1 D．7．當(dāng)時(shí)，圓與圓的位置關(guān)系不可能是（

）A．內(nèi)含 B．相交 C．外離 D．外切8．如圖，若平行光線與平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈橢圓形，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．在四面體PABC中，分別為棱PB，AC的中點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．10．若圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則的取值可以是（

）A． B． C． D．11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為為上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為0B．的最大值為C．若存在點(diǎn)，使得的斜率分別為，則的離心率可能為D．若存在點(diǎn)，使得的斜率分別為，則的離心率可能為三、填空題12．兩條平行直線之間的距離為.13．若雙曲線與橢圓有公共點(diǎn)，則的實(shí)軸長的取值范圍是，的離心率的取值范圍是.14．在正方體中，為線段的中點(diǎn)，為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn).若，且，則點(diǎn)的軌跡長度為.四、解答題15．（1）分別求直線在軸、軸上的截距；（2）求過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程；（3）若直線的傾斜角為，求直線的傾斜角.16．已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，虛軸長為4，且漸近線方程為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為上異于頂點(diǎn)，的動(dòng)點(diǎn)，證明直線與的斜率之積為定值，并求該定值.17．在四棱錐中，底面.(1)證明：平面CDE.(2)設(shè).（i）求直線AD與平面BCE所成角的正弦值；（ii）證明：平面CDE與平面BCE的夾角的余弦值小于.18．已知點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，求的最大值.(3)過點(diǎn)的動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)，試問軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值?若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.19．已知橢圓的右頂點(diǎn)為，的兩個(gè)焦點(diǎn)為，且.(1)求的方程.(2)設(shè)直線與相交于A，B兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.（i）若，的橫坐標(biāo)大于的橫坐標(biāo)，求直線AD的斜率.（ii）試問直線AD是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

參考答案1．C【詳解】若直線的傾斜角為，則該直線的斜率為，所以這四條直線中，傾斜角為的是.故選：C2．B【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長為，則，所以到該雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為.故選：B.3．B【詳解】因?yàn)?，所以，解得故選：B.4．D【詳解】設(shè)，，則（*），，由，，則，即有，將其代入（*），，化簡得，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為長軸長為，短軸長為，焦點(diǎn)在軸上的橢圓.故選：D.5．A【詳解】因?yàn)?，平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：A.6．A【詳解】由雙曲線的焦距為4，得，解得.設(shè)，則，則，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，所以，所以.故選：A.7．C【詳解】由題意圓，圓的圓心分別為，則，又圓，圓的半徑分別為，兩圓的圓心距，因?yàn)?，所以兩圓半徑之和.即.而兩圓外離的條件是，故兩圓的位置關(guān)系不可能是外離.故選：C.8．B【詳解】設(shè)球的半徑為，球的大圓在光線照射下形成橢圓形，易知橢圓的長半軸長，短半軸長，因?yàn)?，所?故選：B9．AB【詳解】因?yàn)镈，E分別為棱PB，AC的中點(diǎn)，所以，A正確，C錯(cuò)誤.因?yàn)?，且，，所以，B正確.，D錯(cuò)誤.故選：AB．10．BCD【詳解】圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，依題意得，即，解得，.故選：BCD11．ABD【詳解】由題意知，設(shè)，則，對(duì)于A，，則，當(dāng)時(shí)，取最大值，所以的最大值為正確.對(duì)于B，，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值，所以的最大值為，B正確；對(duì)于C、D，設(shè)，因?yàn)?，所以，得，又，所以，C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD12．【詳解】之間的距離，即直線之間的距離為.故答案為：.13．【詳解】由，得，則，所以.因?yàn)榈纳享旤c(diǎn)的坐標(biāo)為的上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即，，所以的實(shí)軸長的取值范圍為.且，所以.故答案為：；.14．6【詳解】以為原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，，，即，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為棱的中點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為棱的中點(diǎn)，設(shè)棱的中點(diǎn)為，棱的中點(diǎn)為，連接MN，則點(diǎn)的軌跡是線段MN，，點(diǎn)的軌跡長度為6.故答案為：.15．（1）在軸、軸上的截距分別為；（2）；（3）【詳解】解：（1）（方法一）由，得，所以直線在軸、軸上的截距分別為.（方法二）令，得，令，得，所以直線在軸、軸上的截距分別為.（2）（方法一）依題意設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，解得，所以所求直線的方程為.（方法二）因?yàn)橹本€的斜率為，所以所求直線的斜率為2，所以所求直線的方程為，即（或）.（3）（方法一）因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以，又直線的斜率為，所以，所以直線的傾斜角為.（方法二）因?yàn)橹本€的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，所以這兩條直線的傾斜角互補(bǔ)，所以直線的傾斜角為.16．(1)；(2)證明見解析，定值為4.【詳解】（1）依題意可設(shè)的方程為，則解得，，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：設(shè)，則，即，不妨設(shè)為左頂點(diǎn)，則，，則，

所以直線與的斜率之積為定值，且該定值為4.17．(1)證明見解析(2)（i）；（ii）證明見解析【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫鍯DE，所以平面CDE.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，,

則.

設(shè)平面BCE的法向量為，則，令，得.

（i）設(shè)直線AD與平面BCE所成角為，因?yàn)?，所以，所以直線AD與平面BCE所成角的正弦值為.

（ii）證明：設(shè)平面CDE的法向量為，則,令，得.

設(shè)平面CDE與平面BCE的夾角為，由，所以平面CDE與平面BCE的夾角的余弦值小于

.18．(1)(2)(3)存在；【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，，而，故，化簡得：，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立得：，故，根據(jù)弦長公式得：，令，，

故，設(shè)，易知在上單調(diào)遞減，故當(dāng)，最大，即最大，此時(shí)，故（舍）或，故最大值為.（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，過點(diǎn)的動(dòng)直線為：.聯(lián)立得：，故，，，又，位于過點(diǎn)的動(dòng)直線：上，故，.則，將代入上式，得：，若使為定值，則必須為常數(shù)，而且與無關(guān)，故此時(shí)只能為.當(dāng)直線的方程為時(shí)，也成立，故存在點(diǎn)，使得，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為.19．(1)(2)（i）；（ii）直線AD過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得?/p>

則，

\則，又因?yàn)闄E圓C的右頂點(diǎn)為，故，

所以，所以的方