第4章

三角形4.2命題與證明第4章

三角形課堂小結(jié)獲取新知知識回顧例題講解4.2第1課時

定義、命題隨堂演練知識回顧若一個數(shù)是一個無限不循環(huán)小數(shù)，則把這個數(shù)叫作無理數(shù).我們前面學習了許多概念，如：連接兩點的線段的長度，叫作這兩點的距離.結(jié)論像這樣，對一個概念的含義加以描述說明，或者作出明確規(guī)定的語句，叫作這個概念的定義.獲取新知注意（1）定義是對一個概念的獨有的特征性質(zhì)的描述；（2）定義既可以作為概念的性質(zhì)，也可以作為概念的判定方法，在幾何推理中常常作為問題求解的依據(jù)。（3）定義的常見句型是陳述句，定義的一般形式有“……叫作……”“……稱為……”“……是指……”“……是……”等（4）給概念下定義必須是嚴密的，語句不能含糊不清。（1）三角形的內(nèi)角和等于180°；（2）如果|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；（4）-1是自然數(shù)；（5）對頂角相等.下列語句有哪些共同點？議一議獲取新知（1）都是陳述句，都在敘述一件事情；（2）都能夠判斷出正確與否.敘述一件事情的句子（陳述句），要么是真的，要么是假的，兩者必居其一，我們稱這個陳述句是一個命題.概念認知如果一個命題敘述的事情是真的，就說它是真命題；如果一個命題敘述的事情是假的，就說它是假命題（1）命題必須是一個完整的句子。（2）這個句子必須能對某件事情作出肯定或者否定的判斷，二者缺一不可。命題的定義包含兩層含義：不管是對某件事的肯定還是否定，只要是起判斷作用的、完整的句子就是命題。下列命題的敘述方式有什么共同點？1、

如果一個三角形中有一個直角，那么這個三角形是直角三角形；2、如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形中有一個角是直角．

它們的敘述方式都是“如果……，那么……”的形式.觀察如果那么如果那么結(jié)論

對于“如果……，那么……”形式的命題，通常把“如果”引出的部分稱為條件，把“那么”引出的部分稱為結(jié)論．1、

如果一個三角形中有一個直角，那么這個三角形是直角三角形；2、如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形中有一個角是直角．條件結(jié)論條件結(jié)論這兩個命題有什么關(guān)聯(lián)性？

對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，我們把這樣的兩個命題稱為互逆命題，其中一個叫作原命題，另一個叫作逆命題.

從上我們可以看出，只要將一個命題的條件和結(jié)論互換，就可得到它的逆命題，所以每個命題都有逆命題.概念認知例1.下面兩個命題是互逆命題嗎？（1）如果a是整數(shù)，那么a是有理數(shù)；（2）如果a是有理數(shù)，那么a是整數(shù).解：命題（1）的條件是“a是整數(shù)”，結(jié)論是“a是有理數(shù)”.命題（2）的條件是“a是有理數(shù)”，結(jié)論是“a是整數(shù)”.由于命題（1）的條件和結(jié)論分別是命題（2）的結(jié)論和條件，于是，命題（1）與命題（2）是互逆命題.例題講解由此可知，一個命題為真命題時，它的逆命題不一定是真命題.命題（1）為真命題，命題（2）為假命題.

有時為了敘述簡便，對于“如果......，那么.......”“若.........，則.........”形式的命題也可以省略關(guān)聯(lián)詞“如果（若）”“那么（則）”.指出下面命題的條件和結(jié)論，并將其改寫成“如果…,那么…”的形式：（1）能被2整除的數(shù)是偶數(shù)；如果一個數(shù)能被2整除，那么這個數(shù)是偶數(shù)．改寫：條件：能被2整除的數(shù)，結(jié)論：是偶數(shù)．做一做（2）平行于同一直線的兩條直線平行.如果兩條直線平行于同一直線，那么這兩條直線平行．改寫：條件：兩條直線平行于同一直線，結(jié)論：兩條直線平行．1、

下列語句中，哪些是命題，哪些不是命題？（2）兩點之間線段最短；（4）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.（3）任意一個三角形的三條中線都相交于一點嗎？（1）如果x=3，求的值；不是命題是命題不是命題是命題隨堂演練2.

寫出下列命題的逆命題：（2）如果m是整數(shù)，那么它也是有理數(shù)；（3）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；解：（1）絕對值相等的兩個數(shù)相等（2）如果m是有理數(shù)，那么它也是整數(shù)（3）內(nèi)錯角相等，兩直線平行（1）若兩數(shù)相等，則它們的絕對值也相等；（4）兩邊相等的三角形是等腰三角形.（4）等腰三角形的兩邊相等3.

將下列命題改寫成“如果……，那么……”的形式.（1）兩條直線相交，只有一個交點；（2）個位數(shù)字是5的整數(shù)一定能被5整除；解：（1）如果兩條直線相交，那么這兩條直線只有一個交點.（2）如果一個整數(shù)的個位數(shù)字是5，那么這個數(shù)一定能被5整除.（4）三角形的一個外角大于它的任何一個內(nèi)角.（3）互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和等于0；（3）如果兩個數(shù)是互為相反數(shù)，那么這兩個數(shù)之和等于0.（4）如果某角是三角形的外角，那么這個角大于它的任何一個內(nèi)角.命題命題的形式如果……，那么……→結(jié)論條件↑↑原命題→表示：如果A，那么B逆命題→↑↓表示：如果B，那么A定義課堂小結(jié)定義與命題→含“是”“就是”“叫作”“稱為”等概括性詞第4章

三角形課堂小結(jié)獲取新知知識回顧例題講解4.2第2課時

證明、舉反例隨堂演練知識回顧命題原命題逆命題真命題假命題真命題假命題如何判斷一個命題是假命題呢？獲取新知由“0.1是有理數(shù)，但不是整數(shù)”可知，命題“若a是有理數(shù)，則a是整數(shù)”是假命題.又如，由“0的絕對值是0，不是正數(shù)”可判斷“有理數(shù)的絕對值是正數(shù)”是假命題.一般地，對于一個命題，如果能舉出一個例子，使之符合命題條件，但不滿足命題結(jié)論，就可判斷該命題為假命題，這種做法稱為舉反例.例2命題“如果ab=0，那么a=0”是真命題還是假命題.例題講解解：1×0=0，但是1≠0，因此“如果ab=0，那么a=0”是假命題.用舉反例的方法說明下列命題是假命題.做一做（1）若a2=b2，則a=b；（2）一個角的余角大于這個角；（3）若a，b是有理數(shù)，則|a+b|=|a|+|b|；（4）如果∠A=∠B，那么∠A與∠B是對頂角.解：（1）（-1）2=12，-1≠1；（2）80°角的余角為10°，10°＜80°；（3）a=2，b=-3，|a+b|=|2-3|=1，|a|+|b|=2+3=5，1≠5；（4）兩個直角三角板的90°角不相互接觸，并不是對頂角如何判斷一個命題是真命題呢？獲取新知

像此例那樣判斷一個命題是真命題，通常需從命題的條件出發(fā)，運用定義、基本事實以及已經(jīng)判斷其成立的真命題，進行邏輯推理、計算，得出這個命題的結(jié)論成立.這一過程就是通常所說的證明.命題：如果a是整數(shù)，那么a是有理數(shù)；解

如果a是整數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的定義：“整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”，得出a是實數(shù).因此命題為真．

判斷下面命題是真命題的依據(jù)是什么？例3證明：如果實數(shù)a≠0，或?qū)崝?shù)b≠0，那么a2+b2≠0.例題講解證明：若a≠0，則a2為正數(shù).又b2為正數(shù)或0，從而a2+b2為正數(shù)，因此a2+b2≠0.同理可得，若b≠0，則a2+b2≠0.例4證明ΔABC的三個內(nèi)角中至少有一個角大于或等于60°.例題講解證明：假設ΔABC的三個內(nèi)角中沒有一個大于或等于60°.則∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°,從而∠A+∠B+∠C＜60°+60°+60°=180°這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”矛盾，故假設不成立，因此△ABC的三個內(nèi)角中至少有一個角大于或等于60°.

當直接從條件出發(fā)證明一個命題比較困難時，可以先假設命題不成立，從這樣的假設出發(fā)，經(jīng)過推理得出與已知條件、定義、基本事實、真命題等產(chǎn)生矛盾，得出假設不成立，從而判斷所求證命題正確.這種證明方法叫作反證法.概念認知反證法基本步驟：假設命題不成立導出矛盾肯定結(jié)論1、

舉反例說明下列命題是假命題：（1）兩個銳角的和是鈍角；（2）如果數(shù)a，b的積ab＞0，那么a，b都是正數(shù)；（3）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等.答：直角三角形的兩個銳角和不是鈍角.答：-1和-3的積是(-1)×(-3)>0，-1和-3不是正數(shù).答：兩條相交的直線a、b被第三條直線l所截，它們的同位角不相等隨堂演練2.

證明：在同一平面內(nèi)，如果直線a∥b，l⊥a，那么l⊥b.證明：兩條平行線被第三條直線所截形成同位角相等，l⊥a，則l⊥b3.

用反證法證明：如果ab=0，那么a=0或b=0.證明：假設a≠0且b≠0，則此時ab≠0，與條件不符，即假設不成立.故若ab=0，那么a=0或b=0.舉反例基本事實定義假命題真命題正向證明證明命題課堂小結(jié)反證法第4章

三角形課堂小結(jié)獲取新知知識回顧例題講解4.2第3課時

定理、推論隨堂演練知識回顧判斷假命題的方法：判斷真命題的方法：舉反例.利用定義或基本事實等證明；反證法.獲取新知經(jīng)過證明為真的命題叫作定理.例如，“三角形的內(nèi)角和等于180°”稱為“三角形的內(nèi)角和定理”.利用某個定理直接推導出的真命題叫作這個定理的推論.例如，利用“三角形的內(nèi)角和定理”可直接推出“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”，于是可將這一結(jié)論稱為“三角形的內(nèi)角和定理的推論”，通常將該推論簡稱為“三角形外角定理”.如圖，在ΔABC中，已知∠BAC=80°，∠ABC=60°，∠BCA=40°，∠ACE，∠CBD，∠BAF是ΔABC的三個外角，問：這三個外角的和等于多少度？探

究解：因為∠ACE=180°-40°=140°，∠CBD=180°-60°=120°，∠BAF=180°-80°=100°，所以∠ACE+∠CBD+∠BAF=140°+120°+100°=360°由此你能猜測出什么結(jié)論？證明：因為∠BAF

=∠2+∠3，∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），所以∠BAF

+∠CBD+∠ACE

=2（∠1+∠2+∠3）（等式的性質(zhì)）.因為∠1+∠2+∠3=180°（三角形內(nèi)角和定理），所以∠BAF

+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.證明：三角形的外角和為360°.由此可得三角形的外角和等于360°.兩直線平行，同位角相等（同位角相等，兩直線平行如果一個定理的逆命題被證明是真命題，那么就稱它為原定里的逆定理，并將這兩個定理稱為互逆定理.互逆定理例１．已知：在△ABC中，∠B=∠C，點D在線段BA的延長線上，射線AE平分∠DAC.求證：AE∥BC.證明：∵∠DAC=∠B+∠C

（三角形外角定理），∠B＝∠C

（已知），∴∠DAC=2∠B

（等式的性質(zhì)）.∴∠DAE

=∠B（等量代換），∴

AE∥BC

（同位角相等，兩直線平行）.又∵AE平分∠DAC（已知），∴∠DAC

=2∠DAE（角平分線的定義）.例題講解1、在括號內(nèi)填上理由.已知：如圖，∠A+∠B=180°.求證：∠C+∠D=180°.證明：∵∠A+