二次函數(shù)第2課時二次函數(shù)的應(yīng)用要點梳理

一般地，形如

(a，b，c是常數(shù)，

)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．y＝ax2＋bx＋ca

≠０[注意](1)等號右邊必須是整式；(2)自變量的最高次數(shù)是2；(3)當(dāng)b＝0，c＝0時，y＝ax2是特殊的二次函數(shù)．1.二次函數(shù)的概念二次函數(shù)y=a(x-h)2+ky＝ax2＋bx＋c開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)最值a＞0a＜0增減性a＞0a＜02.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：a＞0開口向上a＜0開口向下x=h(h,k)y最小=ky最大=k在對稱軸左邊,x↗y↘;在對稱軸右邊,x↗y↗在對稱軸左邊,x↗y↗;在對稱軸右邊,x↗y↘y最小=y最大=3.二次函數(shù)圖象的平移y＝ax2左、右平移

左加右減上、下平移

上加下減y＝-ax2寫成一般形式沿x軸翻折4.二次函數(shù)表達(dá)式的求法1．一般式法：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)2．頂點法：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)3．交點法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)5.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和x軸交點有三種情況:有兩個交點,有兩個重合的交點,沒有交點.當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和x軸有交點時,交點的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0時自變量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和x軸交點一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根一元二次方程ax2＋bx＋c=0根的判別式（b2-4ac）有兩個交點有兩個相異的實數(shù)根b2-4ac>0有兩個重合的交點有兩個相等的實數(shù)根b2-4ac=0沒有交點沒有實數(shù)根b2-4ac<06.二次函數(shù)的應(yīng)用1．二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下兩個方面(1)用二次函數(shù)表示實際問題變量之間的關(guān)系，解決最大化問題(即最值問題)；(2)利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解．2．一般步驟：(1)找出問題中的變量和常量以及它們之間的函數(shù)關(guān)系；(2)列出函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍；(3)利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決實際問題；(4)檢驗結(jié)果的合理性，是否符合實際意義．1.(2024·梧州)我市某超市銷售一種文具，進(jìn)價為5元/件．售價為6元/件時，當(dāng)天的銷售量為100件．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：售價每上漲0.5元，當(dāng)天的銷售量就減少5件．設(shè)當(dāng)天銷售單價統(tǒng)一為x元/件(x≥6，且x是按0.5元的倍數(shù)上漲)，當(dāng)天銷售利潤為y元．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍)；(2)要使當(dāng)天銷售利潤不低于240元，求當(dāng)天銷售單價所在的范圍；(3)若每件文具的利潤不超過80%，要想當(dāng)天獲得利潤最大，每件文具售價為多少元？并求出最大利潤．考法1利潤問題2.進(jìn)價為5元/件．售價為6元/件時，當(dāng)天的銷售量為100件．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：售價每上漲0.5元，當(dāng)天的銷售量就減少5件．設(shè)當(dāng)天銷售單價統(tǒng)一為x元/件(x≥6，且x是按0.5元的倍數(shù)上漲)，當(dāng)天銷售利潤為y元．y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝－10x2＋210x－800.(2)要使當(dāng)天銷售利潤不低于240元，求當(dāng)天銷售單價所在的范圍；考法1利潤問題(2)要使當(dāng)天利潤不低于240元，有y≥240，令y=240，由題意得∴－10x2＋210x－800＝240.解得x1＝8，x2＝13.∵－10＜0，拋物線的開口向下，∴當(dāng)天銷售單價所在的范圍為8≤x≤13；3.進(jìn)價為5元/件．售價為6元/件時，當(dāng)天的銷售量為100件．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：售價每上漲0.5元，當(dāng)天的銷售量就減少5件．設(shè)當(dāng)天銷售單價統(tǒng)一為x元/件(x≥6，且x是按0.5元的倍數(shù)上漲)，當(dāng)天銷售利潤為y元．y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝－10x2＋210x－800.(3)若每件文具的利潤不超過80%，要想當(dāng)天獲得利潤最大，每件文具售價為多少元？并求出最大利潤．考法1利潤問題4.為響應(yīng)荊州市“創(chuàng)建全國文明城市”號召，某單位不斷美化環(huán)境，擬在一塊矩形空地上修建綠色植物園，其中一邊靠墻，可利用的墻長不超過18m，另外三邊由36m長的柵欄圍成．設(shè)矩形ABCD空地中，垂直于墻的邊AB＝xm，面積為ym2(如圖)．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)若矩形空地的面積為160m2，求x的值；解(1)y＝x(36－2x)＝－2x2＋36x考法2面積問題(2)由題意：－2x2＋36x＝160解得x1＝10，x2=8.∵9≤x＜18∴x=8不符合題意∴x=105.y=-2x2+36x(9≤x＜18)(3)若該單位用8600元購買了甲、乙、丙三種綠色植物共400棵(每種植物的單價和每棵栽種的合理用地面積如下表)．問丙種植物最多可以購買多少棵？此時，這批植物可以全部栽種到這塊空地上嗎？請說明理由．

甲乙丙單價(元/棵)141628合理用地(m2/棵)0.410.4設(shè)購買了乙種綠色植物a棵，購買了丙種綠色植物b棵．由題意得14(400－a－b)＋16a＋28b＝8600∴a＋7b＝1500∵a,b為正整數(shù)∴b的最大值為214，此時a＝2.S=0.4×(400－214－2)＋1×2＋0.4×214＝161.2∵161.2<162，∴這批植物可以全部栽種到這塊空地上．解(3)y＝－2x2＋36x＝－2(x－9)2＋162∵-2<0,圖象開口向下∴x＝9時，y有最大值162.6.某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達(dá)到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，以水平方向為x軸，噴水池中心為原點建立直角坐標(biāo)系．(1)求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式；考法3建模問題-7.某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達(dá)到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，以水平方向為x軸，噴水池中心為原點建立直角坐標(biāo)系．(2)王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)？-8.(3)經(jīng)檢修評估，游樂園決定對噴水設(shè)施做如下設(shè)計改進(jìn)：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴(kuò)大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)處匯合，請?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度．∴9.(2023·遼陽)我市某化工材料經(jīng)銷商購進(jìn)一種化工材料若干千克，成本為每千克30元，物價部門規(guī)定其銷售單價不低于成本價且不高于成本價的2倍，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，日銷售量y(千克)與銷售單價x(元)符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)若在銷售過程中每天還要支付其他費用450元，當(dāng)銷售單價為多少時，該公司日獲利最大？最大獲利是多少元？考法4與一次函數(shù)綜合問題10.y=-20x+200(30≤x≤60)(2)若在銷售過程中每天還要支付其他費用450元，當(dāng)銷售單價為多少時，該公司日獲利最大？最大獲利是多少元？(2)設(shè)該公司日獲利為W元，由題意得，W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝-2x2+260x-6450∴對稱軸為x＝65∵a＝－2＜0，∴拋物線開口向下；∴當(dāng)x＜65時，W隨著x的增大而增大；∵30≤x≤60，∴x＝60時，W最大值＝－2×602＋260×60-6450＝1950.即銷售單價為每千克60元時，日獲利最大，最大獲利為1950元．11.(2024·云南)某駐村扶貧小組實施產(chǎn)業(yè)扶貧，幫助貧困農(nóng)戶進(jìn)行西瓜種植和銷售．已知西瓜的成本為6元/千克，規(guī)定銷售單價不低于成本，又不高于成本的兩倍．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某天西瓜的銷售量y(千克)與銷售單價x(元/千克)的函數(shù)關(guān)系如圖所示：(1)求y與x的函數(shù)解析式；(2)求這一天銷售西瓜獲得的利潤W的最大值

考法5分段函數(shù)問題12.已知西瓜的成本為6元/千克，規(guī)定銷售單價不低于成本，又不高于成本的兩倍．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某天西瓜的銷售量y(千克)與銷售單價x(元/千克)的函數(shù)關(guān)系如圖所示：(2)求這一天銷售西瓜獲得的利潤W的最大值．月份n(月)12成本y(萬元/件)1112需求量x(件/月)12010013.某廠按用戶的月需求量x(件)完成一種產(chǎn)品的生產(chǎn)，其中x>0.每件的售價為18萬元，每件的成本y(萬元)是基礎(chǔ)價與浮動價的和，其中基礎(chǔ)價保持不變，浮動價與月需求量x(件)成反比，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，月需求量x與月份n(n為整數(shù)，1≤n≤12)，符合關(guān)系式x＝2n2－2kn＋9(k＋3)(k為常數(shù))，且得到了表中的數(shù)據(jù)．(1)求y與x滿足的關(guān)系式，請說明一件產(chǎn)品的利潤能否是12萬元；(2)求k，并推斷是否存在某個月既無盈利也不虧損；(3)在這一年12個月中，若第m個月和第(m＋1)個月的利潤相差最大，求m.考法6含參問題月份n(月)12成本y(萬元/件)1112需求量x(件/月)12010014.某廠按用戶的月需求量x(件)完成一種產(chǎn)品的生產(chǎn)，其中x>0.每件的售價為18萬元，每件的成本y(萬元)是基礎(chǔ)價與浮動價的和，其中基礎(chǔ)價保持不變，浮動價與月需求量x(件)成反比，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，月需求量x與月份n(n為整數(shù)，1≤n≤12)，符合關(guān)系式x＝2n2－2kn＋9(k＋3)(k為常數(shù))，且得到了表中的數(shù)據(jù)．(1)求y與x滿足的關(guān)系式，請說明一件產(chǎn)品的利潤能否是12萬元；考法6含參問題月份n(月)12成本y(萬元/件)1112需求量x(件/月)12010015.某廠按用戶的月需求量x(件)完成一種產(chǎn)品的生產(chǎn)，其中x>0.每件的售價為18萬元，每件的成本y(萬元)是基礎(chǔ)價與浮動價的和，其中基礎(chǔ)價保持不變，浮動價與月需求量x(件)成反比，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，月需求量x與月份n(n為整數(shù)，1≤n≤12)，符合關(guān)系式x＝2n2－2kn＋9(k＋3)(k為常數(shù))，且得到了表中的數(shù)