2025年線性代數(shù)非同質(zhì)化代幣中的所有權(quán)證明試題一、填空題（每小題5分，共30分）某NFT平臺(tái)采用基于橢圓曲線加密的數(shù)字簽名算法，已知私鑰向量k=(2,5,3)，公鑰生成矩陣(G=\begin{pmatrix}1&0&2\0&3&1\2&1&4\end{pmatrix})，則公鑰向量P=kG的轉(zhuǎn)置向量為________。在NFT所有權(quán)轉(zhuǎn)移中，若當(dāng)前持有者地址矩陣(A=\begin{pmatrix}1&0&1\0&1&0\1&0&2\end{pmatrix})，新持有者地址向量b=(3,1,4)，則轉(zhuǎn)移驗(yàn)證方程(A\mathbf{x}=\mathbf)的解向量x為________，該解的唯一性由矩陣A的________（填“行列式”或“秩”）決定。某數(shù)字藏品平臺(tái)的用戶權(quán)限系統(tǒng)采用向量空間模型，已知基礎(chǔ)權(quán)限向量組(\alpha_1=(1,0,0,0))（查看）、(\alpha_2=(0,1,0,0))（購買）、(\alpha_3=(0,0,1,0))（轉(zhuǎn)售）、(\alpha_4=(0,0,0,1))（鑄造），則高級(jí)會(huì)員權(quán)限向量v=(1,1,1,0)在該基下的坐標(biāo)為________，該向量組的秩為________。區(qū)塊鏈賬本中某NFT的交易記錄矩陣為(T=\begin{pmatrix}1&2&0\3&1&4\2&0&5\end{pmatrix})，其特征值分別為λ?=7、λ?=3、λ?=-1，則該NFT的所有權(quán)變更次數(shù)（跡）tr(T)=，交易記錄的不可逆性由矩陣的（填“特征值”或“行列式”）非零保證。采用分片技術(shù)的NFT鏈中，每個(gè)分片賬本可視為n維線性空間的子空間，若主鏈空間維度為12，3個(gè)分片子空間的維數(shù)分別為5、4、5，且兩兩交集維數(shù)均為2，則由這3個(gè)分片生成的子空間維數(shù)為________（提示：使用維數(shù)公式(\dim(V_1+V_2+V_3)=\dimV_1+\dimV_2+\dimV_3-\dim(V_1\capV_2)-\dim(V_1\capV_3)-\dim(V_2\capV_3)+\dim(V_1\capV_2\capV_3))）。某動(dòng)態(tài)NFT的屬性值隨時(shí)間變化，其變化規(guī)律滿足線性變換(\mathcal{T}(x,y,z)=(x+2y,3y-z,x+z))，則該變換在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣表示為________，若當(dāng)前屬性向量為(2,1,3)，則下一時(shí)間步的屬性向量為________。二、選擇題（每小題4分，共20分）在NFT所有權(quán)證明中，哈希值可視為向量空間中的一個(gè)點(diǎn)，若兩個(gè)NFT的元數(shù)據(jù)哈希向量分別為h?=(3,4,1)和h?=(1,2,5)，則它們的相似度可用余弦相似度(\cos\theta=\frac{\mathbf{h}_1\cdot\mathbf{h}_2}{|\mathbf{h}_1||\mathbf{h}_2|})衡量，計(jì)算結(jié)果為（）A.12/35B.16/35C.18/35D.24/35某NFT智能合約中，所有權(quán)轉(zhuǎn)移的充要條件是轉(zhuǎn)移矩陣A滿足(A^TA=E)（E為單位矩陣），則A必為（）A.對(duì)稱矩陣B.正交矩陣C.正定矩陣D.可逆矩陣已知某NFT的交易歷史構(gòu)成向量序列x?,x?,…,x?，若存在不全為零的系數(shù)使(\sum_{i=1}^nk_i\mathbf{x}_i=\mathbf{0})，則該交易序列存在（）A.偽造記錄B.循環(huán)交易C.冗余記錄D.不可逆操作在基于矩陣簽名的NFT驗(yàn)證中，私鑰矩陣K和公鑰矩陣P滿足(P=K^TG)（G為生成矩陣），若驗(yàn)證方程(\mathbf{s}=K\mathbf{m})（s為簽名向量，m為消息向量），則用公鑰矩陣驗(yàn)證的正確方式為（）A.(\mathbf{s}=P^T\mathbf{m})B.(\mathbf{m}=P^T\mathbf{s})C.(\mathbf{s}=P\mathbf{m})D.(\mathbf{m}=P\mathbf{s})某NFT平臺(tái)的用戶權(quán)限系統(tǒng)中，管理員權(quán)限集是普通用戶權(quán)限集的線性擴(kuò)張，若普通用戶權(quán)限構(gòu)成3維子空間，則管理員權(quán)限空間的維數(shù)不可能是（）A.3B.4C.5D.6三、計(jì)算題（共35分）（10分）某數(shù)字藝術(shù)品NFT的所有權(quán)鏈由以下地址矩陣表示，其中每行代表一次所有權(quán)轉(zhuǎn)移記錄：[M=\begin{pmatrix}1&0&0&0\2&1&0&0\3&2&1&0\4&3&2&1\end{pmatrix}]（1）計(jì)算該矩陣的逆矩陣(M^{-1})，并解釋其在所有權(quán)追溯中的意義；（2）若當(dāng)前持有者地址向量為v=(5,3,2,1)，求初始創(chuàng)作者的地址向量u（提示：(\mathbf{u}=M^{-1}\mathbf{v})）。（12分）NFT元數(shù)據(jù)的完整性驗(yàn)證可通過線性方程組實(shí)現(xiàn)。已知某NFT的元數(shù)據(jù)向量m=(a,b,c,d)滿足以下校驗(yàn)方程：[\begin{cases}a+2b+c=5\2a+5b+4c+d=16\3a+8b+7c+2d=27\a+3b+3c+d=11\end{cases}]（1）寫出該方程組的增廣矩陣并求其秩；（2）判斷元數(shù)據(jù)是否存在唯一解，若存在求出m；若不存在，說明可能的篡改位置。（13分）某游戲道具NFT采用特征值分解技術(shù)記錄屬性變化，已知初始屬性矩陣為：[A=\begin{pmatrix}3&1&1\1&3&1\1&1&3\end{pmatrix}]（1）求A的特征值與特征向量；（2）將A對(duì)角化（即求正交矩陣P和對(duì)角矩陣Λ，使(P^TAP=\Lambda)）；（3）解釋特征值λ=5對(duì)應(yīng)的特征向量在NFT屬性強(qiáng)化中的物理意義。四、證明題（15分）在NFT跨鏈轉(zhuǎn)移中，設(shè)鏈A的賬本空間為n維線性空間V，鏈B的賬本空間為m維線性空間W，轉(zhuǎn)移操作可視為線性映射(\mathcal{T}:V\toW)。證明：若NFT在鏈A上的所有權(quán)向量組α?,α?,…,α?線性無關(guān)，則其在鏈B上的像向量組(\mathcal{T}(\alpha_1),\mathcal{T}(\alpha_2),\ldots,\mathcal{T}(\alpha_k))未必線性無關(guān)；當(dāng)且僅當(dāng)映射(\mathcal{T})的核空間(\ker(\mathcal{T})={\mathbf{0}})時(shí)，鏈A上的唯一所有權(quán)向量在鏈B上有唯一對(duì)應(yīng)像向量。五、應(yīng)用題（20分）某元宇宙地產(chǎn)NFT平臺(tái)采用三維坐標(biāo)系統(tǒng)標(biāo)記虛擬地塊，已知三塊相鄰地塊的坐標(biāo)分別為A(1,2,3)、B(4,5,6)、C(7,8,9)，平臺(tái)計(jì)劃在該區(qū)域部署一個(gè)公共設(shè)施NFT，要求該設(shè)施到三塊地塊的距離相等（即正交投影距離為零）。建立以A、B、C為基的仿射坐標(biāo)系，求公共設(shè)施的坐標(biāo)x=(x,y,z)滿足的線性方程組；求解該方程組，判斷公共設(shè)施的位置是否唯一，并解釋其幾何意義；若地塊D(10,11,12)加入該區(qū)域，重新判斷解的存在性，并說明這對(duì)NFT空間確權(quán)的影響。六、分析題（20分）某NFT交易所的訂單匹配系統(tǒng)采用線性規(guī)劃模型，假設(shè)：市場中有n種NFT，每種NFT的持有量向量為s=(s?,s?,…,s?)；用戶訂單構(gòu)成m×n階矩陣O，其中O??為第i個(gè)用戶對(duì)第j種NFT的需求量；交易手續(xù)費(fèi)率為r，手續(xù)費(fèi)矩陣為R=diag(r?,r?,…,r?)。建立訂單匹配的線性方程組，用矩陣形式表示交易量向量t需滿足的條件；若n=3，m=2，s=(10,15,20)，(O=\begin{pmatrix}5&8&10\3&6&7\end{pmatrix})，r=0.02，求交易量矩陣T及手續(xù)費(fèi)向量f=Rt；分析當(dāng)秩(O)＜min(m,n)時(shí)，對(duì)NFT流動(dòng)性的影響，并提出一種基于矩陣分解的改進(jìn)方案。七、開放題（10分）結(jié)合2025年NFT技術(shù)發(fā)展趨勢（如動(dòng)態(tài)NFT、跨鏈互操作性、零知識(shí)證明），提出一種基于線性代數(shù)的新型所有權(quán)證明方案，要求包含：方案的核心數(shù)學(xué)模型（向量/矩陣/線性變換的定義）；與傳統(tǒng)哈希確權(quán)的對(duì)比優(yōu)勢；可能面臨的線性代數(shù)理論挑戰(zhàn)（如高維空間稀疏性、特征值漂移等）。（注：本試題滿分150分，考試時(shí)間180分鐘，允許使用