2025年線性代數(shù)分形幾何中的自相似結(jié)構(gòu)試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）分形幾何中自相似結(jié)構(gòu)的核心特征是（）A.僅存在嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義上的完全相似B.局部與整體在統(tǒng)計(jì)意義或嚴(yán)格意義上的相似性C.必須通過無限迭代生成且不可模擬D.分形維數(shù)恒為整數(shù)設(shè)某自相似分形由迭代函數(shù)系統(tǒng)（IFS）生成，其變換矩陣為(A=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0\0&\frac{1}{2}\end{pmatrix})，平移向量為((0,\frac{1}{2}))，則該變換的相似比為（）A.(\frac{1}{4})B.(\frac{1}{2})C.(\sqrt{2})D.2康托爾三分集的構(gòu)造過程中，每次迭代將閉區(qū)間([0,1])三等分并移除中間區(qū)間，其豪斯道夫維數(shù)(D)滿足（）A.(D=\frac{\ln2}{\ln3}\approx0.63)B.(D=\frac{\ln3}{\ln2}\approx1.58)C.(D=1)（與歐氏線維數(shù)一致）D.(D=0)（退化為離散點(diǎn)集）線性代數(shù)中，分形自相似性的矩陣表示需滿足的條件是（）A.變換矩陣為正交矩陣B.變換矩陣的譜半徑等于相似比C.變換矩陣的行列式為0D.變換矩陣必可對(duì)角化謝爾賓斯基地毯的迭代規(guī)則為：將單位正方形等分為9個(gè)小正方形并移除中心1個(gè)，第(n)次迭代后剩余圖形的面積與原面積之比為（）A.(\left(\frac{2}{3}\right)^n)B.(\left(\frac{8}{9}\right)^n)C.(1-\left(\frac{1}{9}\right)^n)D.(3^n)設(shè)分形圖形由3個(gè)相似變換生成，相似比均為(\frac{1}{2})，則其豪斯道夫維數(shù)為（）A.(\log_23\approx1.58)B.(\log_32\approx0.63)C.(2)D.(\frac{3}{2})下列關(guān)于分形維數(shù)與矩陣特征值關(guān)系的描述，正確的是（）A.分形維數(shù)等于變換矩陣特征值的模長(zhǎng)之和B.相似變換矩陣的最大特征值模長(zhǎng)等于相似比C.分形維數(shù)與矩陣的秩相等D.正交變換矩陣對(duì)應(yīng)的分形維數(shù)必為整數(shù)科赫曲線的第(n)次迭代后，圖形的總長(zhǎng)度為（初始線段長(zhǎng)度為1）（）A.(\left(\frac{4}{3}\right)^n)B.(\left(\frac{3}{4}\right)^n)C.(3\times4^n)D.(4\times3^n)分形幾何中，盒計(jì)數(shù)維數(shù)的計(jì)算依賴于（）A.矩陣的奇異值分解B.不同尺度下覆蓋圖形的盒子數(shù)量的對(duì)數(shù)關(guān)系C.迭代函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)D.傅里葉變換的高頻分量設(shè)某分形的迭代函數(shù)系統(tǒng)（IFS）由以下矩陣變換構(gòu)成：[A_1=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0\0&\frac{1}{2}\end{pmatrix},\quadA_2=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0\0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\0\end{pmatrix}]則該IFS生成的分形是（）A.康托爾集B.科赫曲線C.線段([0,1])（歐氏幾何對(duì)象）D.謝爾賓斯基三角形二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）分形自相似性的線性代數(shù)本質(zhì)是：存在非奇異矩陣(A)和向量(b)，使得分形集(F)滿足(F=\bigcup_{i=1}^n(A_iF+b_i))，其中(A_i)稱為________矩陣，其算子范數(shù)(|A_i|)等于________?？坪昭┗ㄇ€由3條科赫曲線組成，其豪斯道夫維數(shù)為(\frac{\ln4}{\ln3}\approx1.26)，若初始正三角形邊長(zhǎng)為1，則第2次迭代后圖形的周長(zhǎng)為________，面積為________（用分?jǐn)?shù)表示）。設(shè)分形變換矩陣(A=\begin{pmatrix}a&0\0&a\end{pmatrix})，且該變換將面積為1的圖形映射為面積為(\frac{1}{4})的圖形，則(a=)，此時(shí)變換的相似比為。線性方程組(Ax=\lambdax)中，若(A)為分形自相似變換矩陣，則特征值(\lambda)的模長(zhǎng)與相似比(r)的關(guān)系是________；當(dāng)(|\lambda|<1)時(shí)，迭代序列(A^nx_0)將________。盒計(jì)數(shù)維數(shù)的計(jì)算公式為(D=\lim_{\epsilon\to0}\frac{\lnN(\epsilon)}{\ln(1/\epsilon)})，其中(N(\epsilon))表示用邊長(zhǎng)為(\epsilon)的盒子覆蓋分形所需的最少數(shù)量。若某分形滿足(N(0.1)=100)，(N(0.01)=10000)，則其盒計(jì)數(shù)維數(shù)為________。三、計(jì)算題（本大題共3小題，每小題15分，共45分）（矩陣與分形變換）設(shè)分形圖形由以下迭代函數(shù)系統(tǒng)生成：變換1：(A_1=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix})，(b_1=(0,0))變換2：(A_2=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix})，(b_2=\left(\frac{1}{2},0\right))變換3：(A_3=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix})，(b_3=\left(\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4}\right))（1）證明所有變換矩陣(A_i)的譜半徑均為(\frac{1}{2})；（2）計(jì)算該分形的豪斯道夫維數(shù)；（3）畫出初始圖形為正三角形時(shí)第1次迭代后的示意圖。（分形維數(shù)與特征值）已知某分形的自相似變換矩陣為：[A=\begin{pmatrix}0.4&0.3\0.3&0.4\end{pmatrix}]（1）求矩陣(A)的特征值與特征向量；（2）證明該變換的相似比等于矩陣的最大特征值；（3）若該分形由2個(gè)此類變換生成，求其豪斯道夫維數(shù)。（迭代函數(shù)系統(tǒng)與不動(dòng)點(diǎn)）設(shè)分形集(F)滿足(F=AF\cup(AF+b))，其中(A=\frac{1}{3}I)（(I)為2階單位矩陣），(b=(1,0))。（1）證明(F)是康托爾集在二維空間的推廣；（2）計(jì)算(F)的豪斯道夫維數(shù)；（3）若初始集(F_0=[0,1]\times[0,1])，求第1次迭代后(F_1=AF_0\cup(AF_0+b))的面積。四、證明題（本大題共2小題，每小題20分，共40分）證明：自相似分形集的豪斯道夫維數(shù)(D)滿足(\sum_{i=1}^nr_i^D=1)，其中(r_i)為各相似變換的相似比。（要求利用測(cè)度理論與矩陣范數(shù)性質(zhì)）設(shè)(A)為分形自相似變換矩陣，且(|A|<1)（算子范數(shù)），證明：迭代序列(F_{k+1}=AF_k+b)收斂于唯一不動(dòng)點(diǎn)(F^=(I-A)^{-1}b)，并說明該不動(dòng)點(diǎn)與分形集的關(guān)系。*五、應(yīng)用題（本大題共1小題，25分）肺支氣管的分支結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)分形特征，其迭代規(guī)則為：第(k)級(jí)支氣管直徑(d_k=d_0r^k)，分支數(shù)量(N_k=N_0m^k)，其中(d_0=2.5,\text{cm})為氣管直徑，(N_0=1)。（1）若第23級(jí)支氣管直徑(d_{23}=0.05,\text{mm})，求相似比(r)（保留4位小數(shù)）；（2）利用分形維數(shù)公式(D=\frac{\lnm}{\ln(1/r)})，若實(shí)測(cè)肺支氣管的分形維數(shù)(D\approx2.17)，求分支數(shù)量比(m)（保留整數(shù)）；（3）從線性代數(shù)角度解釋：為何分形結(jié)構(gòu)能使肺支氣管在有限體積內(nèi)最大化表面積（提示：結(jié)合矩陣變換的壓縮性與豪斯道夫維數(shù)的物理意義）。六、開放題（本大題共1小題，30分）結(jié)合2025年最新研究進(jìn)展（如中國(guó)科大842考試大綱中矩陣?yán)碚撆c分形幾何的交叉內(nèi)容），設(shè)計(jì)一個(gè)基于Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的分形自相似模型。要求：（1）給出變換矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形表示；（2）分析該模型的分形維數(shù)與矩陣特征值的關(guān)系；（3）舉例說明該模型在圖像壓縮或網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋬?yōu)化中的潛在應(yīng)用。（注：解答需包含矩陣構(gòu)造過程、維數(shù)計(jì)算步驟及應(yīng)用場(chǎng)景分析，字?jǐn)?shù)不少于3