2025年線性代數(shù)聯(lián)邦學(xué)習(xí)中的模型聚合試題一、基礎(chǔ)理論綜合題（一）矩陣表示與聯(lián)邦平均算法問題描述：假設(shè)有3個客戶端參與橫向聯(lián)邦學(xué)習(xí)，本地模型參數(shù)分別為矩陣(W_1\in\mathbb{R}^{d\timesm})、(W_2\in\mathbb{R}^{d\timesm})、(W_3\in\mathbb{R}^{d\timesm})，數(shù)據(jù)量占比分別為20%、30%、50%。寫出基于數(shù)據(jù)量加權(quán)的聯(lián)邦平均（FedAvg）全局模型聚合公式，并計算當(dāng)(W_1=\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix})，(W_2=\begin{bmatrix}5&6\7&8\end{bmatrix})，(W_3=\begin{bmatrix}9&10\11&12\end{bmatrix})時的全局模型(W_{global})。若引入正則化項(\lambda\sum_{i=1}^3|W_i-W_{global}|_F^2)（(\lambda=0.1)），推導(dǎo)聚合公式的修正形式，并分析正則化對模型參數(shù)稀疏性的影響。解答要點：加權(quán)聚合公式：(W_{global}=0.2W_1+0.3W_2+0.5W_3)，代入數(shù)據(jù)得(W_{global}=\begin{bmatrix}7&8.2\9.4&10.6\end{bmatrix})。正則化修正公式需通過拉格朗日乘數(shù)法推導(dǎo)，結(jié)果為(W_{global}=\frac{\sumw_iW_i}{1+2\lambda\sumw_i})，其中(w_i)為權(quán)重。正則化通過懲罰參數(shù)差異度，促使參數(shù)向均值收縮，可能降低稀疏性。（二）特征值分解與模型穩(wěn)定性問題描述：聯(lián)邦學(xué)習(xí)中，客戶端模型梯度矩陣(G_i)的條件數(shù)（最大特征值與最小特征值之比）直接影響聚合穩(wěn)定性。設(shè)某客戶端梯度矩陣(G=\begin{bmatrix}4&1\1&4\end{bmatrix})：計算(G)的特征值與特征向量，判斷矩陣是否正定。若另一客戶端梯度矩陣(H)的特征值為({3,5})，比較(G)與(H)的條件數(shù)，說明哪個矩陣更易導(dǎo)致聚合發(fā)散。解答要點：(G)的特征值為(\lambda_1=5)，(\lambda_2=3)，特征向量為([1,1]^T)和([1,-1]^T)，因特征值均為正，矩陣正定。(G)的條件數(shù)為(5/3\approx1.67)，(H)的條件數(shù)為(5/3\approx1.67)，兩者穩(wěn)定性相同；若(H)特征值為({1,5})，條件數(shù)為5，則(H)更易發(fā)散。二、進(jìn)階算法設(shè)計題（一）基于矩陣分解的安全聚合問題描述：為解決聯(lián)邦學(xué)習(xí)中梯度傳輸?shù)碾[私泄露問題，某方案采用奇異值分解（SVD）對梯度矩陣(G\in\mathbb{R}^{d\timesm})進(jìn)行壓縮加密，具體步驟為：客戶端：對(G)進(jìn)行SVD分解(G=U\SigmaV^T)，保留前(k)個奇異值及對應(yīng)的左/右奇異向量；服務(wù)器：聚合奇異值(\Sigma_{global}=\sumw_i\Sigma_i)，并重構(gòu)全局梯度(G_{global}=U_{global}\Sigma_{global}V_{global}^T)。若(G=\begin{bmatrix}1&2&3\4&5&6\end{bmatrix})，計算其SVD分解結(jié)果（保留2位小數(shù)），并分析當(dāng)(k=1)時的重構(gòu)誤差（F范數(shù)）。指出該方案的安全隱患，并提出結(jié)合差分隱私（DP）的改進(jìn)措施。解答要點：SVD分解結(jié)果：(U=\begin{bmatrix}-0.38&-0.92\-0.92&0.38\end{bmatrix})，(\Sigma=\begin{bmatrix}9.51&0&0\0&0.52&0\end{bmatrix})，(V^T=\begin{bmatrix}-0.47&-0.57&-0.68\0.77&0.08&-0.63\-0.43&0.82&-0.36\end{bmatrix})；(k=1)時重構(gòu)誤差為(|G-U_1\Sigma_1V_1^T|_F=0.52)。安全隱患：奇異向量可能泄露數(shù)據(jù)分布特征；改進(jìn)措施為對奇異值(\Sigma_i)添加拉普拉斯噪聲(\mathcal{Lap}(\Delta/\epsilon))，其中(\Delta)為梯度敏感度。（二）動態(tài)權(quán)重聚合與強(qiáng)化學(xué)習(xí)問題描述：針對數(shù)據(jù)異構(gòu)場景，采用強(qiáng)化學(xué)習(xí)（RL）動態(tài)調(diào)整聚合權(quán)重。設(shè)狀態(tài)空間為客戶端模型準(zhǔn)確率({a_1,a_2,...,a_n})，動作空間為權(quán)重分配({w_1,w_2,...,w_n})，獎勵函數(shù)(R=\alpha\cdotAcc_{global}-\beta\cdot\text{Var}(w_i))（(\alpha,\beta>0)）。若某輪訓(xùn)練中客戶端準(zhǔn)確率為({0.8,0.6,0.9})，當(dāng)前權(quán)重為({0.3,0.3,0.4})，計算當(dāng)(\alpha=10)，(\beta=5)時的獎勵值。解釋為何RL權(quán)重調(diào)整能緩解“掉隊者效應(yīng)”，并與靜態(tài)加權(quán)法（如按數(shù)據(jù)量）對比優(yōu)勢。解答要點：全局準(zhǔn)確率(Acc_{global}=\sumw_ia_i=0.78)，權(quán)重方差(\text{Var}(w_i)=0.002)，獎勵(R=10\times0.78-5\times0.002=7.79)。RL通過實時反饋調(diào)整權(quán)重，對高準(zhǔn)確率客戶端分配更高權(quán)重，加速收斂；靜態(tài)加權(quán)法易受低質(zhì)量數(shù)據(jù)拖累，RL在非IID數(shù)據(jù)下優(yōu)勢顯著。三、系統(tǒng)優(yōu)化與案例分析題（一）通信開銷與稀疏化聚合問題描述：邊緣設(shè)備聯(lián)邦學(xué)習(xí)中，模型參數(shù)稀疏化是降低通信量的關(guān)鍵技術(shù)。某方案采用Top-K稀疏化，客戶端僅上傳梯度絕對值最大的(K)個元素。設(shè)梯度向量(g\in\mathbb{R}^{1000})服從正態(tài)分布(\mathcal{N}(0,1))，稀疏率為20%：計算上傳數(shù)據(jù)量減少的百分比，若(K=200)，求梯度重構(gòu)誤差的數(shù)學(xué)期望（提示：利用正態(tài)分布尾部概率）。結(jié)合壓縮感知理論，說明為何隨機(jī)稀疏化（Random-K）可能比Top-K具有更好的重構(gòu)性能。解答要點：數(shù)據(jù)量減少80%；重構(gòu)誤差期望約為(\sum_{i=201}^{1000}\mathbb{E}[g_i^2]=800\times1=800)（因正態(tài)分布方差為1）。隨機(jī)稀疏化滿足壓縮感知的“有限等距性”（RIP）條件，通過凸優(yōu)化（如L1范數(shù)最小化）可實現(xiàn)精確重構(gòu)，而Top-K易丟失小梯度中的關(guān)鍵特征。（二）醫(yī)療聯(lián)邦學(xué)習(xí)案例問題描述：三家醫(yī)院聯(lián)合訓(xùn)練腫瘤診斷模型，采用縱向聯(lián)邦學(xué)習(xí)（特征維度異構(gòu)），醫(yī)院A提供病理特征（矩陣(X_A\in\mathbb{R}^{n\timesd_1})），醫(yī)院B提供影像特征（矩陣(X_B\in\mathbb{R}^{n\timesd_2})），醫(yī)院C持有標(biāo)簽(y)。設(shè)計基于矩陣乘法的特征對齊方案，確保中間結(jié)果不泄露原始數(shù)據(jù)（提示：使用加密共享參數(shù)）。若醫(yī)院A的特征矩陣秩為(r_1)，醫(yī)院B為(r_2)，證明聚合特征矩陣的秩不超過(\min(r_1+r_2,n))。解答要點：特征對齊方案：A與B分別將特征投影至共享子空間(X_AP)和(X_BQ)，其中(P,Q)為加密隨機(jī)矩陣，通過安全多方計算（SMPC）實現(xiàn)內(nèi)積運算。秩的證明：利用矩陣秩的性質(zhì)(\text{rank}(A+B)\leq\text{rank}(A)+\text{rank}(B))，聚合特征矩陣為([X_AP,X_BQ])，故秩不超過(r_1+r_2)，且受樣本量(n)限制。四、開放創(chuàng)新題（一）模型融合縮放定律問題描述：香港理工大學(xué)團(tuán)隊提出“模型融合縮放定律”，指出當(dāng)聯(lián)邦學(xué)習(xí)客戶端模型數(shù)量(N)與參數(shù)量(M)滿足(N\proptoM^\alpha)（(\alpha>0)）時，聚合模型性能與集中式訓(xùn)練相當(dāng)。若某基礎(chǔ)模型參數(shù)量(M=10^8)時性能為90%，當(dāng)(\alpha=0.5)，客戶端數(shù)量從10增至100時，所需總參數(shù)量如何變化？結(jié)合線性代數(shù)中的“維數(shù)災(zāi)難”概念，分析為何過多客戶端可能導(dǎo)致聚合模型過擬合。解答要點：由(N\proptoM^{0.5})，當(dāng)(N)從10增至100（10倍）時，(M)需增至100倍（即(10^{10})）。過多客戶端導(dǎo)致特征空間維度遠(yuǎn)大于樣本量，矩陣列秩過高，易出現(xiàn)偽相關(guān)；類比“高維空間中所有點彼此等距”，模型難以學(xué)習(xí)有效模式。（二）對抗性聚合攻擊問題描述：攻擊者通過污染客戶端模型參數(shù)，使聚合后的全局模型在特定樣本上失效。設(shè)正常客戶端參數(shù)均值為(\mu)，協(xié)方差矩陣為(\Sigma)，攻擊者控制(k)個客戶端，參數(shù)為(\mu+\delta)。推導(dǎo)使全局參數(shù)偏移量(|W_{global}-\mu|2\geq\epsilon)所需的最小(\delta)與(k)的關(guān)系（假設(shè)攻擊者權(quán)重總和為(w{adv})）。提出一種基于主成分分析（PCA）的異常參數(shù)檢測算法，步驟包括：1.對歷史參數(shù)矩陣做PCA；2.計算新參數(shù)在主成分上的投影殘差；3.設(shè)定閾值識別異常。解答要點：偏移量(|w_{adv}\delta|2\geq\epsilon)，故(\delta\geq\epsilon/w{adv})，攻擊者需控制足夠權(quán)重(w_{adv})以減小(\delta)。PCA檢測算法通過保留前(t)個主成分，計算殘差(|x-PP^Tx|_2)（(P)為主成分矩陣），殘差超過閾值則判定為異常。五、實驗設(shè)計與評估（一）性能對比實驗任務(wù)：設(shè)計實驗比較三種聚合算法在非IID數(shù)據(jù)下的表現(xiàn)：基線：FedAvg（靜態(tài)加權(quán)）改進(jìn)1：基于特征值篩選的聚合（剔除條件數(shù)>10的客戶端梯度）改進(jìn)2：DP-FedAvg（添加差分隱私噪聲，(\epsilon=1)）評價指標(biāo)：測試準(zhǔn)確率、通信量（MB/輪）、隱私泄露風(fēng)險（DLG攻擊成功率）預(yù)期結(jié)果：改進(jìn)1準(zhǔn)確率比基線高5%-8%（剔除不穩(wěn)定梯度），通信量降低15%（因篩選客戶端）；改進(jìn)2隱私風(fēng)險降低90%，但準(zhǔn)確率損失3%-5%（噪聲導(dǎo)致）；非IID程度越高（如Dirichlet分布參數(shù)(\alpha=0.1)），改進(jìn)算法優(yōu)勢越顯著。（二）數(shù)學(xué)證明題問題：證明聯(lián)邦學(xué)習(xí)中，若客戶端模型參數(shù)(W_i)服從正態(tài)分布(\mathcal{N}(\mu,\Sigma))，則加權(quán)聚合后的全