§4向量在立體幾何中的應(yīng)用第三章第三章：空間向量與立體幾何§4.3.2空間中的距離問題（一）學習目標2.能用向量方法解決點到平面、平行于平面的直線到平面、相互平行的平面間的距離問題，體現(xiàn)邏輯推理能力（難點）1.掌握點到平面的距離公式，體現(xiàn)數(shù)學抽象能力（重點）學習目標

空間中常見的距離有:兩點間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離、相互平行的直線之間的距離、相互平行的平面之間的距離等.計算距離是空間度量最基本的問題,如何用向量方法求解這些距離呢？綜合幾何方法:如圖(1)，過點P作直線l的垂線，垂足為點D1，一般轉(zhuǎn)化為求三角形的高，即PD1的長度.復(fù)習回顧解析幾何方法:如圖(2)，確定點P的坐標及直線l的方程，利用點到直線的距離公式即可得點P到直線l的距離PD2的長度.點到直線的距離就等于過這點向直線所引垂線段的長度;點到平面的距離就等于過這點向平面所作垂線段的長度;如果一條直線和一個平面平行，它們之間的距離就等于過這條直線上任意一點向該平面所作垂線段的長度;兩個平行平面間的距離就等于這兩個平面的垂線夾在兩個平行平面間的線段的長度.探索新知現(xiàn)在我們要用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系——

空間中的距離用向量求距離的本質(zhì)是什么？

垂直反映了距離的本質(zhì).用向量方法求解距離,也要抓住這一點.無論是對于平面還是直線,法向量都是反映垂直方向的最為直觀的表達形式,因此可以通過一個向量在法向量方向上作投影向量的方法來求解距離.平面向量方法:如圖，先求出直線l的單位法向量n0，再求向量

在法向量n0方向上的投影向量的長度

即可.探索新知垂直

設(shè)點P是平面α外一點，點A是平面α內(nèi)的已知點，n0是平面α的單位法向量，如何求平面α外一點P到平面α的距離？過點P作PP′⊥平面α，垂足為P′，則線段PP′的長度就是點P到平面α的距離，

探索新知一、點到平面的距離?點P到平面α的距離，等于點P與平面α內(nèi)任意一點A連線所得向量

，在平面α的單位法向量n0方向上所作投影向量的長度，即探索新知一、點到平面的距離例1：如圖，在空間直角坐標系中有單位正方體ABCD-A'B'C'D'.（1）證明：依據(jù)題意有A'(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C'(1,1,1).

又A'B，A'D?平面A'BD，A'B∩A'D=A'，

典例講解(2)求點C'到平面A'BD的距離.

典例講解方法總結(jié)

用向量法求點到平面的距離的步驟

典例講解

典例講解

D例2:在單位正方體ABCD-A'B'C'D'中，點M是側(cè)面ABB'A'的中心.判斷直線C'M與平面ACD'是否平行.若平行，請證明你的結(jié)論，并求直線C'M到平面ACD'的距離；若不平行，請說明理由.探索新知二、線到平面的距離用向量法求線面距、面面距時一般要轉(zhuǎn)化為點面距.解：以點D為原點，DA，DC，DD'所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖).由正方體的棱長為1，得設(shè)n=(x,y,z)是平面ACD'的一個法向量，則取x=1，得y=z=1，故n=(1,1,1).

又C'M

平面ACD'，∴C'M∥平面ACD'.所以直線C'M上任意一點到平面ACD'的距離都相等，都等于直線C'M到平面ACD'的距離.所以點C'到平面ACD'的距離為

探索新知

典例講解方法總結(jié)

求線面之間的距離:先確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為直線上一點到平面的距離.

典例講解例3:已知向量

，對任意的實數(shù)a，b，當向量

的長度最小時，求a，b的值.分析：記向量

由平面向量基本定理可知，對任意的a，b，向量都在所確定的平面xOy內(nèi)，反之，平面xOy內(nèi)的任意向量

都可以用來表示.換句話說，當a，b變化時，點M是平面xOy內(nèi)的動點.典例講解

由點到平面距離的定義，當且僅當n⊥平面xOy時，線段MY的長度最短.典例講解

一、用向量方法求解點到平面的距離問題的一般步驟是