2025年線性代數(shù)全球氣候治理中的合作博弈試題一、綜合分析題（25分）背景2025年聯(lián)合國(guó)氣候大會(huì)（COP30）提出“全球碳預(yù)算再分配計(jì)劃”，要求將剩余碳排放量（5000億噸CO?）在發(fā)達(dá)國(guó)家（A組）、新興經(jīng)濟(jì)體（B組）和最不發(fā)達(dá)國(guó)家（C組）間分配。已知三組的歷史累積排放量（1850-2020年）分別為3200億噸、1800億噸、200億噸，當(dāng)前年排放量分別為150億噸、200億噸、30億噸，邊際減排成本函數(shù)分別為：A組：(C_A(x)=0.1x^2+2x)（x為減排量，單位：億噸CO?）B組：(C_B(x)=0.05x^2+3x)C組：(C_C(x)=0.2x^2+x)問(wèn)題聯(lián)盟特征函數(shù)構(gòu)建：若三組單獨(dú)減排、兩兩聯(lián)盟或全球聯(lián)盟，計(jì)算其最小總成本與減排潛力（提示：用線性規(guī)劃求解帕累托最優(yōu)）。Shapley值分配：基于歷史排放責(zé)任與邊際減排成本，用Shapley值法計(jì)算各組應(yīng)承擔(dān)的減排份額及轉(zhuǎn)移支付方案。核仁驗(yàn)證：驗(yàn)證該分配方案是否滿足核仁條件，即不存在子聯(lián)盟改進(jìn)空間（需列出核仁不等式組）。解答要點(diǎn)聯(lián)盟成本計(jì)算：?jiǎn)为?dú)減排時(shí)，通過(guò)求導(dǎo)(C'(x)=0)得A組最優(yōu)減排量(x_A=10)億噸，成本(C_A=30)億美元；同理B組(x_B=30)億噸，成本(C_B=135)億美元；C組(x_C=2.5)億噸，成本(C_C=3.125)億美元。全球聯(lián)盟時(shí)，構(gòu)建拉格朗日函數(shù)(L=\sumC_i(x_i)+\lambda(\sumx_i-X))，解得總減排量(X=42.5)億噸，總成本(C=150)億美元，較單獨(dú)減排節(jié)省18.125億美元。Shapley值計(jì)算：特征函數(shù)(v(A)=30)，(v(B)=135)，(v(C)=3.125)，(v(AB)=150)，(v(AC)=32)，(v(BC)=137)，(v(ABC)=150)。A組Shapley值：(\phi_A=[v(A)+(v(AB)-v(B))+(v(AC)-v(C))+(v(ABC)-v(BC))]/6=12.5)億美元，對(duì)應(yīng)減排份額15%。核仁驗(yàn)證：需滿足不等式組：(x_A+x_B\geqv(AB))(x_A+x_C\geqv(AC))(x_B+x_C\geqv(BC))(x_A+x_B+x_C=v(ABC))二、矩陣博弈應(yīng)用題（20分）背景中美在《巴黎協(xié)定》框架下開(kāi)展“技術(shù)-資金”博弈：中國(guó)可選擇“自主研發(fā)”（成本80億美元）或“技術(shù)引進(jìn)”（成本50億美元+專利費(fèi)20億美元/年）；美國(guó)可選擇“封鎖技術(shù)”（損失出口收益40億美元/年）或“合作共享”（獲得專利費(fèi)20億美元/年）。雙方貼現(xiàn)率均為5%。問(wèn)題支付矩陣構(gòu)建：以10年為周期，計(jì)算四種策略組合的凈現(xiàn)值（NPV）支付矩陣。納什均衡求解：用雙矩陣博弈模型求解純策略與混合策略均衡，分析美國(guó)大選后政策轉(zhuǎn)向概率對(duì)均衡的影響。演化穩(wěn)定策略：若中美采用模仿者動(dòng)態(tài)調(diào)整策略，繪制復(fù)制動(dòng)態(tài)方程相圖，判斷合作策略是否為ESS（演化穩(wěn)定策略）。解答要點(diǎn)支付矩陣（單位：億美元）：|中國(guó)/美國(guó)|封鎖技術(shù)|合作共享||-----------------|----------------|----------------||自主研發(fā)|(-80,-400)|(-80,200)||技術(shù)引進(jìn)|(-700,-400)|(-300,200)|混合策略均衡：設(shè)中國(guó)引進(jìn)概率(p)，美國(guó)合作概率(q)，解得(p=0.6)，(q=0.8)，此時(shí)中國(guó)期望收益-200億美元，美國(guó)期望收益80億美元。三、動(dòng)態(tài)博弈與微分方程（25分）背景歐盟碳邊境調(diào)節(jié)機(jī)制（CBAM）對(duì)進(jìn)口鋼鐵征收碳關(guān)稅，稅率(t=\alpha\cdot\Deltac)，其中(\Deltac)為出口國(guó)與歐盟碳價(jià)差（單位：歐元/噸CO?），(\alpha)為調(diào)節(jié)系數(shù)。俄羅斯與土耳其作為出口國(guó)，其碳價(jià)(c_i(t))滿足微分方程：[\frac{dc_i}{dt}=k_i(t-c_i)-\beta_ic_i^2]（(k_i)為政策敏感度，(\beta_i)為產(chǎn)業(yè)抵制系數(shù)）問(wèn)題鞍點(diǎn)路徑分析：若(k_R=0.5)，(\beta_R=0.1)，(k_T=0.3)，(\beta_T=0.2)，求解兩國(guó)碳價(jià)動(dòng)態(tài)收斂路徑（需繪制相圖）。反饋納什均衡：用龐特里亞金極大值原理，求解歐盟最優(yōu)(\alpha)值，使碳泄漏率控制在5%以內(nèi)。解答要點(diǎn)微分方程求解：俄羅斯碳價(jià)穩(wěn)態(tài)解：(0.5(t-c_R)-0.1c_R^2=0)，當(dāng)(t=80)歐元/噸時(shí)，(c_R=20)歐元/噸（穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)）。土耳其碳價(jià)存在鞍點(diǎn)均衡，需滿足橫截條件(\lim_{t\to\infty}\lambda(t)c_T(t)=0)。四、案例分析與模型拓展（30分）背景中國(guó)“綠電直連”工程將西北風(fēng)電輸送至東南亞，涉及跨國(guó)電網(wǎng)投資分?jǐn)倖?wèn)題。東盟五國(guó)（印尼、馬來(lái)西亞、泰國(guó)、越南、菲律賓）的受益系數(shù)矩陣(A\in\mathbb{R}^{5\times5})，其中(A_{ij})為i國(guó)對(duì)j國(guó)的輸電收益（單位：億美元/年）：[A=\begin{bmatrix}10&5&3&2&1\5&8&4&3&2\3&4&6&2&1\2&3&2&5&1\1&2&1&1&3\end{bmatrix}]問(wèn)題網(wǎng)絡(luò)中心性分析：用特征向量中心性與介數(shù)中心性識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)國(guó)家，解釋其在聯(lián)盟中的議價(jià)能力。最小生成樹(shù)：用Kruskal算法構(gòu)建跨國(guó)電網(wǎng)投資分?jǐn)倶?shù)，計(jì)算各國(guó)應(yīng)承擔(dān)的建設(shè)成本（基于Shapley值）。模型批判：指出該合作博弈模型在氣候正義維度的缺陷，提出改進(jìn)方案（如引入歷史排放權(quán)權(quán)重）。解答要點(diǎn)中心性計(jì)算：特征向量中心性：印尼（0.42）、馬來(lái)西亞（0.38）為核心節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)特征值(\lambda=1.8)。介數(shù)中心性：泰國(guó)（0.35）因處于電網(wǎng)樞紐，中介效益最大。最小生成樹(shù)：邊權(quán)重為負(fù)收益（-A_ij），生成樹(shù)總權(quán)重-32，印尼承擔(dān)成本份額(32\times0.42=13.44)億美元。五、開(kāi)放論述題（20分）主題“非線性氣候損害函數(shù)下的合作博弈穩(wěn)定性”要求結(jié)合2025年中國(guó)“1+3+3”國(guó)家自主貢獻(xiàn)目標(biāo)（非化石能源占比30%、風(fēng)電光伏裝機(jī)36億千瓦），分析技術(shù)溢出效應(yīng)如何改變聯(lián)盟特征函數(shù)。用微分博弈模型證明：當(dāng)氣候損害函數(shù)為三次函數(shù)(D(S)=\gammaS^3)（S為累積排放）時(shí)，子博弈完美均衡解存在時(shí)間不一致性，需設(shè)計(jì)承諾機(jī)制。提出將區(qū)塊鏈技術(shù)應(yīng)用于碳配額追蹤的博弈論改進(jìn)方案