2025年線性代數(shù)線性空間與子空間試題一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）設(shè)(V)是數(shù)域(\mathbb{F})上的線性空間，(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\inV)，則下列命題正確的是（）A.若(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0)僅當(dāng)(k_1=k_2=k_3=0)時成立，則(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性無關(guān)B.若(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性相關(guān)，則其中必有一個向量是其余向量的線性組合C.若(V)的維數(shù)為3，則(V)中任意3個向量都構(gòu)成一組基D.若(W)是(V)的子空間，且(\dimW=\dimV)，則(W=V)設(shè)(A)是(m\timesn)矩陣，(W={\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\midA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}})，則(W)作為(\mathbb{R}^n)的子空間，其維數(shù)為（）A.(n-\text{rank}(A))B.(m-\text{rank}(A))C.(\text{rank}(A))D.(\min(m,n)-\text{rank}(A))設(shè)(V=\mathbb{R}^3)，(W_1={(x,y,z)\midx+y+z=0})，(W_2={(x,y,z)\midx=y=z})，則(\dim(W_1\capW_2)=)（）A.0B.1C.2D.3設(shè)(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2)是線性變換，(T(x,y)=(x+y,x-y))，則(T)的核空間(\ker(T))的維數(shù)為（）A.0B.1C.2D.無法確定設(shè)(V)是(n)維線性空間，(T:V\toV)是線性變換，(\text{Im}(T))是(T)的像空間，則下列等式成立的是（）A.(\dim(\ker(T))+\dim(\text{Im}(T))=n)B.(\ker(T)\cap\text{Im}(T)={0})C.(\ker(T)+\text{Im}(T)=V)D.(\dim(\ker(T)\cap\text{Im}(T))=\dim(\ker(T))+\dim(\text{Im}(T))-n)二、填空題（每題3分，共15分）設(shè)(\alpha_1=(1,2,3)^T)，(\alpha_2=(2,4,t)^T)，(\alpha_3=(3,6,9)^T)，若由(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)生成的子空間(L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3))的維數(shù)為2，則(t=)________。設(shè)(A=\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{pmatrix})，則齊次線性方程組(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0})的解空間的維數(shù)為________。設(shè)(V=\mathbb{R}[x]3)（次數(shù)小于3的多項(xiàng)式全體），(W={f(x)\inV\midf(1)=0})，則(W)的一組基為_______。設(shè)(\alpha_1,\alpha_2)是線性空間(V)的一組基，線性變換(T)滿足(T(\alpha_1)=\alpha_1+\alpha_2)，(T(\alpha_2)=2\alpha_1-\alpha_2)，則(T)在基(\alpha_1,\alpha_2)下的矩陣為________。設(shè)(V)是(n)維線性空間，(W_1,W_2)是(V)的子空間，且(V=W_1\oplusW_2)，則(\dimW_1+\dimW_2=)________。三、計算題（共40分）（10分）設(shè)(V=\mathbb{R}^4)，向量組(\alpha_1=(1,1,1,1)^T)，(\alpha_2=(1,1,-1,-1)^T)，(\alpha_3=(1,-1,1,-1)^T)，(\alpha_4=(1,-1,-1,1)^T)。（1）證明(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)是(\mathbb{R}^4)的一組基；（2）求向量(\beta=(1,2,3,4)^T)在該基下的坐標(biāo)。（10分）設(shè)(W)是(\mathbb{R}^4)中由向量(\alpha_1=(1,2,-1,0)^T)，(\alpha_2=(1,1,0,1)^T)，(\alpha_3=(2,3,-1,1)^T)生成的子空間，求(W)的一組基及維數(shù)，并求(W)的一個補(bǔ)子空間。（10分）設(shè)線性變換(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3)定義為(T(x,y,z)=(x+y,y+z,z+x))，求：（1）(T)的核空間(\ker(T))及像空間(\text{Im}(T))；（2）(\dim(\ker(T)))和(\dim(\text{Im}(T)))，并驗(yàn)證維數(shù)公式。（10分）設(shè)(V=\mathbb{R}^3)，(W_1=L((1,0,0)^T,(0,1,0)^T))，(W_2=L((1,1,1)^T))，證明(V=W_1\oplusW_2)，并求向量(\alpha=(1,2,3)^T)在(W_1)和(W_2)上的分解式。四、解答題（共20分）（10分）設(shè)(A)是(n)階實(shí)對稱矩陣，證明：（1）(A)的列向量組生成的子空間與行向量組生成的子空間相等；（2）若(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k)是(A)的互不相同的特征值，(V_i)是對應(yīng)于(\lambda_i)的特征子空間，則(V_1,V_2,\dots,V_k)兩兩正交，且(\mathbb{R}^n=V_1\oplusV_2\oplus\dots\oplusV_k)。（10分）設(shè)(V)是數(shù)域(\mathbb{F})上的(n)維線性空間，(T)是(V)上的線性變換，證明：（1）(\ker(T))和(\text{Im}(T))都是(V)的子空間；（2）若(T^2=T)（冪等變換），則(V=\ker(T)\oplus\text{Im}(T))。五、證明題（共15分）（7分）設(shè)(W_1,W_2)是線性空間(V)的兩個子空間，證明：(W_1\cupW_2)是(V)的子空間當(dāng)且僅當(dāng)(W_1\subseteqW_2)或(W_2\subseteqW_1)。（8分）設(shè)(V)是(n)維線性空間，(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)是(V)的一組基，對任意(\alpha\inV)，設(shè)(\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\dots+x_n\alpha_n)，定義(T(\alpha)=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\dots+x_k\alpha_k)（其中(1\leqk\leqn)），證明：（1）(T)是(V)上的線性變換；（2）(\text{Im}(T)=L(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k))，(\ker(T)=L(\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n))；（3）(T^2=T)。六、綜合應(yīng)用題（共10分）設(shè)(A=\begin{pmatrix}1&1&0\1&1&0\0&0&2\end{pmatrix})，記(V=\mathbb{R}^3)，定義(T:V\toV)為(T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x})。（1）求(T)的特征值與特征子空間；（2）判斷(V)是否可分解為(T)的特征子空間的直和，并說明理由；（3）求一個可逆