第十五章 軸對(duì)稱15.1.1 軸對(duì)稱及其性質(zhì)對(duì)稱現(xiàn)象是普遍存在的，從自然景觀到藝術(shù)作品，從建筑物到交通標(biāo)志，甚至日常生活用品中，都可以找到對(duì)稱的例子．新課導(dǎo)入問(wèn)題

1 與平移一樣，軸對(duì)稱也是一種基本的圖形變化，我們應(yīng)該如何展開(kāi)對(duì)軸對(duì)稱的研究呢？軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱的相關(guān)概念軸對(duì)稱的性質(zhì)畫(huà)軸對(duì)稱的圖形用坐標(biāo)表示成軸對(duì)稱的點(diǎn)等腰三角形的軸對(duì)稱性等引入對(duì)象抽象概念研究性質(zhì)探討畫(huà)法量化表達(dá)應(yīng)用拓展類比平移問(wèn)題

2

下圖是

3

種美麗的窗花，它們都是通過(guò)把一張紙對(duì)折，剪出一個(gè)圖案（折痕處不要完全剪斷），再打開(kāi)這張對(duì)折的紙得到的，觀察你得到的圖案，它有什么特點(diǎn)？請(qǐng)小組內(nèi)互相欣賞圖案，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點(diǎn)嗎？新知探究共同特點(diǎn)：如果一個(gè)平面圖形能夠沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫作軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸．折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫作對(duì)稱點(diǎn)．這時(shí)我們也說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱．追問(wèn) 你能舉出一些軸對(duì)稱圖形的例子嗎？問(wèn)題

3同特征嗎？觀察下面的每對(duì)圖形，你能概括出它們的共每一對(duì)圖形沿著虛線折疊，左邊的圖形能與右邊的圖形重合．共同特點(diǎn)：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱，也稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱．這條直線叫作對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫作對(duì)稱點(diǎn)．追問(wèn)

你能再舉出一些兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的例子嗎？軸對(duì)稱圖形 兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱追問(wèn) 1 把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)圖形，它是軸對(duì)稱圖形嗎？追問(wèn) 2 如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿著對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形能完全重合嗎？這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱嗎？問(wèn)題 4 你能結(jié)合下圖說(shuō)明軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱有什么區(qū)別和聯(lián)系嗎？軸對(duì)稱圖形兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱圖形區(qū)別①一個(gè)圖形；②被對(duì)稱軸分割的兩部分能夠重合．①兩個(gè)圖形；②全等；③具有特殊的位置關(guān)系：沿對(duì)稱軸折疊可以重合．聯(lián)系①把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；②可以互相轉(zhuǎn)化（如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿著對(duì)稱軸分成兩部分，看成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱；如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體，這個(gè)圖形也是軸對(duì)稱圖形）．問(wèn)題

5 認(rèn)識(shí)了軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系，下面如何研究軸對(duì)稱的性質(zhì)呢？從定義出發(fā)研究性質(zhì)類比平移研究變化前后決定變化的要素以及圖形組成元素之間的關(guān)系問(wèn)題

6 如圖

，△ABC

和△A'B'C'

關(guān)于直線

MN

對(duì)稱，點(diǎn)

A'，B'，C'

分別是點(diǎn)

A，B，C

的對(duì)稱點(diǎn)，連接

AA'，BB'，CC'，這三條線段與直線

MN

有什么關(guān)系？其他對(duì)稱點(diǎn)呢？AA'

與

MN

垂直BB'

與

MN

垂直CC'

與

MN

垂直MN

平分線段

AA'，BB'，CC'對(duì)于其他對(duì)稱點(diǎn)也有這樣的關(guān)系．追問(wèn)

1 你能說(shuō)明這樣的道理嗎？從這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的定義出發(fā)：發(fā)現(xiàn)折疊后點(diǎn)

A與

A'重合，進(jìn)而得到

AP＝A'P，即MN

平分

AA'；從折疊后發(fā)現(xiàn)

∠MPA，∠MPA'

的邊也重合出發(fā)：得出這兩個(gè)角相等，AA'

垂直

MN．同時(shí)，

MN

也垂直平分

BB'，CC'．追問(wèn)

2 你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括前面的結(jié)論嗎？軸對(duì)稱的性質(zhì)：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，連接對(duì)稱點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分．問(wèn)題

7 如圖是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？能說(shuō)明理由嗎？直線

l

與線段

AA'，BB'

垂直直線

l

平分線段

AA'，BB'追問(wèn)

你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括前面的結(jié)論嗎？軸對(duì)稱圖形也有類似的性質(zhì)：如果一個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)．即對(duì)稱點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分．經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線．直線

MN

與線段

AA'，BB'，CC'

垂直直線

MN

平分線段

AA'，BB'，CC'直線

l

與線段

AA'，BB'

垂直直線

l

平分線段

AA'，BB'1.

如圖所示的每個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，指出它的對(duì)稱軸．（1） （2） （3） （4） （5）（1）（2）（3）（5）中的圖形是軸對(duì)稱圖形．課堂練習(xí)2.

如圖所示的每幅圖形中的兩個(gè)圖案是成軸對(duì)稱的嗎？如果是，指出它們的對(duì)稱軸，并找出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)．A A'軸對(duì)稱圖形3.

如圖，線段

AB與線段

A'B'

關(guān)于直線

l

對(duì)稱，

AA'交直線

l

于點(diǎn)

O，連接

BO，B'O．圖中相等的線段有：AO＝A'O，BO＝B'O，AB＝A'B'，線段AA'

的垂直平分線是 直線l ；△OAB

和△OA'B'

關(guān)于直線

l

對(duì)稱 ，△OAB

≌△OA'B'，∠ABO＝

∠A'B'O

，∠A'OB'＝ ∠AOB

．課堂小結(jié)回顧并總結(jié)本