第十五章 軸對(duì)稱15.3.1 等腰三角形第

1

課時(shí)問題

1 生活中一些物體具有等腰三角形的結(jié)構(gòu)，下面是生活中常見的幾個(gè)物體，大家能說說其中包含的等腰三角形結(jié)構(gòu)嗎？新課導(dǎo)入ACABC（1） （2）追問

1 你對(duì)等腰三角形有哪些認(rèn)識(shí)？定義：有兩邊相等的三角形叫作等腰三角形.該定義既明確了等腰三角形的性質(zhì)——有兩邊相等，又提供了判斷等腰三角形的一種方法——只要三角形的兩邊相等.“邊”特殊化頂角腰腰底角B底角底邊追問

2 請(qǐng)?jiān)诩埳袭嬕粋€(gè)等腰三角形，你能用符號(hào)語言描述它嗎？ABC等腰△ABC

中AB＝AC新知探究問題

2 把所畫的等腰三角形剪下來，將這個(gè)等腰三角形對(duì)折，使它的兩腰重合，再展開，你能找出其中重合的線段和角嗎？AB D CBD＝CD＝1

BC角：∠B＝∠C∠BAD＝∠CAD＝1

∠BAC2∠BDA＝∠CDA

＝90°2問題

2 把所畫的等腰三角形剪下來，將這個(gè)等腰三角形對(duì)折，使它的兩腰重合，再展開，你能找出其中重合的線段和角嗎？A線段：AB＝ACB D C問題

3 你能猜想出等腰三角形有哪些性質(zhì)嗎？AD C性質(zhì)

1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）．性質(zhì)

2：等腰三角形底邊上的中線、高及頂角平分線重合（簡(jiǎn)寫成“三線合一”）.等腰三角形的兩個(gè)底角相等AD

是頂角平分線AD

是底邊上的高 B重合的線段重合的角AB＝AC∠B＝∠CBD＝CD＝1

BC2∠BAD＝∠CAD＝1

∠BAC2AD

是底邊上的中線∠BDA＝∠CDA＝90°AB D C若

AD

是底邊

BC

上的高AB D C若

AD

是頂角∠BAC的平分線AB D C若

AD

是底邊

BC上的中線等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高和頂角平分線；等腰三角形頂角平分線也是底邊上的中線和底邊上的高；等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線和頂角平分線．追問

如何理解性質(zhì)“三線合一”？ABC問題

4 利用實(shí)驗(yàn)操作的方法我們猜想并表達(dá)出了等腰三角形的兩個(gè)性質(zhì)，對(duì)于“等邊對(duì)等角”，你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？已知：在△ABC

中，AB＝AC．求證：∠B＝∠C．證明三角形全等是證明角相等的常用方法．證明：作底邊

BC

上的中線

AD，則

BD＝CD．在△ABD

和△ACD

中，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴ △ABD≌ △ACD（SSS）．∴ ∠B＝∠C．BD思考：你還有其他方法證明性質(zhì)“等邊對(duì)等角”嗎？AC∴ △ABD≌ △ACD（SAS）．∴ ∠B＝∠C．BC證明：作頂角∠BAC

的平分線

AD，則∠BAD＝∠CAD．在△ABD

和△ACD

中，AAB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，DABC證明：作底邊

BC上的高

AD，則

AD⊥BC．在

Rt△ABD和

Rt△ACD中，∴ Rt△ABD≌ Rt△ACD（HL）．∴ ∠B＝∠C．AB＝AC，AD＝AD，D已知：在△ABC

中，AB＝AC．求證：∠B＝∠C．A AB D C作底邊

BC上的高

ADAB D C作底邊

BC

上的中線

ADB D C作頂角∠BAC

的平分線

AD性質(zhì)

1 文字語言：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）．符號(hào)語言：在△ABC

中，∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C．ABCDB D C已知底邊

BC

上的高

AD證明

AD

是頂角平分線；AD

是底邊上的中線．AB D C已知底邊

BC

上的中線

AD證明

AD

是頂角平分線；AD

是底邊上的高．AB D C已知頂角∠BAC

的平分線

AD證明

AD

是底邊上的高；AD

是底邊上的中線．問題

5 如何證明性質(zhì)“三線合一”？A問題

5 如何證明性質(zhì)“三線合一”？以命題“等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高和頂角平分線”為例進(jìn)行證明．已知：在△ABC

中，AB＝AC，AD

是底邊

BC

上的中線．求證：

AD

平分頂角∠A

且垂直于底邊BC．證明：∵

AD是底邊BC上的中線，∴

BD＝CD．在△ABD和△ACD中，B D C已知底邊

BC

上的中線

AD證明

AD

是頂角平分線；AD

是底邊上的高．A問題

5 如何證明性質(zhì)“三線合一”？以命題“等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高和頂角平分線”為例進(jìn)行證明．AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌

△ACD（SSS）．∴

∠BAD＝∠CAD，

AD

是頂角平分線∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC．AD

是底邊上的高B D C已知底邊

BC

上的高

AD證明

AD

是頂角平分線；AD

是底邊上的中線．AB D C已知底邊

BC

上的中線

AD證明

AD

是頂角平分線；AD

是底邊上的高．A小結(jié)

證明性質(zhì)“三線合一”的方法：AB D C已知頂角∠BAC

的平分線

AD證明

AD

是底邊上的高；AD

是底邊上的中線．性質(zhì)

2 文字語言：等腰三角形底邊上的中線、高及頂角平分線重合（簡(jiǎn)寫成“三線合一”）．符號(hào)語言：①在△ABC

中，∵ AB＝AC，BD＝CD，∴ AD⊥BC，AD

平分∠BAC；②在△ABC

中，∵ AB＝AC，AD

平分∠BAC，∴ BD＝CD，AD⊥BC；③在△ABC

中，∵ AB＝AC，AD⊥BC，∴ BD＝CD，AD

平分∠BAC．ABCD追問

1 在等腰三角形性質(zhì)的探索過程和證明過程中，“折痕”“輔助線”發(fā)揮了非常重要的作用，由此，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形具有什么特征嗎？等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在直線是它的對(duì)稱軸．追問

2 從等腰三角形性質(zhì)的結(jié)論中，你有何收獲？等腰三角形的性質(zhì)可以用來解決兩個(gè)角相等、兩條線段相等以及線段垂直關(guān)系等問題．例 如圖，在△ABC

中，AB＝AC，點(diǎn)

D

在

AC

上，BD＝BC＝AD．求△ABC

各角的度數(shù)．分析：（1）指出圖中有哪些是等腰三角形？△ABC，△ABD，△DBC.（2）找出圖中所有相等的角．∠A＝∠1，∠C＝∠2＝∠ABC．ABCD12例題精講例 如圖，在△ABC

中，AB＝AC，點(diǎn)

D

在

AC

上，ACDBD＝BC＝AD．求△ABC

各角的度數(shù)．分析：（3）觀察∠A，

∠1，∠2的關(guān)系．∠2＝∠1＋∠A＝2∠A＝2∠1，∠ABC＝∠2＝2∠A，∠C＝∠2＝2∠A．1B2例題精講例 如圖，在△ABC

中，AB＝AC，點(diǎn)

D

在

AC

上，BD＝BC＝AD．求△ABC

各角的度數(shù)．解：∵ AB＝AC，BD＝BC＝AD

，∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°．解得

x＝36°．所以，在△ABC

中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°．ABCDx2x∴ ∠ABC＝∠C＝∠2，∠A＝∠1（等邊對(duì)等角）．x設(shè)∠A＝x，則∠2＝∠A＋∠1＝2x．從而∠ABC＝∠C＝∠2＝2x．于是在△ABC

中，有12x22x課堂練習(xí)BCD21.如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°．求∠B

和∠C

的度數(shù)．分析：（1）圖中有哪些是等腰三角形？

AAB＝AD＝DC

，故

△ABD，△ADC是等腰三角形.11.如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°．求∠B

和∠C

的度數(shù)．（2）找出圖中角的關(guān)系．∠B＝∠1，∠C＝∠2（等邊對(duì)等角）．∠1＝∠2＋∠C＝2∠C（外角）．（3）利用三角形內(nèi)角和求角度．在△ABD

中可求∠1

和∠B，進(jìn)而求出∠C．課堂練習(xí)AB DC211.如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°．求∠B

和∠C

的度數(shù)．解：∵ AB＝AD，AD＝DC，∠1

是△ACD

的外角，∠1＝∠2＋∠C＝2∠C．∴ ∠B＝

∠1，∠2＝∠C（等邊對(duì)等角）．∵∴∵1A∠BAD＝26°，∴ ∠B＝2(180°－∠BAD)＝77°．

B∴ ∠C＝77°÷2＝38.5°．21

D C∠DAC

的度數(shù)；因此∠B，∠C，∠BAD，∠DAC

的度數(shù)均為

45°．2.

如圖，△ABC

是等腰直角三角形（AB＝AC，∠BAC＝90°），AD

是底邊

BC

上的高．標(biāo)出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC

的度數(shù)，并寫出圖中所有相等的線段．分析（1）：由“等邊對(duì)等角”可求∠B

和∠C

的度數(shù)；由“三線合一”的性質(zhì)可知

AD

平分∠BAC，可求∠BAD，ABCD45°45°45°

45°2.

如圖，△ABC

是等腰直角三角形（AB＝AC，∠BACBCD45°45°＝90°），AD

是底邊

BC

上的高．標(biāo)出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC

的度數(shù)，并寫出圖中所有相等的線段．分析（2）：由“三線合一”的性質(zhì)可得：BD＝CD．A猜想：BD＝CD＝AD．45°

45°解：

各角的度數(shù)如圖所示．在△CDA

和△ADB

中，∴ △CDA≌ △ADB（AAS）．∴ CD＝AD．AB＝AC，BD＝CD＝AD．∠CDA＝∠ADB，∠C＝∠BAD，AC＝BA，ABCD45°45°45°

45°因此，圖中所有相等的線段有：回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，請(qǐng)思考并回答下面的問題：我們是如何研究等腰三角形的性質(zhì)的？接下來我們將會(huì)研究什么內(nèi)容？你是如何理解“三線合一”的？請(qǐng)舉例說明．本節(jié)課你學(xué)到了哪些證明線段相等或角相等的方法？課堂小結(jié)教科書習(xí)題

15.3

第

1，3，4

題．課后任務(wù)第十五章 軸對(duì)稱15.3.1 等腰三角形第

2

課時(shí)問題

1 通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)等腰三角形有了哪些新的認(rèn)識(shí)？新課導(dǎo)入等腰三角形是軸對(duì)稱圖形；性質(zhì)

1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）；性質(zhì)

2：等腰三角形底邊上的中線、高及頂角平分線重合（簡(jiǎn)寫成“三線合一”）． BAC追問

1 我們是如何研究等腰三角形的性質(zhì)的？從元素（邊、角）以及“三線”之間特殊的不變關(guān)系入手研究性質(zhì)．AB＝ACA∠B＝∠C三線合一BC追問

2 如何判定一個(gè)三角形是不是等腰三角形？等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形．ABC問題

2 如何研究等腰三角形的判定？等腰三角形的定義是從“邊”的角度研究其判定的，結(jié)合前面三角形的知識(shí)，可以從邊，角嘗試研究等腰三角形的判定．ABC問題

3 你能從“角”的角度猜想等腰三角形的判定方法嗎？從互逆命題的角度思考，將“等邊對(duì)等角”題設(shè)與結(jié)論互換．猜想：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．新知探究ABCBC問題

4 “如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD三角形是等腰三角形”是真命題嗎？

題設(shè)結(jié)論已知：在△ABC

中，∠B＝∠C．求證：△ABC

是等腰三角形．AAB＝AC△ABD≌ △ACD

（AAS）D證明：作底邊

BC

的高線

AD，則∠ADB＝∠ADC＝90°．在△ABD

和△ACD

中，∴ △ABD≌ △ACD（AAS）．∴ AB＝AC．∴ △ABC

是等腰三角形．∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，ABCD已知：在△ABC

中，∠B＝∠C．求證：

△ABC

是等腰三角形．A AB D C作頂角∠BAC

的平分線

ADB D C作底邊

BC

的高線

ADB D C作底邊

BC

的中線

ADA△ABD≌

△ACD（AAS）SSA

不可以證明全等△ABD≌

△ACD（AAS） 可以證△ABD

和△ACD

全等嗎？等腰三角形的判定方法①定義：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．②判定方法：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形．（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）．A符號(hào)語言：在△ABC

中，∵

∠B＝∠C，∴

AB＝AC．BCD問題

5 等腰三角形的性質(zhì)與判定有什么區(qū)別與聯(lián)系？等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的判定聯(lián)系都揭示了特殊三角形中，組成元素（邊、角）和“三線”之間存在的關(guān)系．區(qū)別從“兩邊相等”出發(fā)，推出其他元素——角和“三線”的特殊性．從滿足角和“三線”的特殊關(guān)系推出兩邊相等．追問 你認(rèn)為等腰三角形的判定方法有什么作用？可以用來判斷一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)為等腰三角形，由此可以解決一個(gè)三角形中與線段相等有關(guān)的問題．例

1 求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．已知：如圖，AD

是△ABC

的外角∠CAE

的平分線，AD∥BC．求證：AB＝AC．例題精講已知：如圖，AD

是△ABC

的外角∠CAE的平分線，AD∥BC．求證：AB＝AC．分析：（1）AB，AC

在同一個(gè)三角形中，應(yīng)選擇“等角對(duì)等邊”；（2）利用平行可得到∠1＝∠B，∠2＝∠C；（3）梳理角的關(guān)系：∠1＝∠2．已知：如圖，AD

是△ABC

的外角∠CAE的平分線，AD∥BC．求證：AB＝AC．證明：∵ AD∥BC

，∴ ∠1＝∠B，

∠2＝∠C．又 AD

平分∠CAE，∴ ∠1＝∠2

．∴ ∠B＝∠C

．∴ AB＝AC（等角對(duì)等邊）．例

2 尺規(guī)作圖：已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為

a，底邊上的高為

h，求作這個(gè)等腰三角形．

分析：根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，當(dāng)?shù)走叴_定時(shí)，等腰三角形底邊所對(duì)的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上．由此，作出底邊的垂直平分線，利用高的長(zhǎng)度確定該頂點(diǎn)的位置，即可作出這個(gè)等腰三角形．ABCDahha例

2 尺規(guī)作圖：已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為

a，底邊上的高為

h，求作這個(gè)等腰三角形．作法：如圖．作線段

AB＝a；作線段AB的垂直平分線

MN，與

AB

相交于點(diǎn)

D；在

MN

上取一點(diǎn)

C，使

DC＝h；連接

AC，BC，則△ABC

就是所求作的等腰三角形．CDNABMha1.如圖，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°．分別計(jì)算

∠1，∠2

的度數(shù)，并說明圖中有哪些等腰三角形．課堂練習(xí)1.如圖，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°．分別計(jì)算

∠1，