第十五章 軸對稱15.3.2 等邊三角形第

1

課時(shí)問題

1 類比等腰三角形的學(xué)習(xí)，我們?nèi)绾窝芯康冗呅抡n導(dǎo)入三角形的性質(zhì)和判定？AB C等腰三角形ABC特殊化等邊三角形腰＝底邊邊角問題

2 等腰三角形有哪些性質(zhì)？性質(zhì)

1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．ABC性質(zhì)

2：等腰三角形底邊上的中線、高及頂角的平分線重合（簡寫成“三線合一”）．已知：AD

是底邊上的高．求證：AD

是頂角平分線；AD

是底邊上的中線．求證：AD

是底邊上的高；AD

是底邊上的中線．已知：AD

是底邊上的中線． 已知：AD

是頂角平分線．求證：AD

是頂角平分線；AD

是底邊上的高．D問題

3 等腰三角形有兩個(gè)角相等，在此基礎(chǔ)上你能得到等邊三角形的什么性質(zhì)？A猜想：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于

60°．B C新知探究追問

1 怎樣證明“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于

60°”這一猜想呢？已知：△ABC

是等邊三角形．求證：∠A＝∠B＝∠C＝60°．ABC已知：△ABC

是等邊三角形．求證：∠A＝∠B＝∠C＝60°．證明：∵ △ABC

是等邊三角形，∴ AB＝AC＝BC．∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C（等邊對等角）．同理

∠A＝∠C．∴ ∠A＝∠B＝∠C．∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60°．ABC符號語言：∵ △ABC

是等邊三角形，∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60°．性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于

60°．ABCABC追問

2 畫出等邊三角形的三條對稱軸，你能發(fā)現(xiàn)什么？對稱軸是等邊三角形的角平分線或高、中線所在的直線，并且三條對稱軸交于一點(diǎn)．問題

4 根據(jù)定義三條邊都相等的三角形是等邊三角形，還有其他的方法也可以得到等邊三角形嗎？是等邊三角形．A猜想

1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．猜想

2：有一個(gè)角是

60°

的等腰三角形BC追問

1 怎樣證明“

三個(gè)角都相等的三角形是等已知：∠A＝∠B＝∠C，求證：△ABC

是等邊三角形．證明：∵ ∠B＝∠C，∴ AB＝AC（等角對等邊）．同理

AB＝BC．∴ AB＝AC＝BC．∴ △ABC

是等邊三角形．邊三角形”

這一猜想呢？ABC符號語言：∵ ∠A＝∠B＝∠C，∴ △ABC

是等邊三角形．判定方法：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．ABC追問

2 怎樣證明“有一個(gè)角是

60°

的等腰三角形是等邊三角形”這一猜想呢？在△ABC

中，已知

AB＝AC，則∠B＝∠C．（1）當(dāng)∠A＝60°

時(shí)，∠B＝∠C＝60°．∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60°．∴ △ABC

是等邊三角形．（2）當(dāng)∠B＝60°

時(shí)，∠C＝60°．∴ ∠A＝180°－（60°＋60°）＝60°．∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60°．∴ △ABC

是等邊三角形．60°A60°BC知識小結(jié)等邊三角形的判定方法

：三邊都相等的三角形是等邊三角形（定義）；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是

60°

的等腰三角形是等邊三角形．例 如圖，△ABC

是等邊三角形，DE∥BC，分別交

AB，AC

于點(diǎn)D，E，求證：△ADE

是等邊三角形．角分析：

思路

1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．思路

2：有一個(gè)角是

60°

的等腰三角形是等邊三角形．思路

3：三邊都相等的三角形是等邊三角形．邊例題精講ABCED60°例 如圖，△ABC

是等邊三角形，DE∥BC，分別交

AB，AC

于點(diǎn)D，E，求證：△ADE

是等邊三角形．分析：ABCED思路

1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．60°角∠A＝∠B＝∠C＝

60°DE∥BC△ABC是等邊三角形∠ADE＝∠B∠AED＝∠C∠A＝∠ADE＝∠AED△ADE是等邊三角形BCED證明：∵ △ABC

是等邊三角形，∴ ∠A＝∠B＝∠C．∵

DE∥BC∴ ∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．∴ ∠A＝∠ADE＝∠AED．∴ △ADE

是等邊三角形．思路

1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．A例 如圖，△ABC

是等邊三角形，DE∥BC，分別交

AB，AC

于點(diǎn)D，E，求證：△ADE

是等邊三角形．如圖，在等邊三角形

ABC

中，AD

是

BC

上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，圖中有哪些與

BD

相等的線段？證明你的結(jié)論．課堂練習(xí)60°60°ABCFED分析：在等邊三角形

ABC

中，已知

AD

是

BC上的高，根據(jù)“三線合一”的性質(zhì)可得

CD=BD；由∠BDE＝∠CDF＝60°

可以證明△BDE，△CDF是等邊三角形，因此

BE＝DE＝BD＝CD＝DF＝CF；通過“等角對等邊”證得

AE，AF

也與

BD

相等.如圖，在等邊三角形

ABC

中，AD

是

BC

上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，圖中有哪些與

BD

相等的線段？證明你的結(jié)論．ABFED解：與

BD

相等的線段有

BE，DE，AE，CD，CF，DF，AF．在等邊三角形ABC中，∠B＝∠C＝∠BAC＝60°．∵ AD

是

BC

上的高，∴ CD＝BD，∠1＝∠2＝30°（“三線合一”）．∵ ∠BDE＝∠CDF＝60°，C

∴ ∠B＝∠BDE＝∠3＝60°，∠4＝∠1＝30°．360° 60°124∴ △BDE

是等邊三角形，DE＝AE．∴ BD＝BE＝DE

＝AE．同理可得 CD＝CF＝DF＝AF．綜上可得 BD＝BE＝DE＝AE＝CD＝CF＝DF＝AF．ABCFED360° 60°124如圖，在等邊三角形

ABC

中，AD

是

BC

上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，圖中有哪些與

BD

相等的線段？證明你的結(jié)論．回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，思考并回答以下問題：我們是如何研究等邊三角形的性質(zhì)和判定的？從等腰三角形到等邊三角形的研究，它們之間有什么聯(lián)系？課堂小結(jié)教科書習(xí)題

15.3

第

5，10，11題．課后任務(wù)第十五章 軸對稱15.3.2 等邊三角形第

2

課時(shí)問題 1 前面我們研究了等邊三角形的性質(zhì)和判定，請說說等邊三角形的性質(zhì)和判定分別是什么？知識回顧等邊三角形性質(zhì)等邊三角形的三邊都相等．等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于

60°．等邊三角形底邊上的中線、高及頂角的平分線重合（簡寫成“三線合一”）．等邊三角形是軸對稱圖形（有

3

條對稱軸）．判定三邊都相等的三角形是等邊三角形（定義）． 都是從邊和角的角度出三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．有一個(gè)角是

60°

的等腰三角形是等邊三角形． 發(fā)進(jìn)行研究的．新課導(dǎo)入BC追問

若畫出等邊三角形的一條對稱軸，那么被對稱軸所分得的兩個(gè)三角形有什么特點(diǎn)？A兩個(gè)全等的直角三角形含有一個(gè)

30°

銳角60°1發(fā)現(xiàn)：BC＝

2

AB．新知探究問題

2 畫一個(gè)含

30°

角的直角三角形，測量

30°

角所對的直角邊與斜邊的長度，你能得到什么結(jié)論？A30°BC問題

3 怎樣證明你得到的結(jié)論？BC30°1如圖，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，∠A＝30°．求證：BC＝

2

AB．A30°ABCD證明：延長

BC

到

D，使

CD＝BC，連接

AD．∵ CD＝BC，∠ACB＝90°，∴線，AB＝AD．△ABD

是等邊三角形．AC

是

BD

的垂直平分又 ∠BAC＝30°，∴ ∠B＝90°－30°＝60°

．∴∴AB＝BD＝2BC．思考：你還有其他證明方法嗎？2BC＝AB1如圖，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，∠A＝30°．求證：BC＝

2

AB．1∴ BC＝

AB．230°AD30°60° 60°C證明：在

AB

上截取

BD，使

BD＝BC，連接

CD．∵ ∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴ ∠B＝∠ACB－∠A＝60°．∵∴BD＝BC，

∴ △BCD

是等邊三角形．BC＝CD＝BD，∠BCD＝60°．∴ ∠ACD＝30°＝∠A．1∴ BC＝2

AB．1∴ CD＝AD．則

BD＝

AB．2B1如圖，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，∠A＝30°．求證：BC＝

2

AB．截長補(bǔ)短法方法小結(jié)CAB30°DABCD含30°

角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于

30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．30°ABC∴ BC＝ AB．符號語言：在

Rt△ABC

中，∵ ∠C＝90°，∠A＝30°，12例 如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)

D

是斜梁

AB

的中點(diǎn)，立柱

BC，DE

垂直于橫梁

AC，AB＝7.4m，∠A＝30°．求立柱例題精講CABC，DE

的長．BD30°E答：立柱BC

的長是3.7

m，DE的長是1.85

m．解：

∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°．111∴ BC＝

2

AB，DE＝

2

AD．∴ BC＝2

×7.4＝3.7．又 AD＝1

AB＝3.7，21 1∴ DE＝2AD＝2

×3.7＝1.85．1. 在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，∠B

和∠A各是多少度？邊

AB

與

BC

之間有什么關(guān)系？解：在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，∴ ∠B+∠A＝90°．∵ ∠B＝2∠A，∴ ∠B＝60°，∠A＝30°．1∴ BC＝2

AB或AB＝2BC．課堂練習(xí)30°ABC2. 在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，AB＝2BC，∠B

和∠A