裔考微學

立體幾何解答題

必考題型全歸納

題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體

例1.（2024?全國?高三專題練習）已知正四棱臺448KA的體積為空出，其中

AB=244=4.

⑴求側(cè)棱與底面力灰D所成的角；

（2）在線段可上是否存在一點P,使得8P_L4。？若存在請確定點〃的位置；若不存在，

請說明理由.

【解析】（1）依題意，在正四棱臺48C/）-4404中，AB=2A￡=4,

所以上底面積國―邃戲&-4，卜.底面枳8=4x4=16,

設正四棱臺的高為〃，則;（4+/4函+16）%=粵2,力=&-

連接4C'，4G，則4。=4五，4。1=2也，

所以44=,陛二還=標=2，

設側(cè)棱例與底面例力所成的角為。則S3套咚

由「線面角。的取值范圍是，所以，=」

4

（2）連接設正四楂臺上卜.底面的中心分別為Q”。,

以O為原點，。4。8,。，分別為工》/軸建立如圖所示空間直角坐標系,

4（?0,0）,。僅,—2立0）,40,2亞0）,

設線段鬻6I二存在一點P,滿足cj=4（；d（0V4<1）-

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C,（-72,0,5^）,C（2V2,0,0）,C1C=（3>/2,0,-72）,

。？二（3瘋,0,-瘋）,

貝I」=8C；+C/=（一行,一2八,收）+（3及4,0,—&/1）=gVLl—收,一2亞，也一血4）,

AJ）=（―>/2,—2>/2,—>/2j?

若8Pl4。，貝UN/4萬=0,

即-&（3瘋-&）+8-亞（亞一四）=0,

解得點匚4，舍去，

所以在線段F上不存在一點，，使得BP14"

例2.(2024?全國?高三專題練習)在三棱臺力BC-/)/第中，G為dC中點，AC=2DF，

AB1BC,8clC”.

A

(1)求證；BC上平面DEG；

(2)若止BC=2,QJAB，平面與平面4C7?7)所成二面角大小為三，求三棱桂

O*G的體積.

【解析】(1)在三棱臺4BC'-/)/第中，G為力。中點，貝J4C=2GC,

又4c=2DF,：.GC=DF，

：.四邊形Ga；7)為平行四邊形，；.DG//CK

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乂BCICF,

vDE//AB,4Bd.BC,BCA.DE，

?;DECDG=D,Z）*,Z）Gu平面Q*G，工即上平面QEG.

（2）?.?C/l/8，DGIICF，:.DGA.AB、

又QG18C，ABcBC=B,力"8Cu平面48。，；/度tL平面/BC，

連接8G，?；AB=BC=2,ABIBC,G為4c中點，：.GB工4C；

以｛GAGd,G/?｝為正交基底，可建立如圖所示空間直角坐標系G-平,

則G（0,0,0）,8（在0,0）,力僅，一也,0）,C（0,x/2,0）,

設。G=C“二用（m>0）,則。（0,0,m）,“（0,j5,加）,

.-.G￡=GZ5+P￡=GD+1^=（0,0,m）+1（V2,^,0）=日與m

,GF=（0,V2,/w）,

/

設平面//G的一個法向量為〃=（x/,z）,

n-GE=也H也"府=0

則（22令逡=-品、解得：少二肛”二江.二〃=（加，叫一亞｝

n?GF-\[2y+/nz=0

乂平面AC7?7）的一個法向量刑二（1,0,0b

=="解得：鶴-1即。G=L

+22

T意口，平面力8C，平面/8C〃平面/）/為，.二OGI平面0/芹,

—S-DG=—x—xlxlxl=—

33nEP326

例3.（2024?重慶萬州?高三重慶巾萬州第二高級中學?？茧A段練習）如圖，在正四棱臺

裔考微學

4以第一44?！ㄖ校?8=244,幽二心，■，蠹為棱4G，GA的中點，棱上存

在一點*,使得44〃平面BMVD

(2)當正四棱臺^48C/)-4BK4的體積最大時，求與平面8MVZ)所成角的正弦值.

【解析】⑴作即'〃4月交48于3再作〃G〃BC交BDTG，連接MG.

因為4。〃平面BMND，所以BJ'〃平面BMND.

又平面BJ'GMc平面BMW=MG，所以B』'〃MG.

又因為FG〃BC〃B￡i，所以四邊形BJ'GM是平行四邊形，

所以"G=4〃=,B.C,=-AD,UP〃為棱的四等分點，

24

AK1

故〃也為棱的四等分點，所以==L

An4

(2)由(1)易知G為用)的四等分點，所以點寓在點G的正上方,

所以圈G±底面/BQ》

設4B=24%=4x,則BG=1B/）=?X,所以小7=J3-2W，

4

所以該四棱臺的體積-=彳16必+>/163-47+4%2p3-2x2=-x2y/3-2x2\

而片222）784X2+X2+3-2X

=Z5ix.x.（3-2x<----

93

當且僅當/=3—2/,即x=l時取等號，此時48=4，44=2.

以G為原點，G"，&G分別為x軸、z軸，

過G平行于48的直線為P軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

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則G(0,0,0),^(0,0,1)?8(1,1,0),小'(1,0,0)，

所以G￡=(1,1,0),=g=(T,T,l).

設平面BMND的法向量為〃=(x,乂z),

CG萬=0,x+y=o,

由,得《令X=1，則〃=O，T1).

GM?”=(),-x+z-0,

設8片與平面BMND所成華為O,

則sin6二（coszi,網(wǎng)）=J」=廠|廠=1，

/忖.阿|3

故BB】與平面BMND所成例的正弦值為;.

變式1.（2024?湖北黃岡?流水縣第一中學?？寄M預測）如圖，在三棱臺4BC-4BC中,

44=2,48=/。=4,44=CC；=#,BB、=3,

2

C,

（1）證明：平面4水工；,平面/8C；

（2）設。是8。的中點，求平面44C。與平面44。夾角的余弦值.

【解析】（1）證明:

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由三核臺知：4BJ/AB,

在梯形4加型中，取力8的中點乂連接8W,

因44=2,AB=AC=4

故44=/“，四邊形4"男是平行四邊形，

?,?昭二例二5

EB=』AB=2,BB.=3

21

所以+=

:"BEB'=±即4/_L/8,

121

因4?〃44，所以8/1441,

TT

又因/8/。二上，所以胡

2

又因44口/。=4所以血」,平面4/cq,

因ZMu平面48C，

所以平面4水工_L平面AHC-,

（2）取力C的中點。的中點“，連接"/）?你,'則0D//AB，

因/B/4C，所以0Q14C，

由條件知：四邊形4/。。是等腰梯形，所以0*1/C，

平面4/CC：c平面ABC=AC

QFu平面440。卜

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平面//eq，平面力8。

???GTL平面48。,

分別以04()1)，?！八谥本€為x軸，V軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖,

則在等腰梯形44。。中，由平面幾何知識可得：0/,'二｛5-(2-1)2二2,

.*.^(2,0,0),D(0,2,0),40,0,2)，/)=(-2,2,0),=(-1,0,2)

設平面的法向量力二(XJ,Z)，

-2x+2y=0

則由，

-x+2z=0

/了第內(nèi)2，得了=2,z-\'

所以,二(2,2,1),

又平面的法向量v=(o,i,o),

設平面44CC；與平面4的夾角為夕

C|，山|2x12

則cos0=:J=/--=—.

|川?同V22+22+l2xl3

變式2.(2024?安徽?高三安徽省定遠中學?？茧A段練習〕如圖，圓錐P。的高為3，是

底面圓O的直徑，四邊形/8C7)是底面圓O的內(nèi)接等腰梯形，且4B=2Q)=2,點、E是母

線顏上一動點.

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（1）證明：平面/CK1平面P。/）；

（2）若二面角力—?。一8的余弦值為理回，求三棱錐/-￡C7）的體積.

130

【解析】（1）連接OC，由題意知四邊形4OCZ）為菱形，故OD1/C，

因為PO/平面4BCD,ACu平面AHC1），

所以PO1力c，

因為POno/）=。，P0,0/）u平面POD所以4cl平面廣0/），又/Cu平面力CA，

故平面ACE1平面POD：

（2）以。為原點，C/）的中垂線為x軸，。8為歹軸，0P為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，則力（0,-1,0）,8（0,1,0）,P（0,0,3）,。（亭，；，°，

設P』麗，顯然4=1不合題意,則/IG[0』），則月（0",3-34，

于是5=(—正，A--,3-3/llC^=f--CT=f-—,i,0

I22}I22JI22

設平面CB*的法向量為而=（xj/b

=x+~,y=0

22

則（

mCE=~—

2

令y=A，得x=L2,=--則成=

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百

一

.。

小=--

2

設平面4(的法向量為萬二(。力,可，則，a

在

=-一

W-2

因為;故2口1

多

此時二面角的余弦值為』遠滿足題意.

130

=

從而%KCD^KACD=-S.CD--PO=-X-X\X\X—X-X3=--

4-iwjjA3A.伏.〃33223

變式3.(2024?云南?云南師大附中?？寄M預測)如圖，〃為圓錐的頂點，A,B為底面圓

。上兩點，/4OB=―,〃為出盤中點，點“在線段片方上，且/〃=2”從

3

(1)證明：平面40Pl平面0匹”；

⑵若()P=4B,求直線加,與平面。底”所成角的正弦值.

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【解析】（1）設圓。的半徑為八

在“08中，O4=()B=，，/AOB二竺,Z()AH=-,

36

故4B=后,又AF=2FB、故力”二2三，

3

22

在中，由余弦定理得。'2=。/2+AE2_2()a?AE?coszOAF=-()A=-r,

33

所以0A2+Ok'?=Ab'2，即OA1OF；

圓錐中，？。/底面。0.0"u底面O。，故P010”,

乂0Ac（）P=（），所以0/；l平面40P，

又。/u平面O”“，所以平面/OP1平面O*”.

（2）以。為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系

不妨設0力二百，則=JJo/=3，（中=W（）A=1，

則/(g,0,0)，P(0,0,3),B一^~，3,°，E

r(o,i,o),

4/■■x?

—?_f33、.

/"=(—G，O,3),OE=?—?3=(0,1,0),

設平面0即的一個法向量為萬二(X，P，Z),

ri()E=00廠

有,一，叫4+/2=，解得方二(2后0,1)，

n()b=0.八

設直線/戶與平面。/沙所成角為0、

=

則sin=眄。戶,小卜盤二淄嚕

變式4.（2024?內(nèi)蒙占赤峰?校聯(lián)考三模）如圖，〃為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心,

四邊形/5c7）是圓O的內(nèi)接四邊形，8。為底面圓的直彷，/在母線單上，且

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AB=BC=BM=2,BD=4,Ml)=2^3-

(1)求證：平面4MC1平面/8CD；

(2)設點“為線段P0上動點，求直線C我與平面力所成角的正弦值的最大值.

【解析】(1)如圖，設。C交8〃于點壹'，連接MN,OC,OA,

由已知可得OC=O4=2,又4B=BC=2,

所以四邊形48C0為菱形，所以4C/BD，

'：BM=2,即匕*MD=2B

兀

???8"+Ml)2=用尸，"BMD=

乙

AcosZMHD=~,乂NMBDG(O,H),所以NMBQ;三,

因為普為08的中點，??.8N=1,BM=2?

由余弦定理可得MN=4BN?+BM?-2BN?BMcosNMBN=百，

:?BM?=BN、MN"所以MNLBN,即MN1BD,

又/C,MVu平面力欣：KcMN=N，：.BD4平面4MC.

又80u平面加*刃，J平面4MC_L平面48CD

A

(2)由已知P0/平面4(/)，/Cu平面/8C/),所以。。14C，

又AC」BD,BDcPO二P，BD,POu平面/小/),

,/J_平面PBD，

又MNu平面PBD，：.MNIAC.

由(1)知MNA.BD，ACcBD=N,/C,8Z)u平面/BCQ，

所以MV_L平面力8C/J，

/.POHMN,又點解為8。的中點，

所以P()=2MN=2日

以點番為坐標原點，NAY所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立.如圖所示的空間

直角坐標系

x

則4?0,0),0(0,3,0),^(0-1,0),M(0,0詞,C(-Ao,o),0(0,1,0)，

設雙0")(04/2省)則圍=(gJ),

???力力=卜百,3,0),JA/=(-V3,0>/3),

設平面4的法向量為3=(%4/)，

Abn=0-y/3x+3V=0,，「匚

則1.,令y=l,則露u*氮m二忑,

AM-?=0-V3x+V3z=O

所以〃二(萬J,a)為平面的一個法向量.

設直線C"與平面所成的角為夕

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則sin6=|cos<?i,C￡>|=.\.^z+4|_V713/2+16+8X/3/<74+8后

瓜#+4=TV-=TVV7T

n\CE\

構(gòu)建/（/）=4：蜉僅</<2⑹,

8-.仔+4）-（4+86）.2/-8（6+4）（”向

V

則/'（?—/\2——

（八@

當04/<#時，/。)>0,函數(shù)/?)在［0,6)上單調(diào)遞增,

當6</428時,/(/)<0,函數(shù)/(/)在(右,2百］上單調(diào)遞減,

「?任士力時，/(/)取到最大值4.

此時，sin0取到最大值1.

另由〃=(⑨,75),麗=(W知,

當上患時，〃〃C7:，此時gg1平面力仞)，

設直線C”與平面/A〃)所成的角為0，因為0°4。V90°,

當?招時,sin0取到最大值1.

變式5.(2024?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預測)如圖，線段44是圓柱。。的母線，M8C是圓柱

下底面的內(nèi)接正三角形，AA,=AB=3.

B

(1)劣弧藍上是否存在點以使得平面448?若存在，求出劣弧麗的長度；若不

存在，請說明理由.

(2)求平面CBQ1和平面844所成角的正弦值.

【解析】(1)如圖過點。作48的平行線。。交劣弧獲于點。，

連接oq,O】D,因為ooj〃4,/qu平面幽從

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則oq//平面44從同理可證?！?/平面44從

oano〃=o，且理1產(chǎn)平面oq。，()/)u平面OQQ，所以平面448〃平面。?。，

乂因為a。u平面。。。,所以，。//平面4

故存在點。滿足題意.

JTJT

因為△力8C為底面。。的內(nèi)接正三角形，所以/84。二一，即==2,

36

3__6

又因為48=3,所以。。的半徑為廠―7T一"

2sin-

3

7C

所以劣弧前的長度為42兀xG=叵;

2n6

(2)如圖取8c的中點為M,連接M4,以為x軸，M4為y軸，過"作OQ平行線

為z軸，建立空間直角坐標系,

又因為力4=48=3,設中點為M

H0],°1°孚3

\乙/\乙/

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易知0N1平面44從所以平面448的法向量加-,----,v.

44

設平面C8?的法向量為力二(xj/),

-^-^+32=0,

?W.=0,

又因為A/q=0,1,3,MB=,0,0,故'-'即?

iiMB=O,*0,

令蠹落得方二僅,2人,一1)

3

n()N_屈

所以平面C8Q和平面砌4夾角的余弦值為2

叩曲「步X后13

4

故平面CBQ和平面血4夾角的正弦值為了甌

1學

題型二：立體幾何存在性問題

例4.(2024?全國?高三對=1高考)如圖，如圖1,在直角梯形力反力中,

AABC=ZDAB=90°,NCAB=30。,8c=2,力。二4.把△D4C沿對角線4c折起到APAC

的位置，如圖2所示，使得點尸在平面/BC上的正投影〃恰好落在線段/C上，連接

PB，點、E,產(chǎn)分別為線段/〃，48的中點.

圖1圖2

⑴求證：平面以H〃平面P8C；

(2)求直線筋與平面P//8所成角的正弦值；

(3)在棱。力上是否存在一點M,使得M到點四點的距離相等？請說明理由.

【解析】(1)在△Z8C中，ZABC=90°,ZCAB=30°,BC=2,所以寓=4

在△/〃(:中，NP/C=60°，AC=AP=4,所以△彳PC為等邊三角形，

裔考微學

因為點P在平面/上的正投影，恰好落在線段4C上，

所以更糅』平面"5C，又水:u平面45C,

所以PH14C，所以〃為線段4C的中點，

又點E,6分別為線段版.48的中點，

所以/"〃/PC,/〃,7/P8.

由EF//PB,即C平面P8C，PBu平面P8C，所以砂〃平面PBC，

由/汨〃PC，?〃（z平面P8C，PCu平面P8C，所以月〃〃平面P8C，

由EH,EFu平面/訃H，EH1EF二E，

所以平面”“〃〃平面P8C；

（2）在平面48。內(nèi)過〃作4c的垂線

因為￡（0,-1,6）〃月=（0,-1,百）

設平面PHB的法向吊:為方二（xj,z）

因為加二（6,1,0）,〃戶二（0,0,2百）,

所以有加5=0,“"?日=0，

令*=%毋，則尸一3，苕

裔考微學

所以力二（下,—3,0）為平面PHB的一個法向量，

/?：、_〃//?3V5

cos（%Hh）=r——.=----T==——

'/n\HE2x2白4

所以直線〃也'與平面〃〃8所成角的正弦值為必：

4

C3）存在，點A/為線段翹的中點“，理由如下：

因為在直角三角形PH8中，EH=PE=EA=LPA=2,

2

在直角三角形中，PB=4,

又EF=LPB=2

2

所以點”到四個點匕4"的距離相等，

所以點〃為所找的點，即線段/〃的中點〃為所求.

例5.（2024?上海長寧?上海市延安中學校考三模）已知A48C和V//）“所在的平面互相垂

直，ADLAE^AB=2,4。=4,Z^C=120%。是線段8C的中點，AD=6

（1）求證：4）1肘，：

（2）設/*=2,在線段/點上是否存在點〃（異于點A）,使得二面角的大小為

4資.

【解析】（1）8。2=/02+/82—2/C/8cosl200=4+16+8=28,故8。=2/，

第三的，則加）2=4*+//）2,故/。/力從

又力。J_/*，平面川近，AEcyAB=A^故/心上平面加班,

BEu平面ABE，故川）1BE，

（2）△48C和△//）少所在的平面互相垂直，則平面/BCc平面加%=4/），

且4*u平面力/九'，故/卑L平面48。，

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如圖所示：以分別為x,y,z軸建立空間直角2標系,

則彳(0,0,0),8(2,0,0),c(-2,2x/3,o),設/,'(0,0,4),ac(0,2],

平面的一個法向量為為二（0,1,0），

x人…，一/、n'-BC=2j3y-4x=0

設平面CB”的一個法向量為%二（xj,z），則|上而—2+_0

，解得。二26，不滿足題意.

綜上所述：不存在點小'，使二面角力-肘,'-。的大小為4鏟.

例6.（2024?湖南邵陽?邵陽市第二中學?？寄M預測）如圖，在“8。中，?B90?,P

為"邊上一動點，PD/出C交AC于點、D，現(xiàn)將△/）/必沿/"）翻折至

Q）若PB=CB=2PD=4,且4/T4,，線段/C上是否存在一點川（不包括端點），使得

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銳二面角芯-80-C的余弦值為區(qū)星，若存在求出生的值，若不存在請說明理由.

14EC

【解析】（1）因為PQ〃8C,?890?,

所以乙477）=90。，所以/PJ.P/），

所以4P18C，又因為8C18P,

47）八8/）=/，流乎仁平面P8/f，8/〉u平面PB/，

所以8。1平面P胡'，又“白平面C7M',

所以平面C/"'JL平面PBA'.

（2）因為PD"BC,8C1/P，

又47）口/少;〃，///Ou平面///）,

/.4/）/平面//。，

?；產(chǎn)發(fā)、P才、PO兩兩垂直，以〃點為原點，為X軸，/，/）為歹軸，〃才為z軸建立空間

直角坐標系，

因為PB=CB=2PD=4PDI/BC，

所以抑二顏=4

則。（0,2,0）.C（-4,4,0）,8（-4,0,0），4（0,0,4）,

平面8Q）的一個法向量為m=（0,0,1），

，d二（—4,4,-4），設片￡=4/e=（一4/1,4/1,一4力，0<2<1

^=（4,0,4）,BE=BAf+7無=（T4+4,42,-4/1+4）

/?P=（4,2,0）,

設平面8￡花法向量為〃=（xJ,z）,

rifiE=0（-4Z+4）x+4Z^+（-4Z+4）z=0

則（,所以

ri-BD=04x+2y=0

32-1

取x=l,則產(chǎn)=著

1-2

31-1

故，=1,-2,為平面80”的?個法向量,

1-A

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L八|mn3x/14

所以cos

2

解得4=符合題意

3

即4?==C,???d=2.

3EC

變式6.（2024?福建廈門?統(tǒng)考模擬預測）箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊

形.如圖，四邊形/8C/）為箏形，其對角線交點為04B二亞,BD=BC=2,將△力用）沿

8/）折到的位置，形成三棱錐/'-BCD.

（1）求8到平面40C的距離：

（2）當/安=1時，在棱力力上是否存在點〃，使得直線與平面POC所成角的正弦值為

-?若存在，求”的值；若不存在，請說明理由.

4A7J

【解析】⑴因為4B=也,BD=BC=2,

所以/"）不可能為四邊形48Q）的對稱軸，則力。為四邊形［8Q）的對稱軸，

所以力。垂直平分8。，所以

AOu平面4'0C,C。u平面AOCJOcC0=0

所以用）/平面/'OC

所以8到平面HOC的距離d=-HD=\.

2

（2）存在點〃，使得直線血'與平面POC所成角的正弦值為

4

過O作041平面8c7），所以兩兩垂直.

以o為原點，。。。耳。。所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系

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由(1)得平面8Q)1平面4。。，因為0f=l,0C=6/C=l

所以.

I22j

設1戶二/M力=Z,--(ZG[0,1]),

\/

0/=01+//=。,電_2一」力

[2222]

oc=(0,^,0),

設平面POC的法向量。=(x,y,z),

令星=激，則出

所以平面POC的一個法向量方=(4-1,0,24),

設直線沏'與平面POC所成角為，——B4'=r1,一百,7。,

I22)

?—I8才.小設一1+川1

1胡侗瓜依-杼+04

17

所以二或;1=」,所以存在點尸，使得直線方才與平面POC所成角的正弦值為

39

-1-A--'P二一1或--A--'P——7

4A'D3-A'D9

變式7.(2024?湖北襄陽?襄陽四中?？寄M預測)斜三棱柱48。-48G的各棱長都為

4,/448=60",點4在下底面Z8C的投影為的中點0.

裔考微學

（1）在棱8片（含端點）上是否存在一點。便4。_!_/（；?若存在，求出陰）的長；若不存

在，請說明理由；

（2）求點4到平面的距離.

【解析】（1）因為點4在下底面力8C的投影為彳8的中點O,故承.1平面48。，

連接OC，由題意△//TC為正三角形，故0C14從

以O為原點，。40a。4分別為xy、z軸建立如圖所示空間直角坐標系：

則/（2,0,0）,4（0,0,2回￡他,26,0）,8（-2,0,0）聞一4,0,2間,。卜2,2收2萬）,

設用5=入B&,B&=（-2,0,2x5）,可得。卜2丸-2,0,26",

:.AXD=（-2A-2,0,2區(qū)-2⑹,AC；=（-4,2百,2應）,

假設在楊力4（含端點）卜一存在一點。便

則4萬14（24+2）+2x/5（2&-26）=（V.4=L

5

14

則BD=-BBi=-；

（2）由（1）知88；=卜2A28）,比＜2,26,0）,

設平面BCC4的法向量為。=（、//）,

裔考微學

為畫=0-2x+2、3z=0

則V，令葬一百，則雷二Ly二T，

hBC=Q2x+2傷=0

則為二(百,一草)，

又4月二卜2,0「2百),

14月方|464岳

則4到平面8CC4的距離為d=

\n\~15~~T

即點4到平面8C(;A距離為弓色.

變式8.(2024?全國?高三專題練習)如圖，在四棱錐P-4灰7＞中，。/)1平面4。，△

口。為等邊三角形，ADJBC，AD=CD=2BC=2,平面P8C交平面左。直線/,E、

尸分別為棱PQ，P8的中點.

(I)求證：BC//h

(2)求平面/即與平面PAD所成銳二面角的余弦值；

PG

(3)在棱PC上是否存在點G,使得。G〃平面廣？若存在，求彳的值，若不存在，說

1(

明理由.

【解析】(1)因為//?8C，/Qu平面/〃/)，8Cc平面/〃/)，

所以BC〃平面/"。，

又因為BCu平面PBC，平面PBCc平面PAD=直線/,

所以BC〃/.

(2)取//)的中點。，連接0P,08，

由題意可得：BO/OD，且8C=O〃，

則O8C/)為平行四邊形，可得08/CQ，

且COJL平面PAD,則08，平面PAD,

由OPU平面4力，則。P10B,

又因為△尸力。為等邊三角形，則O為的中點，可得。P1力。，

()BC\AD=().08,4)u平面［8Q)，則緲，平面力8c7J，

如圖，以0為坐標原點，。4。9?！ǚ謩e為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

則4(1,0,0),8(0201。(-1,2,0),。(一1,0,0)/倒,0,6),￡--,0,^-,F0,1,

可得心一看o,雪加二(；,l,0)

--7^3

n-Ah=——x+——z=n0

設平面力**的法向量G=(xj,z),則,22

一1

ri-EF=—x+y-0

令年.二.%,則y=—Y=：*'3，即〃=Q,-1,2后),

由題意可知：平面PAD的法向量加=(0』,0),

(3)由(2)可得：Pd=

設pd=2/dG(a，b，c),則〃G=(d"c-百)，

r

a=-2a=—Z

可得"=2/l,解得”=24,

c-追=-退九c=5/3(1-^)

即6'入2473(1-A)),可得nd=(l-^,2^,>/3(l-l)).

裔考微學

若/）G〃平面/石尸，則

_____41

可得》Z）G=2（1-4）-24+6（1-；1）=0,解得如二.

p（；4

所以存在點G，使得/X；//平面力環(huán)，此時皆=].

變式9.（2024?湖北襄陽?襄陽四中校考模擬預測）在三棱錐/M8C中，若已知

/4JL/C，點產(chǎn)在底面4SC的射影為點“，則

⑴證明：PC1AB

（2）設PH=HA=HB=HC=2,則在線段尸。上是否存在一點"，使得與平面/MB所成

CM

角的余弦值為《4，若存在，設上巴二力求出4的值，若不存在，請說明理由.

SCP

【解析】（1）因為點。在底面48C的射影為點〃，

所以蹋I平面48。，又血,BC,CAu平面48C，

所以〃〃1ABJUI1BC,PH1CA,

因為PHd.BC，PA（V）H=P,/〃JHu平面4tH，

所以8。/平面/"〃,又/殛二平面/"〃,

所以8cl力，，

因為P81力C,PH14C，PBcPH=P，PB,PHu平面PBH，

所以4Cl平面P8”，又砥匚平面P8”,

所以4c工B/3

因為BC1AH，AC}BH.

所以點〃為//T。的垂心，所以C〃l/8，

因為C〃1力從PH1AB，CHJHu平面PC"，CHcPH二H,

所以/平面PCH，又PCu平面PCH，

所以PC148：

（2）延長像r交力8于點O，由（1）可得coi/從

裔考微學

乂HA=HB，所以點O為線段力8的中點，

所以C/=C8,同理可得8/=8C，

所以“8。為等邊三角形，又HA=HB=HC=2,所以〃=26，

如圖，以點。為原點，以。氏戶為x,7,z軸的正方向，建立:空間直角坐標系,

則力16,o,o）,B（6,o,o）,p（o』,2）,c（o,3,o）.

故萬二僅?0,0）,/戶=（且1,2）,*=卜?3,0）,C戶=（0,-2,2）,

設存在點M,使得8M與平面所成角的余弦值為1，且?±二九

5CP

則BM=BC+CM=BC+ZCP=1石,3-22,21),

設平?面的法向量為/〃=（xj,z）,

山/8=02y/3x=0

h-AP-0\/5x+y+2z=O

令z=l，可得￡=2,

所以〃=（0,-2,1）為平面48的一個法向量,

BMn-6+6A

所以cos…=崎=血_.+8戶xB

471

設直線8M與平面8所成角為0，則cos0=2,又ew0-

所以總1人或選;0又總這0』,

所以為=1

5

所以在線段尸C上存在點M,使得8M與平面48所成角的余弦值為3,且磔=4=1.

SCP3

裔考微學

P

變式10.（2024?浙江?校聯(lián)考模擬預測）在四棱錐芯-/鳥CZ）中，底面［8Q）為矩形,

AD=2AB=2,△及1。為等腰直角三角形，平面/〃/）1平面［8Q），G為BC中點.

⑴在線段4）上是否存在點您使得點配到平面*G/）的距離為若存在，求出的

值；若不存在，說明理由;

⑵求二面角。一/泊一8的正弦值.

【解析】（1）法1：取力/）中點，記為“，連接翻，豳.DG，

因為△/）/）為等腰直角三角形，所以以?'_///），

???平面EA1）1平面4BCD，平面片//）D平面ABCD=41）,

u平面以。，.,./〃，'1平面力8C/）

因為/澎=1，4/）=2,所以則EG二小EK"+FG?=&,

2

DG=ylCD2^CG2=>/2?以）=，）"2+=&，

假設Q存在,由%句X；-VEg7），即1K；%E1X；-］SA0G1）4Qcnr

乂SEDG=--x>/2xA/2xsin60'=^-,所以勿EDG=—x^-x^-=—?

皿22QEDG3224

乂4QGD~1，

3133

：.SS，又S.a；D=±CDx0D=±,又CD=1，：@）=L

4242

裔考微學

法2：取力。中點，記為一,連接嬸,昭,DG，

因為△〃力。為等腰直角三狗形，所以川；上川)，

???平面EAD，平面/8C/)，平面/4)0平面ABCD=AD,

**u平面口。，；.**1平面/BCD，因為48=1，4)=2,所以題工日工&口1.?

2.

如圖以/，'為原點，四所在直線為x軸，/，z＞所在直線為y軸，魂所在直線為z軸，建“?空

間直角坐標系，

則O(OJO),^(0,0,1),G(1,0,0),

設線段4)上存在0(0,叫o),加使得它到平面〃G/)的距離為,亙

則*0=(0,叫—1),D￡=(O,-l,l),DG=(1-1,0),

n?DE=-y+z=0

設平面E'GQ的法向量。=(x,y,z),則令x=L則策』

n?DG=x-y=Q

品。到平面EGQ的距離〃二絲二二此11=正，解得胸=一二或蝌=2(含去),

\h\J3222

則2卜,-；,0)，??0=*

(2)法1：由(1)可知以，'/平面力8CD易得CG=CD=1，EG=ED=收，

則國=忑，.&(；(2△/])(,，

過點G作GP1KC，交腰F點P，連結(jié)?！?，則QPIEC

裔考微學

/DPG為二面角D-EC-8的一個平面角,

EGGC及6____

在△/）〃（；中，可得GP二，同理可得〃〃=,，又方至+F二

EC

22

GP?+PD2-GD?3+3I

cos/DPG=---------------=二/—==——，

2PGPD一a&2

2*忑*忑_

/.sin/DPG=/DPG=也，即二面角。—芯C—8的正弦值為坦;

22

則“（0,0,0）,“（0,0,1）,〃（0,1,0）,C（l,1,0）,8（1,-1,0）,

所以“/二（0,1,-1）,/sC=（l,l,-l）./次一1）,

設加二（。力,c）為平面EC/）法向顯,

m-ED=b-c=Q

所以（_則加二（OJ。,

m-EC=a-i-b-c=Q

設［=（XMzJ為平面￡（方法向量,則.，竺二*+乂一行°,令玉=1,則％=（1,0,1）,

h-EB=xx-^1-Z1=0

設二面角D—EC—8為0,顯然。為銳角，!?Wcos6>=i—?==~,

何視yr/2xy/r22

廠L

所以sinO=J"cos2"里,即二面角。一。。一8的正弦值為且.

2