專題01一次函數(shù)綜合題

壓軸題密押

通用的解題思路:

（1）一次函數(shù)與幾何圖形的面積問題

首先要根據(jù)題意畫出草圖，結(jié)合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積.

（2）一次函數(shù)的優(yōu)化問題

通常一次函數(shù)的最值問題首先由不等式找到工的取值范圍，進(jìn)而利用一次函數(shù)的增減性在前面范圍內(nèi)的前

提下求出最值.

（3）用函數(shù)圖象解決實際問題

從己知函數(shù)圖象中獲取信息，求四函數(shù)值、函數(shù)表達(dá)式，并解答相應(yīng)的問題.

壓軸電預(yù)窩

I.（2024?鼓樓區(qū)一模）如圖，直線），=-島+6與0O相切，切點為P,與x軸），軸分別交于A、3兩點.0O

與■軸負(fù)半軸交于點C.

（1）求的半徑；

（2）求圖中陰影部分的面積.

2.(2023?宿豫區(qū)三模)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，直線4：y=x+l與直線4：x=-2相交于點。，點4

是直線上的動點，過點A作AB_L4于點8,點C的坐標(biāo)為(0,3),連接AC,BC.設(shè)點A的縱坐標(biāo)為/,

A/1BC的面積為s.

(1)當(dāng)/=2時，求點笈的坐標(biāo)；

(2)$關(guān)于，的函數(shù)解析式為("T或"5),其圖象如圖②所示，結(jié)合圖①、②的信息,

//(/+!)(/-5)(-1</<5)

求出a與b的值；

(3)在直線4上是否存在點A，使得48=90°，若存在，請求出此時點A的坐標(biāo)；若不存在，請說明

①②

3.(2023?涕陽市一模)如圖1,將矩形AO5C放在平面直角坐標(biāo)系中，點O是原點，點A坐標(biāo)為(0,4),點

8坐標(biāo)為(5,0),點P是x軸正半軸上的動點，連接AP,A4Q尸是由AAOP沿AP翻折所得到的圖形.

(1)當(dāng)點Q落在對角線OC上時，OP=；

(2)當(dāng)直線尸。經(jīng)過點C時，求PQ所在的直線函數(shù)表達(dá)式；

(3)如圖2,點M是8c的中點，連接MP、MQ.

①歷。的最小值為:

②當(dāng)APMQ是以PM為腰的等腰三角形時，請直接寫出點戶的2標(biāo).

圖1圖2

5.(2024?新北區(qū)校級模擬)如圖①，動點夕從矩形/V3CO的頂點A出發(fā)，以匕的速度沿折線4-。向終

點C運(yùn)動；同時「一動點。從點D出發(fā)，以彩的速度沿QC向終點C運(yùn)動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時:另一個

點也停止運(yùn)動.點石為CD的中點，連接尸E,PQ,記AEPQ的面積為S,點尸運(yùn)動的時間為f,其函數(shù)圖

象為折線MN-Nr和曲線FG(圖②)，已知，ON=4,NH=\,點G的坐標(biāo)為(8,0).

(1)點尸與點Q的速度之比1L的值為；組的值為；

匕----4。----

(2)如果00=15.

①求線段NF所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

②求FG所在曲線的函數(shù)表達(dá)式；

③是否存在某個時刻1,使得S…身？若存在，求出/的取值范圍：若不存在，請說明理由.

圖①

6.（2024?梁溪區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，二次函數(shù)），=-?+3辦+4〃的圖象與x軸交于4、

6兩點（點A在點B的左側(cè)），與），軸正半軸交于點C,直線＞：=；、交于第一象限內(nèi)的。點，且A4BC的

面積為10.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點石為x軸上一點，過點石作），軸的平行線交線段OD于點尸，交拋物線于點G,當(dāng)G/=石。尸時,

求點G的坐標(biāo)；

（3）已知點P（〃,0）是x軸上的點，若點P關(guān)于直線OQ的對稱點。恰好落在二次函數(shù)的圖象上，求〃的值.

（備用圖）

7.（2023?祁江區(qū)校級一模）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線/:、=-苧工+46分別與工軸、），軸交于

點A點和8點，過O點作于。點，以QD為邊構(gòu)造等邊AEDF（廠點在大軸的正半軸上）.

（1）求A、4點的坐標(biāo)，以及OD的長；

（2）將等邊AED尸，從圖1的位置沿工軸的正方向以每秒1個單位的長度平移，移動的時間為"s）,同時

點P從E出發(fā),以每秒2個單位的速度沿著折線石￡>-。尸運(yùn)動（如圖2所示），當(dāng)尸點到尸點停止，ADEF

也隨之停止.

①/=（s）時，直線/恰好經(jīng)過等邊AEDF其中一條邊的中點；

②當(dāng)點?在線段OE上運(yùn)動，若DM=2PM,求『的值；

③當(dāng)點。在線段OF上運(yùn)動時，若APMN的面積為百，求出f的值.

圖1圖2

8.（2023?武進(jìn)區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系x0v中，對于任意兩點率與，x）與鳥（與，/）的“非常距

離”，給出如下定義：

若|西一日|.」3-必|,則點6與點下的“非常距離"為"-±|；

若|再一匹IV-y2\,則點耳與點P2的“非常距離”為1%-力I?

例如：點《（1,2）,點巴（3,5）,因為11-3142-51，所以點片與點6的“非常距離”為|2-5|=3,也就是圖

I中線段EQ與線段BQ長度的較大值（點。為垂直于y軸的直線EQ與垂直于上軸的直線優(yōu)。交點）.

（1）已知點A（-；,0）,8為y軸上的一個動點，

①若點A與點8的“非常距離”為2,寫出一個滿足條件的點B的坐標(biāo)；

②直接寫出點A與點8的“非常距離”的最小值；

（2）已知C是直線），=1x+3上的一個動點，

①如圖2,點。的坐標(biāo)是（0.1）,求點。與點。的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點。的坐標(biāo)；

②如圖3,石是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點C與點E的“非常距離”的最小值及相

9.(2023?海安市一模)對于平面直角坐標(biāo)系X。)，中的圖形W和點P,給出如下定義：”為圖形卬上任意

一點，將夕，F(xiàn)兩點間距離的最小值記為，最大值記為稱“與〃2的差為點。到圖形W的“差距離”，

記作4(P,W),即作P,W)=M-5,已知點A(2,l),B(-2J)

(1)求d(O,/W)；

(2)點C為直線)，=-1上的一個動點，當(dāng)”(C,A約=1時，點C的橫坐標(biāo)是；

(3)點。為函數(shù)y=x+〃(-2領(lǐng)k2)圖象上的任意一點，當(dāng)d(DA8),,2時，直接寫出〃的取值范圍.

10.(2022?姑蘇區(qū)校級模擬)平面直角坐標(biāo)系中，對于任意的三個點4、B、C,給出如下定義：若

矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且八，A,C三點都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點八，

B,C的“三點矩形”.在點A,4,C的所有“三點矩形”中，若存在面積最小的矩形，則稱該矩形為點

4,A,C的“最佳三點矩形”.

如圖1,矩形DE/七，矩形〃C”都是點4,B,。的“三點矩形"，矩形〃CH是點4,B,。的“最佳

三點矩形”.

如圖2,已知2(4,1),N(-2,3),點

(1)①若〃7=2,〃=4,則點N,2的“最佳三點矩形”的周長為—，面積為一；

②若〃?=2,點M,N,2的“最佳三點矩形”的面積為24,求〃的值；

(2)若點尸在直線y=-2x+5上.

①求點N,P的“最佳三點矩形”面積的最小值及此時機(jī)的取值范圍；

②當(dāng)點N,尸的“最佳二點矩形”為正方形時，求點尸的坐標(biāo)；

(3)若點P(見用在拋物線)，=a/+/"+c上，當(dāng)且僅當(dāng)點例，N,夕的“最佳三點矩形”面積為12時,

-2效帆-1或啜M3,直接寫出拋物線的解析式.

圖1圖2備用圖

11.（2022?太倉市模擬）如圖①，動點P從矩形人4co的頂點A出發(fā)，以斗的速度沿折線人向終點C

運(yùn)動；同時，一動點。從點。出發(fā)，以為的速度沿DC向終點C運(yùn)動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時，另一個點也

停止運(yùn)動.點E為8的中點，連接尸E,PQ,記AEPQ的面積為S,點尸運(yùn)動的時間為/,其函數(shù)圖象為

折線MV-Nr和曲線尸G（圖②），己知，ON=3,M7=1,點G的坐標(biāo)為（6,0）.

（1）點?與點Q的速度之比/的值為;的值為；

匕

（2）如果。例=2.

①求線段NF所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

②是否存在某個時刻/,使得S…2?若存在，求出，的取值范圍；若不存在，請說明理由.

12.(2022?祁江區(qū)校級一模)在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，對于點P和線段ST,我們定義點尸關(guān)于線段ST的

必

(PS<PT)

線段比k=<S7

/Z

5T(PS..PT)

(1)已知點A(0,l),8(1,0).

①點Q2,0)關(guān)于線段AB的線段比k=；

②點C((),c)關(guān)于線段AB的線段比k=叵,求c的值.

(2)已知點M(〃?,0),點N(m+2,0),直線)，=x+2與坐標(biāo)軸分別交于E,/兩點，若線段EP上存在點使

得這一點關(guān)于線段MN的線段比鼠,，直接寫出機(jī)的取值范圍.

4

13.(2022?泰州)定義：對于一次函數(shù)y=at+〃、y2=cx+d,我們稱函數(shù)

y=ni(ax+Z?)+n(cx+d){ma+0)為函數(shù)y\、y2的“組合函數(shù)

(1)若〃?=3,〃=1,試判斷函數(shù)y=5x+2是否為函數(shù)y=x+l、％=2x—1的“組合函數(shù)”，并說明理由；

(2)設(shè)函數(shù)y-2與％=-工+3〃的圖像相交于點P.

①若+點P在函數(shù)必、乃的“組合函數(shù)”圖像的上方，求〃的取值范圍；

②若〃工1,函數(shù)必、內(nèi)的“組合函數(shù)”圖像經(jīng)過點是否存在大小確定的，〃值，對于不等干1的任意實

數(shù)〃，都有“組合函數(shù)”圖像與/軸交點Q的位置不變？若存在，請求出，"的值及此時點。的坐標(biāo)；若不

存在，請說明理由.

14.（2024?鐘樓區(qū)校級模擬）在同一平面內(nèi)，具有一條公共邊且不完全重合的兩個全等三角形，我們稱這

兩個三角形叫做“共邊全等”.

（1）下列圖形中兩個三角形不是“共邊全等”是—：

邊上，滿足拉死廠和AED廠為“共邊全等”，求CF的長;

（3）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x+12分別與直線尸x、x軸相交于A、〃兩點，點C是04

的中點，P、。在AAO4的邊上，當(dāng)以夕、13、。為頂點的三角形與APC/3“共邊全等”時，請直接寫出

點。的坐標(biāo).

15.(2023?新北區(qū)校級二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A、點3的坐標(biāo)分別為(-2,0)、(0,8).經(jīng)

過A、B、O三點的圓的圓心為M,過點"的直線與的公共點是。、E,與x軸交于點尸，與)，軸

交于點N,連接AE、OD.BD,已知NQ/?=45。.

(1)OM的直徑為一，點M的坐標(biāo)為—；

(2)求百.線。/所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(3)若尸是線段"上的動點，/尸E4與&20的一個內(nèi)角相等，求OP的長度.

16.(2023?梁溪區(qū)模擬)如圖，以4-9,0)、8(-2,0)為頂點作等邊■3。，點。在笫二象限.

(1)求直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

(2)過點。(1,0)作一條直線交8C于點P,交AC于點Q,且OP:PQ=3:2.

①求點P的坐標(biāo)與Z￡火/)的度數(shù)；

②在y軸上是否存在這樣的點M,使得點M到4包＞的兩邊所在直線的距離相等？若存在，請直接寫出所

以符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

17.(2023?海州區(qū)校級二模)問題提出：

(1)在學(xué)習(xí)幾何時，我們可以通過構(gòu)造基本圖形，將幾何“模型”化.例如在三角形全等與三角形的相似

的學(xué)習(xí)過程中，“A”字形是非常重要的基本圖形.如圖1,已知：ZADC=NBEC=ZACB=期,I)、C、

E三點共線，AC=BC,由ASA易證A4/JC=ACEB；

如圖2,已知：ZADC=ZBEC=ZACB=90°,。、C、E三點共線，若AC=6、BC=3、BE=1,則">

的長為—;

圖2圖3

即圖5ffl6

問題探究：

(2)①如圖3,已知：ZADC=NBEC=ZACB=好,AC=BC,。、C、E三點共線，求證：AD=BE+DE；

②如圖4,已知點4-3,1),點8在直線y=-2x+4上，若NAOB=90。，則此時點8的坐標(biāo)為；

問題拓展：

(3)如圖5,正方形A8CD中，點G是5C邊上一點，BF±AG,DE_LAG,垂足分別為尸、E.若AE=1,

四邊形ABFD的面積等于10,求王方形A3C。的面積.

FF

(4)如圖6,正方形A8CD中，點石、尸分別在A。、邊上，AE=BF,連接、。尸，則——的最

DF

小值是

18.（2023?金壇區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對于點A,記線段的中點為若點A,M,P,

Q按逆時針方向排列構(gòu)成菱形AMPQ,其中/QW=a°（0<a<180）,則把菱形AMPQ稱為點A的“2。菱

形"AMPQ,把菱形AMPQ邊上所有點都稱為點A的“0。菱點已知點4（0.4）.

（圖1）（備用圖）

（1）在圖1中，用直尺和圓規(guī)作出點A的“60。菱形"AMP。,并直接寫出點尸的坐標(biāo)（不寫作法，保

留作圖痕跡）；

（2）若點以1,1）是點A的“。。菱點”，求a的值；

（3）若一次函數(shù)），=-等x+8的圖象上存在點A的“a。菱點”，直接寫出〃的取值范圍.

19.（2022?吳中區(qū)模擬）探究與應(yīng)用：在學(xué)習(xí)幾何時，我們可以通過分離和構(gòu)造基本圖形，將幾何“模塊”

化.例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本圖形，可以建立如下的“模塊”（如圖①）:

（1）請就圖①證明上述“模塊”的合理性.已知：ZA=ZD=Z^C￡=90°,求證：MBCSADCE；

（2）請直接利用上述“模塊”的結(jié)論解決下面兩個問題:

①如圖②，已知點4-2,1）,點8在直線），=-21+3上運(yùn)動，若408=90°,求此時點8的坐標(biāo);

②如圖③，過點4-2/）作x軸與y軸的平行線，交直線y=-2x+3于點C、D,求點A關(guān)于直線CO的對

稱點E的坐標(biāo).

20.(2022?雨花臺區(qū)校級模擬)閱讀并解答下列問題；在學(xué)習(xí)完《中心對稱圖形》一章后，老師給出了以

下一個思考題：如圖I,在平面直角坐標(biāo)系宜刀中,已知點A(0,3),8(5,1),C(40),/Xa+2,0),連接AC,

CD,DR,求AC+C￡>+/M最小值.

圖4圖5圖6

【思考交流】小明：如圖2,先將點A向右平移2個單位長度到點A，作點“關(guān)于x軸的對稱點從，連接A5

交?軸于點。，將點。向左平移2個單位長度得到點C,連接AC.雙>此時AC+CA+DB的最小值等

于AA+co.

小穎：如圖3,先將點A向右平移2個單位長度到點A，作點A1關(guān)于工軸的對稱點4,連接可以求解.

小亮：對稱和平移還可以有不同的組合….

【嘗試解決】在圖2中，AC+CD+O3的最小值是.

【靈活應(yīng)用】如圖4,在平面直角坐標(biāo)系X。｝，中，己知點A(0,3),8(5,1),。(。+2,0),連接AC,

CD,DB,MOAC+CD+Db的最G值是，此時a=,井請在圖5中用直尺和圓規(guī)作出AC+CD+DB

最小時CD的位置(不寫作法，保留作圖痕跡).

【拓展提升】如圖6,在平面直角坐標(biāo)系直下中，已知點A(0,3),。是一次函數(shù)y=x圖象上一點，CQ與)，

軸垂直且CD=2(點。在點C右測)，連接AC,CD,AI),直接寫出AC+CD+D4的最小值是，此

時點C的坐標(biāo)是

21.（2022?濱海縣校級三模）定義：若一個函數(shù)的圖象上存在橫、縱坐標(biāo)之和為零的點，則稱該點為這個

函數(shù)圖象的“好點”，例如，點是函數(shù)），=x+2的圖象的“好點”.

（1）在函數(shù)①y=—x+5,②y=