專題八平面解析幾何

第二講橢圓、雙曲線和拋物線專題測試

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知方程「一+工=1表示的曲線是橢圓，則實數(shù)々的取值范圍是()

攵一48-k

A.(4,6)B.(6,8)C.(4,8)D.(4,6)J(6,8)

2.焦點分別為(-2,0),(2,0)且經(jīng)過點(2,3)的雙曲線的標準方程為()

3.已知拋物線。：)，2=21與圓。:1+),2=/?2(尺>0)交于4B兩點，且卜耳=4,貝ijR=()

A.25/2B.V2C.2D.1

4.已知雙曲線C:二-二=1(?！?,b>0)的離心率為后，C的一條漸近線與圓

a~b~

。一2)2+()，-3)2=1交于4，3兩點，則A8=()

A石口2石「36n475

A.fc>.----------v.--------U.--------

5555

5.已知橢圓匕E+E=1S>〃>())與函數(shù)V-曲的圖像相交于四個不同的點，其中兩

a~b~

個點為A(6-G)、且在這兩點處橢圓的切線斜率均與函數(shù)/(另在該點的導

數(shù)相等.則橢圓E的離心率為()

A百2V5V3V6

A?DR.1Vrz.Un.

5533

6.斜率為I的直線經(jīng)過拋物線)，=4/的焦點，且與拋物線交于48兩點，則線段A8的長為

4

()

1311

A.8B.—C.—D.4

22

7.已知雙曲線—一$=1的左、右焦點分別為"，尼，若直線y=

XT）與雙曲線交于A,

8

B兩點，且A耳〃8巴，則f的值為（）

A.±1B.±5/2C.±>/3D.±2

8.古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點4

B的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱

為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點P,Q分別是拋物線=8），和￡/+丫2?12》+32=0

上的動點，若拋物線C的焦點為F,則2|PQ|+|Q目的最小值為（）

A.6B.4#C.4x/3D.5

二、選擇題：本題共3小題.每小題6分.共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全

部選對的得6分.部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.過雙曲線。:￡-￡=1（〃>0力>0）的一個焦點的直線門-2k5=0與。的一條漸近線平行,

a~b~

且與C交于點P，則（）

B.C的離心率為正

A.C的實軸長為26

2

C.P到C的右焦點的距離為正

D.C的一個頂點坐標為（0,6）

4

10.下列說法正確的是（）

B.橢圓《+反=1的離心率為:

A.圓V+）/+4x+4y=0的半徑為20

432

C.雙曲線三一二二1的實軸長為2D.拋物線=工的焦點坐標為

43

11.已知拋物線。：丁=2/"（〃>0）,過C的焦點/作直線=）+若C與/交于A,B兩點,

AF=2FB?則下列結(jié)論正確的有（）

A.〃=2B.|/4F|=3

c.1=2&或-2>/2D.線段AB中點的橫坐標為|

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若拋物線)，2=2px的焦點與橢圓(+?=1的右焦點重合，則〃=.

22

13.若雙曲線。:=-4=1(4>0,/?>0)的一條漸近線被限X2+(y-2)2=4所截得的弦長為26，

a-b-

則C的離心率為.

14.已知過拋物線)，2=-2x的焦點凡且斜率為G的直線與拋物線交于A,B兩點，則

\AB\-=------'

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或者演算步驟.

15.(13分)已知拋物線的焦點/在直線x-丁+1=。上

(1)求拋物線C的方程

⑵設直線/經(jīng)過點2),且與拋物線C有且只有一個公共點，求直線/的方程

22

16.(15分)己知雙曲線C:?-方=1(O0,〃>0)的實軸長為2,離心率為G.直線上丫=履+加

與雙曲線C相交于4,8兩點.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若A3的中點為M(2,l),求直線/的方程.

17.(15分)已知一動圓C與直線/：x+,=0相切且過定點/

(1)求圓心。的軌跡方程；

(2)A、8是。的軌跡上異于原點。的兩點；

⑴若。4。8=-9，求△498面積最小值；

2

(ii)直線。4、0B的傾斜角分別為q與4,當兀時?，試問：直線是否過定點?若是，

求出定點坐標；若不是，說明理由.

18.(17分)已知雙曲線E:']=l(a>0力>0)經(jīng)過點卜2,百)，動直線/與七恰有1個公

共點,且與E的兩條互相垂直的漸近線分別交于點M,N.

(1)求E的方程；

(2)已知。為坐標原點，求證：△OMN的面積為定值；

⑶過E的右焦點作兩條互相垂直的直線4，4，且4與E交于A,B兩點,與E交于C,D

兩點，若A3的中點為P,CD的中點為Q,求證：直線PQ與)，軸垂直.

22

19.(17分)已知橢圓。:]+樂=1(。>0/>0)的左、右焦點分別為《、鳥，已知點A在直

線刀=1上運動，且64￡月=4,當|A曰二|時，點A在橢圓上

(1)求橢圓。的方程：

(2)設A是橢圓。外，過點3(4,0)的直線與橢圓。交于P、Q兩點，且直線Q4、Q4與直線x=4

分別交于M、N,求帆回一|四|的值.

答案解析

1.答案：D

,,卜-4>0

解析：因為方程工+上=1表示的曲線是橢圓，所以8-&>(),解得4Vz<8且正6,

攵―48—攵1Ao1

出一4工8-攵

所以實數(shù)L的取值范圍是(4,6)J(6,8).故選：D.

2.答案：A

解析：由雙曲線的定義知2〃=](2+2)2+32-，(2-2)2+32=5-3=2,所以。=1.又c=2,所

2

以反=c2-/=4-1=3,因此雙曲線的標準方程為一一E=i.故選：A.

3

3.答案：A

解析：設4(x,y),8(工,一丁)1y>0),

由|陰=2），=4,得），=2,所以x=?=2.因為A（2,2）在圓。上，所以22+22=—得R=2行

故選：A.

4.答案：D

解析：根據(jù)雙曲線的離心率6=6=￡,得。=有々，即/=5/,即/+〃=5/，所以。2=4〃2,

a

4-4,所以雙曲線的漸近線方程為）」±21,易知漸近線y=2x與圓相交.

y—2x]6

方法一:由｛「二,2[得5Y_16X+12=0.設A(X，yJ,方七,%)，則X+%2=T，

(x-2)+(y—力=1,5

MN=；■.所以入?yún)^(qū)=J1+21再一N=逐J（與-4x弓=.故選D.

|2x2-3|旦

方法二:圓心（2,3）到漸近線y=2x的距離d-,所以

722+(-1)2-5

AB=2\j\—d2=2J1—=4個，故選D.

5.答案：B

解析：因為“x)=V—4x,則r(x)=3f—4,則r(6)=3x3—4=5下面證明橢圓?在其

2+羋=1

上一點喉,為）處的切線方程為滬等=1，由題意可得9/1，a~h~

聯(lián)立2

JA1

可得f—2x°x+x；=。，則△=?；-4片=0,所以橢圓E在其上一點P（x。,為）處的切線方程為

孽+果”由題意橢圓E在點6處的切線方程為華一魯=】，其斜率為小由題意可

得q=5,故該橢圓的離心率為e=￡=史亙=、[^=,「工=邁.故選：B.

b-bbVV55

6.答案：A

解析：由題知，拋物線方程為f=4y,所以拋物線焦點為（0,1）,所以該直線方程為

工2=4V

｛xy+]_0，得一-4--4=0,設A（%,y）,8（七,為），

則再+々=4,所以|蝴=%+3+4=8.故選:A

7.答案：D

解析：如圖所示，設直線A6與雙曲線的另一個交點為C,

設A（%,yJ,，由圖形的對稱性知。（一巧,一%）.由4,B兩點在雙曲線上知片-今=1,

8

作差得到崇一號=8'其中/=竽，故直線M的斜率

此時直線的的方程為），=由（戈+3）,與雙曲線的方程聯(lián)立得

?V]IX）

5/一18%—35=0,化簡得（5x+7）（x—5）=0,即x=或x=5,那么人（一（,鋁）或A（5,86）.

又直線A3的斜率為迪，所以4—二更或迪=辿，解得"±2,故選：D.

3735T3

--------1

5

8.答案：B

解析:易知拋物線C：12=8y的焦點尸（0,2）,尸（0,2）,M（0,5）不在圓E上,將圓

E:f+y2—i2y+32=。變形為：x2+(y-2)2=4[x24-(y-5)2],=4,即曹*=2,

廠+()，-5)IQMI

\QF\=2\QM\t2|P@+|Qq=2(|PQ|+|QM|R21PMI,當且僅當P,Q,M三點共線時取等

號；

設P(x,y),則1PMi2=爐+(3-5)2=83+8—5)2=9一23+25=(3—1)2+24224,當且僅當。=1

時取等號;所以|PM|N2卡，故2|叫+|。目如卡,所以2|圖+|。目的最小值為4芯,故選:

B.

9.答案：BC

解析：直線/：x-2)-5=0與坐標軸的交點分別為(5,0)和(0,-g),因此雙曲線的一個焦點為

,\b1

bI-=一

(5,0),即c=5,又雙曲線的一條漸近線與直線/平行，所以一二彳，由。2,解得

02卜+從=。2=25

〃=2石

b=y/5

選項A,實軸長為45萬，A錯；

選項B,離心率為6=￡=_==且，B正確；

。2石2

「29

d工上=1'91

選項C,雙曲線方程為二一匕=1,由205陋得］，即久不-二)，右焦點為

205。u八124

x-2y-5=0y=---

i4

工15,0),則仍￡|='§_5)2+(一/_0)2=乎.C正確：

選項D,曲線。的頂點坐標為(±2逐,0),D錯誤；故選：BC.

10.答案：ABD

解析:對于A,圓f+)，+4工+4y=0的標準方程為：(彳+2)2+(y+2)2=8,半徑為r=2&,

故A正確;

對于B,a=2、b=y/3>c=J4-3=1,得《=$，故B正確；

對于C,雙曲線f=］的實軸長為4,故C錯誤；

43

對于D,由方程的2P=1,p=\焦點坐標為：fpol,故D正確.故選：ABD.

2)

11.答案：ABD

解析：拋物線C：y2=2px(〃>0)的焦點/在X軸上，過/作直線/：x=9+l,可知產(chǎn)(1,0),

則日=1，得〃=2,A選項正確；

拋物線方程為)？=4x,直線/的方程代入拋物線方程，得4)-4=0.設義內(nèi),)),8(&,%)，

由韋達定理有X+)3=々，>i>2=~4?AF=2FB，得丫=一2%，解得y=-2五，%=五，

或X=20,y,=-6,，=叼&，則/="或"-在，C選項錯誤；

'-444

11+2

則%=2,^=-,線段A8中點的橫坐標為％+左_5,D選項正確；

27--------=-------=-

224

IG229

\AB\=x}+x2-^p=-+2+2=^f\AF\=-\AB\=-x-=3fB選項正確.故選：ABD.

22332

12.答案：4

解圻：根據(jù)題意，橢圓的方程為［=其中c=咫M=2,其右焦點坐標為(2,0),則

拋物線)2=2px的焦點為(2,0),則5=2，則〃=4,故答案為：4.

13.答案：2

解析：雙曲線C:￡-t=1(〃>0/>0)的一條漸近線不妨設為：區(qū)+緲=0,圓f+(y_2)2=4

crb~

的圓心(0,2),半徑為2,雙曲線C：W-W=l(〃>0,〃>0)的一條漸近線被圓f+()-2)2=4所

crlr

截得的弦長為26，可得圓心到直線的距離為/^=1=等式兩邊同時平方即有

\lcr+h-

4〃2r2

1=——?c2=4a2,可得/=—r=4,即e=2.故答案為：2.

c~a~

14.答案：；

解析：拋物線），=-2x的焦點廠的坐標為斜率為G且過焦點的直線方程為

y=61+g，代入）產(chǎn)=-2工，化簡得12/+20工+3=0,易知△＞（）,設4（%，X）,4（毛,％）,

其中王＜。，工2＜。.所以玉+X2=――,XXX2=],所以||=|X]|+-y+|x21+-y=—,|＞4F|=|xi|+-y,

??乙乙D乙

岫小葉,所以此坨戶寸響;n

J2\AB\88

33

1/、111/5、1

士『（…2）+--式一小1

§~§-2

33

15.答案：⑴f=4），

⑵/的方程為x=_l、y=i、y=-2x-4

解析：⑴拋物線c：f=2p），（p＞0）的焦點在），軸上，且開口向上,

直線工-），+1=。與），軸的交點為（0,1）,則尸（0,1）,

所以勺1,〃=2,拋物線的方程為d=4y.

⑵當直線I的斜率不存在時，直線x=-l與拋物線只有一個公共點.

那個直線I的斜率存在時，設直線I的方程為y+2=攵（/+1）,

）+2=攵（工+1）f

,'）=—+2=米+左，%2—4點+8—42=0,

X2=4J4

△=16公-4（8-的=16&2+尿-32=0,/+2-2=0解得攵=1或攵=—2.

所以直線/的方程為y=x-\^y=-2x-4.

綜上所述，/的方程為x=_l、y=l、y=-2x-4.

(2)y=4x-7.

解圻：(1)根據(jù)題意，雙曲線er：。?-親■-1(心0,/〉0)的實軸長為2,離心率為6,

2a=2

則￡二G,解得〃=&,所以雙曲線c的方程為犬-f=i.

a2

a2+b2=c2

(2)由(1)知1,雙曲線。的方程為f一'=1,

2

2y

x=化簡得(二一)切氏+2

設A(x，yJ,8(冷％)，聯(lián)立，~"2\2Y+2(/7?+2)=0,

y=kx+ni

則A=4/m2-4儼—2)W+2)=8(〃+2一⑹>0,且x,+x2=^^

-2km

=4

由“(2,1)為的中點，得公-2,解得"=4.初=一7,且滿足△>().

2&+=1

所以直線/的方程為產(chǎn)以-7.

17.答案：⑴y=6x；

⑵⑴9人

(ii)是，定點為(-6,—2^/5).

解析：⑴設C(x,y),由題意有|x+§=J(x—|)2+y2,則y2=6x；

(2)(i)設AB:x=my+n,4($,y),8(七,必)聯(lián)立拋物線V-6〃zy-6〃=0,

則A=36m2+24〃>0,且y+%=6/〃，,％=-6〃，貝ij片工二12khL=〃2,

36

由04?。8=王%+)[%=1—6=—9,可得〃=3,K|J:x=my+3,

所以直線A8:x=a，+3恒過點(3,0),

則S=；x3x|>>)-y2\=^八乂十%了一肛%=mJ36〃/+72=9，療+2>9夜,

當且僅當加=0時取等號，所以△AO8面積最小值為98;

(ii)由題設OA：y=%tanq且4￡(O^)U(^^),聯(lián)立y2=6x,

..66._66、

可得4—二,一-),同理8(z—7—,一-),

tan~4tanRtan_02tan。？

66

6tan仇tan0,/

所以A8:y=——-----

tan4-----6_6

2

tan02tan2a

,A,、tan6^,/八6.tan0,tan&6

filijAB:y=--------!----(tan0、x+-----)=-----!....—x+------------

tan&+tan02~tantan0x+tan0-,tan優(yōu)+tan02

tan|n-tan^.g

由tanft=tan(-兀一4)=--------------=信一，

31+tan-Ktan^^tanq-l

31

tan2+V3tan0.6(VJtan0,-1)

所以A8:y=---------------,vH--------------

5/3tan2+5/3Gtan2+>/3

?,6\/3tan^,-66tan26,+6>/3tan0.6tan2<9,+6,rr

當X=-6時，J=-7--,1-----1,1=-r=--7==-2V3,

向tan-d+￡rGrtan-q+百rV3tan~+V3

所以直線AB過定點(-6,-273).

18.答案:(l)x2-/=1

⑵證明見解析

（3）證明見解析

解析：⑴雙曲線E：￡—1=I的漸近線方程為丁=±2孫

a~b-a

由兩條漸近線垂直可得-22=-1,所以

aa

將點（-2,@代入擠4=1,得白弓二］,解得/川，所以E的方程為.Jj.

證明：當動直線/的斜率不存在時，//=±1,|MN|=2,S^/iV=|xlx2=l.

當動直線I的斜率存在時，不妨設直線/：）=履+〃小工±1）,

故由［）：?！钡茫?2）f一2〃心一/一1二0,

x-y=1、7

從而△=（—2『成）2—4（1一公）（_皿2—］）=0,化簡，得代=療+1.

in

_口

又因為雙曲線E的漸近線方程為y=±工,由履+2導

y=x-m

v~^k

mmmm

,同理可得N

所以MT+7T+7

mm'(mtn2MM2+1

所以+---------

1一%\+k){\-k\+k

又原點o到直線/："一y+加=0的距離d=*L,所以SM“N=MMNM=nr

JY+12\-k2f

又氏2="2+1,所以k0MN=Wy=l.綜上所述，△OMN的面積為定值1.

1K

（3）由題意可得，雙曲線E的石焦點為b（8,0卜

當直線4與4的斜率都存在時,

設直線4的方程為尸勺[-血），A（x，yJ,磯天,％），由尸"尸一之）得