專題11二次函數(shù)中的角度存在性問題的四類綜合題型

目錄

典例詳解

類型一、二次函數(shù)中的等角存在性問題

類型二、二次函數(shù)中的倍角存在性問題

類型三、二次函數(shù)中的特殊角存在性問題

壓軸專練

類型一、二次函數(shù)中的等角存在性問題

知識點：1.二次函數(shù)圖像性質(zhì)，如對稱軸、頂點坐標、單調(diào)性，用于確定點的位置關(guān)系；2.等角的幾

何判定，包括等腰三角形性質(zhì)（等邊對等角）、平行線性質(zhì)（同位角/內(nèi)錯角相等）、全等/相似三角形對

應(yīng)角相等。

解題技巧：1.構(gòu)造輔助線，如作對稱點、平行線或垂線，轉(zhuǎn)化等角為已知角或易求角；2.代數(shù)化處理，

設(shè)點坐標，利用三角函數(shù)（正切值相等）或斜率表示角的關(guān)系，列方程求解。__________________________

例I.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)），+^+c?的圖象與x軸交于點A,8（4,0）,與丁軸交于

點。（（）,-2）,將VA3c沿著8C翻折，使點A落在點。處.

⑴求二次函數(shù)的表達式及點A的坐標.

⑵求直線的表達式.

（3）必為拋物線，一點，連接CM,當(dāng)=時，請直接寫出點M的坐標.

【變式IT】如圖所示，已知拋物線y=V-4x+"M，〃工0),與x軸交于A,B兩點(A在8的左側(cè))，與)，

軸交于點。，且滿足08=8,頂點為C.

⑴求m的值；

(2)①求拋物線頂點C的坐標；

②若將該拋物線向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，直接寫出平移后的拋物線的解析式:

⑶已知點P為異于點4的該拋物線上的一個點，并且NPD4=NAO4,求點尸的坐標.

【變式1-2］如圖，在平面直角坐標系中，拋物線廣加+云+3("0)過點(2,-5),交x軸于點人(-3,0)和

⑵如圖，點尸是直線AC上方拋物線上一動點.連接A4,PC.求△PAC面積最大值及此時點尸的坐標；

(3)將原拋物線沿x軸正半軸平移2個單位長度得到新拋物線了，新拋物線V與1軸的負半軸交于點M.點、N

為平移后的新拋物線上一動點，當(dāng)/NMB=NCAB.請直接寫出所有符合條件的點N的坐標.

類型二、二次函數(shù)中的倍角存在性問題

知識點：1.三角函數(shù)倍角公式(如心〃2。=2心〃。/(I-心/。))，通過角的正切值關(guān)系轉(zhuǎn)化代數(shù)等式；2.

幾何構(gòu)造中倍角與等腰三角形關(guān)系(如外角等于不相鄰內(nèi)角2倍)。

解題技巧：1.代數(shù)法：設(shè)點坐標表示角的正切值，代入倍角公式列方程求解；2.幾何法：枸造含倍角

的等腰三角形，利用對稱性或全等轉(zhuǎn)化角的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖像找點。

例2.如圖，已知二次函數(shù))，=ai+2x+c的圖象與x軸交于A,8兩點，A點坐標為(-1,0),與y軸交于點

C（0,3）.

⑴求二次函數(shù)的表達式；

⑵在直線BC上方的拋物線上存在點Q,使得NQC5=2ZA8C,求點Q的坐標.

【變式2-1］如圖1,觸物線>=源+心-3經(jīng)過3(3,0)兩點，與N軸交于點C,P為第四象限內(nèi)

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)設(shè)四邊形尸80C的面積為S,求S的最大值；

(3)如圖2,過點。作PM_Lx軸于點M,連接AC,AP,AP與歹軸交于點N,當(dāng)NA/P4=2NR4C時，求點N

的坐標.

【變式2-2】如圖，拋物線"過點七(-2,3),與x軸交于點4和點8(點A在點B左側(cè))，與y軸交于點C,

頂點。的坐標為(-1,4).

⑴求拋物線M的表達式和點A的坐標；

⑵點尸是線段4c上一動點，求△￡無產(chǎn)周長的最小值；

（3）平移拋物線M得到拋物線N,已知拋物線N過點Q,頂點為P,其對稱軸與拋物線M交于點Q,若

/PDQ=4/DPQ,直接寫出點P的坐標.

類型三、二次函數(shù)中的特殊角存在性問題

知識點：1.

特殊角（30。、45。、60°）的三角函數(shù)值（如幻〃45。=1、s加30°=0,5）,用于建立線段比例關(guān)系；2.

二次函數(shù)與坐標幾何結(jié)合，如兩點間距離公式、直線斜率與傾斜角關(guān)系。

解題技巧：L

幾何構(gòu)造：過動點作坐標軸垂線，構(gòu)造含特殊角的直角三角形，利用邊角比表示坐標關(guān)系；2.

代數(shù)轉(zhuǎn)化：設(shè)點坐標，用斜率或距離公式表示角的三角函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)解析式列方程求解.

例3.已知直線工質(zhì)+6與），軸相交于點A,與拋物線），=僦2相交于4（2,4）、C兩點.

⑴求點A、點C的坐標及拋物線的解析式;

⑵求AROC的面積；

⑶若點。是）'軸上一點.且N〃CQ=15。.求Q點坐標.

【變式3-1】如圖，拋物線），=〃*-（〃?2+3卜-（6〃?-9）與1軸交于點兒兒與），軸交于點C,已知3（3,0）.

⑴求m的值和直線8c對應(yīng)的函數(shù)表達式；

（2）P點是對稱軸上的一點，當(dāng)PA+PC的值最小時，求點P的坐標：

⑶。為拋物線上一點，若ZACQ=45。，求點。的坐標.

【變式3-2］如圖，已知拋物線""+已_3的圖象與。軸交于點ML0）和8（3,0）,與），軸交于點C.

⑴求拋物線的解析式；

⑵點M是拋物線的頂點，求出AMBC的面積；

（3）如圖2.連接4C,點尸是拋物線上的一動點，且滿足/23。=45。-44。0,請直接寫出點P坐標.

壓軸專練

一、解答題

I.如圖，拋物線）=。/+2%+。（。＜（））與x軸交于點A和點8（點A在原點的左側(cè)，點8在原點的右側(cè)）,

與『軸交于點C,OI3=OC=3.

(i)求該拋物線的函數(shù)解析式；

(2)在拋物線上是否存在點P,使NPCO=NPC8.若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

2.如圖，拋物線)，=-/+縱+c經(jīng)過點A(-4,0)、81,0),交丁軸于點C(0,4),點P是拋物線上一動點.

⑴求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)當(dāng)點尸的坐標為(-2.6)時，求四邊形AOC尸的面積；

(3)若/尸84=45。，求點P的坐標.

3.已知拋物線)，=-《/+尿+3與x軸相交于A,4兩點(點A在點"的左側(cè))，與)'軸交于點C,對稱軸

為直線x=2.

⑴求AA的長；

(2)點力為4c上方拋物線上的一頊點，若△4C。的面積是V/WC面積的一半，求點。的橫坐標：

⑶過點。的直線)，=〃氏+〃(">0)與拋物線的另一個交點為例，若NMCR—2"RC,求點”的坐標.

4.如圖，拋物線y=加+6+3(。工0)與x軸交于點A(TO),點3(3,0),交丁軸于點C.

⑴求拋物線的解析式；

(2)如圖，點尸在直線8C上方拋物線上運動，過點尸作莊_L8C,〃尸_Ly軸于點尸，求PF+gpE的最大

值，以及此時點的坐標；

(3)將原拋物線向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位得到F，點N是原拋物線的頂點，問在平移后

的拋物線上是否存在點使得/”BC+NN8C=180。，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標.

5.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線〃過點(2,-5),交x軸十點A(-3,U)和點8,交)'

軸于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，點尸是直線AC上方拋物線上一動點，連接QAPC,求△小C面積最大值及此時點。的坐標；

(3)洛原拋物線沿x軸正半軸平移2個單位長度得到新拋物線了,新拋物線V與％軸的負半軸交于點M,點、N

為平移后的新拋物線上一動點，"NMB=NCAB,請直接寫出所有符合條件的點N的坐標.

6.已知拋物線y=/+bx+c經(jīng)過點(T⑵和(4,-3).

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

⑵拋物線)，=/+法+C與X軸交于點A,B(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C,如圖.

①求VA8c的面積；

②點。(2,⑼在拋物線上，點石在線段8。上(不與端點6,。重合)，若/DEB=2/DCB,求點E的坐標.

7.如圖，二次函數(shù)y=法-3與x軸相交于A,B兩點,與y軸相交于點C.已知點4(-1,0),拋物線

圖2

(1)求二次函數(shù)的表達式;

(2)連接BC,點P是拋物線上一點，在直線8C下方移動,過點尸分別向x軸，y軸作垂線，與BC交于E,

F兩點，求尸￡+尸尸的最大值并求出此時點P的坐標;

⑶將拋物線沿著射線8的方向平移&個單位，點M是平移后拋物線對稱軸上任意一點，若NM4C=15。,

直接寫出點M的坐標.

專題11二次函數(shù)中的角度存在性問題的四類綜合題型

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典例詳解

類型一、二次函數(shù)中的等角存在性問題

類型二、二次函數(shù)中的倍角存在性問題

類型三、二次函數(shù)中的特殊角存在性問題

壓軸專練

類型一、二次函數(shù)中的等角存在性問題

知識點：1.二次函數(shù)圖像性質(zhì)，如對稱軸、頂點坐標、單調(diào)性，用于確定點的位置關(guān)系；2.等角的兒

何判定，包括等腰三角形性質(zhì)（等邊對等角）、平行線性質(zhì)（同位角/內(nèi)錯角相等）、全等/相似三角形對

應(yīng)角相等。

解題技巧：1.構(gòu)造輔助線，如作對稱點、平行線或垂線，轉(zhuǎn)化等角為已知角或易求角；2.代數(shù)化處理，

設(shè)點坐標，利用三角函數(shù)（正切值相等）或斜率表示角的關(guān)系，列方程求解。__________________________

例I.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)丁=；/+/回+c的圖象與x軸交于點A,8（4,0）,與丁軸交于

點。（0,-2）,將V48C沿著BC翻折，使點A落在點。處.

⑴求二次函數(shù)的表達式及點A的坐標.

⑵求直線的表達式.

(3)M為拋物線上一點，連接CM,當(dāng)NMC8=ZA8C時，請直接寫出點M的坐標.

1a

【答案】⑴拋物線的表達式為＞=5/一：工-2,A(-hO)；

,小416

(2)y=-Jf--；

JJ

(3)點”的坐標為(3,-2)或停假、.

【分析】(1)由待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式，進而求解；

(2)由AB=AC'BC?得VA4C為直角一..角形，則點C是A。的中點，求出點〃0,-4),即可求解；

(3)當(dāng)點M在直線8C下方的拋物線上時，則CM〃A3,則點C與“關(guān)于對稱軸對稱，當(dāng)點仞在直線8C

的二方時，設(shè)CM交x軸于E，則CE=8E,設(shè)OE=x,則8E=CE=4-x,在RtZkCOE中，由勾股定理

得方程，可求出點E的坐標，從而求出直線CE的解析式，與拋物線求交點即可.

c=-2

【詳解】(1)解：由題意得：八1/八，

0=-xl6+4Z?+c

2

解得：2,

c=-2

iq

則拋物線的表達式為:y=-x2-jx-2,

令？=。，則x=4或一1,

即點4—1,0)；

(2)解：由點A、B、C的坐標得，AB2=25?。H=5，BC2=20,

則AB2=AC2+BC2,

即VA8C為直角三角形，

由將VA8C沿著翻折，使點A落在點D處知，點。是A。的中點，

由中點坐標公式得，點O(LT),

416

由8、力的坐標得，直線4。的表達式為：J=.

(3)解：當(dāng)點”在直線BC下方的拋物線上時，則CM〃A3,

3

???點C與M關(guān)「對稱軸直線上=］對稱,

則CE=BE,

設(shè)。E=x,則BE=CE=4-x,

在RtZXCOE中，由勾股定理得,x2+22=(4-x)2,

3

解得x=］，

4

???直線CE的解析式為y=2,

>―2="，.2,

322

解得玉=弓，再=。(舍)，

f1750)

M互'亂

綜上：點M的坐標為

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直線與拋物線的交點問題，一元

二次方程的解法等知識，分點M；生直線8c的上方和下方兩種情形是解題的關(guān)鍵.

【變式17］如圖所示，已知拋物線y=f-4x+M〃?關(guān)())，與上軸交于A,8兩點(A在6的左側(cè))，與)，

軸交于點。且滿足08=00,頂點為C.

(2)①求拋物線頂點C的坐標；

②若將該拋物線向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，直接寫出平移后的拋物線的解析式;

⑶已知點P為異于點4的該拋物線上的一個點，并且NPD6=ZAZM,求點P的坐標.

【答案】⑴〃2=3

⑵①。(2,-1)；②)，=(x+l)2+l

【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的

關(guān)鍵：

(1)求出。點坐標，進而求出8點坐標，待定系數(shù)法求出〃?的值即可；

(2)①一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，寫出頂點坐標即可；②根據(jù)平移規(guī)則寫出新的函數(shù)解析式即可；

(3)作點A關(guān)于5。的對稱點E,AE交BD于點、F,連接力￡并延長，OE與拋物線的交點即為點P,進

行求解即可.

【詳解】(I)解：0y=x2-4x+/w(/M*O),

回當(dāng)x=o時，

^OB=OD=m,

團8(,〃,0),

把代入)，=/-4工+利(加？0),得：加2-4〃?+〃7=0,

解得：帆=3或，〃=。(舍去);

(2)①由(1)可知：y=x2-4x+3,

0y=(x-2)2-l,

團拋物線的頂點坐標為：C(2,-l)；

②該拋物線》=(、-2)2-1向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到：

y=(x-2+3『-1+2,即：y=(x+l)2+I；

(3)作點A關(guān)于BD的對稱點E，AE交BD于點、八連接DE,過點尸作FG_LAB,則：AF=EF,”_L3。,

ZEDB=ZADB,

團點P在射線OE上，延長與拋物線的交點即為點尸,

0y=x2-4x+3,

田當(dāng)y=12—4x+3=0時，玉=3,七=1,

04(1,0),

團池=2,

^OD=OB,

"030=45。，

回△46￡力/P均為等腰直角三角形，

^AF=BF=y/2^

回凡；=8G=1,

\1\OG=OB-BG=2,

12尸(2,1),

0AF=EF,A（1,O）,

曬3,2）,

團0（0,3）,

團設(shè)直線OE的解析式為：y=G+3,把E（3,2）代入，得：2=3k+3,

團*=-!，

3

0y=--x+3,

y=——x+3x=（）

聯(lián)立『3,解得：=（舍去）或，

【變式1-2］如圖，在平面直角坐標系中，拋物線尸="2+泳+3（。=0）過點（2,-5）,交工軸于點A（-3,0）和

⑵如圖，點P是直線AC上方拋物線上一動點.連接始，PC.求面積最大值及此時點尸的坐標；

⑶將原拋物線沿K軸正半軸平移2個單位長度得到新拋物線了，新拋物線V與％軸的負半軸交于點M.點、N

為平移后的新拋物線上一動點，當(dāng)/NMB=NCAB.請直接寫出所有符合條件的點N的坐標.

【答案】⑴丁一-2x+3

(3)(2,3)或(4,-5)

【分析】（I）將點A的坐標和（2,-5）代入解析式，即可求解；

（2）過點P作燈）J_x軸，交x軸于。，交BC于E,待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y="3,設(shè)/=m,

2（加,-＞一2〃?+3）,七（“〃+3）,則有尸e=?-先=-〃/-3〃?，曰S.c=S△嘰+S△”及二次函數(shù)的性質(zhì)即

可求解；

⑶由二次函數(shù)圖象平移得），'=-（X-1"4,①當(dāng)/乂〃8=/68時，由平行線的判定方法得MN/4C,

由待定系數(shù)法得直線的解析式為），=x+1,聯(lián)立二者解析式，即可求解：②當(dāng)=時，直

線與直線MN2關(guān)于x軸對稱，直線M2經(jīng)過N1關(guān)于1軸對稱點（2,-3）,同理可求.

【詳解】（1）解：由題意得

4。+2H3=-5

4-3"3=0'

解得：L…

b=-2

二拋物線的解析式為y=-9-2%+3；

（2）解：如圖，過點P作加_!_）軸，交”軸于。，交3C于E,

當(dāng)工=0時，尸3,

.??C（0,3）,

設(shè)直線4。的解析式為了=h+力，則有

-3k+b=0

P=37

解得:

b=3

???直線AC的解析式為）=工+3,

VA（-3,0）,

二.OA=3,

設(shè)小一m,

p-2m+3),

E[m,m+3),

-PE=yp-yE

=-tn2-2m+3-+3)

=-tn2-3m，

'S"AC=SgE+S#CE

=-PEAD+-PEOD

22

=^PE\AD+OD)

=-PEOA

2

=——m'——in,

22

v點。是直線AC上方拋物線上一動點,

-3<tn<0,

_27

=7"'

(-1P2XH)+3

15

7

故AE4C面積最大值為?三7，此時點P的坐標為f一3彳1，5;

8I24

(3)解：由題意得

”(TO),

?/-2x+3

=-(x+l)2+4,

/=-(x+l-2)2+4

=-(X-1)2+4,

①當(dāng)NN1M8=NC4B時，如圖，

MN、//AC

設(shè)宣線的解析式為y=x+/則有

-1+〃=0,

解得：4=1,

???直線加2的解析式為y=x+l,

y=x+l

聯(lián)立

y=-(x-l)-+4

x=2

解得：2

%=3

???乂(2,3)；

②當(dāng)NN2MB=NC48時，如圖,

x軸對稱,

同理可求直線MN?的解析式為產(chǎn)-X-1,

y=-x-\

聯(lián)立

y=-(x-l)'+4

西二-1“4

解得：

y=0,必二一5

???必(4,-5)：

綜上所述：N的坐標為（2,3）或（4,-5）.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)與三角形面積最值綜合問題，二次函數(shù)與角度綜合問題，掌握

待定系數(shù)法，能熟練利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值及分類討論思想解題問題是解題的關(guān)鍵.

類型二、二次函數(shù)中的倍角存在性問題

知識點：1.三角函數(shù)倍角公式（如心〃2。=2柩〃。/（1-心/。）），通過角的正切值關(guān)系轉(zhuǎn)化代數(shù)等式；2.

幾何構(gòu)造中倍角與等腰三角形關(guān)系（如外角等于不相鄰內(nèi)角2倍）。

解題技巧：1.代數(shù)法：設(shè)點坐標表示角的正切值，代入倍角公式列方程求解；2.幾何法：構(gòu)造含倍角

的等腰三角形，利用對稱性或全等轉(zhuǎn)化角的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖像找點。

例2.如圖，已知二次函數(shù)），=。/+2%+。的圖象與x軸交于A,3兩點,A點坐標為（-1,。），與），軸交于點

C(0,3).

⑴求二次函數(shù)的表達式；

（2）在直線4c上方的拋物線上存在點Q,使得NQC8=2ZABC,求點。的坐標.

【答案】⑴二次函數(shù)的表達式為），=-f+2]+3

⑵。（L4）

【分析】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì).

（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）過點。作CQ，8c交拋物線于點Q,過點。作QG/y軸于點G,根據(jù)條件得到JAGCQ是等腰直角二

角形，則CG=QG,設(shè)Q?-/+%+3）,則G（0,-d+2g+3）,再列方程解題即可.

【詳解】（1）解：將A（-1,O）,C（0,3）代入y=/+2x+c,得：

a-2+c=0

c=3

解唯3'

團二次函數(shù)的表達式為），=-/+2x+3；

（2）解：對于y=-Y+2x+3,令y=0,W-X2+2X+3=O,

解得％=-1,X2=3,

團8（3,0）,

團08=00=3,

回AOBC是等腰直角三角形，

0Z4BC=45°,

團NQC8=2N44C,

（3NQC8=90。，

如圖，過點。作CQ，8C交拋物線于點Q,過點。作QGSy軸于點G,

y

121/GCQ=90°-Z1OCB=45°,

團AGCQ是等腰直角三角形，

團CG=QG,

設(shè)縱q，f2+2“+3),則G(0,—/+2q+3),

⑦CG=-q、2q,GQ=q,

團-q2+2q=q.

解得q=0(舍去)或夕=1,

回當(dāng)9=1時，一爐+2夕+3=4.

00(1,4).

【變式2-1］如圖1,拋物線)，=“/+法-3經(jīng)過A(TO),4(3,0)兩點，與y軸交于點C,P為第四象限內(nèi)

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)設(shè)四邊形PBOC的面積為S,求S的最大值：

(3)如圖2,過點尸作尸MJLx軸于點連接AC,AP,AP與>軸交于點N,當(dāng)NME4=2NB4C時，求點N

的坐標.

【答案】(【))=/2r3

（2）5的最大值為W

O

（3）（0，-）

【分析】（1）將A（-1,O）,8（3,0）代入y=o?+加-3,即可求解；

（2）過點尸作尸M以軸于點M戶為第四象限內(nèi)拋物線上?點，設(shè)點P（"W"2/〃_3）（0<〃7<3）,則

22

PN=-[m-2〃i—3）=-m+2〃?+3,ON=m,根據(jù)S=S櫛形吶0c+S.PNB=g（OC+PN）ON+gpN.BN得

s=--L--T+—,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值求解即可；

2（2）8

（3）由題意得到NM4C=NNC4,則AN=CN,設(shè)M0,〃），由1+川=（〃+3『，求出N（0,-g）即可.

【詳解】（1）解：將A（TO）,8（3,0）代入》=0?+版-3,得：

。一匕-3=。

…9〃+36-3=0'

a=l

/.y=x2-2x-3；

（2）解：過點尸作PN_Lx軸于點N,如圖所示，

0C(O,-3),

團OC=3,

"為第四象限內(nèi)拋物線上一點，設(shè)點P伽/-2〃?-3)(0<m<3),

團PN=一(-2/77-3)=-nr4-2m+3,ON=in,

團用3,0),

團OB=3,

國BN=3-〃z,

團S=S梯形PN0C+S.PNR

=g(OC+PN)?ON+gPN.BN

=g(3—+2〃?+3)?+；(一勿/+2〃?+3)(3—)

399

=-m~2+—m+—

222

3

回一二<0

2

團當(dāng)機=日時,S有最大值,％大位考.

No

^C)N//MP,

:.ZANO=ZAPM,

-2LMPA=2ZPAC,

:.^ANO=2ZPAC,

:.ZNAC=ZNCA,

\AN=CN、

設(shè)N(0M,IjIiJAN=CN=n-(-3)=/7+3,

/.I+n'=5+3)2,

4

n=—,

3

??.心圖.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，求二次函數(shù)解析式，待定指數(shù)

法求函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，勾股定理，注意數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2】如圖，拋物線M過點后(-2,3),與x軸交于點4和點8(點A在點8左側(cè))，與)，軸交于點C,

頂點。的坐標為(T,4).

⑴求拋物線M的表達式和點A的坐標；

⑵點尸是線段AC上一動點，求△￡＞斯周長的最小值；

(3)平移拋物線M得到拋物線M已知拋物線N過點D,頂點為P,其對稱軸與拋物線M交于點Q,若

NPDQ=4NDPQ,直接寫出點P的坐標.

【答案"1)丁=-*+1)2+4,(-3,0)

⑵最小值為a+M

(3)P的坐標為(有-1,7)或(-73-1,7)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出表達式然后求出點4的坐標即可；

(2)首先得到直線AC的表達式為：產(chǎn)x+3,作E關(guān)于AC的對稱點￡，則EE_L4C,設(shè)在足為G,則

點G為/?與E的中點，勾股定理求IIIDE=Jf+f=①,DE=\ll2+32=屈,進而求解即可；

(3)拋物線N由拋物線M平移得到，求出拋物線N的表達式為丁=-/+心+〃+5,得到頂點P的坐標為

俗，+〃+5),一〃+31，作力以J.PQ于4則小/,在中,ZDPH=30°,得

到PH=MDH,進而列方程求解即可.

【詳解】(1)回頂點。的坐標為(-1,4),

設(shè)二次函數(shù)表達式為1y=a(x+1)2+4

將點E(—2,3)代入得々=—1

團拋物線M的表達式為：y=-*+1)2+4

當(dāng)y=0時，工=-3或1,

回點A在點3左側(cè)，

0點A的坐標為(-3,0)：

(2)當(dāng)x=0時，y=3,

團點。的坐標為(0,3)

團設(shè)直線AC的表達式為：y="田+〃

一3〃?+〃=0[m=\

故，解得°

〃=3[72=3

0y=X+3,

vA(-3,0),C(0,3),

OA=OC=3,

.?.NOAC=NOCA=45。，

作E關(guān)于AC的對稱點E,則EEJ_AC,設(shè)垂足為G,則點G為七與￡的中點

回EC所在直線垂直于)，軸，

關(guān)「AC的對稱點￡,

團點￡的坐標為(。,1),

(2點G的橫坐標為-2+告0=-1

將工=-1代入產(chǎn)x+3得，＞,=2

回點G的坐標為(T2),

團。(—1,4),E(—2,3),^(0,1)

回。E=?+/=應(yīng),DEr=Vl2+32=710

0C：=DE+DF+EF=DE+DF+FE1>DE+DE=4i+M

即ADEF周長的最小值為a+而；

(3)團拋物線N由拋物線M,F移得到，設(shè)拋物線N的表達式為)，=-/+公?+機

將點E(-l,4)代入得：m=n+5,

團拋物線N的表達式為y=-/+幾丫+〃+5

回頂點P的坐標為(5]"+〃+5),

將工=?代入y=-(x+1)2+4,y=_；〃?_〃+3,

團_〃+3),

作的_LPQJ二從則嗚,4),

團4=3((/J+〃+5)+(_；〃、〃+3)]

團點”為點。和點。的中點，

^PD=QD

中/DQP=/DPQ

及NPDQ=4NDPQ

團NDPQ=30。

在Rt△。尸”中，/DPH=30。

^PH=y/3DH，

0(-/?2+Z2+5)-4=A/3(—+1)

42

42

回解第一個方程可得仆=-2（舍），嗎=26-2

解第二個方程可得力=-2（舍），n2s2

將〃=26一2與一2，5—2代入P點坐標，

尸的坐標為（百1,7）或（G1,7）.

【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到的知識點有二次函數(shù)圖像上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、

待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，并靈活運用分類訶論及數(shù)形結(jié)合的思想分析解決問題是解題

的關(guān)鍵.

類型三、二次函數(shù)中的特殊角存在性問題

知識點：1.

特殊角（30。、45。、60°）的三角函數(shù)值（如桁〃45。=1、s加30°=0.5）,用于建立線段比例關(guān)系；2.

二次函數(shù)與坐標幾何結(jié)合，如兩點間距離公式、直線斜率與傾斜角關(guān)系。

解題技巧：1.

幾何構(gòu)造：過動點作坐標軸垂線，構(gòu)造含特殊角的直角三角形，利用邊角比表示坐標關(guān)系；2.

代數(shù)轉(zhuǎn)化：設(shè)點坐標，用斜率或距離公式表丕角的三角函數(shù)值，罩合函數(shù)解析式列方程求解,

例3.已知直線丁=去+6與），軸相交于點A,與拋物線，=。/相交于網(wǎng)2,4）、C兩點.

⑴求點A、點C的坐標及拋物線的解析式；

⑵求△80。的面積；

⑶若點。是y軸上一點.且N〃CQ=15。.求Q點坐標.

【答案】⑴4(0,6),C(-3,9),拋物線解析式為y=W

(2)15

(3)(0,9-6)或(0,9-36)

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，求一次函數(shù)解析式：

(1)先求出一次函數(shù)解析式，進而求出點A坐標，再求出拋物線解析式，進而聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出點C

的坐標即可；

(2)根據(jù)％呼=54詠+5&3列式計算即可；

(3)過點C作C。，軸于。，可證明△AC。是等腰直角三角形，得到NDCA=45。：當(dāng)點Q在點A上方時，

ZDCQ=30°,當(dāng)點。在點A卜方時，ZD02C=3O°,兩種情況分別求解即可.

【詳解】(1)解：把8(2,4)代入)，=履+6中得：4=22+6,解得2=-1,

田宜線解析式為y=AI6,

在y=-x+6中，當(dāng)工=0時，y=6,

12A(0,6)；

把3(2,4)代入y=o?中得4=4a,解得a=1,

回拋物線解析式為y=

fy=-;r+6[x=-3[x=2

聯(lián)立廣2，解得八或.

[y=x[y=9[y=4

團C(-3,9)

(2)解：Swoc=^LSAOC+SfSAOB

1,c1,c

=—x6x3+—x6x2

22

=9+6

15；

2

(3)解：如圖所示，過點。作軸于

0C(-3,9),

0CD=3,OD=9,

0A(O,6),

004=6,

0/V)=3=CD,

團n48是等腰直角三角形，

回NDC4=45。；

當(dāng)點。在點A上方時，0ZBC0=150,

0ZDCQ=30°,

回國=4CD=6,

回OQ=9一后

130的坐標為(0,9-石)

當(dāng)點。在點4下方時，(3/8CQ=15。，

團NOCQ2=6()。,

團/。。2。=3()0,

⑦DQ2=6CD=36,

^OQ2=9-3y/3,

團2的坐標為（。,9-36上

綜上所述，點。的坐標為（0,9-6）或（0,9-3有）.

一（〃/+3卜—（6〃?-9）與x軸交于點A、B,與y軸交于點C,已知網(wǎng)3,0）.

備用圖

⑴求m的值和直線8C對應(yīng)的函數(shù)表達式；

（2）戶點是對稱軸上的一點，當(dāng)R4+PC的值最小時，求點戶的坐標;

（3）。為拋物線上一點，若N4CQ=45。，求點。的坐標.

【答案】（1）〃?=1,y=—x+3

⑵P（2J）

【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行求

解，是解題的關(guān)鍵：

（I）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，進而求出C點坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；

（2）根據(jù)對稱性得到P4+PC=P8+PC,進而得到當(dāng)點。在線段8c上時，P4+PC的值最小，進行求解

即可；

（3）過點A作AO_L4C且4）=AC,過點。作力E_Lx軸，證明△ACg.DAE,求出。點坐標，進而求出CD

的解析式，聯(lián)立直線C。和拋物線的解析式，求出。點坐標即可.

【詳解】(1)解：把3(3,0)代入3，=初小—(>+3卜一(6〃?—9),得:

-3("/+3)-(6/〃-9)=0,

解得:〃7=1或/〃=0(舍去);

0y=x2-4x+3,

團當(dāng)x=()時，y=3,

團C(0,3),

設(shè)直線8c的解析式為：丁=丘+3,把8(3,0)代入，得：k=-\,

團y=r+3：

(2)By=x2-4x+3,

團對稱軸為直線x=-弓=2,

團AB關(guān)于對稱軸對稱，

⑦PA+PC=PB+PC之BC,

回當(dāng)點尸在線段8c上時，PA+PC=8C最小，

回點P在對稱軸上，

團/=2,

把％=2代入)，=T+3,得：y=l,

團?(2』)；

"x

(3)^y=x-4.V+3,

團當(dāng)y=0時，f—4x+3=0,

0Xj=3,X2=1,

0OA=1,

團C（0,3）,

(3OC=3,

過點A作八。_LACH.AD=AC,過點。作DE1x軸,

則：ZDE4=ZCOA=ZCAD=90°,乙48=45。=ZACQ,

(3Z4CO=NZME=90O-NCMC,點Q在直線CO上，

^AE=OC=3,DE=OA=\,

團OE=O4+A￡=4,

0^(4,1),

設(shè)直線C￡＞的解析式為：y=〃a+〃，

1

/I=3m=——

?|J：癡+,I'解得：2；

n=3

回直線。。的解析式為：y=-；x+3,

7

y=x2-4x+3x=—

;或，x=0

聯(lián)立《1.解得：,

y=--X+3)，=3

75

故Q

2?4

【變式3-2］如圖，已知拋物線＞=和2+法-3的圖象與x軸交于點41.0）和8（3,0）,與），軸交于點C.

⑴求拋物線的解析式；

⑵點M是拋物線的頂點，求出的面積；

⑶如圖2.連接AC,點P是拋物線上的一動點，且滿足NP8C=45。-ZACO,請直接寫出點尸坐標.

【答案】（1）丁=一/+4工一3

（2）S&MBC=3

【分析】⑴將點仰。）和驅(qū)。）代入k―3可得4加3=。,再解方程組可得答案；

（2）如圖，連接MCMB,記MC與x軸的交點為K,求解M（2,l）及MC的解析式，再求解K的坐標，最

后利用三角形的面積公式計算即可;

（3）如圖，連接4C,取7（0,-1）,連接87交拋物線于尸，證明/OCB=NOBC=45。，

可得4c6=乙陽。=450-48,即NE?C=45。一44co，求解直線47為y=g-l,再進一步解答即可;

如圖，△47C關(guān)于直線8c對稱的ABQC,證明N7CQ=90。，可得。（2,-3）,同理可得：BQ的解析式為:

），=3x-9,記直線與拋物線的交點為P，再進?步求解即可.

【詳解】（1）解：將點A。，。）和5（3,0）代入）,=雙2+m—3可得:

a+b-3=0a=-\

9a+3>b-3=O'b=4

0y=-x2+4x-3.

（2）解：如圖，連接記與x軸的交點為K，

fr

0y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,

團M(2,l),

當(dāng)x=0時，y=-x2+4x-3=-3,

ac(o,-3),

設(shè)直線”。為丁二3,

02/;-3=l,解得:k=2,

13直線MC為―，

當(dāng)y=2x—3=0時，解得x=2,

2

噸,0),

團S”<?=gx(3-5x(l+3)=3.

(3)解：如圖，連接AC,取丁(0,-1),連接87交拋物線于P，

加

138(3,0),C(0,-3),A(l,0),

R1OB=OC,OA=OT,而N8OC=90。，

團NOC8=NQBC=45。，△ACCKTBO,

0Z4CO=Z7BO,

0Z4C?=Z7BC=45°—ZACO,即NPBC=45°-ZACO,

設(shè)直線87為尸夕T，

回頭一1=0,解得：e=；

同電線為y=gx-l,

y=-x2+4x-3

1?

2

x=—

x=33

解得:uV

y=07,

y=——

9

J27

團P—，——

(39

如圖，關(guān)于宜線8C對稱的

田NQBC=NTBC,CT=CQ=2,NTCB=NQCB=45。，

團N7CQ=90。，

02(2-3),

同理可得：8Q的解析式為：），=3x-9,記直線與拋物線的交點為。,

(3NP7?C=450-NACO,

y=-x2+4x-3

y=3x-9

x=3x=-2

解得：或-

y=0y=-\5

0P1(-2-15),

2_7

綜上：P3，-9

【點睛】本題考查的是求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與圖形面積，二次函數(shù)與角度問題，本題難度較

大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

壓軸專練

一、解答題

1.如圖，拋物線y=a「+2x+c(a<0)與x軸交于點A和點8(點4在原點的左側(cè)，點B在原點的右側(cè)),

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；

(2)在拋物線上是否存在點尸，使/尸CO=NPC8.若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1))，一+24+3

(2)存在,尸(3+衣-2-4旬

【分析】(1)結(jié)合已知求得5(3,0)((0,3),代入丫=以2+2%+°即可解答；

(2)由ZPCO=4PCB，推出PC是NACO的平分線,設(shè)CP交匯刑「E,過上作EH/BCjH,得到EO=EH,

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到B〃=由=正況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CH=OC=3,求得

2

BH=EH=OE=3C-3,得到￡(3五-3,0),求得直.線C￡的翩析式為)，--(夜+1?+3，解方程組即可得

到結(jié)論.

【詳解】⑴解：?.?OC=OB=3.

..C(0,3),8(3,0),

c=3

Ay=ax2+2x+c,得：,

9a+6+c=0

???拋物線解析式為：），=-/+2X+3：

(2)存在，理由：?.?NPC0=NPC8,

.?.PC是N8CO的平分線,

設(shè)CP交x軸于E,過E作EHJBC于，,

:.EO=EH,

?;0C=0B=3,4OC=90。，

.?""C=45。，8C=3夜，

是等腰直角三角形,

：.RH=EH=—BE,

2

-OE=EH,CE=CE,

Rt^COE^Rt△CHE(HL),

；.CH=0C=3,

:.BH=EH=0E=3叵一3,

￡(372-3,0)

???設(shè)直線CE的解析式為），=/cx+b

6=3b=3

一(3&-3伙+〃=0，解得(a+1)

???直線CE的解析式為y=&+1卜+3,

令—x~+2x+3=—^y/2,+1卜+3,

解得x=3+及或%=。（不合題意舍去），

y=-2—45/2,

.??P（3+&,-2-4&）.

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形

等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，拋物線），=-/+班+。經(jīng)過點A（-4,0）、8（1,0）,交丁軸于點C（0,4）,點尸是拋物線上一動點.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

⑵當(dāng)點尸的坐標為（-2,6）時，求四邊形AOCP的面積；

⑶若NPR4=45。，求點。的坐標.

【答案】⑴丁=一/-33+4

⑵16

⑶[-3,4）或（-5,-6）

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）過點P作PTJLAB;丁，根據(jù)S四邊形八叩=S&g+S梯形00T列式求解即可；

（3）取巧（T,5）,連接A、，B%,證明乙鉆出=45。，則線段8用與拋物線的交點《即為所求；求出直

fy=-x+lfx=-3fx=l/、

線附的解析式為尸T+1,聯(lián)立廣；。.解得《4或八（舍去），則[（一3,4）；如圖所示，

[y=-x-3x+4[y=4[y=o

取也（＜-5）,連接入心，BH2i司理可得N"%=45。，則直線B/與拋物線的交點〃即為所求；同理可

得旦（-5,-6）：則符合題意的點尸的坐標為（-3,3）或（-5,-6）.

【詳解】（I）解：將點8（1,0）代入），=一/+法+4,

得T+Z?+4=0

解得人=一3

???拋物線解析式為），=一/一3x+4；

（2）解：如圖所示，過點。作PT_LA△于7,

VP（-2,6）,A（-4,0）,C（0,4）,

/.04=4,07=2,OC=4PT=6,

，AT=2,

：?S四邊形AO5=S^&PT+S梯形0cpz

1r/6+46

二-x2x6+------x2

22

（3）解：如圖所示，取耳（-4,5）,連接A”-BHlt

VA（-4,0）,8（1,0）,""T,5）,

AAHi=5,AB=5,A.AB,

：.NAB4=45°,

???線段8%與拋物線的交點々即為所求；

設(shè)直線8乂的解析式為丫=履+々，

>+Z?,=0

一’-4女+4=5'

>=-1

:,直線的解析式為)，=T+1,

V=-x+l,fx=-3fx=1

2°-解得[或{A(舍去)，

{y=-x~-3x+4[)=4[y=0

???丹(-3,4)；

如圖所示，?。?y—5),連接力也，BH-

同理可得乙48m=45。，

???直線BH2與拋物線的交點P2即為所