專題05三角函數(shù)與函數(shù)應用

目錄

明晰學考要求.......................................................................1

基礎(chǔ)知識梳理.......................................................................1

考點精講講練.......................................................................6

考點一：弧度制下的弧長、面積公式..........................................................6

考點二：三角函數(shù)的定義、基本關(guān)系與誘導公式...............................................7

考點三：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)...............................................................8

考點四：三角函數(shù)圖象變換...................................................................9

考點五：函數(shù)零點與函數(shù)模型應用............................................................10

實戰(zhàn)能力訓練......................................................................12

明晰學考要求

1、了解終邊相同角的含義及其表示，能對弧度和角度進行正確的轉(zhuǎn)換；

2、掌握并能應用弧度制下的弧長公式和扇形面積公式；

3、理解任意角的三角函數(shù)定義，能判斷正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號;

4、會用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡、求值；

5、能運用誘導公式解決化簡、求值問題；

6、掌握y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象與性質(zhì)；

7、了解零點的概念，會應用函數(shù)零點存在定理判斷零點所在的范圍；

8、能利用所給函數(shù)模型解決實際問題.

基礎(chǔ)知識梳理

1、任意角

⑴任意角的概念：一條射線繞著它的端點，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時針方

向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角.如果射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，叫作零角.

(2)角的終邊所在象限：使角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標

系，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，那么

就稱這個角為軸線角.

(3)終邊相同的角：與角a終邊相同的角的集合為｛例5=/360°+a,kb].

2、弧度制與扇形弧長、面積公式

(1)度量角的兩種單位制

定義用度作為單位來度量角的單位制

角度制

周角的擊為度的角，記作。

1度的角11

定義以弧度為單位來度量角的單位制

弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的

1弧度的角

角.1弧度記作1rad

(2)角的弧度數(shù)的計算：如果半徑為廠的圓的圓心角a所對弧的長為/,那么，角a的弧度數(shù)的

絕對值是|a|=:

(3)角度制與弧度制的換算

角度化弧度弧度化角度

360°=271_rad2兀rad=360°

180。=兀_rad兀rad=180°

兀(180、

1°——rad20.01745radlrad=^Yj°^57.30°

1loQUn

弧度數(shù)律；=度數(shù)

度數(shù)弧度數(shù)X

loU

(4)設(shè)扇形的半徑為凡弧長為/,a(0<a<2兀)為其圓心角，則

度量單位類別?為角度制?為弧度制

anR

扇形的弧長/-1801=a，R

」兀尺2

扇形的面積S—360

3、三角函數(shù)的定義

⑴任意角的三角函數(shù)的定義

如圖，對于任意角呢它的終邊異于原點的一點

前提2X

P(x,y),該點與原點的距離為廠=7'x2+y2

正弦—叫做a的正弦，記作sin—a,即sina=—

rr

定義余弦—叫做a的余弦，記作cos—a,即cosa=-

rr

正切2(%。0)叫做a的正切，記作tan—a,BPtana-=2

⑵三角函數(shù)在各象限的符號

sinatana

4、同角三角函數(shù)基本關(guān)系與誘導公式

(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

①平方關(guān)系：sin2a+cos2a=l.

②商數(shù)關(guān)系：tana=^|

CA

sina

用變形：22；22

sin?=l—cosacosa=l—sina,sinacos_ottan—a,cosa=~tana.

(2)誘導公式

公式一:sin（a+2%兀）=sin—a，cos（a+2左兀）=cos—a，tan（a+2hi）=tan—a；

公式二:sin（—a）=—sin—a,cos（-a）=cos—a，tan（—a）=—tan-a.

公式三:sin（7i-a）=sin—a,cos（兀-a）=-cos—a,tan（?！猘）=—tan-a.

公式四:sin（7i+a）=-sin—a，cos（兀+a）=一cos—a,tan（兀+a）=tan—a.

-aj二-

公式五:sin=COS_Q,COSl2-aj=sin__a.

、1fn）

公式六:sin-+a=cosa,cos—+cr=-sina.

12)>—{2J

5、三角函數(shù)的圖象

(1)正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線.

函數(shù)

y=sinx9x￡R

y

1

圖象-2W'\W公一

--1

(2)余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線.

函數(shù)y=cosx,九￡R

甘

1

圖象/Q\

3ik；AA：/3TT

'-2Y"-

(3)正切函數(shù)的圖象.

(4)五點(畫圖)法

函數(shù)y=sinxy=cos%

圖象畫法五點法五點法

(0,1)，仔，0)，

(0,0),(1,1],

關(guān)鍵五點(71,-1),0),

(兀，0),-1]，(2兀,0)

(271,1)

研弦曲線與余弦曲線形狀相同，只是在坐標系中的位置不同，可以通過相互平移得到.

②E切函數(shù)的對稱中心為俘，。)(左?Z),正切函數(shù)的圖象只有對稱中心，沒有對稱軸,

6、三角函數(shù)的性質(zhì)

(1)周期性與奇偶性:研弦函數(shù)尸sinx(xGR)和余弦函數(shù)尸cosx(x￡R)的周期為2版(左?Z,

且左W0),最小正周期為2兀，正切函數(shù)y=tan%(%￡R)的周期為女兀(左￡Z,且左WO),最小正周

期為兀；

2兀

碘數(shù)?x)=Asin(0x+夕)和Hx)=Acos(①x+°)(A>0,①>0)是周期函數(shù)，最小正周期T=了.

③E弦函數(shù)y=sinx(x?R)與正切函數(shù)y=tanx(xGR)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱；余弦函數(shù)

y=cosx（x?R）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱.

（2）單調(diào)性與最值：

JT7T

研弦函數(shù)的單調(diào)性與最值：在每一個閉區(qū)間［2版一吩2瓶+牛（左GZ）上都單調(diào)遞增，其值從一

7T3兀

1增大到1；在每一個閉區(qū)間［2也+了上都單調(diào)遞減，其值從1減小到一1.正

弦函數(shù)當且僅當x=2E+界?Z）時取得最大值1,當且僅當x=2fai—系左?Z）時取得最小值一

1.

/弦函數(shù)的單調(diào)性與最值：在每一個閉區(qū)間［2E—兀，2而］（左?Z）上都單調(diào)遞增，其值從一1增

大到1;在每一個閉區(qū)間［2E,2碗+兀］（左?Z）上都單調(diào)遞減，其值從1減小到一1.余弦函數(shù)當

且僅當x=2E/?Z）時取得最大值1,當且僅當尤=2碗+兀/?Z）時取得最小值一1.

③E切函數(shù)的單調(diào)性與最值：正切函數(shù)在每一個區(qū)間（一胃十所，楙+桁）（左?Z）上都單調(diào)遞增，正

切函數(shù)沒有最大值和最小值，故正切函數(shù)的值域是實數(shù)集R.

7、函數(shù)y=Asin（ox+9）（A>0,0>0）的有關(guān)性質(zhì)

定義域R

值域[-A,A]

E2兀

周期性T二石

%,0>ez)

對稱中心

性質(zhì)

對稱軸x=m)

當（p=kn（k￡Z）時y是奇函數(shù)；

奇偶性7T

當9=?+］（左WZ）時y是偶函數(shù)

單調(diào)性通過整體代換可求出其單調(diào)區(qū)間

8、三角函數(shù)圖象變換

由尸sinx的圖象，通過變換可得到函數(shù)y=Asin（0x+0）（A>0,0>0）的圖象，其變化途徑有兩

種：

小.相位變換、一…、周期變換、_.,x振幅變換、,.Z,

（l）y—sinx--------------->y—sin（x十9）-------------->y=sm（rcox十9）--------------->y—Asin（cox十

9）;

G.周期變換、,相位變換、.「-z,x振幅變換、

(2)y—sinx-------------->y—sincox-------------->v—sinJ—sin(cox十9)--------------->y

=Asin(cox+9).

注意：兩種途徑的變換順序不同，其中變換的量也有所不同，這是易出錯的地方，應特別注意.

9、函數(shù)的零點與二分法

(1)概念：對于一般函數(shù)y=/(x),我們把使人x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零點.

(2)函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象與x軸的交點、對應方程的根的關(guān)系:

敗尸/(支)有零點

黑需方瞿要)0.樂。有實裝

(3)函數(shù)零點存在定理：若函數(shù)y=人功在區(qū)間3,加上的圖象是一條不間斷的曲線，且

則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,0)上有零點.

(4)二分法：對于在區(qū)間［a,加上圖象連續(xù)不斷且y(a)負。)<0的函數(shù)y=/(x),通過不斷地把它的

零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫

做二分法.

考點精講精練a

考點一：弧度制下的弧長、面積公式

【典型例題】

例題1.(2022高三上?江蘇徐州?學業(yè)考試)已知扇形的半徑為1,圓心角為30。，則扇形的弧長為()

兀兀兀

A.30B.—C.—D.一

1263

例題2.(23-24江蘇蘇州常熟中學高一上學期學業(yè)水平調(diào)研)如圖是杭州2022年第19屆亞運會會徽，名

為“潮涌"，形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發(fā)展.如圖是會徽的幾何圖形，設(shè)弧的長

度是//,弧的長度是辦幾何圖形ABC。面積為S/,扇形BOC面積為S2,若｝=4,

()

*

AD

19thAsianGames

Hangzhou2022

圖1

例題3.已知扇形的半徑為1,圓心角為60°,則這個扇形的弧長為（）

【即時演練】

1.已知半徑為1的扇形的圓心角為三7T，則扇形AO3的弧長等于（）

7U7171

A.-B.兀C.—D.一

436

TT

2.一扇形的圓心角半徑R=10cm,則該扇形的面積為（cm2）

3.已知扇形的半徑為2,面積為孑，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為

考點二：三角函數(shù)的定義、基本關(guān)系與誘導公式

【典型例題】

例題1.（23-24江蘇蘇州常熟中學高一上學期學業(yè)水平調(diào)研）角&的終邊與單位圓。相交于點P,且點P

3._______

的橫坐標為y,則橫-sin2a的值為（）

3344

A.-B.--C.-D.——

5555

例題2.（2023高三?江蘇?學業(yè)考試）已知tana=-3,則'吧主注烏=（）

sina-cosa

例題3.（2023高三上?江蘇徐州?學業(yè)考試）已知角a的終邊位于第二象限，則點P（cos%sine）位于

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

例題4.（江蘇省2023年普通高中學業(yè)水平合格性考試）已知角口的終邊經(jīng)過點尸（2,-1）,則sina=

275

rD.一正

-5555

【即時演練】

1.已知角a的終邊經(jīng)過點P（l,-2）,貝U()

71=_61

A.sin?=—B.sin—+6ZC.taner=——D.tancr=-2

5一—行2

2.已知sina>0,cosa>0,則。是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

cosL?sinI3+0

3,已知/（。）=I2

sin(—0—7C)

（1）化簡什（夕）；

（2）若求tan。的值;

求/t5萬+可的值.

（3）若了^-3

6

考點三：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【典型例題】

例題1.（2024年江蘇省揚州市學業(yè)水平考試數(shù)學模擬試卷）下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（）

A.y=2'B.>=cosx

C.y=]nxD.y=sinx

例題2.（2023高三上?江蘇徐州?學業(yè)考試）已知函數(shù)/（"=2sin（ox+胃>0）的圖像與直線y=2的兩

個相鄰交點的距離等于兀，則。的值為（）

1

A.-B.1C.2D.3

2

例題3.（2023高三?江蘇?學業(yè)考試）若函數(shù)Ax）"'I"3的值域為卜2,+8）,則實數(shù)機的可

[msinx+1,x>3

能值共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

例題4.(2023高三?江蘇?學業(yè)考試)已知函數(shù)〃x)=sinx.

⑴求函數(shù)y=的最小正周期；

⑵若"(x)f+優(yōu)求實數(shù)用的取值范圍.

2o

【即時演練】

1.如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=3sin(s+e)+3據(jù)此可知,

D.10

2.函數(shù)〃x)=2sin[x+Wj的一個單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.[-7t,0]B.[一兀，兀]C.[0,K]D.[0,2TI]

3.函數(shù)y=2sin(2x+5]的圖象的一條對稱軸是()

4.已知函數(shù)/(x)=2sin

(1)求函數(shù)〃x)的最小正周期；

(2)求函數(shù)“尤)的單調(diào)遞增區(qū)間.

考點四：三角函數(shù)圖象變換

【典型例題】

例題1.(江蘇省2023年普通高中學業(yè)水平合格性考試)要得到函數(shù)y=2sin(x+5]的圖象，只需將函數(shù)

y=2sinx的圖象()

A.向左平移（個單位B.向右平移三個單位

C.向左平移g個單位D.向右平移￡個單位

00

例題2.要得到函數(shù)y=3sin]2x+?J的圖像，只需將y=3cos（2x-711^的圖像上所有的點（

)

2

A.向左平移3個單位長度B.向右平移3個單位長度

C.向左平移J個單位長度D.向右平移g個單位長度

00

例題3.（2023高三上?江蘇徐州?學業(yè)考試）已知函數(shù)〃尤）=sin2彳-￡.

⑴求外”的對稱軸方程;

（2）將函數(shù)/（無）的圖象向左平移1個單位，再將所得圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍

后所得到的圖象對應的函數(shù)是g@）,求網(wǎng)力=1-25療*-8（外在（0,7萬）上的零點個數(shù).

【即時演練】

要得到函數(shù)＞=3sin2x的圖象，只需將y=3sin[2x+[J的圖象（

1.)

A.向左平移?個單位B.向右平移2個單位

OO

C.向左平吟個單位D向右平移/單位

將函數(shù)y=2sin"+￡]的圖象向左平移聿71個單位長度，得到函數(shù)y=f（x）的圖象，貝|（

2.)

6

A./(x)=2cos2xB.f(x)=2cos2x+-

I3

C./(x)=2sin2xD./(x)=2sin[2尤+：

71

3.為了得到函數(shù)＞=8$X+-的圖象，只需將函數(shù)y=cos%的圖象上所有的點（）

A.向左平移g個單位長度B.向右平移]個單位長度

0

C.向左平移?個單位長度D.向右平移1個單位長度

O

考點五：函數(shù)零點與函數(shù)模型應用

【典例講解】

例題1.（2024年江蘇省揚州市2023年學業(yè)水平考試模擬）函數(shù)/（x）=lnr+x-4的零點一定位于下列哪

個區(qū)間（）

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（5,6）

例題2.（2023高三?江蘇?學業(yè)考試）2023年2月6日，土耳其發(fā)生強烈地震，造成重大人員傷亡和財產(chǎn)

損失，江蘇救援隊伍緊急赴當?shù)亻_展救報行動.盡管日前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已

經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為

lgE=4.8+L5M.里氏8.0級地震所釋放出來的能量是里氏6.0級地震所釋放出來的能量的（）

A.6倍B.IOZ倍C.IO?倍D.1（）6倍

例題3.（2022高三上?江蘇徐州?學業(yè)考試）已知/（無）是定義在｛N尤eR,xwO｝上的偶函數(shù)，當x>0時，

logjx,0<x<1

2

，則方程的根的個數(shù)為（）

1X1

2，

A.1B.2C.4D.6

例題4.（2023高三?江蘇?學業(yè)考試）在一次實驗中，某小組測得一組數(shù)據(jù)（4y）（，=l,2,,11）,并由實

驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖.由此散點圖，在區(qū)間［-2,3］上，下列四個函數(shù)模型（。力為待定系數(shù)）中，最能反

映羽，函數(shù)關(guān)系的是（）

九

9

二二二二二二8二二二二二二二

7

二二二二二二6二二二二二二二

5

4?

'2

.1...

^4-2O\24x

A.y=a+bxB.y=a+bx

b

C.y=a+\ogbxD.y=a+—

x

【即時演練】

1.已知方程lg（2x）+x—2=0的根所在的區(qū)間為+"eZ,則”的值為（）

A.0B.1C.2D.3

9

2.已知函數(shù)/⑴lnx+〃在（1,2）內(nèi)有零點，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-2,+oo)B.(-2,ln2-1)C.(-00,2)D.(l-ln2,2)

實戰(zhàn)能力訓練

1.已知％=1是函數(shù)/(%)=2'+3一5的零點，貝！為()

A.1B.2C.3D.4

4

2.已知。是第一象限角，sin6Z=-,貝！Jcosa為()

3344

A.—B.—C.—D.一

5453

3.已知角a的頂點位于平面直角坐標系xOy的原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊上有一點(-3,4),則

cosa=()

3344

A.--B.-