專題06平面向量

目錄

明晰學考要求....................................................................................1

基礎(chǔ)知識梳理....................................................................................2

考點精講講練....................................................................................5

考點：平面向量的概念.....................................................................5

考點二：平面向量的線性運算.................................................................6

考點三：平面向量基本定理的應(yīng)用.............................................................8

考點四：平面向量的坐標運算.................................................................9

考點五：平面向量的共線問題................................................................10

考點六：平面向量數(shù)量積的基本運算..........................................................11

考點七：平面向量的夾角....................................................................12

考點八：平面向量的模......................................................................13

考點九：平面向量的垂直....................................................................14

實戰(zhàn)能力訓練...................................................................................15

1、了解向量的實際背景，理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義：

2、理解向曷的幾何表示：

3、掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義；

4、掌握向量數(shù)乘的運算及其意義，理解兩個向量共線的含義；

5、了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義：

6、了解平面向量的基本定理及其意義，掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；

7、會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算；

8、理解用坐標表示的平面向量共線的條件；

9、理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；

10、了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；

11、掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算：

12、能運用數(shù)量枳表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系;

13、會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題；

14、會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一曲實際問題.

02

一、向量的有關(guān)概念

名稱定義表示方法注意事項

既有大小又有方向的量叫做向

向量N方或

向量量；向量的大小叫做向量的長平面向量是自由向量

模1萬1或口|

度（或模）

長度等于0的向量，方向是任

零向量記作6零向量的方向是任意的

意的

單位向量長度等于1個單位的句量常用工表示非零向量Z的單位向量是2

方向相同或相反的非零向量Z與B共線可記為

平行向量。與任一向量平行或共線

平行向量又叫共線向量a=Xb

—*—?兩向量只有相等或不等，不能比

相等向量長度相等且方向相同的向量a=b

較大小

相反向量長度相等且方向相反的向量a=-b6的相反向量為0

二、向量的線性運算

向量運算定義法則（或幾何意義）運算律

a+b/

21/b

a(1)交換律：a+b=b+a

加法求兩個向量和的運算三角形法則

咨(2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+(/?+c)

a

平行四邊形法則

減去一個向量相當干

減法加上這個向量的相反a-b=a^-b)

三角形法則

向量

數(shù)乘求實數(shù)4與向量Z的(1)2a|=|A||a|；；

積的運算（2）當義＞0時，％］的(九+〃)〃=4a+//a；

方向與￡的方向相同；當%(〃+[)=24+2石

2＜0時,的方向與2

的方向相反；當2=0時，

Aa=0

三、共線向量定理及平面向量基本定理

共線向量定理：向量）僅。0）與5共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)義，使得B=

平面向量的基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量有

且只有一對實數(shù)4,4，使〃=4,+4。2.

其中，不共線的向量吊I叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

五、平面向量的坐標運算

1.向量加法、減法、數(shù)乘運算及

設(shè)片（演，凹）石二（工2，y2）?則

a+b=（x］+x2,yx+y2）＜i-b=（x）-x2,y}-y2）^=（2A）,Ay］）,

2.向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

②設(shè)力區(qū)，凹）,5a2,%），則前=（々-為，必-乂），

3.平面向量共線的坐標表示

設(shè)「二（演,必）5=（孫外）則玉卜2一々必二。

六、平面向量數(shù)量積的概念

（1）數(shù)量積的概念

已知兩個非零向量H,我們把數(shù)量同Wcos。叫做向量［與B的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作7幾即

a-b=abcosO,其中夕是￡與B的夾角.

【注】零向量與任一向量的數(shù)量積為（）.

投影向量：①定義：如圖，設(shè)否是兩個非零向量，AB=a,CD,作如下的變換：過標的起點4和

終點8,分別作麗所在直線的垂線，垂足分別為4,4得到，則稱上述變換為向量々向向晟石投影,

4用叫做向量￡在向量B上的投影向量.

CA,B*D

②計算：設(shè)與否方向相同的單位向量為3￡與坂的夾角為e,則向量2在向量坂上的投影向量是14cos夕工.

七、平面向量數(shù)量積的運算律

已知向量4,4C和實數(shù)％，則

交換律a-b=h-a:

數(shù)賣結(jié)合律(2辦b=h)=a'(Ab)；

分配律(a+b)'C=a'C+b-c-

八、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角及性質(zhì)

設(shè)非零向量以九。是Z與書的夾角，

（1）數(shù)量積：Bcosd；（2）模：|Z|=d.

a-b

（3）夾角：cos。=~—7

a?h

（4）垂直與平行：Z_LBO7B=O；==

（5）設(shè)向量￡二（再,必）,5二（町y2）?。為向量工上的夾角.

數(shù)量積a-b=acos0=中)+乂％

模\a\=\la^~a=《x；+y；

夾角cos"二-L斗2+Jp

1那「k?際

兩非零向量Zi瓦的充要條件aA-ha-h=x]x2+yxy2=0

考點精講精練0

考點一：平面向量的概念

解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心一一方向和長度，只有緊緊抓住概念的核心才能順利解

決與向量概念有關(guān)的問題.

【典型例題】

例I.(202()高一下?天津靜海?學業(yè)考試)下列關(guān)于向量的結(jié)論：(1)任一向量與它的相反向量不相等；(2)

向量值與B平行，則I與B的方向相同或相反；(3)起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)

若向量。與B同向，且則。＞5.其中正確的序號為

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(4)D.(3)

例2.(2023高三上?廣西?學業(yè)考試)如圖，O是正六邊形跖的中心，下列向量中，與福是平行向

例3.(2023高二上?黑龍江?學業(yè)考試)下列量中是向量的為()

A.頻率B.拉力C.體積D.距離

例4.(2023高三?北京?學業(yè)考試)如圖，點。為正六邊形48CDE/的中心，下列向量中，與方相等的是

()

A.DOB.EOC.FOD.CO

【即時演練】

1.給出下列命題：①任一非零向量都可以平行移動，零向量的長度為零，方向是任意的；②若G,B都是

單位向量，則］=幾③向量而與而相等.其中正確命題的序號為（）

A.①B.③C.0@D.①②

2.如圖，在圓。中，向量礪，0C，而是（）

A.有相同起點的向量B.相反向量

C.模相等的向量D.相等向量

3.如圖，四邊形力8c。中，刀=麗，則必有（）

DO=OBC.近=麗D.OA=OC

4.已知點O是平行四邊形48C。的對角線的交點，則（）

A.OA=OCB.AB=CD

uumULU

c.ODUBOD.|JC|=|BD|

考點二：平面向量的線性運算

向量的線性運算形式上類似于實數(shù)加減法與乘法滿足的運算法則，實數(shù)運算中去括號、移項、合并同類項等

變形手段在向里的線性運算中均可使用.

【典型例題】

刀+麗+而=（）

A.ABB.ACC.ADD.BD

例2.（2024高二上?北京?學業(yè)考試）如圖，四邊形48CO是正方形，則刀-刀=（）

A.~ABB.BCC.CDD.DA

例3.（2024高二下?湖北?學業(yè)考試）如圖，平行四邊形48CZ）中，。是CO邊上的一點，則（）

B.L5A+AB+BP=DP

C.~AB+JC+CP=PAD.PA+PB=BA

例4.（2019高二下?廣西?學業(yè)考試）設(shè)（；,/；為非零向量，則3（2￡+而=（）.

A.6a+3EB.6。C.3bD.4)+3萬

【即時演練】

1.在三棱錐。一力4。中，方+M—在等于（）

A.OAB.ABC.OCD.AC

2.1(a+2^-3c)-3(a-2^-c)=()

人5一廣5-

A.—a-4cB.--a+4/?-2c

22

5-3c5一短9一

C.--a+lb+-VD.—a+5b----c

2222

3.已知非零向量方,5滿足￡=“，則（)

A.\a\=\b\B.4萬|=歷|

c.7與方的方向相同D.￡與否的方向相反

4.已知正方形MC。的邊長為2,則方+BC+AC\=()

A.6B.272C.472D.g

考點三：平面向量基本定理的應(yīng)用

運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止

【典型例題】

例I.（2024高二下?福建?學業(yè)考試）如圖，已知平行四邊形力86,AB-aiAD=B'E為CD中點,則力七=

A.a+bB-a-bC.aD.-a+b

三2

例2.（2023高二?安徽?學業(yè)考試）如圖，在平行四邊形48co中,點七是8。的中點，設(shè)而=2荷=E,

_1-

B.ci—b

2

r1r

D.a+—bf

2

例3.（2024高二上?福建?學業(yè)考試）如圖，在V4?。中，M,N分別是4c的中點，若赤=原衣=鼠

則向量麗可表示為（）

D.--a+-b

22

例4.（2024高三?廣東?學業(yè)考試）在矩形48CQ中，4C與8。相交于點。E是線段。。的中點，若

~AE=m'AB+nAD^貝卜八一〃的值為.

【即時演練】

1.在平行四邊形4BCQ中，點￡為線段CO的中點，記翦=G，=則前二（）

1—■——,1—1—,——,1—

A.—in-nB.in—nC.—m+nD.m+—n

2222

2.在△川?。中，。是4C上一點，滿足院=3拄，"是力。的中點，若麗=而+質(zhì),則2+〃=（）

575

A.—B.1C.~D.

488

3.已知鼻,[是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（）

——?—?—?—?*—?—?—?

A.=0?b=e]-e2B.a=3^-3e2,b=ex-e2

C.a=e1-2e2,b=e1+2e2D.a=e}-2e2fb=2e]-4e2

4.已知向量6，電不共線，-B.（3-v-4y）Cj+（2x-3y）e2=3e1+e2,則不一丁的值等于（）

A.3B.-3C.0D.2

考點四：平面向量的坐標運算

（1）若已知向量的坐標，則直接應(yīng)用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行：

（2）若已知有向線段兩端點的坐標，則必須先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算：

（3）向量的線性坐標運算可類比數(shù)的運算進行.

【典型例題】

例I.（2024高二下?安徽?學業(yè)考試）點力（-L0）,8（0,2）,則向量而=（）

A.（-L2）B.（1,2）C.（-1,-2）D.（1,0）

例2.（2024高二下?湖北?學業(yè)考試）已知向量力=（1,0）3=（0,1）,貝IJ2鼠34=（）

A.（2,-3）B.（-2,-3）C.（-2,3）D.（2,3）

例3.（2020高二下?山東?學業(yè)考試）在平面直角坐標系中，。為坐標原點，向量刀=（0,2）,麗=（4,2）,則

線段44中點的坐標為（）

A.（2,0）B.（2,2）C.（4,0）D.（4,4）

例4.（2023高二?云南?學業(yè)考試）JB=（O,-2）,5C=（I,l）,則％的坐標為.

【即時演練】

1.點/(TO),8(0,2),則向量而=()

A.(-1,2)B.(1,2)C.(-1,-2)D.(1,0)

2.己知向量2=(0,4),萬=(3,6)1=(-1,6),若d=解+,則?+〃=()

7512

A.-B.-C.——D.——

3333

3.已知向量值=(1,-3)3=(-2,4),若41+俾-2。)+己=0,則句量工的坐標為()

A.(1,-1)B.(-1,1)

C.(-4,6)D.(4,-6)

4.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底｛2可表示&則（）

A.c=2a-3bB.c=-2a-3b

C.c=-3a+2hD.c=3a-2b

考點五：平面向量的共線問題

用向量共線的條件證明兩條直線平行或重合的思路：

（1）若右=夕7（"￥0）,且3與［所在的直線無公共點，則這兩條直線平行.

（2）若B=花G=0）,且5與Z所在的直線有公共點，則這兩條直線重合.

【典型例題】

例I.（2024高二下?安徽?學業(yè)考試）已知向量￡=（-1,3必=（3,切），若［〃人則〃?=（）

A.9B.-9C.1D.-1

例2.（2020高三?安徽?學業(yè)考試）若點/（-2,-3）、4（（）,y）、C（2,5）共線，則y的值等于（）

A.-4B.-1C.1D.4

例3.（2020高二?廣西?學業(yè)考試）已知向量：=（1/），則下列坐標表示的向量與1共線的是（

A.（4,0）B.（-1,2）C.（4,-2）D.（2,2）

例4.（2021高二上?新疆?學業(yè)考試）已知向量8=（1,2）,麗=（x-l,4）,且缶//礪，則工=

【即時演練】

1.已知向量aB不共線，且小面+B，2=G+（24+I）B,若不與2同向共線，則實數(shù)義的值為（）

C.1或一1D.-1或1

22

2.設(shè)q,與是兩個不共線的向量，已知48=2弓+太6，C8=q+3e2,CD=2et-e2,若三點4,B,。共

線，則A的值為（）

A.-8B.8C.6D.-6

3.若4（1,2）,8（3,〃?），C（7,w+2）,三點共線，則實數(shù)〃，的值為（）

A.1B.3C.-1D.-3

4.已知向量J=（l,2）/=（l,x）,若（2,-彼）/店，則x=.

考點六；平面向量數(shù)量積的基本運算

向量數(shù)量積的求法：（1）求兩個向量的數(shù)量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準確求出兩個向量

的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵；（2）根據(jù)數(shù)量積的運算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘

法運算；（3）先將各向量用坐標表示,直接進行數(shù)量積運算

【典型例題】

例1.（2024高二下?湖南?學業(yè)考試）如圖，V/8C是邊長為2的等邊三角形，則在.衣二（）

A.4R.-4C.2D.

例2.（2022高二下?河北?學業(yè)考試）已知向量萬=（3,1）3=（2,-4）,則萬彳=（）

A.2B.-2C.10D.-10

例3.（2024高二上?北京?學業(yè)考試）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個小正方形

的邊長均為1，則同=

例4.（2024高二下?浙江?學業(yè)考試）向量￡是是兩個單位向量，夾角為三，則1（￡-力=

【即時演練】

1.已知單位向量的夾角為則?。?另-，）=（）

A.-1B.--C.0D.1

2

2.若向量1與5的夾角為60°,伍1=2,|萬|=1,則萬力=.

3.在等邊V/18C中，AC=\,則萬.前=

4.已知向量3，5滿足3=（石,1）,b-eR）,且75=1，貝4尤=.

考點七：平面向量的夾角

一一八”?人

求向量的夾角的關(guān)鍵是計算及QA，在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計算cose=Fii?，最后借

\a\\h\

助。w［0,1］，求出。值;

【典型例題】

例I.（2023高三上?新疆?學業(yè)考試）已知向量G=（1,2）,B=（-3,-6）,則向量?與否（）

A.互相平行B.夾角為60“C.夾角為30”D.互相垂直

例2.已知向量。=（0,2）石=（百,1）,則向量，與B夾角的余弦值為.

例3.（2024高二下?安徽?學業(yè)考試）己知非零向量W,B滿足|初=25且①-方）15,則G與B的夾角

為.

例4.（2023高二?甘肅?學業(yè)考試）已知向量入坂滿足7（，；+勺=5,且問=2,W=l，則向量￡與否的夾角

為.

【即時演練】

I.已知非零向量第滿足同=W，且力（￡+2與，則［與5的夾角為（）

兀八5兀2冗

A，6B.—D-T

6c?

2.若向量。=（6,1）,則［與B的夾角為（）.

兀

A.-B.-c工D.-

64。32

3.VN8c中，嵌方=3阮=Z不=b,若貝IJV48C的形狀是（）

A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.尢法確定

4.已知a，b?c,均為單位向量,且滿足3a+45+5c=。,則8$<書,。=.

考點八：平面向量的模

（1）求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方,與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用f=0，勿忘記開方.

（2）若a=（x,y）,則=="=Y+/,于是有〃=3爐+曠2

【典型例題】

rr

例I.（2022高二下?河北?學.業(yè)考試）已知向量￡,取滿足。=1,同=3,卜+耳=3,貝ij白一方=（

A.VnB.V10C.3D.2

例2.（2024高二下?湖北?學業(yè)考試）已知同=忖=1,且］4=0,則歸+可=.

例3.（2024高二下?安徽?學業(yè)考試）已知單位向量￡與單位向量B的夾角為120。，貝平+3%—

例4.（2024高二下?湖南株洲?學業(yè)考試）已知向量￡=（1,2）,5=（2,2）,則|"5|=.

【即時演練】

1.已知平面向量癡為單位向量，若歸+4=6,貝雨-可=（）

A.0B.1C.V3D.3

2.設(shè)向量入B滿足根+q=>/歷：1-力卜而，則等于（）

A.272B.2C.5D.8

3.已知1=（2,0）,B=（l,1）,則|1-23|的值為（）

A.IB.2C.3D.4

4.已知向量值=（1,1>坂=（-2㈤，且問=石,（/1>0）,則￡/=（）

A.1B.2C.-ID.0

考點九：平面向量的垂直

【典型例題】

例I.(2022高二下?河北?學業(yè)考試)已知向量￡=(1,2),5=(2,，)，若￡_L九則實數(shù)2=(

A.1B.-1C.4D.-4

例2.(2023高三?新疆?學業(yè)考試)若|￡|=2,|^|=1,且對則3與B的夾角為()

51-11

A.—兀B.一加C.—兀D.n

12346

例3.(2022高二?湖南?學業(yè)考試)在V/3C中，萬.就=0，NABC為()

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

例4.(2024高二上?新疆?學業(yè)考試)已知向量〉=(-5,7)3=(-1,3)1=(-2,2).

(1)若a=mh+nc，求實數(shù)見〃的值；

(2)若(21+E)+求實數(shù)、的值.

【即時演練】

1.已知向量值=(3,0)3=(-2"),若伍+山(萬-24),則％=()

y/14D.土叵

A.V7B.±V7C.