新疆阿勒泰第二高級(jí)中學(xué)2025年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，是邊長為4的等邊三角形的中位線，將沿折起，使得點(diǎn)A與P重合，平面平面，則四棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.2．若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A B.C. D.3．已知呈線性相關(guān)的變量x與y的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：若其回歸直線方程是，則（）x24568y34.5m7.59A.6.5 B.6C.6.1 D.74．直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A B.C. D.5．已知橢圓與圓在第二象限的交點(diǎn)是點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，到直線的距離是，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.6．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A. B.C. D.7．已知集合A={1，a，b}，B={a2，a，ab}，若A=B，則a2021+b2020=（）A.-1 B.0C.1 D.28．已知一個(gè)乒乓球從米高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度是原來高度的倍，則當(dāng)它第8次著地時(shí)，經(jīng)過的總路程是（）A. B.C. D.9．已知空間中四點(diǎn)，，，，則點(diǎn)D到平面ABC的距離為（）A. B.C. D.010．已知，，則在上的投影向量為（）A.1 B.C. D.11．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是4，則數(shù)據(jù)的方差是（）A.3.4 B.3.6C.3.8 D.412．在等差數(shù)列中，若，則（）A.6 B.9C.11 D.24二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)分別是平面的法向量，若，則實(shí)數(shù)的值是________14．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為______15．在下列所示電路圖中，下列說法正確的是____(填序號(hào))（1）如圖①所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充分不必要條件；（2）如圖②所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件；（3）如圖③所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的充要條件；（4）如圖④所示，開關(guān)A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件16．過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于、兩個(gè)不同點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積等于，且橢圓的焦距為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)是軸上的定點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，已知A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，已知三點(diǎn)共線，試探究直線是否過定點(diǎn).若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.18．（12分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，橢圓右焦點(diǎn)也為，離心率為（1）求拋物線方程和橢圓方程；（2）若不經(jīng)過的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值19．（12分）在①成等差數(shù)列；②成等比數(shù)列；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并對(duì)其求解.問題：已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.20．（12分）已知是拋物線的焦點(diǎn)，直線交拋物線于、兩點(diǎn).（1）若直線過點(diǎn)且，求；（2）若平分線段，求直線的方程.21．（12分）三棱錐中，，，，直線與平面所成的角為，點(diǎn)在線段上.（1）求證：；（2）若點(diǎn)在上，滿足，點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)使得二面角的余弦值為.22．（10分）已知直線，，，其中與的交點(diǎn)為P（1）求過點(diǎn)P且與平行的直線方程；（2）求以點(diǎn)P為圓心，截所得弦長為8的圓的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分別取的中點(diǎn)，易得，則點(diǎn)為四邊形的外接圓的圓心，則四棱錐外接球的球心在過點(diǎn)且垂直平面的直線上，設(shè)球心為，設(shè)外接球的半徑為，，利用勾股定理求得半徑，從而可得出答案.【詳解】解：分別取的中點(diǎn)，在等邊三角形中，，是中位線，則都是等邊三角形，所以，所以點(diǎn)為四邊形的外接圓的圓心，則四棱錐外接球的球心在過點(diǎn)且垂直平面的直線上，設(shè)球心為，由為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，則，設(shè)外接球半徑為，，，則，，所以，解得，所以，所以四棱錐外接球的表面積是.故選：A.第II卷2、A【解析】求得圓心到直線的距離，根據(jù)題意列出的不等關(guān)系式，即可求得的范圍.【詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離，故要滿足題意，只需，解得.故選：A.3、A【解析】根據(jù)回歸直線過樣本點(diǎn)的中心進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可得，，則，解得故選：A.4、A【解析】把求面積轉(zhuǎn)化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點(diǎn)到直線的距離.【詳解】與x，y軸的交點(diǎn)，分別為，，點(diǎn)在圓，即上，所以，圓心到直線距離為，所以面積的最小值為，最大值為.故選：A5、B【解析】連接，得到，作，求得，利用橢圓的定義，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，連接，因?yàn)閳A，可得，過點(diǎn)作，可得，且，由橢圓的定義，可得，所以，在直角中，可得，即，整理得，兩側(cè)同除，可得，解得或，又因?yàn)?，所以橢圓的離心率為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，直角三角形的勾股定理，以及橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理，列出關(guān)于的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題7、A【解析】根據(jù)A=B，可得兩集合元素全部相等，分別求得和ab=1兩種情況下，a，b的取值，分析討論，即可得答案.【詳解】因?yàn)锳=B，若，解得，當(dāng)時(shí)，不滿足互異性，舍去，當(dāng)時(shí)，A={1，-1，b}，B={1，-1，-b}，因?yàn)锳=B，所以，解得，所以；若ab=1，則，所以，若，解得或1，都不滿足題意，舍去，若，解得，不滿足互異性，舍去，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查兩集合相等的概念，在集合相等問題中由一個(gè)條件求出參數(shù)后需進(jìn)行代入檢驗(yàn)，檢驗(yàn)是否滿足互異性、題設(shè)條件等，屬基礎(chǔ)題.8、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】從第1次著地到第2次著地經(jīng)過的路程為，第2次著地到第3次著地經(jīng)過的路程為，組成以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以第1次著地到第8次著地經(jīng)過的路程為，所以經(jīng)過的總路程是.故答案為：C.9、C【解析】根據(jù)題意，求得平面的一個(gè)法向量，結(jié)合距離公式，即可求解.【詳解】由題意，空間中四點(diǎn)，，，，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以點(diǎn)D到平面ABC的距離為.故選：C.10、C【解析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C11、B【解析】利用方差的定義即可解得.【詳解】由方差的定義，，則，所以數(shù)據(jù)的方差為：.故選：B12、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量運(yùn)算求解【詳解】設(shè)的公差為d，因?yàn)?，所以，又，所以故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】根據(jù)分別是平面的法向量，且，則有求解.【詳解】因?yàn)榉謩e是平面的法向量，且所以所以解得故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量垂直，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.14、5【解析】畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)如圖所示：根據(jù)平移知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最小值為5.故答案為：5.15、（1）（2）（3）【解析】充分不必要條件是該條件成立時(shí)，可推出結(jié)果，但結(jié)果不一定需要該條件成立；必要條件是有結(jié)果必須有這一條件，但是有這一條件還不夠；充要條件是條件和結(jié)果可以互推；條件和結(jié)果沒有互推關(guān)系的是既不充分也不必要條件【詳解】（1）開關(guān)閉合，燈泡亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)不一定閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的充分不必要條件，選項(xiàng)（1）正確.（2）開關(guān)閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)必須閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的必要不充分條件，選項(xiàng)（2）正確.（3）開關(guān)閉合，燈泡亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)必須閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的充要條件，選項(xiàng)（3）正確.（4）開關(guān)閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮?xí)r，開關(guān)不一定閉合，所以開關(guān)閉合是燈泡亮的既不充分也不必要條件，選項(xiàng)（4）錯(cuò)誤.故答案為（1）（2）（3）.16、【解析】利用點(diǎn)差法可求得的值，利用離心率公式的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，則，由已知可得，由題意可得，將兩個(gè)等式相減得，所以，，因此，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）直線恒過定點(diǎn).【解析】（1）根據(jù)橢圓的焦距可求出，由橢圓的面積等于得，求出，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線，，進(jìn)而寫出為，兩點(diǎn)坐標(biāo)，將直線與橢圓的方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理求，，由三點(diǎn)共線可知，將，代入并化簡，得到的關(guān)系式，分析可知經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）橢圓的面積等于，，，橢圓的焦距為，，，橢圓方程為（2）設(shè)直線，，則，，三點(diǎn)共線，得，直線與橢圓交于兩點(diǎn),,，，由，得，，，代入中，，，當(dāng)，直線方程為，則重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線,所以直線恒過定點(diǎn).18、（1）拋物線方程為，橢圓方程為（2）【解析】（1）由，可得，繼而可得，故，再利用離心率，以及，即得解；（2）設(shè)直線方程為，與拋物線聯(lián)立，，結(jié)合韋達(dá)定理可得，再與橢圓聯(lián)立，，韋達(dá)定理代入，結(jié)合均值不等式即得解【小問1詳解】由題意，解得：，故，，，，，所以拋物線方程為，橢圓方程為【小問2詳解】設(shè)直線方程為，由消去得，，設(shè)，，則因，所以或（舍去），所以直線方程為由，消去得，設(shè)，，則設(shè)直線與軸交點(diǎn)為，則所以令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值19、（1）（2）【解析】（1）由可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：結(jié)合等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算求解；若選②：利用等比數(shù)列等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算求解，若選③：利用直接計(jì)算；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，可知數(shù)列為等差數(shù)列，直接求和即可.【小問1詳解】由，當(dāng)時(shí)，，即，即，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：由，即，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選②：由，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選③：由，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】由（1）得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以.20、（1）；（2）.【解析】（1）分析可知直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線的定義可求得；（2）利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【小問1詳解】解：設(shè)點(diǎn)、，則直線的傾斜角為，易知點(diǎn)，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由題意可知，則，，因此，.【小問2詳解】解：設(shè)、，若軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，所以直線的斜率存在，因?yàn)椤⒃趻佄锞€上，則，兩式相減得，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，直線的斜率為，此時(shí)，直線的方程為，即.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】證明：因?yàn)椋?，則且，，平面，所以為直線與平面所成的線面角，即，，故，，，平面，平面，因此，.【小問2詳解】解：設(shè)，由（1）可知且，，因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、