23.2解直角三角形及其應(yīng)用課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題1.理解解直角三角形的含義，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形；2.能通過作高線構(gòu)造直角三角形解非直角三角形；3.會(huì)用解直角三角形中的有關(guān)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型,解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.知識(shí)點(diǎn)01解直角三角形的概念一般地，直角三角形中除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角。由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形。注意：①在直角三角形中，除直角外的五個(gè)元素中，已知其中的兩個(gè)元素(至少有一個(gè)是邊)，可求出其余的三個(gè)未知元素(知二求三)②一個(gè)直角三角形可解，則其面積和周長(zhǎng)可求。但在一個(gè)解直角三角形的題中，如無特別說明，則不包括求面積和周長(zhǎng)【即學(xué)即練1】（23-24九年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D在上，，．求的值．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求角的正弦值、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查了解直角三角形，先解得到，再解可得．【詳解】解：中，，，∴，在中，，，∴．【即學(xué)即練2】（23-24九年級(jí)上·安徽阜陽·階段練習(xí)）一座樓梯的示意圖如圖所示，是鉛垂線，是水平線，與的夾角為．現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，已知米，樓梯寬度3米，則地毯的面積至少需要（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形面積的計(jì)算，由三角函數(shù)表示出，得出的長(zhǎng)度，由矩形的面積即可得出結(jié)果．【詳解】解：在中，（米），∴（米）∴地毯的面積至少需要米故選：D．知識(shí)點(diǎn)02直角三角形中五個(gè)元素（除直角外的）之間的關(guān)系如圖，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，①三邊關(guān)系：.（勾股定理） ②內(nèi)角關(guān)系：∠A＋∠B＝90°③邊角關(guān)系：、、、；、、、.【即學(xué)即練3】（2024·安徽合肥·二模）如圖，中，已知，點(diǎn)在邊上，且，求的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意找到直角三角形并根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求解是解題關(guān)鍵，先求出，在中，利用三角函數(shù)求出結(jié)論即可．【詳解】解：中，已知，，，在中，已知，，．【即學(xué)即練4】（23-24九年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，在中，．(1)求的值．(2)求的面積（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)(2)的面積為【知識(shí)點(diǎn)】解非直角三角形、構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積【分析】本題考查了解三角形，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形．（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形，再根據(jù)所給條件直接求解即可；（2）利用勾股定理及三角形面積求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．在中，，，，，在中，，；（2）解：由（1）知：在中，，，，．【即學(xué)即練5】（23-24九年級(jí)上·安徽安慶·階段練習(xí)）如圖，是的高，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、用勾股定理解三角形【分析】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及特殊角銳角三角函數(shù)．由，，從而求出，由勾股定理：即可求出答案．【詳解】解：是的高，，，，，，，，故選：A．知識(shí)點(diǎn)03實(shí)際問題中的解直角三角形①找到實(shí)際問題中的直角三角形模型;②根據(jù)問題中的條件選用合適的銳角三角函數(shù)解直角三角形;③根據(jù)實(shí)際情況分析結(jié)果【即學(xué)即練6】（2024·安徽宿州·一模）如圖，四所學(xué)校在同一平面內(nèi)，校到校的距離千米，校到校的距離千米，測(cè)得，，求兩校之間的距離．（結(jié)果精確到千米，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】千米，詳見解析．【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】本題考查三角函數(shù)解直角三角形，熟悉三角函數(shù)是本題關(guān)鍵．過向AB作垂線，用三角函數(shù)求解，即可求得．【詳解】解：設(shè)AB、CD的交點(diǎn)為，過向AB作垂線交點(diǎn)為，過向AB作垂線交點(diǎn)為，如圖，∵，∴，，∴，，，，∴，，∴∴兩校之間的距離為千米注意：①根據(jù)問題找到要求解的直角三角形，當(dāng)沒有現(xiàn)成的直角三角形時(shí),適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造(或分割)直角三角形②有些問題中有兩個(gè)(或兩個(gè)以上)直角三角形,當(dāng)其中一個(gè)直角三角形不能求解時(shí),可考慮在其他直角三角形中找出含有相同的未知元素的關(guān)系式，列方程求解知識(shí)點(diǎn)04一次函數(shù)與x軸的夾角問題（斜率問題）·設(shè)直線與x軸正方向的夾角為α：→【即學(xué)即練7】如圖，直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及正切函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握直角三角形的特征和正切函數(shù)是解題的關(guān)鍵．由直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)、，得到，結(jié)合，得到，利用正切函數(shù)計(jì)算即可，【詳解】解：∵直線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)、，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即解得，∴，故選：A．【即學(xué)即練8】一次函數(shù)的圖像過一、三象限，且與軸的夾角為，若其經(jīng)過點(diǎn)，則一次函數(shù)解析式為．【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到，然后將代入求解即可．【詳解】∵一次函數(shù)的圖像過二、四象限，且與軸的夾角為，∴，∵經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，∴．故答案為：．·解直角三角形的基本方法：已知條件解法兩邊兩直角邊由，求；;斜邊,一直角邊（如）由，求；;一邊一角一直角邊和一銳角③銳角,鄰邊（）；④銳角,對(duì)邊（）；⑤斜邊,銳角（）；總結(jié)：有斜(邊)求對(duì)(邊)乘正弦,有斜(邊)求鄰(邊)乘余弦,有鄰(邊)求對(duì)(邊)乘正切·常見的解直角三角形模型及其邊角關(guān)系圖形關(guān)系式圖形關(guān)系式【題型一：解直角三角形——求邊長(zhǎng)】例1.（2024·安徽·三模）如圖，在中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，已知，，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B． C． D．3【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】該題主要考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是理解正弦的定義．根據(jù)算出，再算出，即可求解；【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：B．例2.（2024·安徽六安·三模）如圖，中，，，于點(diǎn)E，D是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）

A． B． C． D．10【答案】B【分析】如圖，作于，于．由，設(shè)，，利用勾股定理構(gòu)建方程求出，再證明，推出，由垂線段最短即可解決問題．【詳解】解：如圖，作于，于．

，，，設(shè)，，則有：，，解得（舍去），∴，，，，則∴，，，，，，當(dāng)C、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，，的最小值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．【題型二：仰角和俯角問題】例3．（2024·安徽馬鞍山·三模）如圖，某景點(diǎn)中一建筑可看作由等腰三角形和矩形構(gòu)成，其中建筑的橫梁長(zhǎng)為8米，小明同學(xué)站到高的平臺(tái)上的處，發(fā)現(xiàn)建筑頂端點(diǎn)，檐角點(diǎn)和視點(diǎn)點(diǎn)正好在同一條直線上，此時(shí)測(cè)得檐角點(diǎn)的仰角為，小明往前步行至處，測(cè)得檐角點(diǎn)的仰角為，已知小明的視點(diǎn)距平臺(tái)的豎直高度為，過點(diǎn)作垂直水平面于點(diǎn)，且所有點(diǎn)均在同一平面中，求此建筑的高度（的值）（精確到）．參考數(shù)據(jù)：，，．

【答案】此建筑的高度約為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于借助俯仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，易得四邊形為矩形，得到，設(shè)，則，利用和表示出，建立等式求出的值，利用等腰三角形性質(zhì)和矩形性質(zhì)得到，從而得到，再利用解直角三角形得到，最后根據(jù)求解，即可解題．【詳解】解：如解圖，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由題易知，，四邊形為矩形，，由題意知，，，，，，設(shè)，則，在中，由得，，在中，由得，，，解得，，，，，在中，，，答：此建筑的高度約為．變式3-1.（2024·安徽淮南·二模）某?！熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)小組的同學(xué)要測(cè)量，兩座樓之間的距離，他們借助無人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：無人機(jī)在，兩樓之間上方的點(diǎn)處，點(diǎn)距地面的高度為，此時(shí)觀測(cè)到樓底部點(diǎn)處的俯角為，樓上點(diǎn)處的俯角為，沿水平方向由點(diǎn)飛行到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)處俯角為，其中點(diǎn)，，，，，，均在同一豎直平面內(nèi)．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓與之間的距離的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，）．【答案】樓與之間的距離的長(zhǎng)約為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及仰角俯角問題，等腰三角形的判定，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)、分別于直線交于、，分別利用解三角形求出、、即可．【詳解】解：延長(zhǎng)、分別交直線于、，∴，，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，

∴樓與之間的距離的長(zhǎng)約為．變式3-2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在同一水平地面上有和兩棟樓，從樓頂部A點(diǎn)處測(cè)得樓的底部D點(diǎn)的俯角為，從樓頂部C點(diǎn)處測(cè)得樓的G點(diǎn)的俯角為，且米，已知樓高25米，求樓的高度．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】18米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)C作，垂足為F，根據(jù)題意可得：，，，，從而可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出長(zhǎng)，從而在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)C作，垂足為F，由題意得：，，，，∴，∵在中，米，∴（米），∴米，∴在中，（米），∵米，∴（米），∴樓的高度約為18米．變式3-3.（2024·安徽淮北·二模）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組測(cè)量圖書館和實(shí)驗(yàn)樓的高度，已知兩樓中間有一棵樹，樓、和樹都垂直于地平面，點(diǎn)在同一條直線上．測(cè)得是的中點(diǎn)，且米，從實(shí)驗(yàn)樓樓頂處測(cè)得圖書館樓頂處的仰角為，測(cè)得樹頂處的俯角為，已知樹高為10米，求圖書館和實(shí)驗(yàn)樓的高度．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）【答案】圖書館高40米，實(shí)驗(yàn)樓高28米【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．過E點(diǎn)作于點(diǎn)M，過C點(diǎn)作于點(diǎn)，得出四邊形均為矩形，依題意和矩形性質(zhì)得出米，且米，米，解和即可求解；【詳解】解：過E點(diǎn)作于點(diǎn)M，過C點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形均為矩形，依題意有米，且米，米，則米．，，∴，在中有：．∴(米)，∴(米)，則米，在中，即，米，米，答：圖書館高40米，實(shí)驗(yàn)樓高28米．例4.（2024·安徽蚌埠·三模）2024年5月，“嫦娥六號(hào)”突破月球逆行軌道設(shè)計(jì)與控制、月背智能采樣和月背起飛上升等關(guān)鍵技術(shù)，實(shí)施月球背面自動(dòng)采樣返回，同時(shí)開展著陸區(qū)科學(xué)探測(cè)和國際合作，如圖，在斜坡上有一瞭望臺(tái)，斜坡的坡度為，坡長(zhǎng)為50米，雷達(dá)的高度為10米，火箭發(fā)射前，雷達(dá)中心測(cè)得火箭底端點(diǎn)的俯角為，僅2秒的時(shí)間，測(cè)得火箭上升至的處的仰角為，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)估算火箭發(fā)射時(shí)速度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）

【答案】火箭發(fā)射時(shí)速度約為425米/秒【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，牢記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)，則，在中，利用勾股定理求出x，在中，利用正切定義求出，在中，利用正切定義求出，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

在中，，坡度為設(shè)，則由解得，在中，，，在中，，，，（米/秒）答：火箭發(fā)射時(shí)速度約為425米/秒．【模型與方法總結(jié)】→模型：仰視1.仰視2.俯視+仰視3.在測(cè)量中,我們把在視線與水平線所成的角中,視線在水平線上方的叫做仰角.視線在水平線下方的叫俯角.如圖所示，PQ為水平線,視線為PA時(shí)，則∠APQ為仰角;視線為PB時(shí),則∠BPQ為俯角.【題型三：方向角問題】例5．（2024·安徽蚌埠·三模）學(xué)校組織學(xué)生從地到，，三個(gè)勞動(dòng)基地去研學(xué)，已知，，三地在同一條直線上．經(jīng)測(cè)量：，兩地相距，地在地的北偏東方向上，地在地的北偏西方向上，．求，兩地之間的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】，兩地之間的距離約為．【分析】過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，從而可得，再根據(jù)題意可得∶，，從而可得，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，再設(shè)，則，（，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：如圖∶過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，∴，由題意得∶，，∴，∵，，∴，，設(shè)，則，∵，∴，在中，，∴，在中，，∴，解得∶∴（，∴，兩地之間的距離約為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．變式5-1.（2024·安徽阜陽·二模）已知小玫家、學(xué)校、媽媽工作單位分別位于點(diǎn)A、B、C處，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏西方向上，點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏東方向上，且千米，千米．某天媽媽從家送小玫上學(xué)，然后到單位領(lǐng)取文件后回家（途中上下樓路程忽略不計(jì)），求媽媽從離家到回家全程所走的路程．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，）【答案】總路程為千米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確添加輔助線，熟練掌握三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．過A點(diǎn)作交于點(diǎn)D，先求出，然后解，再對(duì)運(yùn)用勾股定理即可．【詳解】解：如圖，過A點(diǎn)作交于點(diǎn)D，則，由題得：，，，∴，則，∴在中，，，∴，在中，由勾股定理得，∴總路程為千米．變式5-2.（2024·安徽合肥·二模）如圖，在學(xué)校處測(cè)得圖書城在其北偏東方向（即），千米；測(cè)得運(yùn)動(dòng)館在其北偏東方向（即），千米，求圖書城到運(yùn)動(dòng)館的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，．）【答案】13千米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理，分別過點(diǎn)作于，于，過點(diǎn)作于，在中，解直角三角形得出千米，千米，在中，解直角三角形得出千米，千米，最后再由勾股定理計(jì)算即可得出答案，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，分別過點(diǎn)作于，于，過點(diǎn)作于，在中，，千米，∴，，∴千米，千米，在中，，千米，∴，，∴千米，千米，在中，千米，千米，∴（千米）.答：圖書城到運(yùn)動(dòng)館的距離約為13千米．例6．（2021·黑龍江大慶·中考真題）小明在點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向，并由點(diǎn)向南偏西方向行走到達(dá)點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向，繼續(xù)向正西方向行走后到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向，求兩點(diǎn)之間的距離．（結(jié)果保留，參數(shù)數(shù)據(jù)）【答案】km【知識(shí)點(diǎn)】方位角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、解非直角三角形【分析】根據(jù)題中給出的角度證明△CDB為等腰三角形，得到CB=DB=2，再證明△CBA為30°，60°，90°直角三角形，最后根據(jù)即可求出AC的長(zhǎng)．【詳解】解：如下圖所示，由題意可知：∠EAC=75°，∠FAB=∠NBA=45°，∠CBN=45°，DB=2km，∠MDC=22.5°，在△BCD中，∠CDB=90°-∠MDC=90°-22.5°=67.5°，∠CBD=90°-∠CBN=90°-45°=45°，∠DCB=180°-∠CDB-∠CBD=180°-67.5°-45°=67.5°，∴∠DCB=∠CDB，△CDB為等腰三角形，∴CB=DB=2，在△CBA中，∠CBA=∠CBN+∠NBA=45°+45°=90°，∴△CBA為直角三角形，又∠CAB=∠CAG+∠GAB=(90°-∠EAC)+∠GAB=(90°-75°)+45°=60°，∴△CBA為30°，60°，90°直角三角形，∴，代入，∴(km)，故兩點(diǎn)之間的距離為km．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)解直角三角形，讀懂題意，將題中信息轉(zhuǎn)化成已知條件，本題中得出△CDB為等腰三角形是解題的關(guān)鍵．【模型與方法總結(jié)】 →常見模型1.常見模型2.【題型四：坡度與坡角問題】例7．（2024·安徽淮北·三模）某村準(zhǔn)備對(duì)水庫一段長(zhǎng)100m的堤壩進(jìn)行改造．改造前，背水坡坡面的坡比，改造后坡面的坡比變?yōu)?，壩頂加?m（），已知原背水坡的長(zhǎng)為8m．(1)求改造后背水坡的長(zhǎng)；(2)求所需土石方的體積．（結(jié)果精確到，）【答案】(1)；(2)．【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，坡比，勾股定理，對(duì)于（1），作，，根據(jù)勾股定理及坡比求出，再結(jié)合坡比，及勾股定理可得答案；對(duì)于（2），先求出在，再根據(jù)體積公式可得答案．【詳解】（1）如圖，分別過點(diǎn)A，E作于點(diǎn)于點(diǎn)．在中，坡比為，，根據(jù)勾股定理，得，解得.在中，坡比為，∴，根據(jù)勾股定理，得．答：的長(zhǎng)為；（2）根據(jù)題意可知四邊形是矩形，∴．在中，，，，土石方體積．答：所需土石方約為．變式7．（2023·安徽淮北·二模）某幼兒園準(zhǔn)備建造的一款滑滑梯的形狀如圖所示，AB為扶梯，為連廊，CD為滑梯，已知AD，，滑梯CD的坡度，扶梯，連廊，求建成后的滑滑梯的底部AD的長(zhǎng)(精確到(參考數(shù)據(jù)：，)【答案】【知識(shí)點(diǎn)】坡度坡比問題(解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題以及勾股定理等知識(shí)，由銳角三角函數(shù)定義求出、的長(zhǎng)，即可解決問題．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)分別作的垂線，則四邊形是矩形，則，在中，，∵滑梯CD的坡度，∴，∴例8.（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）大別山旅游資源豐富，某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗(yàn)，擬在如圖1景區(qū)內(nèi)修建觀光索道，設(shè)計(jì)示意圖如圖2所示，以山腳A為起點(diǎn)，沿途修建，；兩段長(zhǎng)度相等的觀光索道；最終到達(dá)山頂D處，中途設(shè)計(jì)了一段與平行的觀光平臺(tái)，長(zhǎng)度為．索道與的夾角為，與水平線的夾角為．A，B兩處的水平距離為，，垂足為F（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A，E，F(xiàn)在同一水平線上，計(jì)算結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）

(1)求索道的長(zhǎng)．(2)求水平距離的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)和三角函數(shù)值的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)值的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角函數(shù)值求解即可；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，先證四邊形是矩形，再求出的長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】（1）解：A，B兩處的水平距離為，索道與的夾角為，；（2）解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，

，，，，四邊形是矩形，，，，，，．【模型與方法總結(jié)】→常見模型1.常見模型2.（1）坡角:坡面與水平面所成的夾角.如圖中的（2）坡度:我們通常把坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度.坡度也可寫成的形式,在實(shí)際應(yīng)用中常表示成的形式（3）坡度與坡角的關(guān)系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大【題型五：光線問題】例9．如圖，小張同學(xué)去黃山旅游時(shí)，發(fā)現(xiàn)太陽光線照射在立柱（與水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且，經(jīng)測(cè)量，米，米，斜坡的坡角，求立柱的高．（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】米．【知識(shí)點(diǎn)】坡度坡比問題(解直角三角形的應(yīng)用）【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，證明四邊形是矩形，，，進(jìn)一步求出，，，即可得到立柱的高．【詳解】解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，則，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∵∴，∴，在中，米，斜坡的坡角，∴米，米，∴米，米，在中，米，米，∴米，∴米,即立柱的高為米．變式9-1．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖是某物理興趣小組利用矩形模塊設(shè)計(jì)的一個(gè)感光元件，平行光線從區(qū)域射入，線段為感光區(qū)域，已知，，，，則感光區(qū)域的長(zhǎng)度之和為多少？（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)、用勾股定理解三角形、根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形解三角形是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，在利用矩形性質(zhì)和平行線的性質(zhì)確定邊和角，利用勾股定理和三角函數(shù)求解即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，由題意得，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，在中，，在中，，在中，，∴，，∴．答：感光區(qū)域的長(zhǎng)度之和約為．變式9-2．（2024·安徽·中考真題）科技社團(tuán)選擇學(xué)校游泳池進(jìn)行一次光的折射實(shí)驗(yàn)，如圖，光線自點(diǎn)處發(fā)出，經(jīng)水面點(diǎn)折射到池底點(diǎn)處．已知與水平線的夾角，點(diǎn)到水面的距離m，點(diǎn)處水深為，到池壁的水平距離，點(diǎn)在同一條豎直線上，所有點(diǎn)都在同一豎直平面內(nèi)．記入射角為，折射角為，求的值（精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，三角函數(shù)，過點(diǎn)于，則，，由題意可得，，，，解求出、，可求出，再由勾股定理可得，進(jìn)而得到，即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)于，則，，由題意可得，，，，在中，，，∴，，∴，∴在，，∴，∴．變式9-3．（2024·安徽宿州·三模）光線從一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)時(shí)會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象．如圖1，我們把稱為折射率（法線與介質(zhì)相互垂直）．操作一：如圖2，在一個(gè)無水的水槽中，有一束激光恰好落在水槽點(diǎn)處．操作二；如圖3，保持激光的角度和高度不變，在水槽中加入一定量的水，水平面為，這束光發(fā)生折射，光線與交于點(diǎn)，折射光線為，為法線．已知四邊形是矩形，該束光從空氣到水中的折射率，，入射角，求的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】【知識(shí)點(diǎn)】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；設(shè)交于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)，入射角，得出，進(jìn)而求得，根據(jù)得出，進(jìn)而得出；依題意，四邊形是矩形，則，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，

設(shè)，，，，∴，，設(shè)，則，∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，∵，∴，則；依題意，是矩形，∴，∴，∴．【題型六：解直角三角形的其它應(yīng)用】例10．（2024·安徽·三模）如圖1是某地紅色廣場(chǎng)標(biāo)牌，將其紅色主體部分拍象為圖2，，，，米，米，求該標(biāo)牌的高（精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，，【答案】高約為7.6米【知識(shí)點(diǎn)】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)垂直定義可得，再根據(jù)題意可得：米，，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，從而可得，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，，由題意得：米，，，，，，在中，米，（米，（米，米，（米，在中，（米，（米，該標(biāo)牌的高約為7.6米．例11．（2024·寧夏銀川·一模）如圖一是屏幕投影儀投屏情景圖，圖二是其側(cè)面抽象示意圖，A，D，C是支架的一部分，投影光線與投影儀近似在同一直線上，已知與地面垂直，且的長(zhǎng)為，CD的長(zhǎng)為，距墻面的水平距離為，若投影光線與的夾角，與地面的夾角，求光源投屏最高點(diǎn)到地面的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】光源投屏最高點(diǎn)到地面的距離約為【知識(shí)點(diǎn)】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作，垂足為H，則，先在中，求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，再在中，求出的長(zhǎng)，從而根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作，垂足為H，由題意得：，∵，∴，在中，，∴，∵，∴，在中，，∴，∴光源投屏最高點(diǎn)到地面的距離約為．例12．（2024·安徽淮北·三模）如圖，某中式臺(tái)球桌的桌面是矩形，桌上有一個(gè)球P，球P到邊的中洞E的距離為，與的夾角為，球P到底洞D的距離為，與的夾角為，求球P到底洞A的距離．（結(jié)果保留根號(hào)，，，，，，）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，分別解，，求出的長(zhǎng)，勾股定理，求出的長(zhǎng)，即可．添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，則：，在中，，．

在中，，，答：球P到底洞A的距離為．1.如圖，為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座換水站，對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌，現(xiàn)測(cè)得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是，為使出水口的高度為，那么需要準(zhǔn)備的水管的長(zhǎng)為【答案】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，解根據(jù)直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可以求得的長(zhǎng)．【詳解】解：由題意可得，，，，，即需要準(zhǔn)備的水管的長(zhǎng)為，故答案為：2．（23-24九年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，在中，，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的面積（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】解非直角三角形、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)A作，垂足為D，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)；（2）利用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理分別求出和的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式即可求出答案．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于．在中，，，，∵在中，，；（2）∵在中，，，在中，根據(jù)勾股定理，，的面積．3.如圖，某風(fēng)景區(qū)有三個(gè)景點(diǎn)，，，景點(diǎn)在的北偏西60°方向、且在的北偏西15°方向上，景點(diǎn)在的正西方向上，千米，求景點(diǎn)到的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】千米【分析】作BD⊥AC于D點(diǎn)，根據(jù)題意可得∠DAB=30°，△BDC為等腰直角三角形，然后綜合直角三角形的三邊關(guān)系求解即可．【詳解】如圖所示，作BD⊥AC于D點(diǎn)，由題意可得：∠DAB=30°，∠ABC=90°+15°=105°，∴∠DBA=90°-∠DAB=60°，∠DBC=∠ABC-∠DBA=45°，∴△BDC為等腰直角三角形，在Rt△ABD中，∵∠DAB=30°，∴AB=2BD，BD=80千米，在等腰直角△BDC中，千米，∴景點(diǎn)到的距離為千米．【點(diǎn)睛】本題考查方位角的概念，以及解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，靈活結(jié)合題意構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．4.（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，山頂上有一座電視塔，為測(cè)量山高，在地面上引一條基線，測(cè)得，，．已知電視塔高，求山高的值．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）【答案】山高的值約為404米【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)米，由三角函數(shù)得（米，再證是等腰直角三角形，得，由列出方程，解方程即可得到山高的值．【詳解】解：設(shè)米，在中，，；在中，，∴，∴，∴∴，即解得：（米），即山高的值約為404米．5．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）如圖，燈塔位于港口的北偏東方向，且之間的距離為，燈塔位于燈塔的正東方向，且之間的距離為．一艘輪船從港口出發(fā)，沿正南方向航行到達(dá)處，測(cè)得燈塔在北偏東方向上，燈塔到直線的距離為．

(1)求的長(zhǎng)；(2)求的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)km(2)km【知識(shí)點(diǎn)】方位角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟悉掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）用正弦三角函數(shù)求解即可．（2）結(jié)合第一問，求解長(zhǎng)度，用正切三角函數(shù)求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，，，．（2），．6．（22-23九年級(jí)上·安徽滁州·期末）“蛟龍?zhí)枴陛d人潛水器是中國探索深藍(lán)的利器．如圖，在某次任務(wù)中，當(dāng)蛟龍?zhí)栂聺摰近c(diǎn)B處時(shí)，科研入員在海面的觀察點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)B的俯角為，當(dāng)蛟龍?zhí)柪^續(xù)垂直下潛2千米到達(dá)海底C處時(shí)，在觀察點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)C的俯角為，求點(diǎn)C到海面的深度．（結(jié)果精確到千米）參考數(shù)據(jù)：，，，

【答案】點(diǎn)C到海面的深度為千米【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，設(shè)千米，則千米，在中，，解得，在中，，求出x的值，即可得出答案．【詳解】解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，如圖

由題意得，，，，千米，設(shè)千米，則千米，在中，，解得，在中，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解且符合題意，∴千米，∴點(diǎn)C到海面的深度約為千米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．7．（2024·安徽蚌埠·三模）小小遮陽棚，彰顯大民生．為進(jìn)一步提升城市宜居水平，不斷強(qiáng)化城市功能設(shè)施配套建設(shè)，各地積極修建遮陽棚．如圖，遮陽棚高為4米，長(zhǎng)為5米，與水平面的夾角為，當(dāng)太陽光線沿方向，且與地面的夾角為時(shí)，求此時(shí)遮陽棚與太陽光線圍成的四邊形的面積．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】【知識(shí)點(diǎn)】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用：其他問題，先算出米，米，根據(jù)，得出米，因?yàn)樵?，得出米，最后運(yùn)用割補(bǔ)法進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，于點(diǎn)H，

在中，則米，∴米，∴米，在中，米，∴．8.（2024·安徽六安·二模）如圖，某測(cè)繪小組計(jì)劃利用無人機(jī)測(cè)量某段山體的長(zhǎng)度AB，無人機(jī)飛行速度為，無人機(jī)先是懸停在山體邊緣A點(diǎn)正上方C處，然后沿山體的平行方向飛行18s到D處懸停，測(cè)得山體邊緣A點(diǎn)的俯角為，然后繼續(xù)向前飛行到達(dá)E處，測(cè)得山體邊緣B點(diǎn)的俯角為．試求山體的長(zhǎng)度．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】山體的長(zhǎng)度為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，矩形的性質(zhì)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，求得，過作于，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論，熟練掌握正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：無人機(jī)飛行速度為，，，，，過作于，則，，，，，，答：山體的長(zhǎng)度為．9．（2024·安徽合肥·一模）隨著測(cè)量技術(shù)的發(fā)展，測(cè)量飛機(jī)可以實(shí)現(xiàn)精確的空中測(cè)量．如圖，為測(cè)量我國某海島兩端A、B的距離，我國一架測(cè)量飛機(jī)在距海平面垂直高度為2千米的點(diǎn)C處，測(cè)得端點(diǎn)A的俯角為，然后沿著平行于的方向飛行千米到點(diǎn)D，求某海島兩端A、B的距離．（結(jié)果精確到千米，參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】千米【知識(shí)點(diǎn)】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)【分析】本題考查了俯角的定義、解直角三角形與矩形的性質(zhì)，注意能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．首先過點(diǎn)作于點(diǎn)，過