第23章解直角三角形（高效培優(yōu)單元測試·提升卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的）1．為銳角，且，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵，∴，故選：C．2．如圖，河壩橫斷面迎水坡的坡度，壩高，則坡面的長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：在中，，，，．故選：D．3．在中，，且，則的值是（

）A． B． C． D．3【答案】C【詳解】解：如圖，

在中，，，∴設(shè)，則，∴，∴．故選：C．4．如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹的高度，在點處測得樹頂?shù)难鼋菫?，在點處測得樹頂?shù)难鼋菫?，且，，三點在同一條直線上．若樹高米，則點，之間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．16米【答案】B【詳解】解：由題意得：，，在中，，，在中，，，，米，故選：B．5．在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，取格點D，連接，根據(jù)題意得：，，，∴，∴，∴，故選：D．6．定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”，若等腰是“倍長三角形”，則底角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵等腰是“倍長三角形”，設(shè)，當(dāng)時，，不能組成三角形；當(dāng)時，能組成三角形，過點A作于點D，∴，∴．在中，，∴．故選：C．7．如圖，在反比例函數(shù)圖象上有一動點，連接并延長交圖象的另一支于點，在第一象限內(nèi)有一點，滿足，當(dāng)點運動時，點始終在函數(shù)的圖象上運動，若，則的值為（

）A． B．4 C． D．8【答案】D【詳解】解：如圖，作軸于點，作軸于點，連接，則有，∴，由題意得，點關(guān)于原點對稱，∴，∵∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵在中，，∴，∴，，∵點在反比例函數(shù)圖象上，點始終在函數(shù)的圖象上運動，∴，，∴，∴，∵點在第一象限，∴．故選：D．8．如圖，直線分別與x軸、y軸交于點B，A，直線分別與x軸、y軸交于點C，A，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：令，則，，，令，則，解得：，，，令，則，解得：，，，，，，，如圖，過點作于點，，，，，，故選項不符合題意；，，，故選項不符合題意；，

，，故選項不符合題意；，

，，故選項符合題意；故選：．9．如圖，與是四邊形的對角線，，已知，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖，過點C作，使，連接，∴，∴，即，又∵，，，∴，在中，，在中，由三邊關(guān)系，得（當(dāng)點E位于上時，等號成立），故的最大值．故選：A．10．如圖（1），在中，點為其中心，，，動點從點出發(fā)，沿勻速運動到點，再從點沿直線運動到上的點．設(shè)點運動的路程為，的面積為，則與的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖（2）所示，則的長度為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】解：如圖，連接，過作于，結(jié)合題意可得三點共線，由函數(shù)圖象可得：當(dāng)時，動點從點出發(fā)，沿勻速運動到點，∴，當(dāng)時，動點從點沿直線運動到上的點，此時的面積不變，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；故選B二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．如圖，某船由西向東航行，在點測得小島在北偏東方向上，船航行了海里后到達點，這時測得小島在北偏東方向上，船繼續(xù)航行到點時，測得小島恰好在船的正北方，則此時船到小島的距離為海里．

【答案】【詳解】解：設(shè)海里，依題意得，，，海里，海里，海里，海里，即，，故答案為：．12．在中，，都是銳角，且，則的度數(shù)為．【答案】/75度【詳解】解：∵，且，∴，即，∴，∴；故答案為．13．如圖，在中，，點D是的中點，過點B作的垂線，垂足為E，則．【答案】【詳解】解：在中，∵，即，設(shè)（），則，由勾股定理得，即，解得，∴，，，∵點D是的中點，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．14．如圖，在正方形紙片中，是邊的中點，將正方形紙片沿折疊，點落在點處．

（1）的值為；（2）如圖，連接并延長交于點，則的值為．【答案】【詳解】（1）解：如圖，連接，延長交于點，

∵是邊的中點，∴，∵將正方形紙片沿折疊，點落在點處，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，設(shè)正方形的邊長為，∴，，，在中，，即，解得：，∴，，故．故答案為：．（2）解：如圖，過點作于點，過點作于點，

∵將正方形紙片沿折疊，點落在點處，∴，在中，，，∴，∴，∴，設(shè)正方形的邊長為，在中，，∵，∴，∴，在中，，∵，，∴，，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，故．故答案為：．三.解答題（本大題共9題，滿分90分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．計算：(1)；(2)；【詳解】（1）解：；（2）解：．16．如圖，在中，，，(1)求的長．(2)利用此圖求的精確值．【詳解】（1）解：，，，，，，∵，，∴，即，∴，，（舍去），；（2）解：過點B作，交于點E，，，，，，，．17．如圖1所示，某種型號的機器人在展示中國功夫時的精彩瞬間，圖2是其瞬間的幾何示意圖，機器人的一腿直立于地面，小腿部分剛好與地面平行，上身垂直于大腿，即于點，，于點是機器人小腿上踢后與大腿在同一直線的瞬間．(這里的小腿都包括腳面部分，上身包括頭部部分)．已知，，求∶(1)的度數(shù)(2)點P距離地面的高度．(結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)∶)【詳解】（1）解：如圖所示，過點A作，∵，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解；如圖所示，過點P作交延長線于T，∵，∴，∴，在中，，∴，答：點P距離地面的高度約為．18．如圖，一架無人機靜止懸浮在空中處，小明在山坡A處測得無人機的仰角為，小亮在水平地面處測得無人機的仰角為，已知山坡的坡度，處到地面的距離為10米，水平地面長為30米．(1)求山坡的長；(2)求此時無人機離地面的高度的長（精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【詳解】（1）解：如圖，作交的延長線于，由題意可得：米，∵山坡的坡比，∴，∴米，∴米，∴山坡的長為米；（2）解：如圖：延長交于點，則，則：，∴四邊形為矩形，∴米，，∵，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)米，則米，米，∵，∴，∴米，即此時無人機離地面的高度的長米．19．某海域發(fā)生事故，故障船只位于處（位置如圖），位于觀測站的北偏西方向，甲、乙兩艘救援船分別從兩地同時出發(fā)，甲在地位于觀測站的正北方向處，乙在地位于觀測站的北偏西方向，兩船均以直線航行前往事故點處救援，15分鐘后兩船同時到達處．(1)求甲船的航行速度；(2)計算乙船從處航行到處的距離．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留一位小數(shù)）【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知，，，答：甲船的航行速度為．（2）解：如圖，過點作，交的延長線于點，，是等腰直角三角形，．設(shè)，過點作于點，得矩形，，．在Rt中，，，，，，．答：乙船從處航行到處的距離約為.20．如圖，在中，，，，分別是，，的對邊．(1)求的值；(2)（填空）當(dāng)為銳角時，____________；(3)利用上述規(guī)律，求式子的值．【詳解】（1）解：在中，，，；所以：；（2）解：當(dāng)為銳角時，，故答案為1；（3）解：==（44個1相加）=．21．已知正方形中，E為邊上一點，E點關(guān)于直線的對稱點為F點，射線交的延長線于點G，連接交延長交于點H，連接交于點M．(1)若，①求證：；②求的值；(2)求證：M為的中點．【詳解】（1）①證明：∵是正方形，∴，，，又，，在和中，，．又E點與F點關(guān)于對稱，；②，，，又∵，，，即，設(shè)，則，解得，；（2）證明：如圖，延長、交于點P．，，，∵，，，又，D為的中點，即，∵，∴，∴，，即M為的中點．22．已知拋物線交x軸于點，點，交y軸于點，連接．(1)求該拋物線的表達式；(2)點P是拋物線上一動點，且在直線的上方（不與點重合），連接．①求的面積的最大值；②若，求的取值范圍．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點，∴二次函數(shù)的表達式可寫為，∵點在拋物線上，∴，解得：，∴二次函數(shù)的表達式為；（2）解：①設(shè)直線的表達式為，把和代入，得：，解得：，∴直線的表達式為．如圖：過點P作軸于點R，交于點Q，設(shè)點P的坐標為，則點Q的坐標為，∴．∴．∵動點P在直線的上方（不與B，C重合），∴．∴當(dāng)時，面積取得最大值，最大值是；②∵軸，∴軸，∴．∴∵，，∴在中，，∵，∴，∴．23.如圖，在矩形中，點E是的中點，連接，，過點B作的垂線交，于點F，G．設(shè)．

(1)求證：；(2)如圖1，連接，若，求m的值；(3)如圖2，若平分，過點D作的垂線交，及的延長線分別于點P，H，M．若，求的長．