常微分方程考研講義第六章非線性微分方程與穩(wěn)定性第六章非線性微分方程與穩(wěn)定性一、核心概念與基本定義1.非線性微分方程的一般形式考研重點(diǎn)考察n階非線性自治系統(tǒng)，標(biāo)準(zhǔn)形式為：\dot{x}=f(x)其中x=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T為n維狀態(tài)向量，f(x)=(f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x))^T為非線性向量函數(shù)，滿足解的存在唯一性條件（如李普希茨條件）。2.平衡狀態(tài)與受擾運(yùn)動(dòng)平衡狀態(tài)（奇點(diǎn)）：滿足f(x_e)=0的點(diǎn)x_e，考研中常通過坐標(biāo)變換將x_e轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)O(0,0,\dots,0)，簡化分析。受擾運(yùn)動(dòng)：初始狀態(tài)偏離平衡狀態(tài)后的運(yùn)動(dòng)，記為\varphi(t;x_0,t_0)，表示初始時(shí)刻t_0從x_0出發(fā)的解軌線。3.李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性（考研核心定義）設(shè)平衡狀態(tài)為原點(diǎn)x_e=0，定義如下四類穩(wěn)定性（必考考點(diǎn)）：穩(wěn)定性類型數(shù)學(xué)定義幾何意義穩(wěn)定對任意\varepsilon>0，存在\delta(\varepsilon,t_0)>0，當(dāng)\|x_0\|時(shí)，對所有t\geqt_0，有|\varphi(t;x_0,t_0)|受擾軌線始終局限在原點(diǎn)附近的小鄰域內(nèi)漸近穩(wěn)定1.穩(wěn)定；2.當(dāng)t\to+\infty時(shí)，\varphi(t;x_0,t_0)\to0受擾軌線最終收斂到原點(diǎn)大范圍漸近穩(wěn)定（全局漸近穩(wěn)定）對任意x_0\in\mathbb{R}^n，均滿足漸近穩(wěn)定所有初始擾動(dòng)下軌線都收斂到原點(diǎn)（必要條件：僅一個(gè)平衡狀態(tài)）不穩(wěn)定存在\varepsilon_0>0，對任意\delta>0，存在x_0滿足\|x_0\|存在t_1>t_0時(shí)|\varphi(t_1;x_0,t_0)|\geq\varepsilon_0$存在任意小的初始擾動(dòng)，導(dǎo)致軌線偏離原點(diǎn)鄰域二、穩(wěn)定性分析的核心方法（考研重中之重）1.李雅普諾夫第一方法（間接法）——線性化方法適用于非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近的局部穩(wěn)定性分析，步驟如下：線性化處理：將非線性函數(shù)f(x)在原點(diǎn)展開為泰勒級數(shù)，忽略高階無窮?。篺(x)=Ax+o(\|x\|)其中A=\left.\frac{\partialf}{\partialx}\right|_{x=0}為雅可比矩陣（考研高頻計(jì)算點(diǎn)）。穩(wěn)定性判定（基于線性系統(tǒng)特征值）：若A的所有特征值實(shí)部均小于0→原非線性系統(tǒng)原點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定；若A存在實(shí)部大于0的特征值→原非線性系統(tǒng)原點(diǎn)不穩(wěn)定；若A的特征值實(shí)部非正，但存在零實(shí)部特征值→線性化方法失效，需用第二方法。2.李雅普諾夫第二方法（直接法）——構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)考研核心方法，無需求解方程直接判定穩(wěn)定性，核心是構(gòu)造“能量函數(shù)”V(x)，滿足以下判定定理（必考）：（1）基本定理（漸近穩(wěn)定判定）設(shè)V(x)是定義在原點(diǎn)鄰域D內(nèi)的連續(xù)可微函數(shù)，滿足：V(0)=0；對任意x\inD\setminus\{0\}，V(x)>0（正定）；對任意x\inD\setminus\{0\}，\dot{V}(x)=\frac{dV}{dt}=\sum_{i=1}^n\frac{\partialV}{\partialx_i}f_i(x)<0（負(fù)定）；則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。若D=\mathbb{R}^n且當(dāng)\|x\|\to+\infty時(shí)V(x)\to+\infty，則原點(diǎn)是大范圍漸近穩(wěn)定的。（2）常見李雅普諾夫函數(shù)構(gòu)造（考研技巧）二次型函數(shù)：V(x)=x^TPx（P為正定對稱矩陣），適用于線性系統(tǒng)及弱非線性系統(tǒng)；冪函數(shù)型：V(x)=a_1x_1^2+a_2x_2^2+\dots+a_nx_n^2（a_i>0），適用于低階非線性系統(tǒng)；結(jié)合方程結(jié)構(gòu)構(gòu)造：利用非線性項(xiàng)的齊次性、對稱性設(shè)計(jì)V(x)（如單擺方程常用V(x)=\frac{1}{2}\dot{x}_1^2+g(1-\cosx_2)）。3.特殊非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性（考研常考題型）平面非線性系統(tǒng)：通過分析奇點(diǎn)類型（結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)、中心）判定穩(wěn)定性，結(jié)合極限環(huán)存在性（龐加萊-本迪克松定理）；擾動(dòng)系統(tǒng)：形如\dot{x}=Ax+g(x)（g(x)為高階小擾動(dòng)），若A漸近穩(wěn)定且g(x)滿足\lim_{\|x\|\to0}\frac{\|g(x)\|}{\|x\|}=0，則原點(diǎn)漸近穩(wěn)定。三、考研高頻考點(diǎn)與題型解析1.核心考點(diǎn)清單考點(diǎn)類型考察頻率題型形式李雅普諾夫穩(wěn)定性定義辨析★★★選擇題、判斷題雅可比矩陣計(jì)算與線性化穩(wěn)定性判定★★★★計(jì)算題、證明題李雅普諾夫函數(shù)構(gòu)造與穩(wěn)定性證明★★★★★大題、壓軸題平面非線性系統(tǒng)奇點(diǎn)分類與穩(wěn)定性★★★★計(jì)算題、畫圖題2.典型例題（考研真題風(fēng)格）例題1：線性化方法判定穩(wěn)定性求系統(tǒng)\dot{x}_1=-x_1+x_2+x_1^2，\dot{x}_2=x_1-x_2-x_2^3的平衡狀態(tài)并判定穩(wěn)定性。解：求平衡狀態(tài)：令\dot{x}_1=\dot{x}_2=0，解得原點(diǎn)(0,0)為平衡狀態(tài)；計(jì)算雅可比矩陣：A=\begin{pmatrix}\frac{\partialf_1}{\partialx_1}&\frac{\partialf_1}{\partialx_2}\\\frac{\partialf_2}{\partialx_1}&\frac{\partialf_2}{\partialx_2}\end{pmatrix}_{(0,0)}=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}特征值分析：\det(A-\lambdaI)=\lambda^2+2\lambda=0，得\lambda_1=0，\lambda_2=-2（存在零實(shí)部特征值）；結(jié)論：線性化方法失效，需構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)（如V(x)=\frac{1}{2}x_1^2+\frac{1}{2}x_2^2，計(jì)算得\dot{V}(x)=-x_1^2-x_2^2+x_1^3-x_2^4，在原點(diǎn)鄰域內(nèi)負(fù)定，故原點(diǎn)漸近穩(wěn)定）。例題2：李雅普諾夫函數(shù)構(gòu)造證明系統(tǒng)\dot{x}_1=-x_1+x_1x_2^2，\dot{x}_2=-x_2^3的原點(diǎn)是大范圍漸近穩(wěn)定的。證明：構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)V(x)=\frac{1}{2}x_1^2+\frac{1}{4}x_2^4（正定，且\|x\|\to+\infty時(shí)V(x)\to+\infty）；計(jì)算導(dǎo)數(shù)：\dot{V}(x)=x_1\dot{x}_1+x_2^3\dot{x}_2=x_1(-x_1+x_1x_2^2)+x_2^3(-x_2^3)=-x_1^2(1-x_2^2)-x_2^6；判定負(fù)定：在原點(diǎn)鄰域|x_2|1-x_2^2>0，故\dot{V}(x)\|x\|\to+\infty時(shí)，若|x_2|\geq1，則-x_1^2(1-x_2^2)=-x_1^2(-(x_2^2-1))=x_1^2(x_2^2-1)，但-x_2^6主導(dǎo)，仍有\(zhòng)dot{V}(x)；結(jié)論：原點(diǎn)大范圍漸近穩(wěn)定。四、復(fù)習(xí)策略與易錯(cuò)點(diǎn)提醒易錯(cuò)點(diǎn)：混淆“穩(wěn)定”與“漸近穩(wěn)定”：穩(wěn)定僅要求軌線不偏離，漸近穩(wěn)定需額外收斂；線性化方法