第頁中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《等腰三形》專項測試卷及答案等腰三角形考點1等腰三角形的性質(zhì)和判定1、如圖，中，，，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，點B，點C的對應(yīng)點分別為點D．點E連接．點D恰好落在線段上，則的長為（）A. B.4 C. D.62、如圖，在三角形紙片中，，，將紙片沿著過點A的直線折疊，使點落在邊上的點處，折痕交于點；再將紙片沿著過點的直線折疊，使點落在邊上的點處，折痕交于點．下列結(jié)論成立的是（）A. B.C. D.3、下列命題的逆命題為真命題的是（多選）（）A.若，則 B.若，則C.三角形的中位線平行于第三邊 D.等腰三角形的兩個底角相等4、如圖，A、B、C是上的點，是圓的直徑，在延長線上取一點D，使，連接，則為（）A. B. C. D.5、若等腰三角形的一個底角為，則它的頂角的度數(shù)是______．6、定義：有兩個內(nèi)角的差為的三角形叫做“反直角三角形”．如圖，在中，，，點為邊上一點，若為“反直角三角形”，則的長為___________．7、如圖，在等腰直角三角形中，，，是的中點，是邊上的動點，作，交于點，延長到點，使得．當面積最大時，的長等于_____．8、.一種遮陽傘如圖，遮陽傘支架垂直于地面，在上，，、、三點共線，．當太陽光線與垂直時，它與地面的夾角正好為，則落在地面上的投影_____．9、如圖，在中，，點D在邊上，，，，則的值為________；點E在的延長線上，連接，若，則的長為________．10、綜合與探究【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，小軍用兩個大小不同的等腰直角三角板拼接成一個四邊形．【抽象定義】以等腰三角形為邊向外作等腰三角形，使該邊所對的角等于原等腰三角形的頂角，此時該四邊形稱為“雙等四邊形”，原等腰三角形稱為四邊形的“伴隨三角形”．如圖2，在中，，，．此時，四邊形是“雙等四邊形”，是“伴隨三角形”．【問題解決】如圖3，在四邊形中，，，．求：①與的位置關(guān)系為：__________：②_____．（填“>”，“”或“”）【方法應(yīng)用】①如圖4，若，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，點恰好落在邊上，求證：四邊形是雙等四邊形．②如圖5，在等腰三角形中，，，，在平面內(nèi)找一點，使四邊形是以為伴隨三角形的雙等四邊形，若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由．等腰三角形考點2等邊三角形的性質(zhì)和判定1、如圖，甲、乙、丙三人分別沿不同的路線從地到地．甲：，路程為．乙：，路程為．丙：，路程為．下列關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.2、如圖，在等邊三角形的三邊上，分別取點，使．若，的面積為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為（） B. C. D.3、如圖，，點A在射線上，以點O為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點B．若分別以點A，B為圓心，長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點C，連接，則的大小為（）A. B. C. D.4、一個矩形的一條對角線長為10，兩條對角線的一個交角為，則這個矩形的面積是（）A.25 B. C. D.5、如圖，在中，，以為圓心，長為半徑作弧，交于點，則長為（）A.5 B.4 C.3 D.26、如圖，在四邊形中，，點E在線段上，．若使成為等邊三角形，可增加的一個條件是______．7、如圖，點在同側(cè)，，則_________．8、如圖，在中，，，．動點，分別在邊，上，且，以為邊作等邊，使點始終在的內(nèi)部或邊上．當?shù)拿娣e最大時，的長為______．9、在邊長為7的等邊三角形中，點在上，．點是直線上的一個動點，連接，以為邊在的左側(cè)作等邊三角形，連接，當為直角三角形時，則的長是________．10、如圖，是等邊三角形，D是的中點，，垂足為C，是由沿方向平移得到的．已知過點A，交于點G．（1）求的大??；（2）求證：是等邊三角形．11、在平面直角坐標系中，為原點，等邊的頂點，點在第一象限，等邊的頂點，頂點在第二象限．（1）填空：如圖①，點的坐標為____________，點的坐標為____________；（2）將等邊沿水平方向向右平移，得到等邊，點的對應(yīng)點分別為．設(shè)．①如圖②，若邊與邊相交于點，當與重疊部分為四邊形時，試用含有的式子表示線段的長，并直接寫出的取值范圍；②設(shè)平移后重疊部分的面積為，當時，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．12、如圖，在中，，點O在邊上，以點O為圓心，長為半徑的半圓，交于點D，與相切于點E，連接（1）求證：．（2）若，求四邊形的面積．等腰三角形考點3線段的垂直平分線1、在如圖的房屋人字梁架中，，點在上，下列條件不能說明的是（）A. B. C. D.平分2、如圖，在中，，垂直平分線分別交、于點D、E，的垂直平分線分別交、于點F、G，則的周長為（）A.5 B.6 C.7 D.83、如圖，在四邊形中，對角線與互相垂直平分，，則四邊形的周長為（）A.6 B.9 C.12 D.184、如圖，內(nèi)接于．分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點，作直線交于點，連接并延長交于點，連接，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.參考答案等腰三角形考點1等腰三角形的性質(zhì)和判定1、如圖，中，，，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，點B，點C的對應(yīng)點分別為點D．點E連接．點D恰好落在線段上，則的長為（）A. B.4 C. D.6【答案】B【解析】【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由等腰三角形的性質(zhì)得；再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，從而得，故可得，從而可求出結(jié)論．【詳解】解：在中，，∴；由旋轉(zhuǎn)可知，∴，由旋轉(zhuǎn)得：，∴，∴，∴，故選：B．2、如圖，在三角形紙片中，，，將紙片沿著過點A的直線折疊，使點落在邊上的點處，折痕交于點；再將紙片沿著過點的直線折疊，使點落在邊上的點處，折痕交于點．下列結(jié)論成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了三角形的翻折問題，垂直的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形中正弦值的求解，在翻折過程中由邊長和角度不變，可求解翻折前后的角度是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)是由翻折得到可求解的度數(shù)，由此判斷C選項；根據(jù)翻折前后角度的求解，可求解與的度數(shù)，由“等角對等邊”可判斷A選項，求解的度數(shù)可判斷B選項；假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)直角三角形中的正弦值求解邊長即可判斷D選項．【詳解】解：C選項，在中，，，∴，∵是由翻折得到，∴，故C選項錯誤；A選項，∵是由翻折得到，，∴，∴，∴，∵是由翻折得到，∴，∴，在中，，∵，∴，故A選項正確；B選項，∵，即，∴與不垂直，故B錯誤；D選項，過點G作交于點M，如圖，假設(shè)，∵是由翻折得到，∴，∵，∴為等腰三角形，∵，∴，即，∴，在中，，在中，，∵，∴，又∵，與已知不符，故D選項錯誤．故選：A．3、下列命題的逆命題為真命題的是（多選）（）A.若，則 B.若，則C.三角形的中位線平行于第三邊 D.等腰三角形的兩個底角相等【答案】AD【解析】【分析】本題考查判斷逆命題的真假，分別寫出各命題的逆命題，根據(jù)等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，三角形的中位線定義，等腰三角形的判定，判斷真假即可．【詳解】解：A、逆命題為若，則，為真命題，符合題意．B、逆命題為若，則，為假命題，例如，，，但是，不符合題意；C、逆命題為“平行于三角形第三邊的線段是中位線”，為假命題，不符合題意；D、逆命題為“若三角形有兩個角相等，則為等腰三角形”．由等角對等邊可知成立，為真命題，符合題意；故選：AD．4、如圖，A、B、C是上的點，是圓的直徑，在延長線上取一點D，使，連接，則為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意可得，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：是圓的直徑，，，，，故選：C．5、若等腰三角形的一個底角為，則它的頂角的度數(shù)是______．【答案】【解析】【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形兩底角相等，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，進行求解即可．【詳解】解：∵等腰三角形的一個底角為，∴另一個底角的度數(shù)也為，∴它的頂角的度數(shù)是；故答案為：．6、定義：有兩個內(nèi)角的差為的三角形叫做“反直角三角形”．如圖，在中，，，點為邊上一點，若為“反直角三角形”，則的長為___________．【答案】或【解析】【分析】題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，理解“反直角三角形”的定義，利用分類討論的思想解決問題是關(guān)鍵．分情況討論：①當時，過點作于點，由等腰三角形的性質(zhì)得到，證明，得到，即可求出的長；②當時，過點作交于點，由等角對等邊得到，再證明，設(shè)，進而得出，，根據(jù)求出的值，即可求出的長；③當時，利用銳角三角函數(shù)，得出，，即此種情況不存在；④當時，同③理可證，此種情況不存在；即可得解．【詳解】解：，，，，，若為“反直角三角形”，①當時，過點作于點，，，，，，，，，，，，；②當時，過點作交于點，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，；③當時，，，且，，，若，則，即，此種情況不存在；④當時，當點與點重合時，最小，此時，同③理可證，此種情況不存在；綜上可知，的長為或，故答案為：或．7、如圖，在等腰直角三角形中，，，是的中點，是邊上的動點，作，交于點，延長到點，使得．當面積最大時，的長等于_____．【答案】2【解析】【分析】連接，取的中點，連接并延長交于點，證明，得到，證明，得到，，進而得到，推出為等腰直角三角形，求出，設(shè)，則：，，根據(jù)面積，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可．【詳解】解：連接，取的中點，連接并延長交于點，∵，，是的中點，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵為的中點．∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，，∴，即：，∵，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)，則：，，∴，∴面積，∴當時，面積的面積最大；此時；故答案為：2．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，斜邊上的中線，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定性質(zhì)，二次函數(shù)求最值，熟練掌握相關(guān)知識點，合理添加輔助線，確定動點的位置，將三角形的面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，是解題的關(guān)鍵．8、.一種遮陽傘如圖，遮陽傘支架垂直于地面，在上，，、、三點共線，．當太陽光線與垂直時，它與地面的夾角正好為，則落在地面上的投影_____．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)、解直角三角形，解題時要熟練掌握并能靈活運用勾股定理是關(guān)鍵．依據(jù)題意，作于，于，則，然后求出，故，從而得到，可得，再證明四邊形是矩形，故，最后在中，進而可得，故計算可以得解．【詳解】解：由題意，作于，于，．，．．，．．，．．．，四邊形是矩形．．在中，，．故答案為：．9、如圖，在中，，點D在邊上，，，，則的值為________；點E在的延長線上，連接，若，則的長為________．【答案】①.4②.##【解析】【分析】作，垂足分別為，易得四邊形為矩形，得到，證明為等腰直角三角形，得到，三線合一得到，，證明，得到，設(shè)，，求出的長，正切的定義求出，勾股定理求出的值，進而求出的值，證明，列出比例式進行求解即可．【詳解】解：作，垂足分別為，則四邊形為矩形，∴，，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴設(shè)，，則：，，∴，∴，∴在中，，由勾股定理，得：，∴（負值舍去），∴，，∵，，，∴，又∵，∴，∴，∴，，∴，解得：（舍去）或；故答案為：4，．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識點，綜合性強，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識點，添加輔助線，構(gòu)造特殊圖形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵．10、綜合與探究【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，小軍用兩個大小不同的等腰直角三角板拼接成一個四邊形．【抽象定義】以等腰三角形為邊向外作等腰三角形，使該邊所對的角等于原等腰三角形的頂角，此時該四邊形稱為“雙等四邊形”，原等腰三角形稱為四邊形的“伴隨三角形”．如圖2，在中，，，．此時，四邊形是“雙等四邊形”，是“伴隨三角形”．【問題解決】如圖3，在四邊形中，，，．求：①與的位置關(guān)系為：__________：②_____．（填“>”，“”或“”）【方法應(yīng)用】①如圖4，若，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，點恰好落在邊上，求證：四邊形是雙等四邊形．②如圖5，在等腰三角形中，，，，在平面內(nèi)找一點，使四邊形是以為伴隨三角形的雙等四邊形，若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由．【答案】問題解決：①互相平行；②=；【方法應(yīng)用】①見解析；②或或【解析】【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．問題解決：①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，從而可得；②證明得出，即，由可得結(jié)論；方法應(yīng)用：①根據(jù)雙等四邊形的定義進行證明；②分，或，或，三種情況討論求解即可．【詳解】解：[問題解決]①∵，∴，∴，∴；②∵，，∴，，，，；故答案為：①平行；②＝；方法應(yīng)用：①為旋轉(zhuǎn)得到，，令，則，，，由旋轉(zhuǎn)得，，又，∴，，，，四邊形為雙等四邊形；②作于點，，，，，設(shè)，則：，在中，，即，解得：，，，若，時，，若，時，，作于點，∴，，，若，時，如圖，，，，，．綜上所述：滿足條件時，或或．等腰三角形考點2等邊三角形的性質(zhì)和判定1、如圖，甲、乙、丙三人分別沿不同的路線從地到地．甲：，路程為．乙：，路程為．丙：，路程為．下列關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形三邊之間關(guān)系，解題的關(guān)鍵是通過設(shè)的長度為a，結(jié)合圖形性質(zhì)分別計算三人的路程并比較．設(shè)，利用等邊三角形性質(zhì)得出甲、乙的路程均為，分析四邊形，得出丙的路程小于，比較得出．【詳解】設(shè)的長度為a，因為有兩個角是，故是等邊三角形，∴；由于和是等邊三角形，設(shè)的邊長為m，可得，∴；丙路程中，延長與，交于點I（如圖），∵，兩邊同加得，∴，又∴，又，因此，，只有D選項正確．故選：D．2、如圖，在等邊三角形的三邊上，分別取點，使．若，的面積為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為（） B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)，并靈活應(yīng)用．利用等邊三角形的性質(zhì)得出相等的邊和角，通過證明全等三角形得出對應(yīng)邊相等，判定是等邊三角形，作垂線利用面積公式求出和的面積，即可得到函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷圖象即可．【詳解】解：是等邊三角形，∴，∵，即，，∴，過點A作于G點，則，∴∴，∴，∴，過點D作于點H，則，∴，∴，∴，∴，∴'，∴y關(guān)于x的函數(shù)圖象開口向上，當時，當時，當時y的最小值為，∴選項A，C，D均不符合題意，選項B符合題意，故選：B3、如圖，，點A在射線上，以點O為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點B．若分別以點A，B為圓心，長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點C，連接，則的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識點，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．連接，則由作圖可得，那么為等邊三角形，可證明，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．詳解】解：如圖，連接，由作圖可得，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，，∴，故選：B．4、一個矩形的一條對角線長為10，兩條對角線的一個交角為，則這個矩形的面積是（）A.25 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，正確畫出圖形并靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．如圖：根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等求出，然后判斷出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，再利用勾股定理列式求出，然后根據(jù)矩形的面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，由勾股定理得，，∴矩形的面積．故選：B．5、如圖，在中，，以為圓心，長為半徑作弧，交于點，則長為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)作圖得到，進而推出為等邊三角形，得到，再根據(jù)線段的和差關(guān)系進行求解即可．【詳解】解：根據(jù)作圖可知：，∵，∴為等邊三角形，∴，∴；故選D．6、如圖，在四邊形中，，點E在線段上，．若使成為等邊三角形，可增加的一個條件是______．【答案】，（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查等邊三角形的判定，根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到，然后增加，即可根據(jù)三個角是的三角形是等邊三角形．【詳解】解：增加，理由為：∵，∴，又∵，∴，∴，∴是等邊三角形，故答案為：．7、如圖，點在同側(cè)，，則_________．【答案】##【解析】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定以及勾股定理，過點作垂線交于點，先證明，得到，證明在同一線上，根據(jù)勾股定理得到，最后通過線段和和差即可求．【詳解】解：過點作垂線交于點，即，即是的垂直平分線，∵，在同一線上，，故答案為：．8、如圖，在中，，，．動點，分別在邊，上，且，以為邊作等邊，使點始終在的內(nèi)部或邊上．當?shù)拿娣e最大時，的長為______．【答案】5【解析】【分析】如圖，在中，得出，根據(jù)是等邊三角形，得出，連接，證明，得出，則，作的平分線交于點，證明是等邊三角形，得出，根據(jù)，得出直線和直線重合，確定點在上運動，根據(jù)的面積，得出最大時，的面積最大，當點與點重合時，的面積最大，此時，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，則，得出．【詳解】解：如圖，在中，，，，則，∵是等邊三角形，∴，連接，∵，∴，∴，∴，作的平分線交于點，∵，∴是等邊三角形，∵，∴直線和直線重合，即點在上運動，∵的面積，則最大時，的面積最大，根據(jù)題意可得當點與點重合時，最大，即的面積最大，此時，如圖，則，∴，∴，故答案為：5．【點睛】該題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形等知識點，確定點的軌跡是解題的關(guān)鍵．9、在邊長為7的等邊三角形中，點在上，．點是直線上的一個動點，連接，以為邊在的左側(cè)作等邊三角形，連接，當為直角三角形時，則的長是________．【答案】6或8或9【解析】【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過點D作交于點E，分類討論，逐個分析，即可解答．【詳解】解：過點D作交于點E，①當時，如圖（1），∵是等邊三角形，，∴，，即是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，即，∴．②當時，如圖（2）同理可得，，∴，即，∴，∴．③當時，如圖（3）同理可證，∴∴．∴．④當時，如圖（4）同理可證，∴，∴，∴．綜上所述，的長是6或8或9．故答案為：6或8或9．10、如圖，是等邊三角形，D是的中點，，垂足為C，是由沿方向平移得到的．已知過點A，交于點G．（1）求的大??；（2）求證：是等邊三角形．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）等邊三角形的性質(zhì)推出，垂直，得到，角的和差關(guān)系求出的大小即可；（2）平移得到，進而得到，角的和差關(guān)系推出，進而得到，根據(jù)，推出垂直平分，進而得到，推出，進而得到是等邊三角形即可．【小問1詳解】解：是等邊三角形，．D是的中點，．，，．【小問2詳解】由平移可知：，，又，，∴，又，垂直平分，，由（1）知，，，，是等邊三角形．【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平移的基本性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查空間觀念、幾何直觀與推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵．11、在平面直角坐標系中，為原點，等邊的頂點，點在第一象限，等邊的頂點，頂點在第二象限．（1）填空：如圖①，點的坐標為____________，點的坐標為____________；（2）將等邊沿水平方向向右平移，得到等邊，點的對應(yīng)點分別為．設(shè)．①如圖②，若邊與邊相交于點，當與重疊部分為四邊形時，試用含有的式子表示線段的長，并直接寫出的取值范圍；②設(shè)平移后重疊部分的面積為，當時，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】（1）（2）①，②【解析】【分析】（1）作于點，作于點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理進行求解即可；（2）平移的性質(zhì)，得到，求出的長，解直角三角形求出的長，線段的和差表示出的長，當點落在軸上之后，直至點與點重合之前，重疊部分為四邊形，求出的范圍即可；（3）分，和三種情況進行討論求解即可．【小問1詳解】解：作于點，作于點，∵均為等邊三角形，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴；【小問2詳解】①∵平移，∴，∵，∴，∴，∴，當點落在軸上時，此時，點為的中點，則：，當點與點重合時，，∴當與重疊部分為四邊形時，；②當時，則重疊的部分為四邊形，如圖，作軸，由（1）和（2）①可知：，，，∴，∴當時，的值最小，為；∴；設(shè)交軸于點，則：，∴當時，此時點于重合，與點重合，重疊的部分恰為，∴；當，隨著的增大而減小，∴當時，有最小值，此時點軸，如圖：此時重疊部分為五邊形，，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，由平移可得：，，∴，∴，∴，同法可得：，∴；綜上：．【點睛】本題考查坐標與圖形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，二次函數(shù)求最值等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．12、如圖，在中，，點O在邊上，以點O為圓心，長為半徑的半圓，交于點D，與相切于點E，連接（1）求證：．（2）若，