2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

I.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.測試范圍：北師大版2019選擇性必修第一冊。

4.難度系數(shù):0.65o

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.已知空間向量2=（621）,S=（2,x,-3）,若僅一241￡,則“（）

2321

A.4B.6C.—D.一

44

2.已知圓G：/+V=4,圓C2：/+y2-4x-4.v+4=0,兩圓的公共弦所在直線方程是（）

A.x+y+2=0R.x+y-2=0C.x+j4-1=0D.x+y-l=0

3.某橢圓的兩焦點坐標(biāo)分別為甲-60）,6（60）,，是橢圓上一點，若防歸凰?歸勾=8,則該

橢圓的方程是（）

A.—+^-=1B.—+^-=1C.—+^=1D.—+^-=1

72279449

4.?？谑凶鳛槭着皣H濕地城市”，有豐富的濕地資源和獨特的生態(tài)環(huán)境，海口市某中學(xué)一研究性學(xué)習(xí)小

組計劃利用5月1日至5月5日共5天假期實地考察美舍河濕地公園、五源河濕地公園、三江紅樹林濕

地公園、潭豐洋濕地公園和響水河濕地公園5個濕地公園，每天考察1個，其中對美舍河濕地公園的考

察安排在5月1日或5月2日，則不同的考察安排方法有（）

A.24種B.48種C.98種D.120種

5.若事件A,8發(fā)生的概率分別為P（A）,P（B）,（P（A）＞0,P（B）＞0）,則“P（邳A）=P（3）”是

“P（A|B）=P（A）”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充分且必要D.既不充分又不必要

6.為了檢測某種新藥的效果，現(xiàn)隨機抽取100只小白鼠進行試驗，得到如下2x2列聯(lián)表:

未治愈治愈合計

服用藥物104050

未服用藥物203050

合計307010()

則下列說法一定正確的是（）

附：％?=7---Z77----------、人(其中〃=a+Z?+c+d).

(a+〃)(c+d)(a+c)(>+d)

臨界值表:

a0.15OJO0.050.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥有關(guān)”

B.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥無關(guān)”

C.在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥有關(guān)

D.在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥無關(guān)”

7.已知雙曲線C:￡-E=l,兩焦點分別為6,6，過右焦點F?作直線/交右支于A,3點，且A月

a-3

jr

若/=§,則雙曲線。的離心率為（）

357

A.—B.—C.-D.2

235

8.如圖，在直三棱柱A4C—AUG中，為線段4M的中點，。為線段G。上

一點，則△BCQ面積的取值范圍為（）

A.[2,6]B.[2,V5]C.[氐6]D.[V2,x/5]

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是（）

A.樣本數(shù)據(jù)20,19,17,16,22,24,26的下四分位數(shù)是17

B.在比例分配的分層隨機抽樣中，若第?層的樣本吊:為10,平均值為9,第二層的樣本吊:為20,平均

值為12,則所抽樣本的平均值為11

/1\Q

C.若隨機變量x~85,-,則p（x=2）=+

D.若隨機變量X?N（4,〃）（b>（））,若P（xN2）=0.8,則P（x>6）=0.2

10.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數(shù)學(xué)

問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的笑處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎

樣走能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流〃?，〃，其方程分別為2x-y=0,y=（）,將軍的出

發(fā)點是點A（3』），軍營所在位置為8（6,3）,則下列說法錯誤的是（）

A.若將軍先去河流〃?飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點的坐標(biāo)為（1,2）

B.將軍先去河流〃飲馬，再返回軍營的最短路程是㈠

C.將軍先去河流〃?飲馬，再去河流〃飲馬，最后返回軍營的最短路程是屈

D.將軍先去河流〃飲馬，再去河流〃?飲馬，最后返回軍營的最短路程是2A

———4=1(m>0,）有公共焦點K,

11.已知橢圓Ci：Ca>b>0）與雙曲線g：〃>0F2,

G與G在第一象限的交點為尸，且PK，。尸2,記C.3的離心率分別為4,6.下列結(jié)論正確的是（）

A.若|尸周=五+1,忸閭=6-1,則.=2

B.若“="，則e=2

7

C.的最小值為1

D.記△匕的內(nèi)心為/,G的右頂點為E,則/E_Lx軸

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.隨機變量4的分布列如下:

若E(4)=l,則。(4)=

13.若（2-的展開式中二項式系數(shù)和為A,所有項系數(shù)和為8,則A+H=.

14.過拋物線V=4x上一動點/，俏圓C:（x-4）2+），2=/（/>o）的兩條切線，切點分別為A3,若|A4|.|PC|

的最小值是12,則「=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）氮氧化物是一種常見的大氣污染物，下圖為我國2015年至2023年氮氧化物排放量（單位:

萬噸）的折線圖,其中年份代碼I?9分別對應(yīng)年份2015?2023.

9

Z產(chǎn)51800.

r=l

⑴可否用線性回歸模型擬合y與/的關(guān)系？請分別根據(jù)折線圖和相關(guān)系數(shù)加以說明.

⑵若根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立回歸模型），=-138/+2O25,可否用此模型來預(yù)測2024年和2034年我國的氮氧化

物排放量？請說明理由.

2?7一師

附：相關(guān)系數(shù)「=---------

16.（15分）某工廠打算購買2臺設(shè)備，該設(shè)備有一種易損零件，在購買設(shè)備時可以額外購買這種易損零

件作為備件，價格為每個200元.在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時購買該零件，價格為每個

320元.在使用期間，每臺設(shè)備需要更換的零件個數(shù)7的分布列為

T4567

P0.30.20.40.1

X表示2臺設(shè)備使用期間需更換的零件個數(shù)，〃代表購買2臺設(shè)備的同時購買易損零件的個數(shù).

（1）求X的分布列；

（2）以購買易損零件所需費用的期望為決策依據(jù)，試問在〃=10和〃=11中，應(yīng)選擇哪一個？

17.（15分）已知橢圓。:圣+3=19>6>0）的左、右焦點分別為％F”且忻段=2板動直線/與

橢圓交于尸，。兩點：當(dāng)直線：過丹時，耳的周長為8.

（1）求橢圓C的方程；

[2）若直線/過點E（l,0）,橢圓的左頂點為4,當(dāng)△APQ面枳為J6時，求直線/的斜率上

18.（17分）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，四邊形ABC。為正方形，4/?=6,/>。=尸力=扃，二面帶?一6-4

⑴證明：平面力W_L平面ABC。.

（2）求四棱錐/>八BCD的體積.

⑶若點”在線段P。上，且平面M4C_L平面A8CD,求直線AM與平面P8C所成角的正充值.

19.（17分）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，

他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點0到兩個定點的距離之比為常數(shù)〃2>0且2=1）,那么點P的軌跡為圓，這

就是著名的阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中,已知K（T,O）,Q（O,應(yīng)）直線4：比-y+2f+3=o,直線

Z2：x+（y+3f+2=0,點尸為4和「的交點.

（1）求點〃的軌跡方程。；

⑵點M為曲線C與x軸正半軸的交點，直線/交曲線C于A,8兩點，M與人，8兩點不重合，直線MA、

MB的斜率分別為跖且攵魚=-；,證明直線/過定點，并求出該定點；

31

13）當(dāng)點P在曲線C上運動時，求萬I尸RI+耳IPQI的最小值.

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.測試范圍：北師大版2019選擇性必修第一冊。

4.難度系數(shù):0.65o

第一部分（選擇題共58分）

一,選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.已知空間向量2=（621）,1=（2,x,-3）,若僅則”（）

2321

A.4B.6C.—D.一

44

【答案】C

【詳解】因為G-涕=（6,2,1）-2（2,思一3）=（2,2-2尤7）,

因為（。一2可，乙，所以12+4-4入+7=0,解得了=?.

故選：C.

2.已知圓G：/+V=4,圓C//+），2-4X-4），+4=0,兩圓的公共弦所在直線方程是（）

A.x+y+2=0B.x+y-2=0C.x+y+l=0D.x+y-1=0

【答案】B

【詳解】由圓G：/+V=4,圓C2：d+y2_4x_4y+4=0,

兩式作差得，4x+4y—4=4,即工+y一2二。，

所以兩圓的公共弦所在直線方程是x+y-2=0.

故選:B.

3.某橢圓的兩焦點坐標(biāo)分別為4-6,。），口底。），P是橢圓上一點，若歌二夕匕|P周忖周二8,則該

橢圓的方程是（）

2））？

Vn廠A.

AA.—+—=1B?-+-^=1

7227

C.JJlD.《+￡=1

9449

【答案】C

【詳解】設(shè)儼用=m,|尸鳥|=〃,

因為心口鳥，恒周二26,所以/+“2=（2石丫，即/+〃2=20；

因為歸￡|?歸勾=8,所以〃"?=8,

所以（/〃+〃）-=nr+n2+2mn=20+2x8=36；

因為〃?>0,/?>0,所以"?+〃=6,即2a=6,々=3,

所以〃=9,h~=a2-c2=4?

所以橢圓的方程為￡+f=l，

94

故選：C.

4.海口市作為首批“國際濕地城市”，有豐富的濕地資源和獨特的生態(tài)環(huán)境，海口市某中學(xué)一研究性學(xué)習(xí)小

組計劃利用5月IFI至5月5日共5天假期實地考察美舍河濕地公園、五源河濕地公園、三江紅樹林濕地

公園、潭豐洋濕地公園和響水河濕地公園5個濕地公園，每天考察I個，其中對美舍河濕地公園的考察安

排在5月1日或5月2日，則不同的考察安排方法有（）

A.24種B.48種C.98種D.120種

【答案】B

【詳解】先安排美舍河濕地公園的考察時間，方式有A；=2種；

再安排剩下四天的行程有A：=24,所以一共有2x24=48種安排方法.

故選:B

5.若事件A,8發(fā)生的概率分別為P（A）,P（B）,（P（A）>0,P（B）>0）,則“尸（8網(wǎng)=尸（5）”是

“P（A|3）=P（A）”的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分且必要D.既不充分又不必要

【答案】C

【詳解】因為P（B|A）=P（B）,所以P（網(wǎng)力=4^=尸位），所以P（AB）=P（A）.P（8）,

1I勺

所以小力簫=等魯=?。?

反之由P（A|J?）=P（A）能推出上（8|A）=P⑻,

所以“，（用A）=〃（8）”是“〃（A[8）="（A）”的充分且必要條件.

故選：C

6.為了檢測某種新藥的效果，現(xiàn)隨機抽取100只小白鼠進行試驗，得到如下2x2列聯(lián)表:

未治愈治愈合計

服用藥物1()4050

未服用藥物203050

合計3070100

則下列說法一定正確的是（）

附："(〃+/，)(c+d)g+c)S+〃)(其中〃=""c+d)

臨界值表;

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥有關(guān)“

B.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥無關(guān)”

C.在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下,認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥有關(guān)”

D.在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥無關(guān)”

【答案】A

【詳解】解：由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算/=100*（300-800）2=變、4762,

30x70x50x5021

且3.841v4.762<5.024,

所以有95%的把握認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥有關(guān)”

所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥有關(guān)

故選:A.

7.已知雙曲線=兩焦點分別為入，6，過右焦點工作直線/交右支于A,"點，且前耐,

a-b-3

若=g，則雙曲線。的離心率為()

357

A.-B.-C.—D.2

235

【答案】C

【詳解】如圖，因為而=:麗，令|A6|=3/,則叫=5，，怛回=2,

由雙曲線定義IA印=1AF21+2。=3f+2%|mRBF21+2〃=2/+2a,

在乙48耳中，ZFAB=-,

}3

2*5

由余弦定理I4用2+1AB『-214用.IABIcos/RAB=|BE,|,

^(3f+2a)2+(5z)2-2(3r+2?)x5rcos—=(2/+26r):,

3

2

整理得15產(chǎn)一6〃=0,解得[=*"或r=0(舍去)，

則|A用=3/+2a=3x]a+2a=4”，|A/^=3/=3xga=[a,

故在△人耳瑪中，由余弦定理|A用2+14工『一21A"|?|A"|cosZF,AB=1耳用),

得(小〃尸+(色〃)2-2入34?9〃85￥=(2(7尸,

55553

整理得罷42=4,2=0,則6=￡=]

故選：C.

8.如圖，在直三棱柱ABC-A/C中，AB_L8CAB=BC=/M1=2,尸為線段吊片的中點，。為線段C7上

一點，則△4CQ面枳的取值范圍為()

AiCi

c.[3向D.[a,向

【答案】B

【詳解】

由直三棱柱可得8q_L平面ABC,而A3J.3C,

故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,A（0,2,0）,C（2,0,0）,C1（2,0,2）,P（0,l,2）,

設(shè)而=%即=2(—2,1,0)=(—2440),其中4e[0』，故。(2-2442),

而詼二(-2/U,2),CB=(-2,0,0),

卜+分+4一（陰=

故。到直線3C的距離為"二

因為4故1￡[2,右],故SaQAc=：xdx8C=de[2.行]

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.下列說法正確的是（）

A.樣本數(shù)據(jù)20,19,17,16,22,24,26的下四分位數(shù)是17

B.在比例分配的分層隨機拙樣中，若第一層的樣本量為10,平均值為9,第二層的樣本量為20,平均

值為12,則所抽樣本的平均值為II

C.若隨機變量則P（X=2）=2

\3）24J

D.若隨機變量X?"4,"）廿>0）,若P（x?2）=0.8,則P（X>6）=0.2

【答案】ABD

7

【詳解】對于A.從小到大排序得-6,17,19,20,22,24,26,由7x25%二"5,所以下四分位數(shù)

是17正確;

10x9+20x12

對于B,=11正確;

30

對于C,由二項分布可得：P（X=2）=C；（gJ（gJ=墨，錯誤;

對于D,由正態(tài)分布的對稱性可得：尸（x>6）=l-尸（x<2）=（）.2,正確

故選：ABD

10.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著?個有趣的數(shù)學(xué)

問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走

能使總路程最短?在平面宜角坐標(biāo)系中有兩條河流〃?，〃，其方程分別為24-），=0,），=。，將”的出發(fā)點是

點以3,1）,軍營所在位置為8（6,3）,則下列說法錯誤的是（）

A.若將軍先去河流〃?飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點的坐標(biāo)為（1,2）

B,將軍先去河流〃飲馬，再返回軍營的最短路程是不

C.將軍先去河流〃?飲馬，再去河流〃飲馬，最后返回軍營的最短路程是房

D.將軍先去河流〃飲馬，再去河流〃?飲馬，最后返回軍營的最短路程是29

【答案】ABD

【詳解】對于A,如圖①所不，設(shè)點A（3,l）關(guān)于直線2x-y=0的對稱點為人但方），

所以將軍在河邊飲馬的地點的坐標(biāo)為C（|,3）,故A錯誤;

對干B,如圖②所示，因為點A（3,l）關(guān)于直線y=0的對稱點為4（3,-1）,

將軍先去河流〃飲馬，再返回軍營的最短路程是忸A(yù)z|=二布而記=5,故B錯誤;

對于C,如圖③所示，因為點8(6,3)關(guān)于直線，=0的對稱點分別為，取6,-3)；

點4(3,1)關(guān)于直線2x->，=。的對稱點為A(-l,3),

所以將軍先去河流州飲馬，再去河流〃飲馬，最后返回軍營的最短路程同4|=病，故C正確;

對于D,如圖④所示，設(shè)點做6,3)關(guān)于直線2x-y=。的對稱點分別為也a”、)，

^^x2=-l,

由馬一6解得反(-"當(dāng)；點A(3,l)關(guān)于直線產(chǎn)。的對稱點為4(3,7),

2上_拉=055

22

將軍先去河流〃飲馬，再去河流小飲馬，最后返回軍營的最短路程是|人閔=乂粵，故D錯誤.

4=1(=>0,〃>0)有公共焦點尸I，尸2,

n-

G與G在第一象限的交點為夕，且號，記G，G的離心率分別為6，下列結(jié)論正確的是()

A.若|尸耳|=J7+1,|尸周二"一1,則4=2

B.若「苧，則一

C.6色的最小值為1

D.記鳥的內(nèi)心為/,G的右頂點為E,則/E_Lx軸

【答案】ABD

【詳解】對于選項A,根據(jù)橢圓定義IP用+1尸瑪1=2%已知|戶用=g+1,|。5|=近一1,

則2〃=IM|+|”|=5/7+1+>/7-1=2不，所以a=萬.

根據(jù)雙曲線定義IP￡\-\PF2\=2m,IjllJ2m^PFy\-\PFZ|=>/7+1-(5/7-1)=2,

所以〃?=1.因為可，戶&根據(jù)勾股定理|PKF+|”F=(2C)2,將.|/Y；|=J7+I,

|P區(qū)|=J7-1代入得(V7+1)2+G/7-1)2=(2C)2,即7+2近+1+7-26+1=4?2,16=牝2,解得c=2.

雙曲線G的離心率約=￡,因為。=2,m=\,所以e,=2,故選項A正確.

"m

對于選項B,設(shè)|P￡l=s,IPF21=t,由橢圓定義$+/=%,由雙曲線定義sT=2/n,

解得s=a+〃z,t=a-m.

因為尸￡_LP5，所以$2+*=4。2,即(〃+〃?)2+3-〃?)2=4°2,化簡得/+〃?2=202.

己知弓=￡=3自，設(shè)〃="X，c=2x,代入/+加=2/得7/+/=8/,解得〃?=x.

ci7

雙曲線G的離心率^,=-=—=2,故選項B正確.

inx

對于選項C,由片+>=2。2,則丁+丁=2.

弓氣

I]2

根據(jù)均值不等式2==+三之一:所以當(dāng)且僅當(dāng)0=芻=血時取等號，

1

qe2e,e2”

，橢圓和雙曲線離心率不可能取等，故選項C錯誤.

對于選項D,設(shè)△片尸居的內(nèi)切圓半徑為L

根據(jù)三角形面積公式，S*咕=?(s+f+2c?=gsf.

22

22

又s+f=2a，s-t=2fn,可得s=aT〃z,t=atnyst=a-ni.

22

SFPF=—(2?+2c)r=—(a-nz),r=———.

產(chǎn)嶗222(a+c)

設(shè)E(m,O),/的橫坐標(biāo)為/，七=%!氏孕"(九，八為F\,F2的橫坐標(biāo))，

s+t+2c

5(-c)+tc_(a-/?J)(-C)+(a+m)c

因為￡(一。,0),K(C,O),=m，所以/Elx軸，選項D正確.

s+t+2c2a+2c

故選：ABD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.隨機變量4的分布列如下：

若碓）=1,則。（/=.

2

【答案】j

211

【詳解】由題意知〃+%=石（切=〃+28=1,解得4=q力=3，

所以。團=（0—1八；+（|—lfx；+（2—l『x；=g.

9

故答案為：-.

13.若（2-力9的展開式中二項式系數(shù)和為A,所有項系數(shù)和為8,則A+8=.

【答案】513

【詳解】解：設(shè)/（外二（2-”工則展開式中二項式系數(shù)和為4=2%

所有項系數(shù)和為8=/⑴=（27）9=1,所以A+3=29+1=513.

故答案為：513

14.過拋物線）/=4x上一動點尸作圓（78-4）2+曠2=產(chǎn)=>0）的兩條切線,切點分別為A3,^\AB\\PC\

的最小值是12,則「=.

【答案】任

【詳解】設(shè)P（%,y。），則需=4.%,圓C的圓心C（4.0）,半徑為r,

由PAP8切圓。于點A4,得PC_LA氏PA_LAC,P3_L8C,

%

=2/小*-4/+16—1=2T(X。一24+12—1>2小2-產(chǎn),

當(dāng)且僅當(dāng)々=2時，等號成立，

可知\AB\-\Pd[的最小值為2rV12^7=12,

整理可得/—]2/+36=0,解得r=6,

且r>（）,所以r=-76>

故答案為：瓜.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）氮氧化物是?種常見的大氣污染物，下圖為我國2015年至2023年氮氧化物排放量（單位:

萬噸）的折線圖,其中年份代碼1?9分別對應(yīng)年份2015?2023.

Ely。51800.

/=!

（1）可否用線性回歸模型擬合）'與/的關(guān)系？請分別根據(jù)折線圖和相關(guān)系數(shù)加以說明.

（2）若根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立回歸模型-138/+2O25,可否用此模型來預(yù)測2024年和2034年我國的氮氧化物

排放量？請說明理由.

附：相關(guān)系數(shù)「二

【詳解】(1)從折線圖看，各點落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合y與/的關(guān)系，

由題意知7=/+2+3+4+5+6+7+8+9)=5,------------------------------------------------2分

9_

期51800-5x120008200八八）

相'《系數(shù)/,=/_X---------------=------n-0.97

仙人爾型區(qū)TJ-T7.7x11008470-----------------------6分

故可以用線性回歸模型擬合y與/的關(guān)系.......................................................7分

(2)可以預(yù)測2024年的氮氧化物排放量,但不可以預(yù)測2034年的氮氧化物排放量.............9分

理由如下：

①2024年與所給數(shù)據(jù)的年份較接近，因而可以認(rèn)為短期內(nèi)氮氧化物排放量將延續(xù)該趨勢，故可以用此模型

進行預(yù)測；

-------------------------------------------------------------------------------------------11分

②2034年與所給數(shù)據(jù)的年份相距過遠(yuǎn)，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內(nèi)可能保持

不變，但從長期看很有可能會變化，因而用此模型預(yù)測可能是不準(zhǔn)確的..........................13分

16.(15分)某工廠打算購買2臺設(shè)備，該設(shè)備有一種易損零件，在購買設(shè)備時可以額外購買這種易損零

件作為備件，價格為每個2()0元.在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時購買該零件，價格為每個320

元在使用期間，每臺設(shè)備需要更換的零件個數(shù)7的分布列為

T4567

P0.30.20.40.1

X表示2臺設(shè)備使用期間需更換的零件個數(shù)，〃代表購買2臺設(shè)備的同時購買易損零件的個數(shù).

(1)求X的分布列；

(2)以購買易損零件所需費用的期望為決策依據(jù)，試問在〃=10和〃中，應(yīng)選擇哪一個？

【詳解】(1)由題意,X的可能取值為8,9,10,11,12,13,14,-----------------------1分

則P(X=8)=0.3x0.3=0.09,

=9)=2x03x0.2=0.12,

p（X=10）=2x0.3x0.4+0.2x0.2=0.28,

P(X=11)=2x03x0.1+2x0,2x0.4=0.22,

P(X=12)=2x0.2x0.14-0.4x0.4=0.2,

P(X=13)=2X0.4X0.1=0.08,

=14)=0.1x0.1=0.01,

4分

則X的分布列為：

X891011121314

P0.090.120.280.220.20.080.01

---------------------------------------------------------------------------------------------6分

(2)記X為當(dāng)〃=10時購買零件所需費用，X的可能取值為2000,2320,2640,2960,3280,——7分

則P化=2000)=P(X<10)=0.09+0.12+0.28=0.49,〃(％=2320)=P(X=11)=0.22,

P(Yy=2640)=P(X=12)=0.2,

尸(匕二2960)=P(X=13)=0.08,

P(Yi=3280)=P(X=14)=0.01,...........................-..............................9分

則E(X)=2000x0.49+2320x0.22+2640x0.2+2960x0.08+3280x0.0l=2288.---------------10分

記X為當(dāng)〃=時購買零件所需費用，八的可能取值為2200,2520,2840,3160,---------11分

則P(X=2200)=P(X<\1)=0.09+0.12+0.28+0.22=0.71,P(Y2=2520)=P(X=⑵=0.2,

P(Y2=2840)=P(X=]3)=0.08,

P(K=3160)=P(X=14)=0.01,------------------------------------------------------------13分

F(K)=2?.mx0.71+25?.0x0.2+?R4Ox0.0R+3160x0.0l=2324.X,----------------------------14分

顯然E(X)<E化)，

所以應(yīng)選擇〃=10.-----------------------------------------------------------------------------15

分

17.（15分）已知橢圓。鼻+《=1伍>8>0）的左、右焦點分別為6，6，且田聞=2式，動直線/與

橢圓交于〃，。兩點：當(dāng)直線/過用時，△PQ石的周長為8.

（I）求橢圓C的方程;

⑵若直線/過點石（1,0）,橢圓的左頂點為4,當(dāng)△AP。面積為麗時，求直線/的斜率％.

【詳解】（1）由題意得：2。=2&,4。=8,即<?=&,。=2,貝!6’=2,.........-.......3分

所以橢圓。的方程為：工+《=1.--------------------------------------------------------------5分

42

（2）由題意知：直線/斜率不為0,可設(shè)/：x="+l,------------------------------------------6分

7分

貝則IJAA=4戶產(chǎn)+1122（/+2）=16rr++2244>>00,,........................8分

2/3

設(shè)戶（耳,凹）,。（電，%）,則%）'2=-^77,?一9分

可得E-*1--忌齊三-邛字

--------------------------H分

又因為4（一2,0）,則|Aa=1一（一2）=3,----------------------------------------------------12分

所以S”o二g|石外|y「），2|=Tx^!|^=屈，解得：，=±1............................14分

所以直線/的斜率&=；=±1.-------------------------------------------------------------------15分

18.（17分）如圖，在四棱錐尸-八3。。中，四邊形48。。為正方形，AB=6,PC=PD=#j，二面的P-CD-A

（1）證明：平面尸/仍J_平面A8CO.

（2）求四棱錐〃一ABCD的體積.

⑶若點例在線段P。上，且平面做ACJL平面ABC。，求直線/W與平面所成角的正弦值.

【詳解】（1）設(shè)A用C。的中點分別為G,4,連接PG,G”,PH.

在△尸CD中，由PC=PD,所以PHLCD.

由8=3，所以PH=』PC?-CH?=4\/5，---------------------------------------------------1分

因為G"J_C。，所以二面角P—CO—A的平面角為NPHG、NPHG=5,

則PG=JPH?+GH?-2PHGHcos/PHG=2G?----------------------------------------2分

因為G“nP”="，GH,PHu平面尸G”，所以CD_L平面尸G”，

由PGu平面PG”，所以CD_L尸G,則A8_LPG,---------------------------------------3分

所以/8="?G2+/G2=后.

又Plf+BC?=PC；所以P8_LBC.-----------------------------------------------4分

又因為A8_L8C,A8c/6=8,A氏mu平面/B，

所以6C_L平面24B,因為8Cu平面A8C。，...........-...........-...................5分

所以平面P48_L平面A3CO.-------------------------------------------------------------6分

（2）因為平面R4B_L平面A5CD,平面EABc平面AB8=A5,

PGLAB,PGu平面左4,-------------------------------------------------------------7分

所以PG平面ABC。，即四棱錐的高為PG,---------------------------------------------8分

所以四棱錐產(chǎn)一ABCD的體積為V=：尸G.S正方形八8m=gx6x6x2>/5=24叢.---------------9分

JJ

（3）以G為坐標(biāo)原點，G叢G”,GP所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

貝I」A（—3,0,0）,8（3,0,0）,C（3,6,0）,D（-3,6.0）,P（0,0,2x/3）.-----------------------------------10分

記G"cAC=O,!JliJO（0,3,0）,OP=（0,-3,2x/3）.連接OM,BO.

^?/V7=ZP/5（O</l<l）,

--------------------------------------------------------------------------11分

則PD=（-3,6,-2x/J）,兩=%麗=（-32,64-26/1）,

OA?=OP+PA/=(-3A,-3+62,2^-2x/3A),BD=(-6,6,0)......................................12分

因為平面PGMAC_L平面ARCD.平面MACc平面ABCD=AC,BDA.AC,

BOu平面ABC。，所以B。上平面

MAC.-----------------------------------------------------------13分

因為。Mu平面MAC,所以8O1QM,

貝IJ麗?西=-6x(-3/l)+6(-3+6/)=0,解得4=(,-------------------------------------------14分

則PM.=-1,2,-苧).又麗二卜,0,2e).

________’.八、_

所以麗7=而+兩=2,2,卷-,廂=(3,0,-2⑹辰二(0,6,0).------------------------------15分

\7

設(shè)平面PBC的法向最為沅=(%y,z),

則由［流.上=0,得［?一yz=0，取z=G，得利=(2,0,6).----------------------------------16分

.8C=0,16y=0,17

設(shè)直線AM與平面PBC所成的角為。，

.Q/?ElMM2師

'/I網(wǎng)|畫35

所以直線4W與平面尸6c所成角的正弦值為名,-----------------------------------------17分

35

19.(17分)阿波羅尼斯是古希厝著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，

他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點P到兩個定點的距離之比為常數(shù)刖/1>0且2。1),那么點尸的軌跡為圓，這就是

著名的阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，已知R(-l,0),Q(0,及)直線4：儀-)，+2/+3=