專題訓(xùn)練8二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（北師大）

【江西銘文一支點(diǎn)】2025-2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期同步練

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、填空題

1.用長(zhǎng)為8m的鋁合金條（鋁合金條厚度不計(jì)）制成如圖所示的窗框.若要使窗戶的透光面

枳最大，則這扇窗戶的最大透光面積是m?.

二、解答題

2.如圖，四邊形48co是一塊邊長(zhǎng)為8m的止方形苗圃，相關(guān)部門(mén)擬將其改造為矩形人）。

的形狀，其中點(diǎn)E在48邊上，點(diǎn)G在的延長(zhǎng)線上，DG=28E.設(shè)a:的長(zhǎng)為e,改造

后的矩形苗圃AEFG的面積為_(kāi)ynr.

⑴求y與X之間的函數(shù)關(guān)系式（無(wú)需寫(xiě)出自變量的取值范圍）.

⑵若改造后的矩形苗圃AE/P的面積與原正方形苗圃4BCO的面積相等，則BE的長(zhǎng)為多少

米？

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，改造后的矩形苗圃AE/P的面積最大？請(qǐng)求出最大面積.

三、單選題

3.如圖所示的是一座拱橋的截面圖.拱橋橋洞I:沿是拋物線形狀，拋物線兩端點(diǎn)與水面的

距離都是1m,拱橋的跨度為10m,橋洞與水面的最大距離是5m,橋洞兩側(cè)壁上各有一盞距

離水面4m的景觀燈.若把拱橋的截面圖放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，則兩盞景觀燈

之間的水平距離是（）

A.3mB.4mC.5mD.6m

四、填空題

4.某游樂(lè)場(chǎng)的圓形噴水池中心。有一雕塑。4,從點(diǎn)4向四周?chē)娝?，噴出的水柱為拋物線，

且形狀相同.如圖，以。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在〉軸上，％軸上的C,D為水

柱的落水點(diǎn).已知第一象限內(nèi)水柱所在拋物線的函數(shù)解析式為則CO的

6

長(zhǎng)為m.

5.如圖所示的是一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于48兩點(diǎn)，

橋拱最高點(diǎn)C到48的距離為9m,AB=36m,D,E為疥拱底部的兩點(diǎn)，且DE〃AB,點(diǎn)、E

到直線A8的距離為7m,則OE的長(zhǎng)為m.

五、解答題

6.許多休閑廣場(chǎng)建有噴泉景觀，噴泉水柱的高低、落地點(diǎn)遠(yuǎn)近隨著音樂(lè)節(jié)奏的變化而變化,

水柱的形狀都是拋物線.建立合適的平面直角坐標(biāo)系，若水柱對(duì)應(yīng)的拋物線的解析式為

y=ax2+法+2,。〃工0,且頂點(diǎn)始終在直線y=公+2上.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

(1)【特例感知】

(I)當(dāng)k=l時(shí)，水柱對(duì)應(yīng)拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,求水柱對(duì)應(yīng)的拋物線的解析式.

⑵【類比發(fā)現(xiàn)】

(2)求攵與〃之間的數(shù)量關(guān)系.

(3)【應(yīng)用拓展】

(3)若某次噴泉水柱對(duì)應(yīng)拋物線的頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)，且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐

標(biāo)的8倍，同時(shí)直線)，=履+2中的系數(shù)女也為整數(shù)，求此時(shí)的整數(shù)。和攵的值.

六、填空題

7.某商店銷售一批頭盔，售價(jià)為每頂80元，每月可仕:出200頂.在創(chuàng)建文明城市期間，計(jì)

劃將頭盔降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元，每月可多售出20頂.已知頭盔的進(jìn)價(jià)為每

頂50元，則該商店每月獲得最大利潤(rùn)時(shí)，每頂頭盔的售價(jià)為元.

七、解答題

8.某水產(chǎn)經(jīng)銷商以每千克30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批某品種淡水魚(yú)，由銷售經(jīng)驗(yàn)可知，這種淡水

魚(yú)的口銷售量.y(單位：kg)與銷售價(jià)格人(單位：元/kg,30s4<60)存在一次函數(shù)關(guān)

系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

銷售價(jià)格X/(元/kg)5040

日銷售量y/kg100200

(I)試求出)，關(guān)于x的函數(shù)解析式.

(2)設(shè)該經(jīng)銷商銷售這種淡水魚(yú)的R銷售利潤(rùn)為W元.如果不考慮其他因素，當(dāng)銷售價(jià)格r

為多少時(shí)，日銷售利潤(rùn)W最大？最大日銷售利潤(rùn)是多少元？

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

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2025-2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期同步練》參考答案

題號(hào)3

答案C

【詳解】設(shè)窗框的寬為xm,則窗框的高為.?.窗戶的透光面積為

S=x^4-1x3士丫+?,故當(dāng)x時(shí)，窗戶的透光面積最大，最大透光面積是獨(dú).

23)333

2.(I)y=-2x2+8x+64

(2)3E的長(zhǎng)為4m

(3)當(dāng)x=2時(shí)，改造后的矩形苗圃的面積最大，最大面積為72m2

【詳解】解：(1)由題意，得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=(8-x)(8+2x)=-2V+8x+64.

(2)根據(jù)題意，得一2丁+8.1+64=8x8,

解得％=4,%=。(不合題意，舍去).

故BE的長(zhǎng)為4m.

(3)y=-2x2+8x+64=-2(x-2)2+72.

v-2<0,

.?.當(dāng)x=2時(shí)，1y有最大值，最大值為72,

即當(dāng)工=2時(shí)，改造后的矩形苗同A比G的面積最大，最大面積為72m2.

3.C

【詳解】由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5,5),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1).設(shè)拋物線的解析式為

y=fl(x-5)2+5.

44

把(0,1)代入，得1=。(0-5)2+5,解得。=-不，.,?拋物線的解析式為y=W(x-5)2+5.令

,'=4,得%=￡,七=|,?.?兩盞景觀燈之間的水平距離是￡-|=5(m)-

4.22

2

【詳解】當(dāng)，=0H寸，-1(X-5)+6=O,解得百=-1(不合題意，舍去)，x2=H,

O

，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(11，。)，=

答案第1頁(yè)，共4頁(yè)

??從點(diǎn)A向四周?chē)娝瑖姵龅乃鶠閽佄锞€，且形狀相同，

/.OC=(?￡>=11m,/.CD=OC+OD=22m.

5.48

【詳解】如圖，以。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.

依題意，得點(diǎn)8的坐標(biāo)為(18,-9).

設(shè)拋物線的解析式為)，=52.

將(8,-9)代入,得-9=0182,

解得。=——，

36

拋物線的解析式為y==￡?

36

又??點(diǎn)E到直線A8的距離為7m,

???點(diǎn)￡的縱坐標(biāo)為—9—7=—16.

將)，=一16代入)，=一上/,得一16=-3./，解得％=24,%=-24,

3636

/.DE=2x24=48(m).

6.(1)水柱對(duì)應(yīng)的拋物線的解析式為y=-W+2x+2；

⑵攵咚

(3)?=-8,k=4：或。=-6,4=6或2.

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式是

解題的關(guān)鍵.

(1)由題意得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(L3),再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式約2］即可求解；

(2a4aJ

(2)根據(jù)頂點(diǎn)始終在直線產(chǎn)依+2上，將頂點(diǎn)(一馬約勺代入)，=去+2列出等式，即

(2a4aJ

可求解；

答案第2頁(yè)，共4頁(yè)

k2a-k2

(3)根據(jù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的8倍以及頂點(diǎn)坐標(biāo)為列出等式，即可求解.

【詳解】(1)解：當(dāng)攵=1時(shí)，y=x+2.

當(dāng)y=x+2=3時(shí)，x=l,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(L3),

84a2=3

???.丁='解得層’

b,[b=2,

FL

二?y=一尸+2x+2.

故答案為：水柱對(duì)應(yīng)的拋物線的解析式為)=f'+2x+2.

(2)解：,."工0,

ClH0,/?工0,

?J拋物線的頂點(diǎn)-(■，―-始終在直線)'=履+2上，

2a4a

方程兩邊同時(shí)乘以4。得，Sa-b2=-2kb+8a

移項(xiàng)得，〃=2如

兩邊同時(shí)除以。得〃=2%即

2

故答案為：k=?

(L2a-k2

(3)解：由(2)可知，拋物線的解析式為y=aP+2履+2,其頂點(diǎn)坐標(biāo)是一一,------

Iaa

頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的8倍，

.里=2〃-J整理，得僅一4)2=24+16,

aa

/.2Z7+16>0,

解得。2-8.

拋物線形水柱的開(kāi)口向下，

?<0,

—8Wa<0.

答案第3頁(yè)，共4頁(yè)

要使頂點(diǎn)存在且橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)，a,k為整數(shù)，

.?.(4-4)2=2〃+16有解，且北+16為整數(shù)的平方,

.?.加+16的值只能是0或1或4或9.

當(dāng)2。+16=0時(shí)，解得〃=-8?=4；

當(dāng)2〃+16=1時(shí)，解得…當(dāng)不是整數(shù)，故不合題意，舍去；

當(dāng)2。+16=4時(shí)，解得。=一6次=6或2；

7

當(dāng)2a+16=9時(shí)，解得不是整數(shù)，故不合題意，舍去.

故答案為：。=-8,k=4；或。=-6,女=6或2.

7.70

【詳解】設(shè)每頂頭盔的售價(jià)為x元，獲得的利潤(rùn)為卬元，

則卬=(x-50)[200+(80-x)-201=-20(x-70)2+8000.

V-20<0,