31/81第二章圓錐曲線全章復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)復(fù)習(xí)理順本章重點(diǎn)知識(shí)，如橢圓、雙曲線、拋物線的方程及性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等.2.能綜合應(yīng)用本章知識(shí)解決綜合性強(qiáng)的問(wèn)題，如定點(diǎn)、定值、最值及參數(shù)取值范圍等問(wèn)題.教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)(1)圓錐曲線的性質(zhì)；(2)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.2.難點(diǎn)(1)與圓錐曲線有關(guān)的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題.(2)圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、最值、求參數(shù)取值范圍等問(wèn)題.回顧重點(diǎn)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)01橢圓1．橢圓的定義如果F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，a是一個(gè)常數(shù)，且2a>|F1F2|，則平面內(nèi)滿足|PF1|＋|PF2|＝2a的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱為橢圓，其中兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|稱為橢圓的焦距．特別說(shuō)明：其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：①若2a＞2c，則集合P為橢圓；②若2a＝2c，則集合P為線段；③若2a＜2c，則集合P為空集．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c間的關(guān)系c2＝a2－b2知識(shí)點(diǎn)02雙曲線1．雙曲線的定義一般地，如果F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，a是一個(gè)正常數(shù)，且2a<|F1F2|，則平面上滿足||PF1|－|PF2||＝2a的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱為雙曲線，其中，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)的距離|F1F2|稱為雙曲線的焦距．特別說(shuō)明：數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.①若a<c，則集合P為雙曲線；②若a＝c，則集合P為兩條射線；③若a>c，則集合P為空集．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實(shí)虛軸實(shí)軸：線段A1A2，|A1A2|＝2a虛軸：線段B1B2，|B1B2|＝2ba，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b23．等軸雙曲線(1)定義：實(shí)軸與虛軸相等的雙曲線稱為等軸雙曲線，其方程寫作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(2)性質(zhì)：①a＝b；②e＝eq\r(2)；③兩條漸近線y＝±x互相垂直；④等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng)．4．共軛雙曲線（拓展）（1）定義：如果一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實(shí)軸，那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線．（2）性質(zhì)：①它們有共同的漸近線；②它們的四個(gè)焦點(diǎn)共圓；③它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1．知識(shí)點(diǎn)03拋物線1．拋物線的定義一般地，設(shè)F是平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，l是不過(guò)點(diǎn)F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線，其中定點(diǎn)F稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線．特別說(shuō)明：其數(shù)學(xué)表達(dá)式：{M||MF|＝d}(d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離)．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)開口方向向右向左向上向下圖形頂點(diǎn)O(0，0)對(duì)稱軸x軸y軸焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦半徑(其中P(x0，y0)在拋物線上)|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)知識(shí)點(diǎn)04直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷(1)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有相交、相切、相離；相交有兩個(gè)交點(diǎn)(特殊情況除外)，相切有一個(gè)交點(diǎn)，相離無(wú)交點(diǎn)．(2)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0代入圓錐曲線C的方程．消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①當(dāng)a≠0時(shí)，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有Δ＞0時(shí)，直線l與曲線C相交；Δ＝0時(shí)，直線l與曲線C相切；Δ＜0時(shí)，直線l與曲線C相離．②當(dāng)a＝0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則l與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合．2．圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(（1＋\f(1,k2)）[（y1＋y2）2－4y1y2])，k為直線斜率且k≠0.二、熟記重要（二級(jí)）結(jié)論橢圓中的常用結(jié)論：1．焦半徑：橢圓上的點(diǎn)與左（下）焦點(diǎn)與右（上）焦點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做橢圓的焦半徑，分別記作．（1）；（2）；（3）焦半徑中以長(zhǎng)軸為端點(diǎn)的焦半徑最大和最?。ń拯c(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)）．2．焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的叫做焦點(diǎn)三角形，的面積為，則在橢圓中（1）當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大．（2），當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)，取最大值，最大值為．（3）焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為．3．焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦中以通徑（垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦）最短，弦長(zhǎng)．4．為橢圓的弦，，弦中點(diǎn)，則（1）弦長(zhǎng)；（2）直線的斜率．雙曲線中的常用結(jié)論：1．雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為．2．若是雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則．3．同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦），其長(zhǎng)為；異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長(zhǎng)為．4．若是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則，其中為．5．若是雙曲線右支上不同于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為內(nèi)切圓的圓心，則圓心的橫坐標(biāo)為定值．拋物線中的常用結(jié)論：設(shè)是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦，若，則（1）；（2），，弦長(zhǎng)（為弦的傾斜角）；（3）；（4）以弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；（5）以或?yàn)橹睆降膱A與軸相切；（6）過(guò)焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上．圓錐曲線的切線方程(1)過(guò)橢圓的切線方程為：；(2)過(guò)雙曲線的切線方程為：；(3)過(guò).圓錐曲線的切點(diǎn)弦方程(1)橢圓的切點(diǎn)弦方程為；(2)雙曲線的切點(diǎn)弦方程為；(3)的切點(diǎn)弦方程為.說(shuō)明：上述公式的記憶方法均可用“抄一代一”，即把平方項(xiàng)其中一個(gè)照抄，另一個(gè)將變量用已知點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)代入(從曲線上一點(diǎn)作曲線的切線，切線方程可將原方程作如下方法替換求出，，，，.題型01利用圓錐曲線的定義求方程【典例1-1】（24-25高二上·湖北孝感·階段練習(xí)）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，設(shè)已知圓的圓心分別為、，將圓的方程配方得：，圓心，半徑為，圓同理化為，圓心，半徑為，當(dāng)動(dòng)圓與圓相外切時(shí)，有①當(dāng)動(dòng)圓與圓相內(nèi)切時(shí)，有②將①②兩式相加，得動(dòng)圓圓心到點(diǎn)和的距離和是常數(shù)，所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為點(diǎn)、，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于的橢圓，故，，，.故選：A.【典例1-2】（24-25高三上·遼寧·期末）已知，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，連接，由條件判斷且為中點(diǎn)，利用中位線性質(zhì)得且，從而利用雙曲線的定義得點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，進(jìn)而利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解軌跡方程即可.【詳解】由題意知，圓的半徑，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，且，所以，且為中點(diǎn)，所以，且，因此，，所以點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，設(shè)的方程為，可知，所以，又，則，所以的方程為，即，又點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，所以，即，故所求軌跡方程為.故選：B利用圓錐曲線的定義求軌跡方程當(dāng)點(diǎn)的軌跡符合圓錐曲線的定義時(shí)，可以利用定義法求其軌跡方程.其中在用定義法求雙曲線方程時(shí)，還應(yīng)依據(jù)條件辨清是哪一支，還是全部曲線．【變式1-1】（24-25高二上·江西贛州·期中聯(lián)考）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與線段MF的垂直平分線交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．則曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】方法一：軌跡方程法設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)．連接PF，由題意知，即，整理得，則曲線的方程為．方法二：幾何定義法由題意知，點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于其到直線的距離，則點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，則曲線的方程為．故選：B．【變式1-2】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以線段為直徑的圓與圓相切，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由已知圓半徑為，如圖，當(dāng)兩圓外切時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為，即為圓心，，即，取，連接，O是中點(diǎn)，則，因此，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)為，的中點(diǎn)為D，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，所以，所以，所以動(dòng)點(diǎn)P滿足，而，所以點(diǎn)P軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線，，則，又，因此，雙曲線方程為，故選：A.題型02利用圓錐曲線定義求距離的最值【典例2-1】已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，動(dòng)點(diǎn)到的距離比到直線的距離小，則的最小值為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意可得動(dòng)點(diǎn)到的距離與到直線的距離相等，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是以為焦點(diǎn)的拋物線，即，過(guò)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，如下圖所示：

易知，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；所以的最小值為6.故選：D【典例2-2】（24-25高二上·河南鄭州·期中）設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，，分別是兩圓：和上的點(diǎn)，則的最大值為.【答案】8【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，半焦距，則為其左右焦點(diǎn)，，，要取最大值，點(diǎn)必在雙曲線左支上，所以.故答案為：利用圓錐曲線定義破解距離和或差的最值問(wèn)題1.在遇到橢圓、雙曲線中線段和或的最值問(wèn)題時(shí)，常利用其定義及三角形三邊關(guān)系轉(zhuǎn)化求解，即利用定義將到一焦點(diǎn)的距離化為到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離，再進(jìn)一步求解.2.利用拋物線定義可以解決距離的最大和最小問(wèn)題，該類問(wèn)題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化．【變式2-1】（24-25高二下·安徽·階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為．若，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B．6 C． D．【答案】D【詳解】設(shè)的左焦點(diǎn)為，半焦距為，由題意得，又離心率，所以，由橢圓的定義得：，所以，當(dāng)點(diǎn)為線段的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故的最大值為.故選：D.【變式2-2】（25-26高二上·湖南長(zhǎng)沙·階段作業(yè)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值為．【答案】【詳解】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程:，求得焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線,且．設(shè)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則由拋物線的定義得:，所以的周長(zhǎng)．當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，即時(shí)，等號(hào)成立.題型03圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題【典例3-1】（24-25高二下·云南曲靖·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，點(diǎn)為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足，若的內(nèi)切圓的面積為，則的外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得，即.設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則由的內(nèi)切圓的面積為，可得其內(nèi)切圓的半徑.在中，根據(jù)橢圓的定義，又，由余弦定理得，解得，所以即.又，得，故，由正弦定理知的外接圓半徑為，所以的外接圓的面積為.故選：D.【典例3-2】（多選）（25-26高三上·四川·開學(xué)考試）記雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，.若，以為圓心、為半徑的圓與的右支交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，滿足，則（

）A．的漸近線方程為 B．的面積為3C． D．【答案】BC【詳解】由題知，解得，故的方程為，對(duì)于A，因?yàn)榈姆匠虨?，其漸近線方程為，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由雙曲線定義可知，不妨令，，而，故，即，整理得到，所以的面積，故B正確，對(duì)于C，易知圓的方程為，聯(lián)立，消得，解得（舍去）或，代入，可得，不妨令在第一象限，則，，顯然.由B知與，不重合，而在中，，故C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，在中，由余弦定理可得，所以D錯(cuò)誤，

故選：BC.橢圓、雙曲線中焦點(diǎn)三角形問(wèn)題的求解策略對(duì)于焦點(diǎn)三角形的處理，通常是從以下三個(gè)角度入手：（1）橢圓、雙曲線的定義；（2）正、余弦定理；（3）整體思想..【變式3-1】（25-26高三上·河北·開學(xué)考試）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)是這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則（

）A．雙曲線的漸近線方程為 B．C．的面積為 D．【答案】BC【詳解】由已知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以雙曲線右焦點(diǎn)，即.又，所以，所以雙曲線的方程為.對(duì)于A項(xiàng)，雙曲線的漸近線方程為，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程整理可得，，解得或（舍去負(fù)值），所以，代入可得，.設(shè)，又，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，易知，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，所以，由余弦定理可得，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC【變式3-2】（多選）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則（

）A．若，則的面積為B．存在點(diǎn)，使得C．若直線交橢圓于另一點(diǎn)，則D．使得為等腰三角形的點(diǎn)共有4個(gè)【答案】BC【詳解】由題意知，，，，對(duì)于A，由焦點(diǎn)三角形面積公式得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，(為坐標(biāo)原點(diǎn))，則為直角，B正確；對(duì)于C，由焦半徑性質(zhì)可得，，C正確；對(duì)于D，焦半徑范圍為，即．若是以為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，點(diǎn)位于橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)有2個(gè)；若是以為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，則，則滿足條件的點(diǎn)有2個(gè)；同理，若是以為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，滿足條件的點(diǎn)有2個(gè)；故使得為等腰三角形的點(diǎn)共有6個(gè)，D錯(cuò)誤．故選：BC.題型04求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例4-1】已知直線3x-y+6=0經(jīng)過(guò)橢圓=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1,且與橢圓在第二象限的交點(diǎn)為M,與y軸的交點(diǎn)為N,F2是橢圓的右焦點(diǎn),且|MN|=|MF2|,則橢圓的方程為()A．=1 B．+y2=1 C．+y2=1 D．=1【答案】D【詳解】由題意得直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)，因此，所以．又,于是,從而,故橢圓方程為.故選D．【典例4-2】已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，點(diǎn)在雙曲線上，且，的面積為1，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限.設(shè)，，根據(jù)題意：，所以，即，所以，，所以雙曲線的方程為：.故選：D求標(biāo)準(zhǔn)方程的一般方法：（1）待定系數(shù)法（2）定義法（3）幾何性質(zhì)法.【變式4-1】已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，為C上一點(diǎn)，且．(1)求p；(2)若點(diǎn)在橢圓T：上，且直線AB與橢圓T相切，求橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】（1）根據(jù)題意可知，解得．故的值為.（2）由（1）可得，則直線的斜率，則直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，得．因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，化簡(jiǎn)得．①因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓T上，所以．②由①②解得，，所以橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【變式4-2】求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)與橢圓有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)；(2)焦點(diǎn)在y軸上，焦距為8，漸近線斜率為；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且一條漸近線的方程為．【詳解】（1）∵橢圓的焦點(diǎn)（0，±3），∴由題意設(shè)所求雙曲線為，∵雙曲線過(guò)點(diǎn)，∴，整理得，解得或（舍去），∴所求雙曲線方程為．（2）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a，b＞0），則漸近線為，

∵焦距為8，漸近線斜率為，∴，，又，所以，，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（3）因?yàn)殡p曲線的一條漸近線的方程為，所以設(shè)雙曲線方程為，又雙曲線過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以雙曲線方程為．題型05圓錐曲線的幾何性質(zhì)考向1橢圓、雙曲線的離心率問(wèn)題【典例5-1】（25-26高三上·河北衡水·開學(xué)考試）過(guò)雙曲線的頂點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂線與軸交于點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)度等于雙曲線的焦距的一半，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)在軸的正半軸上，由已知可得點(diǎn)，根據(jù)直線與漸近線垂直可得，即可求解雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)在軸的正半軸上，，有，可得點(diǎn)，直線的斜率為，又由直線與漸近線垂直，有，可得，可得雙曲線的離心率為.故選：B.考向2雙曲線的漸近線問(wèn)題【典例5-2】（遼寧省大連市部分高中學(xué)校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期適應(yīng)性演練一數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)在x軸上.圓A的方程為圓A與雙曲線C的一條漸近線l：y=kx(k>0)相切，則a的值為（

）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】先由橢圓的離心率求出漸近線方程為，再由點(diǎn)到直線距離公式解關(guān)于方程即可.【詳解】由題意得則則所以漸近線方程為又因?yàn)閳A的圓心為恒在直線上，半徑為2，由圓與漸近線相切可得解得故選：B.考向3拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題【典例5-3】（25-26高三上·重慶·開學(xué)考試）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，則（

）A． B．C．以為直徑的圓與相切 D．的面積為【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由題意，在直線中，令，可得，所以拋物線的焦點(diǎn)為，則，，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，，聯(lián)立得，則，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，設(shè)中點(diǎn)為，則，，到直線的距離，以為直徑的圓的半徑，由于，所以以為直徑的圓與相切，故C正確；對(duì)于D，到的距離，則的面積為，故D正確.故選：ACD.考向4圓錐曲線上點(diǎn)的范圍問(wèn)題【典例5-4】（24-25高二上·甘肅酒泉·期末）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，那么的周長(zhǎng)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在橢圓中，，，，的周長(zhǎng)，又因?yàn)?、兩點(diǎn)為過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓的交點(diǎn)，所以、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橢圓的左焦點(diǎn)為，易知為的中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，所以，又因?yàn)?、、三點(diǎn)不共線，不妨設(shè)點(diǎn)，則，其中，且，可得，所以，，所以的周長(zhǎng)的取值范圍為，故選：A. 圓錐曲線中的幾何性質(zhì)問(wèn)題求解策略1.學(xué)習(xí)中，要注意橢圓幾何性質(zhì)的挖掘：(1)橢圓中有兩條對(duì)稱軸，“六點(diǎn)”(兩個(gè)焦點(diǎn)、四個(gè)頂點(diǎn))，要注意它們之間的位置關(guān)系(如焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上等)以及相互間的距離(如焦點(diǎn)到相應(yīng)頂點(diǎn)的距離為a－c)，過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的通徑長(zhǎng)等．(2)設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P(x，y)，則當(dāng)x＝0時(shí)，|OP|有最小值b，這時(shí)，P在短軸端點(diǎn)處；當(dāng)x＝a時(shí)，|OP|有最大值a，這時(shí)P在長(zhǎng)軸端點(diǎn)處．(3)橢圓上任意一點(diǎn)P(x，y)(y≠0)與兩焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點(diǎn)三角形，其周長(zhǎng)為2(a＋c)．(4)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，其中a是斜邊，a2＝b2＋c2.2．已知雙曲線方程討論其幾何性質(zhì)，應(yīng)先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，找出對(duì)應(yīng)的a、b，利用c2＝a2＋b2求出c，再按定義找出其焦點(diǎn)、焦距、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率、漸近線方程．3.在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是如此．4.求解有關(guān)離心率的問(wèn)題時(shí)，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓的幾何特征，建立關(guān)于參數(shù)c、a、b的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或范圍．較多時(shí)候利用解題.【變式5-1】如圖，設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得線段的中垂線恰好過(guò)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】解法一：因?yàn)榫€段的中垂線恰好過(guò)焦點(diǎn)，所以，由焦半徑的范圍可知，即，則且，解得，又，可得．故選：B．解法二：設(shè)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，可得線段的中垂線所在的直線方程為，把點(diǎn)代入得，從而得到，則或（舍去），因?yàn)?，所以，則且，解得，又因?yàn)?，得，故選：B．【變式5-2】已知雙曲線的方程為，，分別為其左、右焦點(diǎn)，為右支上一點(diǎn)，的平分線交軸于點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【詳解】由題意有，解法1：，同理，．又，進(jìn)而得，所以，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故選：C．解法2：由角平分線的性質(zhì)可知，點(diǎn)到直線和的距離相等．因?yàn)?，，所以，解得，所以，又，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故選：C．【變式5-3】（25-26高三上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是（

）A．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為3B．若，則線段的中點(diǎn)到軸的最小距離為2C．若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則的最大值為8D．若直線過(guò)點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之積為定值【答案】BCD【詳解】由題意知，所以，故的方程為，設(shè)，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則的中點(diǎn)到軸的距，當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；由于，當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；

若過(guò)點(diǎn)，設(shè)其方程為，代入的方程并整理，得，設(shè)，則，所以，所以，故D正確，故選：BCD．題型06直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【典例6-1】（24-25高二上·江西·期末）直線與橢圓（）的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定【答案】C【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，而為橢圓的右端點(diǎn)和上端點(diǎn)，故直線與橢圓相交.故選：C.【典例6-2】點(diǎn)，定義，如圖為雙曲線及漸近線，則關(guān)于點(diǎn)、、，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)點(diǎn)、、，則雙曲線的兩條漸近線方程為，點(diǎn)在直線的上方，則，則，即點(diǎn)在直線的上方，則，則，所以，，點(diǎn)在雙曲線的外部，則，在直線的上方，則，可得，點(diǎn)在直線的下方，則，可得，所以，，即；因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部，則.綜上所述，.故選：D.直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法1．直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系，判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩解，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有一解，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程無(wú)解，直線與橢圓相離．2．把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過(guò)消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式．(1)Δ>0時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．(2)Δ＝0時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．(3)Δ<0時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)．當(dāng)a＝0時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)．3、設(shè)直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與拋物線相離，沒(méi)有公共點(diǎn)．(2)若k＝0，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合．【變式6-1】（多選）（24-25高三上·甘肅武威·期末）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在雙曲線上，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的離心率為C．直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)D．直線與雙曲線的左支和右支各有一個(gè)交點(diǎn)【答案】AC【詳解】由題意，可知兩個(gè)焦點(diǎn)，，雙曲線上一點(diǎn)，則，，，則，則，故A正確，B不正確；因?yàn)殡p曲線C中，，則，則雙曲線C的漸近線方程為，所以直線與雙曲線C的漸近線平行，則直線與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故C正確；因?yàn)橹本€與軸交點(diǎn)在雙曲線右頂點(diǎn)右側(cè)，且其斜率大于漸近線斜率，所以直線與雙曲線C的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，故D不正確．故選：AC.【變式6-2】（多選）（24-25高二上·山西太原·期末）已知直線l：，拋物線C：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線l過(guò)定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，直線l與拋物線C相切C．當(dāng)時(shí)，直線l與拋物線C有兩個(gè)公共點(diǎn)D．當(dāng)直線l與拋物線C無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，或【答案】BD【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)椋虼瞬皇侵本€所過(guò)定點(diǎn)，A錯(cuò)；選項(xiàng)B，時(shí)，直線方程為，代入拋物線方程得，解得，從而，又直線與拋物線的對(duì)稱軸不平行，所以直線與拋物線相切，切點(diǎn)為，B正確；選項(xiàng)C，時(shí)，直線方程為，它與拋物線的對(duì)稱軸平行，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，由得，，由，得或，D正確．故選：BD．題型07圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題【典例7】若橢圓的弦AB的中點(diǎn)則弦長(zhǎng)（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【詳解】設(shè)，，因?yàn)闉锳B的中點(diǎn)，所以，，又A，B兩點(diǎn)在橢圓上，則，，兩式相減，得，所以，所以，所以，即有直線AB的方程為，即為，代入橢圓方程，可得，可得或4，即有，，則故選：D.求圓錐曲線中弦長(zhǎng)的方法1.交點(diǎn)法：將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求．2.根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被圓錐曲線截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長(zhǎng)公式為：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).3.焦點(diǎn)弦長(zhǎng),利用焦半徑公式求解,如：設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.【變式7-1】已知是雙曲線的右頂點(diǎn)，則該雙曲線的一條漸近線被以為圓心且過(guò)原點(diǎn)的圓截得的弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，，且圓的半徑為，可得雙曲線的一條漸近線方程為，即，圓心到直線的距離為，所以截得的弦長(zhǎng)為.故選：D.【變式7-2】?jī)A斜角為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn).(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求弦長(zhǎng).【詳解】（1）由題意拋物線可知，則拋物線準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn);（2）過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程為，聯(lián)立可得，設(shè)，則,故.題型08圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題【典例8】（1）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程．（2）已知雙曲線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)能否作一條直線，使與雙曲線交于，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)？若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說(shuō)明理由．【詳解】（1）設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為．因?yàn)?，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)，為的中點(diǎn)，．又兩點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得，于是，，即，故所求直線的方程為，即．（2）設(shè)存在被點(diǎn)平分的弦，且，則，，兩式相減，得，故直線．由，消去得，．這說(shuō)明直線與雙曲線不相交，故被點(diǎn)平分的弦不存在，即不存在這樣的直線．解決圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種方法(1)根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；(2)點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入圓錐曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系.(3)橢圓、雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式：①已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，M(x0，y0)是線段AB的中點(diǎn)，則kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).=2\*GB3②設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點(diǎn)，則有kAB＝eq\f(b2x0,a2y0).【變式8-1】（多選）（24-25高三下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線是線段的垂直平分線，且與的交點(diǎn)為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．【答案】CD【詳解】如圖由題意，斜率存在且為，所以，聯(lián)立得：，由韋達(dá)定理得，所以，代入得，代入得，則，又因?yàn)?，則，.由以上可得CD均正確；對(duì)于A選項(xiàng)，代入，可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，不符合與的關(guān)系，故B錯(cuò)誤；故選：CD.【變式8-2】已知曲線是平面內(nèi)到和的距離之和為的點(diǎn)的軌跡．（1）求曲線的方程；（2）斜率為1的直線與曲線相交于點(diǎn)，，弦長(zhǎng)，求直線的方程；（3）求斜率為1的直線交曲線的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．【詳解】（1）由題知，曲線滿足橢圓的定義，且，，則，曲線的方程為，（2）設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，由韋達(dá)定理知，，則弦長(zhǎng)，解得，故直線的方程為，；（3）設(shè)，則由（2）知，，，則的軌跡方程為，且該軌跡應(yīng)在橢圓內(nèi)部，即.題型09圓錐曲線的切線、切點(diǎn)弦問(wèn)題【典例9】（2025·湖南長(zhǎng)沙質(zhì)檢）過(guò)拋物線外一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，另一直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求證：(1)點(diǎn)處的切線與直線平行；(2).【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上的拋物線在點(diǎn)處的切線方程公式，得到拋物線在點(diǎn)處的切線方程，并得到拋物線在處和在處的切線方程，將代入得直線方程，對(duì)比兩直線斜率即可求證.（2）聯(lián)立拋物線方程和直線方程，根據(jù)韋達(dá)定理求得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，與點(diǎn)橫坐標(biāo)一致，即可得證.【詳解】（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可得，對(duì)于拋物線，，，該拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，則拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為4，設(shè)，，則，，即，，將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的方程得，得，所以直線的斜率為4，即拋物線在點(diǎn)處的切線斜率和直線的斜率均為4，故點(diǎn)處的切線與直線平行.（2）聯(lián)立，得，設(shè)，，根據(jù)韋達(dá)定理有，則中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)在線段上且，所以點(diǎn)即線段的中點(diǎn)，.1.求圓錐曲線的切線方程方法有:(1)判別式法.即設(shè)出切線的斜率k，聯(lián)立直線與二次曲線的方程，消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過(guò)△=0求出k,從而得切線方程，對(duì)于切線的斜率不存在的情形，則一般畫圖觀察求解，此法為通法.(2)切線公式法.常見(jiàn)的切線公式有：①過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程為+②橢圓、雙曲線與拋物線的切線方程（見(jiàn)知識(shí)預(yù)備）(3)幾何性質(zhì)法.對(duì)于圓而言，常利用圓的幾何性質(zhì)“圓心到切線的距離等于圓的半徑(即d=r)”來(lái)速求其切線方程.2.雙切線（切點(diǎn)弦）問(wèn)題求解策略過(guò)圓錐曲線外一點(diǎn)，作圓錐曲線的兩條切線，由此衍生的一系列問(wèn)題，一般稱之為雙切線問(wèn)題。這類問(wèn)題一般的處理步驟是：(1)設(shè)切線的斜率為，寫出切線的方程；(2)將切線的方程代入圓錐曲線方程，化簡(jiǎn)得出關(guān)鍵方程；(3)由方程滿足判別式，建立關(guān)于的一元二次方程，兩切線的斜率為方程的兩根；(4)結(jié)合韋達(dá)定理，計(jì)算等，并將之用于其他量的計(jì)算?！咀兪?】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知曲線和曲線.(1)若曲線上兩個(gè)不同點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為，求證：直線的方程：；(2)若直線與曲線相切，求證：；(3)若曲線上任意點(diǎn)向曲線引兩條切線交于另兩點(diǎn)為，求證：直線與曲線相切.【詳解】（1）設(shè)，，因?yàn)锳，B在曲線上，所以有：，易知，所以直線AB的斜率.根據(jù)點(diǎn)斜式方程，直線AB過(guò)點(diǎn)，則直線AB的方程為.將代入上式得：，展開可得：,化簡(jiǎn)得，即，得證.（2）將直線：代入曲線，可得：，展開并整理得：.因?yàn)橹本€l與曲線相切，所以此一元二次方程的判別式.則展開得：，化簡(jiǎn)可得，得證.（3）設(shè)P，Q，R三點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，，結(jié)合（1）可知直線PQ的方程：，直線PQ與曲線相切，再結(jié)合（2）中得：.整理得：再整理：.同理可得，所以直線既過(guò)點(diǎn)又過(guò)點(diǎn)即直線QR的方程：.再次結(jié)合（2）可推算：,所以，直線QR與曲線相切.題型10圓錐曲線中的面積問(wèn)題【典例10-1】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)．若，點(diǎn)為的焦點(diǎn)，則與的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，分別過(guò)點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，，拋物線的焦點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，所?故選：B.【典例10-2】如圖，已知橢圓C：的短軸端點(diǎn)分別為B1，B2，點(diǎn)M是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且不與B1，B2重合，點(diǎn)N滿足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.（1）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程；（2）求四邊形MB2NB1面積的最大值．【詳解】（1）設(shè)N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)．由題知B1(0，－3)，B2(0，3)，所以kMB1＝，kMB2＝.因?yàn)镸B1⊥NB1，MB2⊥NB2，所以直線NB1：y＋3＝－x，①直線NB2：y－3＝－x，②①×②得y2－9＝x2.又因?yàn)?，所以y2－9＝x2＝－2x2，整理得動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為＋＝1(x≠0)．（2）由（1），設(shè)MB1為可得得直線NB1：y＝－x－3，①直線NB2：y＝2kx＋3，②聯(lián)立①②解得x＝，即xN＝，故四邊形MB2NB1的面積S＝|B1B2|(|xM|＋|xN|)＝3×＝＝≤，當(dāng)且僅當(dāng)|k|＝時(shí)，S取得最大值.圓錐曲線中的面積問(wèn)題求解策略1.對(duì)于三角形的面積問(wèn)題，常利用以下策略求解：(1)利用弦長(zhǎng)公式求出三角形的某條底，再由點(diǎn)到直線的距離公式求高.(2)以三角形被坐標(biāo)軸所截得的線段為底，則高為|x1-x2|或|y1-y2|2.對(duì)于四邊形的面積，則常分割成三角形的面積求解.3．多個(gè)圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：關(guān)鍵詞“求同存異”，尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(diǎn)，從而可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系，使得計(jì)算得以簡(jiǎn)化4.面積的最值問(wèn)題：通常利用公式將面積轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的函數(shù)，再求解函數(shù)的最值，在尋底找高的過(guò)程中，優(yōu)先選擇長(zhǎng)度為定值的線段參與運(yùn)算。這樣可以使函數(shù)解析式較為簡(jiǎn)單，便于分析.【變式10-1】已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上，的內(nèi)心為I.若，，的面積滿足，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，設(shè)圓I的半徑為r，由，得，化簡(jiǎn)可得，即，得，即C的漸近線方程為.故選：C.【變式10-2】已知頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的拋物線過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于另一個(gè)交點(diǎn)（在第四象限），設(shè)直線的斜率分別為，若，求的面積．【詳解】（1）根據(jù)題意，當(dāng)拋物線開口向右時(shí)，設(shè)拋物線方程為，將點(diǎn)代入方程可得，解得，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為；當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，設(shè)其方程為，將點(diǎn)代入方程可得，解得，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為.綜上，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為或，準(zhǔn)線方程為.（2）根據(jù)題意，因?yàn)辄c(diǎn)在第四象限，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為.畫出圖象為：由題意可知存在，，因?yàn)?，所?設(shè)點(diǎn)，所以，解得（舍去）或.直線的方程為，即.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以的面積為.題型11圓錐曲線中的最值或范圍問(wèn)題【典例11-1】若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，的周長(zhǎng)是6B．當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，面積的最大值為C．存在點(diǎn)P，使D．的取值范圍是【答案】C【詳解】由橢圓方程可知，，從而．對(duì)于選項(xiàng)A；根據(jù)橢圓定義，，又，所以的周長(zhǎng)是，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t．因?yàn)?，則面積的最大值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由橢圓性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，為最大．此時(shí)，，又，則為正三角形，，所以不存在點(diǎn)，使，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由橢圓的性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，取最大值，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，取最小值，此時(shí)，所以，故選項(xiàng)D正確．故選：C.求圓錐曲線中最值、范圍問(wèn)題的方法(1)定義法：利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題處理．(2)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘幾何特征，進(jìn)而求解．(3)函數(shù)法：探求函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，借助函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等求解，注意范圍．【變式11-1】已知F是拋物線的焦點(diǎn)，A，B是拋物線C上不同的兩點(diǎn)，且滿足，設(shè)A，B到拋物線C的準(zhǔn)線的距離分別為，，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由拋物線的定義知，，，，所以在中，由余弦定理得，所以，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故，所以的最大值為故選：A【變式11-2】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為2．

(1)求橢圓的方程；(2)若分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足：，連接交橢圓于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：為定值.(3)若點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，求的最小值．【詳解】（1）由題意離心率為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為2．所以，又，所以解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）橢圓的方程為.

由題意，因?yàn)椋栽O(shè)，則直線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立得，消去并整理得，，當(dāng)時(shí)，，所以解得，即，所以，所以.（3）

設(shè)交圓于點(diǎn)，由三角形三邊關(guān)系得等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，即點(diǎn)重合時(shí)，由橢圓定義有，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)重合時(shí)，且點(diǎn)重合，其中點(diǎn)是與橢圓的交點(diǎn)，綜上所述，的最小值為.題型12圓錐曲線中的向量問(wèn)題【典例12】已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合．(1)求拋物線的方程；(2)如圖，若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．【詳解】（1）設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，短半軸為，半焦距為，，又，，該橢圓的右焦點(diǎn)為，又拋物線的焦點(diǎn)為，所以，解得，故拋物線的方程為．（2）直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，故直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，即，方程的判別式，設(shè)，，則，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，因?yàn)?，，所以?圓錐曲線中的向量問(wèn)題求解策略(1)建系轉(zhuǎn)化：設(shè)圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)坐標(biāo)化，向量用坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題.(2)利用性質(zhì)：結(jié)合圓錐曲線定義（如橢圓定義）、焦點(diǎn)弦等性質(zhì)，簡(jiǎn)化向量關(guān)系。(3)韋達(dá)定理：聯(lián)立直線與曲線方程，用韋達(dá)定理處理向量數(shù)量積、共線等條件。(4)參數(shù)法：設(shè)參數(shù)（如橢圓參數(shù)方程），將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式求解。(5)幾何意義：借助向量幾何意義（如垂直、中點(diǎn)），結(jié)合圓錐曲線幾何性質(zhì)解題。【變式12-1】已知橢圓的離心率為，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為4．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)記橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作不垂直于坐標(biāo)軸的直線交橢圓于另一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，且，求直線的方程．【詳解】（1）由題意：，所以，又因?yàn)?，所以，，即橢圓的方程：．（2）由題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，可得，由韋達(dá)定理得：，所以，代入直線方程可得：．過(guò)點(diǎn)與垂直的直線方程為，由，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，，因?yàn)?，所以法一：，所以，解得，所以直線的方程：或．法二：，所以，解得，所以直線的方程：或．【變式12-2】設(shè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，，是的右頂點(diǎn).(1)若離心率，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在（1）的條件下，橢圓上存在一點(diǎn)，滿足，求；(3)若的中垂線的斜率為2，與交于、兩點(diǎn)，是否存在這樣的橢圓，使得，若存在求的取值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.【詳解】（1）依題意，在橢圓中，，由離心率，得，解得，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由（1）知，，設(shè)，由，得，解得，由點(diǎn)在橢圓上，得，解得，所以.（3）由線段的中垂線的斜率為2，得直線的斜率為，由，得，直線過(guò)線段的中點(diǎn)，直線的方程為，即，顯然直線過(guò)橢圓內(nèi)點(diǎn)，則直線與橢圓恒有兩不同交點(diǎn)，設(shè)，由消得，，，由，得，而，則有，即，即，解得，所以存在這樣的橢圓，使得，.題型13圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題【典例13】（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，離心率為3，是上的兩點(diǎn).(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若線段的中點(diǎn)為，求直線的方程；(3)若（不在直線上），證明：直線過(guò)定點(diǎn).【分析】（1）利用離心率公式和雙曲線的關(guān)系得到雙曲線方程；（2）根據(jù)點(diǎn)差法結(jié)合線段中點(diǎn)坐標(biāo)解得直線的斜率，從而解得答案；（3）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消元得到通過(guò)韋達(dá)定理有，，結(jié)合，化簡(jiǎn)得，解得或，當(dāng)和時(shí)，分別分析直線的方程，進(jìn)而求得定點(diǎn)；【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，故的?biāo)準(zhǔn)方程為·（2）設(shè)，，根據(jù)題意易得.因?yàn)槭巧系膬牲c(diǎn)，所以兩式相減得，即因?yàn)?，所以所以直線的方程為經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，則直線的方程為.（3）證明：依題意可設(shè)直線的方程為.由，得則，，，由（2）知，因?yàn)?，所以即即即，得，解得?當(dāng)時(shí)，直線，直線過(guò)點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，直線，滿足，則直線過(guò)定點(diǎn)故直線過(guò)定點(diǎn)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)解法(1)用參數(shù)表示出直線的方程，根據(jù)直線方程的特征確定定點(diǎn)的位置．(2)從特殊點(diǎn)入手，先確定定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)符合題目條件．提醒：求出直線方程是判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)的前提和關(guān)鍵．【變式13】已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓C的上頂點(diǎn)重合．(1)求橢圓C和拋物線E的方程；(2)設(shè)點(diǎn)M是拋物線E準(zhǔn)線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作拋物線E的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．求證：（i）直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）以線段AB為直徑的圓與拋物線E的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M．【詳解】（1）由題，解得，∴橢圓的方程為，其上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，即．∴拋物線的方程為．（2）由（1）知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，∴可設(shè)，（i）由得，且．又，∴拋物線在處的切線方程為，即．在切線上，①，同理可得②，由①②得直線的方程為，令，則，所以直線恒過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．（ii）聯(lián)立得，∴，則線段AB的中點(diǎn)為，，又，∴MN與拋物線E的準(zhǔn)線垂直，且，故以線段AB為直徑的圓與拋物線E的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M．題型14圓錐曲線中的定值問(wèn)題【典例14】（2025·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為，的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)直線（存在且不等于0）與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，判斷是否為定值并證明．【分析】（1）根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)以及面積列方程組計(jì)算可得橢圓方程；（2）設(shè)，由，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得，聯(lián)立得，然后求出，，利用兩點(diǎn)斜率公式并化簡(jiǎn)得為定值，即可得解.【詳解】（1）由題意，解得，故橢圓的方程為；（2）設(shè)，由對(duì)稱性可知，，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，由（1）可知，，聯(lián)立，得，所以，直線的斜率存在，其方程為：，令得，即，直線的斜率存在，其方程為：，令得，即，所以，所以為定值.圓錐曲線中的定值問(wèn)題的常見(jiàn)解法(1)從特殊值入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．【變式14】（25-26高三上·廣東湛江·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，與曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，證明：“，為線段的三等分點(diǎn)”的充要條件是“，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為”.【詳解】（1）因?yàn)椋攒壽E是以，分別為左、右焦點(diǎn)的雙曲線.設(shè)的方程為.由，可得，所以，所以的方程為.（2）證明：設(shè)，，，的坐標(biāo)分別為，，，.由消去得.因?yàn)橹本€與雙曲線相交，所以，化簡(jiǎn)得，所以，.由消去得，所以，，所以，則與的中點(diǎn)重合，所以，為線段的三等分點(diǎn)等價(jià)于.又，同理可得，所以，即，所以，顯然當(dāng)時(shí)，.故“，為線段的三等分點(diǎn)”的充要條件是“，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為”.題型15圓錐曲線中的定直線問(wèn)題【典例15】已知橢圓，點(diǎn)，分別是橢圓短軸的端點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)也是拋物線的焦點(diǎn)，且.過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線交橢圓于，兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)軸上是否存在定點(diǎn)，使得?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)是定直線上任意一點(diǎn)，求證：三條直線，，的斜率成等差數(shù)列.【詳解】（1）∵橢圓的焦點(diǎn)也是拋物線的焦點(diǎn)∴，又，∴是等腰直角三角形∴，∴所以橢圓的方程為：.（2）假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，使得，設(shè)，，直線的方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立，消去整理得到：，∴，，由題意，，則直線，的傾斜角互補(bǔ)，所以，設(shè)，則，，∴，將，代入上式，整理得：，∴將，，代入上式整理得：，由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，所以，即存在點(diǎn)使得.（3）證明：設(shè)，要證直線，，的斜率成等差數(shù)列，只需證，只需證，只需證只需證只需證只需證，只需證，只需證由（2）可知，，，代入上式顯然成立，故原命題得證.圓錐曲線中的定直線問(wèn)題的常見(jiàn)解法圓錐曲線中的定直線問(wèn)題求解策略，150字以內(nèi)=1\*GB2⑴特殊探路：取特殊點(diǎn)（如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)）或特殊位置直線，求出可能定直線，再驗(yàn)證一般性.=2\*GB2⑵參數(shù)表達(dá)：設(shè)含參數(shù)的直線/曲線方程，聯(lián)立后利用韋達(dá)定理，消參推導(dǎo)直線方程，確定定直線.=3\*GB2⑶性質(zhì)關(guān)聯(lián)：結(jié)合圓錐曲線性質(zhì)（如橢圓中點(diǎn)弦、拋物線焦點(diǎn)弦），利用向量、斜率關(guān)系推導(dǎo)定直線.=4\*GB2⑷極點(diǎn)極線：若問(wèn)題涉極點(diǎn)與極線，可通過(guò)極線方程判定是否為定直線，簡(jiǎn)化運(yùn)算.【變式15】已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，的周長(zhǎng)為.(1)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)為拋物線上異于原點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的交點(diǎn)恒在定直線上.證明：過(guò)點(diǎn)與拋物線相切的直線平行于直線.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，不妨取，則，，由的周長(zhǎng)為得，，解得，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）由（1）可知，拋物線，設(shè)直線的方程為，則直線與直線交于點(diǎn)，所以的方程為，聯(lián)立，解得，則，所以，易知過(guò)點(diǎn)與拋物線相切的直線的斜率存在，設(shè)其方程為，代入得，整理得，則，整理得，則，所以，故過(guò)點(diǎn)與拋物線相切的直線的斜率為，又的斜率為，故過(guò)點(diǎn)與拋物線的相切的直線平行于直線.題型16圓錐曲線中的探索性問(wèn)題【典例16】已知拋物線，斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程；(3)試探究:拋物線上是否存在點(diǎn)使得？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【詳解】（1）已知點(diǎn)在拋物線上代入得所以拋物線方程為（2）易知拋物線焦點(diǎn)為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，中點(diǎn)的坐標(biāo)為顯然；且，；即點(diǎn)的軌跡方程為；（3）設(shè)點(diǎn)在拋物線上，則直線的方程為，如下圖：聯(lián)立，解得，；所以，因此依題意可得可得整理可得，即，解得或或或；顯然當(dāng)或時(shí)，與重合，不合題意；所以存在，滿足題意.圓錐曲線中探索性問(wèn)題的常見(jiàn)解法=1\*GB2⑴假設(shè)存在法：先假設(shè)滿足條件的點(diǎn)、直線等存在，設(shè)其方程或坐標(biāo)，代入曲線方程推導(dǎo)，若有解則存在，無(wú)解則不存在.=2\*GB2⑵特殊值法：取特殊位置（如對(duì)稱軸、頂點(diǎn)）或特殊參數(shù)值，探索可能結(jié)論，再驗(yàn)證一般情況.=3\*GB2⑶代數(shù)推導(dǎo)法：聯(lián)立方程，用韋達(dá)定理、判別式等，結(jié)合條件（如垂直、中點(diǎn)）列方程，分析解的情況判斷存在性.=4\*GB2⑷幾何直觀法：借助圓錐曲線幾何性質(zhì)（如對(duì)稱性、焦點(diǎn)特性），初步判斷是否存在，再代數(shù)驗(yàn)證.【變式16-1】已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，離心率為，過(guò)點(diǎn)作直線與交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，的面積為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求直線的方程；(3)若直線，分別與直線交于，兩點(diǎn)，試探究在直線上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)和定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)直線的斜率為時(shí)，的面積為．所以的面積為，由對(duì)稱性得，點(diǎn)坐標(biāo)為，則結(jié)合，得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)殡p曲線的左頂點(diǎn)為，則，因?yàn)橹本€斜率不存在時(shí)不滿足題意，所以設(shè)直線，，的斜率分別為，，，直線的方程為，則，雙曲線，即，所以，則，所以，即，所以，設(shè)，，則，若，則，則直線的方程為，即．（3）設(shè)直線：，令，得，則，同理可得，假設(shè)存在點(diǎn)滿足題設(shè)，則為定值，所以，所以，且，即存在定點(diǎn)，使得為定值．題型17圓錐曲線的實(shí)際應(yīng)用【典例17】1970年4月24日，我國(guó)發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”，從此我國(guó)開始了人造衛(wèi)星的新篇章．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律：衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等．設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距分別為2a，2c，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．衛(wèi)星向徑的取值范圍是B．衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間C．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁D．衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小【答案】C【分析】由題意可得衛(wèi)星向徑是橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，可得向徑的最大值最小值，即可判斷A，運(yùn)行速度的意義又是服從面積守恒規(guī)律，即可判斷BD，根據(jù)即可判斷C.【詳解】由題意可得衛(wèi)星的向徑是橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離，所以最小值為，最大值為，所以A正確；根據(jù)在相同時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等，衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間，故B正確；衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值為越大，則越小，橢圓越圓，故C錯(cuò)誤．因?yàn)檫\(yùn)行速度是變化的，速度的變化，所以衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)向徑越小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)向徑越大，衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間，內(nèi)掃過(guò)的面積相等，則向徑越大，速度越小，所以衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小，故D正確；故選：C．圓錐曲線的實(shí)際應(yīng)用題求解策略(1)建模轉(zhuǎn)化：分析實(shí)際場(chǎng)景（如衛(wèi)星軌道、光學(xué)反射），確定圓錐曲線類型（橢圓、拋物線等），建立直角坐標(biāo)系，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)數(shù)據(jù)代入：提取題目中幾何量（如長(zhǎng)軸、焦距、準(zhǔn)線距離），代入方程求參數(shù)，確定曲線方程.(3)問(wèn)題求解：將實(shí)際問(wèn)題（如距離、位置）轉(zhuǎn)化為曲線方程中的坐標(biāo)、距離計(jì)算，結(jié)合曲線性質(zhì)（如范圍、對(duì)稱性）求解.(4)驗(yàn)證回歸：檢驗(yàn)結(jié)果是否符合實(shí)際意義，確保答案與實(shí)際場(chǎng)景一致.【變式17-1】（23-24高一上·江蘇·期中）如圖①，“東方之門”通過(guò)簡(jiǎn)單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為80米，高度為200米．則離地面150米處的水平寬度（即CD的長(zhǎng)）為（

）

A．40米 B．30米 C．25米 D．20米【答案】A【分析】以底部所在的直線為x軸，以線段CD的垂直平分線所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求得外側(cè)拋物線的解析式，則可知點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)，從而可得CD的長(zhǎng)．【詳解】以底部所在的直線為x軸，以線段CD的垂直平分線所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系：

，，設(shè)拋物線的解析式為，將代入，得：，解得：，∴拋物線的解析式為，將代入得：，解得：，∴C（-20，150），，，故選：A【變式17-2】（24-25高二上·北京西城·期末）某地出土一古銅斧文物，如圖，銅斧縱截面左右兩邊呈雙曲線形狀.由于年代久遠(yuǎn)，頂部斧刃處兩端有缺口，現(xiàn)小明測(cè)得銅斧縱截面最窄處AB寬4cm，底部CD寬5cm，，底部離最窄處垂直高度為3cm，斧高12cm.請(qǐng)利用所學(xué)知識(shí)，幫小明算算，若原斧刃與AB平行，則其長(zhǎng)度為cm.【答案】【詳解】以所在直線為軸，垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：由題意，，所以，因雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)雙曲線的方程為，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線方程為，因?yàn)楦?2cm，令，得，所以，解得，所以，所以.題型18圓錐曲線中的新定義題【典例18】（24-25高二下·上海楊浦·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線．(1)求的兩條漸近線的夾角；(2)給定點(diǎn)，其中正數(shù)，求上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值；(3)對(duì)平面內(nèi)不在上的任意一點(diǎn)，記為過(guò)點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的直線的全體．對(duì)任意直線，記、為與的兩個(gè)交點(diǎn)，定義．若存在一條直線滿足：與的兩個(gè)交點(diǎn)位于軸異側(cè)，且對(duì)任意不同于的直線，均有，則稱為“好點(diǎn)”．求所有“好點(diǎn)”所構(gòu)成的區(qū)域的面積．【分析】（1）寫出漸近線方程即可判斷夾角；（2）設(shè)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)，求解一元二次函數(shù)的最值即可；（3）設(shè)為好點(diǎn)，則根據(jù)好點(diǎn)定義求出，再根據(jù)好點(diǎn)定義求出直線與雙曲線交于同一支時(shí)得出，即時(shí)，即可求出，求出四邊形面積即可.【詳解】（1）漸近線，夾角為．（2）設(shè)，或，則，當(dāng)即時(shí)，令，最小值為；當(dāng)即時(shí)，令，最小值為．（3）設(shè)為好點(diǎn)，考慮、需滿足的充要條件．若直線的斜率存在，設(shè)直線，，將與聯(lián)立，得．（*）則，，，而，①當(dāng)直線與的左右兩支都有公共點(diǎn)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)有最小值．這說(shuō)明，；②當(dāng)直線與的左支有兩個(gè)公共點(diǎn)或與右支有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，需滿足的條件為：且（*）式的判別式．此時(shí)可得：．這說(shuō)明時(shí)，判別式條件不能成立．即時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，解得．另一方面，當(dāng)時(shí)，．兩邊平方后即得．若直線斜率不存在，假設(shè)直線與雙曲線存在交點(diǎn)，則，則，，則，顯然與好點(diǎn)矛盾；因此，為好點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，于是所有好點(diǎn)對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)?，即由?gòu)成的正方形，故所求面積為．圓錐曲線的新定義題求解策略=1\*GB2⑴緊扣新定義，提取核心條件（如距離關(guān)系、比例等）；=2\*GB2⑵結(jié)合圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)定義（橢圓/雙曲線/拋物線），建立聯(lián)系；=3\*GB2⑶設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，用代數(shù)法（距離公式、坐標(biāo)代入）轉(zhuǎn)化條件；=4\*GB2⑷化簡(jiǎn)方程，對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)式確定曲線類型；5.利用幾何性質(zhì)（焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等）輔助求解，注意定義域限制.【變式18】（2025·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)利用導(dǎo)數(shù)方法求出了過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線的方程為.事實(shí)上，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛莎格在《圓錐曲線論稿》中給出了這樣的結(jié)論：給定一點(diǎn)和一條直線，將點(diǎn)和直線分別稱為橢圓的極點(diǎn)和極線.一般地，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上時(shí)，極線為橢圓在點(diǎn)處的切線；當(dāng)點(diǎn)在橢圓外時(shí)，極線為過(guò)從點(diǎn)作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)的弦所在的直線；當(dāng)點(diǎn)在橢圓內(nèi)時(shí)，極線在橢圓外且與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn).請(qǐng)利用這些結(jié)論解決下列問(wèn)題：(1)已知點(diǎn)和直線分別為橢圓的極點(diǎn)和極線，①求極線的方程；②若為極線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的割線交橢圓于兩點(diǎn)，記所在直線的斜率依次為，求證：.(2)給定橢圓和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線和橢圓相交于兩點(diǎn)，分別連接交于點(diǎn)，記和軸的交點(diǎn)依次為，，求證：為線段的中點(diǎn).【詳解】（1）①因?yàn)?，故在橢圓外，故極線為即直線的方程為.②設(shè)，設(shè)直線的方程為：，又橢圓方程可化為，故，由得：，設(shè)，則（★）故為（★）的兩個(gè)解，所以因?yàn)檫^(guò)，故，故，故.（2）由（1）可得橢圓的以點(diǎn)為極點(diǎn)的極線方程為，故點(diǎn)在極線上，同樣記，連接，由（1）中的結(jié)論可知，，且，故即三點(diǎn)共線，如圖所示，設(shè)，則，由（1）中②知，故，故，故為線段的中點(diǎn).單選題1．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意得，所以，所以，又拋物線開口向左，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故選：B.2．（24-25高二下·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）雙曲線的焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【詳解】，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，漸近線方程為，，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離.故選：B.3．（24-25高一上·重慶·期末）國(guó)家體育場(chǎng)（鳥巢），位于北京奧林匹克公園中心區(qū)南部，為2008年北京奧運(yùn)會(huì)的主體育場(chǎng).某近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知小橢圓的短軸長(zhǎng)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，大橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，則大橢圓的短軸長(zhǎng)為（

）A． B． C．20cm D．【答案】C【詳解】由于小橢圓的短軸長(zhǎng)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故小橢圓的離心率為，故大橢圓的離心率也為，設(shè)大橢圓的短軸長(zhǎng)為，則，解得，故短軸長(zhǎng)為20.故選：C4.直線與曲線（）的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是5（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】取，原方程變?yōu)?，兩個(gè)橢圓與直線有4個(gè)公共點(diǎn)，故選：D5．拋物線繞它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面，用于加熱水和水壺食物的太陽(yáng)灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)過(guò)拋物面的反射后，集中于它的焦點(diǎn).已知一束平行于軸的入射光線的一束光線與拋物線的交點(diǎn)為，則反射光線所在直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，所以拋物線的方程為，則焦點(diǎn)為，又因?yàn)榉瓷涔饩€經(jīng)過(guò)點(diǎn)及焦點(diǎn)，，所以反射光線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，解得或，所以反射光線與拋物線的交點(diǎn)為，由兩點(diǎn)間距離公式可得，所以反射光線所在直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為.故選：C.6．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．96 B．81 C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則P為雙曲線上任意一點(diǎn)，M為圓C：上任意一點(diǎn)，，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，，又，所以，又或，所以根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，，所以，所以.7．（24-25高二下·浙江溫州·開學(xué)考試）已知點(diǎn)，點(diǎn)P為圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線與CP相交于點(diǎn)Q，則面積的最大值為（

）A． B． C．8 D．【答案】B【詳解】如圖，Q是線段AP的垂直平分線上的點(diǎn)，則，則，所以Q點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，則，標(biāo)準(zhǔn)方程為，面積為，顯然，當(dāng)時(shí)，最大，則面積的最大值為.故選：B8．（2025金太陽(yáng)高三全國(guó)大聯(lián)考）設(shè)為拋物線Γ：的焦點(diǎn)，過(guò)且傾斜角為的直線交Γ于兩點(diǎn)（在第一象限），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作Γ的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【詳解】由題意得，Γ的準(zhǔn)線方程為，過(guò)且傾斜角為的直線方程為，所以，得，設(shè)，，，則，，故，，所以，，故，，，故．故選：D.

多選題9．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知兩橢圓和，則（

）A．兩橢圓有相同的焦點(diǎn) B．兩橢圓的離心率相等C．兩橢圓有相同的頂點(diǎn) D．兩橢圓有相同的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心【答案】BD【詳解】設(shè)橢圓，，，則；設(shè)橢圓，，，則.A（×）橢圓的焦點(diǎn)分別在軸上.B（√）的離心率，的離心率.C（×）橢圓的頂點(diǎn)為，，橢圓的頂點(diǎn)為，.D（√）兩橢圓都關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，即它們有相同的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心.故選：BD10．（24-25高二上·廣東河源·期末）已知直線，拋物線與