76/76第一章空間向量與立體幾何教學(xué)目標(biāo)1.邏輯推理：通過例題講解讓學(xué)生掌握用向量解決空間角問題這一方法，能培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)；2.數(shù)學(xué)運算：通過例題的完成，經(jīng)歷解題運算，能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)；3.直觀想象：利用圖形描述數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)與形的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).教學(xué)重難點重點：空間向量法解決立體幾何空間角與空間距離問題難點：空間向量法解決立體幾何中探究性問題及新定義題知識點01空間直角坐標(biāo)系1．建立空間直角坐標(biāo)系(1)在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，通過原點O，再增加一條與平面垂直的z軸，如圖所示，就建立了三個維度的空間直角坐標(biāo)系，可記為空間直角坐標(biāo)系O－xyz.(2)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，點叫做坐標(biāo)原點，軸，軸，軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.由坐標(biāo)軸確定的平面叫作坐標(biāo)平面，x,y軸確定的平面記作xOy平面,y，z軸確定的平面記作yOz平面，z,x軸確定的平面記作zOx平面.2.空間中點的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系中，對于空間任意一點P，都可以用一個三元有序數(shù)組來表示，有序?qū)崝?shù)組叫做點P在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，其中叫做點P的坐標(biāo)（即橫坐標(biāo)），叫做點P的坐標(biāo)（即縱坐標(biāo)），叫做點P的坐標(biāo)（即豎坐標(biāo)）.3..空間兩點間的距離公式空間中任意兩點M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)間的距離|M1M2|=(x特別地,空間中任意一點P(x,y,z)到原點O的距離為|OP|=x4.空間直角坐標(biāo)系中的中點坐標(biāo)公式已知空間中兩點P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),若線段P1P2的中點為P0(x0,y0,z0),則x這個公式稱為空間直角坐標(biāo)系中的中點坐標(biāo)公式,它是平面直角坐標(biāo)系中的中點坐標(biāo)公式的拓展.【深度剖析】空間中點坐標(biāo)公式可以看作平面內(nèi)中點坐標(biāo)公式的升級版,只是比平面內(nèi)的坐標(biāo)多了一個豎坐標(biāo)而已【即學(xué)即練】1．（25-26高二上·江蘇·期中）已知的三個頂點為，，，則邊上的中線長為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（25-26高二上·云南德宏·期中）在空間直角坐標(biāo)系，點關(guān)于平面的對稱點B的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（25-26高二上·四川成都·期中）已知軸上一點到點與點距離相等，則點的豎坐標(biāo)為（

）A． B． C．1 D．2知識點02空間向量的線性運算1.空間向量的加減運算加法運算三角形法則語言敘述首尾順次相接，首指向尾為和圖形敘述平行四邊形法則語言敘述共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和圖形敘述減法運算三角形法則語言敘述共起點，連終點，方向指向被減向量圖形敘述加法運算交換律a＋b＝b＋a結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2.空間向量的數(shù)乘運算定義與平面向量一樣，實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為空間向量的數(shù)乘幾何意義λ>0λa與向量a的方向相同λa的長度是a的長度的|λ|倍λ<0λa與向量a的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的運算律結(jié)合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb【即學(xué)即練】1．如圖，在四面體中，設(shè)，為的重心，為的中點，則（

）A． B．C． D．2．在三棱錐中，M是平面內(nèi)一點，且，則（

）A． B．1 C．2 D．3知識點03共線向量與共面向量1．共線向量與共面向量的區(qū)別共線(平行)向量共面向量定義表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，這些向量叫做共線向量或平行向量注：規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.平行于同一個平面的向量叫做共面向量充要條件共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb.注：（1）存在唯一實數(shù)，使得；（2）存在唯一實數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實數(shù)就不唯一．共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．1、空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).2、空間中四點共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使得對空間中任意一點，都有用途共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進(jìn)而證線面平行）②證明三點共線。注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點。共面向量定理的用途：①證明四點共面②線面平行（進(jìn)而證面面平行）。2.直線l的方向向量如圖O∈l，在直線l上取非零向量，設(shè)P為l上的任意一點，則?λ∈R使得eq\o(OP,\s\up7(→))＝λ.定義：把與平行的非零向量稱為直線l的方向向量．【即學(xué)即練】1．下列說法中正確的是（

）A．是，共線的充要條件B．若，共線，則C．若P，A，B，C為空間四點，且有，則是A，B，C三點共線的充要條件D．A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若，則P，A，B，C四點共面2．已知A，B，C，D是空間不共面的四點，點P滿足：，則（

）A．P，A，B，C四點共面 B．P，A，B，D四點共面C．P，B，C，D四點共面 D．P，A，C，D四點共面知識點04空間向量的數(shù)量積1．(1)空間向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(2)運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c2.投影向量及直線與平面所成的角(1)如圖①，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖②)．(2)如圖③，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)若a，b為非零向量，則a⊥b?a·b＝0；(2)a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(3)若a，b為非零向量，則cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)；(4)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a，b共線時等號成立)．【即學(xué)即練】1．在三棱錐中，，，兩兩垂直，且，為的中點，為的中點，若為該三棱錐外接球上的一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．如圖所示，平行六面體中，，，，．(1)求；(2)求的長度．知識點05空間向量的坐標(biāo)運算1.空間向量的坐標(biāo)運算設(shè)，空間向量的坐標(biāo)運算法則如下表所示：運算坐標(biāo)表示加法減法數(shù)乘數(shù)量積2.空間向量的長度及夾角的坐標(biāo)計算公式設(shè)空間中兩個向量滿足,則(1)模長公式：；(7)夾角公式:當(dāng)時，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝x1x2+【即學(xué)即練】1．（25-26高二上·廣東深圳·期中）設(shè)，向量，且，則（

）A． B． C．4 D．32．（25-26高二上·河北保定·期中）設(shè)空間向量，則（

）A．6 B．9 C．-6 D．-9知識點06空間平行、垂直的向量表示1.空間中平行關(guān)系的向量表示設(shè)向量l，m分別是直線l，m的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量，則線線平行(線線不重合)l∥m?l∥m線面平行(線不在平面內(nèi))l∥α?l⊥n1面面平行(兩個平面不重合)α∥β?n1∥n22.空間中垂直關(guān)系的向量表示設(shè)向量l，m分別是直線l，m的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量，則線線垂直l⊥m?l⊥m線面垂直l⊥α?l∥n1面面垂直α⊥β?n1⊥n2【即學(xué)即練】1．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則（

）A． B． C．3 D．2．（25-26高二上·河北張家口·期中）已知為直線l的方向向量，為平面的法向量，那么下列說法中正確的是（

）A． B．或 C． D．知識點07空間角及向量求法角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩異面直線所成的角為θ，兩直線的方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補(bǔ)的關(guān)系．直線與平面所成的角設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)(1)線面角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(2)直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角．兩平面的夾角平面α與平面β相交，形成四個二面角，把不大于eq\f(π,2)的二面角稱為這兩個平面的夾角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，兩平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)(1)兩個平面的夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))(2)兩平面的夾角是兩法向量的夾角或其補(bǔ)角．【即學(xué)即練】1.如圖，在正方體中，平面與平面的夾角的正切值為（

）A． B． C． D．2．在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在鱉臑中，平面，且，M為中點，為中點，則直線與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．知識點08空間距離及向量求法分類點到直線的距離點到平面的距離圖形語言文字語言設(shè)u為直線l的單位方向向量，A∈l，Pl，eq\o(AP,\s\up7(→))＝a，向量eq\o(AP,\s\up7(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up7(→))（eq\o(AQ,\s\up7(→))＝(a·u)·u.），則PQ＝eq\r(|eq\o(AP,\s\up7(→))|2－|eq\o(AQ,\s\up7(→))|2)＝設(shè)已知平面α的法向量為n，A∈α，Pα，向量eq\o(AQ,\s\up7(→))是向量eq\o(AP,\s\up7(→))在平面上的投影向量，PQ＝注：實質(zhì)上，n是直線l的方向向量，點P到平面α的距離就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的長度．【即學(xué)即練】1．已知，，，，，則直線到平面的距離為（

）A． B． C． D．2.已知正方體的邊長為，點是的中點，則點到直線的距離為.題型01空間向量的線性運算【典例1】四面體中，，且，則等于（

）A． B．C． D．在用已知向量表示未知向量的時候，要注意尋求兩者之間的關(guān)系，通?？蓪⑽粗蛄窟M(jìn)行一系列的轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化到與已知向量在同一四邊形（更多的是平行四邊形）或三角形中，從而可以建立已知與未知之間的關(guān)系式．另外，在平行六面體中，要注意相等向量之間的代換．【變式1-1】平行六面體中，，則實數(shù)的值為（

）A．1 B． C．2 D．3【變式1-2】如圖，四面體中，、分別是線段、的中點，已知，

（1）；（2）；（3）；（4）存在實數(shù)，，使得．則其中正確的結(jié)論是．（把你認(rèn)為是正確的所有結(jié)論的序號都填上）．題型02四點共面問題【典例2】已知點在平面上，點是空間內(nèi)任意一點，且，則的值為．對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．【變式2-1】是三棱錐底面所在平面內(nèi)的一點，滿足的一組數(shù)對是（

）A． B． C． D．【變式2-2】已知為空間任意一點，四點中任意三點不共線，但四點共面，且，則的值為（）A． B． C． D．2題型03空間共線向量定理的應(yīng)用【典例3-1】在下列命題中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則向量共面；④已知空間的三個向量，則對于空間的任意一個向量總存在實數(shù)使得其中正確命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例3-2】已知，，不共面，若，，且三點共線，則（

）A． B．1 C．2 D．3利用共線向量定理可以判定兩直線平行、證明三點共線．證平行時，先從直線上取有向線段來表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，此為證明平行問題的一種重要方法；證明三點共線問題時，通常不用圖形。直接利用向量的線性運算，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點．【變式3-1】設(shè)向量不共面，已知，，，若三點共線，則．【變式3-2】在棱長為2的正方體中，點滿足，點滿足，其中，當(dāng)時，．題型04空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用【典例4-1】設(shè)正四面體的棱長為，，分別是，的中點，則的值為（

）A． B． C． D．【典例4-2】在平行六面體中，，．取棱的中點M，則（

）A． B．C． D．向量的數(shù)量積運算除不滿足乘法結(jié)合律外，其它都滿足，所以其運算和實數(shù)的運算基本相同。求空間向量數(shù)量積的運算同平面向量一樣，關(guān)鍵在于確定兩個向量之間的夾角以及它們的模，利用公式：即可順利計算．1.利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角：本題用傳統(tǒng)立體幾何方法求異面直線BN和SM所成角，可以利用中位線平移或補(bǔ)形在正方體中計算，但是圖形添加輔助線后不易觀察，計算量也稍大。如用向量夾角公式求解，無須添加輔助線，便于觀察圖形，更能有效地解決問題。2.利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度：空間向量求模的運算要注意公式的準(zhǔn)確應(yīng)用。向量的模就是表示向量的有向線段的長度，因此求線段長度的總是可用向量求解。3.利用空間向量的數(shù)量積證垂直：立體幾何中有關(guān)判斷線線垂直問題，通?？梢赞D(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量積為零【變式4-1】在直棱柱中，，且，N是棱上的一點，且滿足，則的最小值為（

）A． B．6 C．3 D．【變式4-2】、、是空間向量，其中，與、的夾角都是，且，，．則．【變式4-3】在等腰直角三角形中，，將三角形沿直角邊上的中線折成平面角為的二面角，則空間中線段的長為．題型05用空間向量解決平行問題【典例5-1】（24-25高二上·山東煙臺·開學(xué)考試）如圖，在長方體中，.

(1)求證：平面平面.（使用向量方法）(2)線段上是否存在點，使得平面？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.【典例5-2】（25-26高二上·全國·單元測試）如圖，已知在三棱錐中，，，OA，OB，OC兩兩垂直．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決下列問題：(1)若OA，OC的中點分別為E，F(xiàn)，試判斷EF與OB之間的位置關(guān)系；(2)若點D滿足，，試確定點D的坐標(biāo)．1、用向量法證明線線平行的思路要證明線線平行,只需取兩直線的方向向量a,b,證明a∥b即可.坐標(biāo)法:根據(jù)圖形特征,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求出兩直線方向向量的坐標(biāo),證明它們共線.2、利用空間向量證明線面平行(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線,轉(zhuǎn)化為線線平行,利用線面平行的判定定理得證.(2)先求直線的方向向量,然后求平面的法向量,證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.3、用向量法證明面面平行的三種思路(1)證明兩個平面的法向量共線.(2)根據(jù)面面平行的判定定理,證明一個平面內(nèi)有兩個相交向量與另一個平面內(nèi)的向量共線.(3)證明一個平面的法向量也是另一個平面的法向量.【變式5-1】（2025高二·全國·專題練習(xí)）如圖，已知在正方體中，，，分別是，，的中點，利用向量法證明：(1)平面；(2)平面平面．【變式5-2】（2025高二·全國·專題練習(xí)）如圖，在正方體中，分別為底面和側(cè)面的中心．求證：(1)平面；(2)平面平面．題型06用空間向量解決垂直問題【典例6-1】（25-26高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）如圖，在直三棱柱中，側(cè)面是正方形，，，分別為棱，的中點，.用向量法證明：平面平面.【典例6-2】（24-25高三上·山東青島·期中）如圖，在三棱錐中，為在平面內(nèi)的射影點，已知，，，，.(1)請以、為基底表示，并證明.(2)求證平面.1、用向量法證明線線垂直的方法用向量法證明空間中兩條直線l1,l2相互垂直,其主要是證明兩條直線的方向向量a,b相互垂直,只需證明a·b=0即可,具體方法有以下兩種.(1)坐標(biāo)法:根據(jù)圖形的特征,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)確地寫出相關(guān)點的坐標(biāo),表示出兩條直線的方向向量,計算出兩向量的數(shù)量積為0.2、用向量法證明線面垂直的兩種方法(1)證明直線的方向向量與平面的法向量共線.(2)根據(jù)線面垂直的判定定理,證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個相交向量垂直.3、用向量法證明面面垂直的兩種思路(1)證明兩個平面的法向量垂直.(2)根據(jù)面面垂直的判定定理,證明一個平面內(nèi)的向量垂直于另一個平面.【變式6-1】（24-25高二下·甘肅白銀·期末）如圖，在正方體中，是的中點，是的中點.(1)在平面內(nèi)確定一點，使平面；(2)證明：棱上不存在點，使平面平面.【變式6-2】（25-26高二上·全國·單元測試）如圖所示，四棱錐的底面是正方形，每條側(cè)棱長都是底面邊長的倍，為側(cè)棱上的點，點為上靠近點的三等分點.(1)求證：；(2)若平面，證明：平面.題型07用空間向量解決空間角問題【典例7-1】（25-26高一下·黑龍江哈爾濱·期中）已知正方體的棱長為2，分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為.【典例7-2】（24-25高二下·云南曲靖·期末）四棱錐底面為菱形，底面，點在上，．(1)證明：；(2)求二面角的余弦值．異面直線所成的角：已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則．線面角：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．二面角：如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，，則二面角的平面角或，【變式7-1】如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，，，M為的中點.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【變式7-2】（25-26高二上·山西臨汾·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，側(cè)面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面為直角梯形，其中．(1)求證：；(2)線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．題型08用空間向量解決空間距離問題【典例8-1】（25-26高二上·黑龍江·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，為的重心，，且，，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【典例8-2】如圖，已知正方體的棱長為2，點是棱的中點.(1)求直線與直線所成角的余弦值；(2)求直線到平面的距離.1.求點面距的一般步驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．即：點A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2.設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點P到直線l的距離.【變式8-1】如圖，在長方體中，，為棱的中點，為棱的中點．

(1)證明，并求直線到直線的距離；(2)求點到平面的距離．【變式8-2】（25-26高二上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，點E在線段上，且，D、F、G分別為的中點．(1)求證：平面ABD；(2)求證：平面EGF平面ABD；(3)求平面EGF與平面ABD的距離．題型09空間向量與立體幾何的綜合問題【典例9】如圖，是正方體體對角線（含端點）上的動點，為棱（含端點）上的動點，則下列說法正確的是（

）A．異面直線與所成角的最小值為B．異面直線與所成角的最大值為C．對于任意給定的，存在點，使得D．對于任意給定的，存在點，使得利用空間向量解決立體幾何的綜合問題時，一般采用各個擊破的策略，即針對位置關(guān)系、空間角、空間距離分別采用相應(yīng)的策略求解.【變式9-1】如圖，四棱柱的棱長均為6，側(cè)棱與底面垂直，且，是側(cè)棱上的點，，是線段上的動點．

(1)以為坐標(biāo)原點、為軸正方向、為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)．(2)求點到平面的距離．(3)在線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為?若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．【變式9-2】（24-25高二下·湖南·期末）如圖，在正三棱柱中，底面邊長為2，側(cè)棱長為，D是BC的中點．

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在線段上是否存在一點E，使得點到平面ADE的距離為?若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．題型10夾角、距離中的最值（范圍問題）【典例10-1】（25-26高三上·北京豐臺·開學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，，.點在線段上，點到直線的距離的最小值為.【典例10-2】（24-25高二下·浙江溫州·期末）已知正方體棱長為1，點E為正方形內(nèi)（含邊界）一動點．

(1)若，證明：面面；(2)若面面，求直線EB與平面ABCD所成角的正弦值的最大值．對于夾角、距離中的最值（范圍）問題，往往利用相應(yīng)的夾角、距離公式建立函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)思想求最值或范圍.【變式10-1】（24-25高二上·河北保定·月考）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，平面，，為的中點，是線段上一點.(1)證明：平面平面.(2)是否存在點M，使得平面？若存在，求PM的長；若不存在，說明理由.(3)求平面與平面夾角的余弦值的最大值.【變式10-2】如圖，在直四棱柱中，，，，，．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)若為線段上的動點，求到直線距離的最小值．題型11空間向量中的新文化、新定義問題【典例11-1】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；鱉臑指的是四個面均為直角三角形的三棱錐如圖，在塹堵中，，若，，直線與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【典例11-2】（24-25高二上·吉林長春·月考）已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量的夾角，記作．定義與的“向量積”為：是一個向量，它與向量都垂直，它的模．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，為線段上一點，．

(1)求的長；(2)若為的中點，求二面角的正弦值；(3)若為線段上一點，且滿足，求．?dāng)?shù)學(xué)文化試題常常是以數(shù)學(xué)文化為背景命制的與核心考點相關(guān)聯(lián)的題目,把數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)學(xué)科核心索養(yǎng)及數(shù)學(xué)思想方法結(jié)合起來，能有效考查考生在新情境中對數(shù)學(xué)文化的鑒賞能力、對數(shù)學(xué)知識的閱讀理解能力、對數(shù)學(xué)方法的遷移能力.解決此類問題主要是學(xué)會提前關(guān)鍵信息，抓住信息重點.【變式11-1】（24-25高二上·河南·期中）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形，且一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.在陽馬中，若平面，且，異面直線與所成角的余弦值為，則（

）A． B． C．2 D．3【變式11-2】（23-24高二上·山東菏澤·月考）有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數(shù)為24，棱長都相等的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.已知點為線段上一點且，若直線與直線所成角的余弦值為，則（

）A． B． C． D．【變式11-3】（24-25高二上·上?！て谀┪覀冎溃矫嬷械慕Y(jié)論有不少可以向空間中進(jìn)行推廣，現(xiàn)有如下平面中的結(jié)論：如圖，已知對任意三角形，都能找到三條等距的平行線，使得.(1)根據(jù)以上平面中的結(jié)論，若D為與邊的交點，試判斷D在線段上的位置；(2)根據(jù)以上平面中的結(jié)論，則在空間中，若對任意給定的四面體，能否作出四個相互平行的平面，使，且相鄰兩個平面間的距離都相等.如能，說明作法并作圖，如不能，說明理由.(3)根據(jù)以上平面中的結(jié)論，則在空間中，若對一個正四面體，能夠作出第（2）小題中的四個平面，且四個平面間距離為1，求此正四面體的體積.一、單選題1．（25-26高二上·福建·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)點是點關(guān)于平面的對稱點，點是點關(guān)于軸的對稱點，則線段的長度等于（

）A． B． C． D．2．在三棱錐中，，，，且，，則等于（

）A． B．C． D．3．已知空間中有5個點、、、、，若滿足，且、、、四點共面，則的值為（

）A． B． C． D．4．（25-26高二上·廣東東莞·月考）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，為的重心，，且，，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．5．（25-26高二上·浙江·期中）如圖，正方形與正方形所在平面互相垂直，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．《九章算術(shù)》第五卷中涉及到一種幾何體——羨除，它下廣六尺，上廣一丈.深三尺，末廣八尺，袤七尺.該羨除是一個多面體，如圖，四邊形，均為等腰梯形，，平面平面，梯形，梯形的高分別為3，7，且，，，則A． B． C． D．7．（河北省名校聯(lián)考2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題）如圖，把邊長為4的正方形紙片沿