PAGE拓展專題02直線與圓中的十八大方程問題TOC\o"1-2"\h\u 考點(diǎn)01中線方程(共2小題)（重點(diǎn)） 1考點(diǎn)02高線方程(共3小題)（重點(diǎn)） 2考點(diǎn)03線段的垂直平分線方程（共3小題）（重點(diǎn)） 3考點(diǎn)04角平分線方程(共4小題) 4考點(diǎn)05直徑圓的方程（共2小題) 7考點(diǎn)06多邊形的外接圓方程（共3小題）（重點(diǎn)） 9考點(diǎn)07多邊形的內(nèi)切圓方程(共3小題) 10考點(diǎn)08圓的切線方程(共3小題)（重點(diǎn)） 15考點(diǎn)09圓的切點(diǎn)弦方程（共3小題） 17考點(diǎn)10中點(diǎn)弦方程(共2小題)（重點(diǎn)） 19考點(diǎn)11直線中的軌跡方程(共4小題)（重點(diǎn)） 20考點(diǎn)12圓中的軌跡方程（共5小題）（重點(diǎn)） 21考點(diǎn)13阿氏圓方程（共2小題）（拓展） 25考點(diǎn)14參數(shù)方程（共3小題）（拓展） 27考點(diǎn)15直線系方程（拓展） 28考點(diǎn)16圓系方程（拓展） 29考點(diǎn)17兩圓的公切線方程(共2小題) 31考點(diǎn)18曲線系方程(共1小題)（拓展） 33考點(diǎn)01中線方程(共2小題)1．（24-25高二上·河南南陽(yáng)·期中）已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則邊上的中線所在直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)式求得邊上的中線所在直線的方程.【詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以邊上的中線所在直線的方程為，整理得.故選：B2．（24-25高二上·江西南昌·階段練習(xí)）已知中有，，且，則邊上的中線所在的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求得的中點(diǎn)坐標(biāo)，再求出與垂直的直線的斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式得答案．【詳解】由，可知邊上的中線所在的直線即為邊的垂直平分線，由，，可得邊的中點(diǎn)為，又，所以邊上的中線所在直線的斜率為，所以邊上的中線所在直線方程為，即.故選：D.考點(diǎn)02高線方程(共3小題)3．（24-25高二上·廣東茂名·期中）已知，，三點(diǎn)，則的邊上的高線所在直線的斜率是（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】邊上的高線垂直于邊，通過邊的斜率即可求出高線的斜率.【詳解】∵，∴.故選：B.4．（24-25高二上·四川綿陽(yáng)·期中）在△ABC中，已知，邊的中線所在的直線方程為：，邊的高線所在的直線方程為：，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由和的方程求出點(diǎn)，設(shè)，分別利用的中點(diǎn)在直線上與，建立方程組，求得點(diǎn)，最后利用點(diǎn)斜式求出直線方程即可.【詳解】由解得：，即,設(shè)點(diǎn)，則的中點(diǎn)在直線上，故得①，又,則得：，即②，聯(lián)立①和②，解得：，即，所以直線的斜率為，于是直線的方程為：，即.故選：D.5．（24-25高二上·天津河?xùn)|·期中）在中，已知，，邊上的中線所在直線的方程為，邊上的高所在的直線方程為：，則的面積為．【答案】【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可設(shè)C坐標(biāo)，結(jié)合兩直線垂直的充要條件計(jì)算可得C，再由點(diǎn)斜式得直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】不妨設(shè)的中點(diǎn)，則，易知直線存在斜率，所以，而邊上的高所在的直線方程為：，所以有，所以，由點(diǎn)到直線的距離公式知A到的距離為，由兩點(diǎn)距離公式得，則的面積為.考點(diǎn)03線段的垂直平分線方程（共3小題）6．（24-25高二上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）若直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出、的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于直線，令可得，即，令可得，即，則、的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，所以線段的垂直平分線方程為，即.故選：D7．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)互相垂直兩直線斜率之間的關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，圓心坐標(biāo)為，由，所以直線的斜率為，因此直線的垂直垂直平分線的斜率為，所以直線的垂直垂直平分線方程為：，故選：A8．（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知兩點(diǎn)，，直線為線段AB的垂直平分線，則直線的方程為；直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為【答案】【分析】求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和直線AB的斜率，從而得到直線的斜率為，利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，化為一般式，再求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，得到三角形面積.【詳解】AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，故直線的斜率為，故直線的方程為，即；中，令得，令得，故與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，故線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為.考點(diǎn)04角平分線方程(共4小題)13．已知，，若的角平分線所在直線方程是，則直線方程為A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查的是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)、直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線，可通過設(shè)B的對(duì)稱點(diǎn)，再根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)進(jìn)行求解．【詳解】分析試題：由題意可知直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱．設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，即．因?yàn)樵谥本€上，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即．故A正確．【點(diǎn)睛】解決直線的對(duì)稱性問題對(duì)考生來(lái)說(shuō)相對(duì)較抽象，可結(jié)合草圖來(lái)加強(qiáng)理解．14．（24-25高二上·廣東佛山·期中）如圖，在中，，所在直線方程分別為和，則的角平分線所在直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意可得，設(shè)的角平分線所在直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，從而可得，再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可得解.【詳解】解：聯(lián)立，解得，即，因?yàn)椋?，即，設(shè)的角平分線所在直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，則，即的角平分線所在直線的斜率為，所以的角平分線所在直線的方程為，即.故選：A.15．已知的頂點(diǎn)，，一條角平分線所在直線為，則點(diǎn)A坐標(biāo)為.【答案】【分析】點(diǎn)A在直線上，求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)，點(diǎn)在直線AB上，可求直線AB的方程，與直線聯(lián)立方程組，可求點(diǎn)A坐標(biāo).【詳解】如圖所示，可知點(diǎn)A在直線上，

令點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).由于直線CD與直線垂直，且線段CD的中點(diǎn)在直線上，于是就有，解得，因此點(diǎn)D的坐標(biāo)為.根據(jù)對(duì)稱性可知點(diǎn)在直線AB上，又點(diǎn)B的坐標(biāo)為，于是直線AB的方程為，即.由，解得，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為.16．（24-25高二上·福建·期中）已知直線過點(diǎn)，且的一個(gè)法向量是.(1)求直線的方程；(2)若直線與軸交于點(diǎn)，將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，求直線的方程；(3)在（2）的條件下，求的角平分線所在的直線方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)直線的點(diǎn)法式方程可得出直線的方程；（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出直線的斜率，分析可知，，可得出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程；（3）設(shè)直線的傾斜角為，分析可知，，則的角平分線所在的直線的傾斜角為，利用兩角和的正切公式可求出角平分線所在直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】（1）因?yàn)橹本€的一個(gè)法向量是，又過點(diǎn)所以可得直線的方程為，化簡(jiǎn)得，所以所求直線的方程為.（2）因?yàn)橹本€與軸交于點(diǎn)，由（1）知的方程為，所以，因?yàn)?，所以，將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則，所以.由點(diǎn)可知直線方程為，即.（3）設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)?，所以，，則，所以，的角平分線所在直線的傾斜角為，則的角平分線所在直線的斜率為，因此，的角平分線所在直線的方程為，即.考點(diǎn)05給出直徑兩端點(diǎn)坐標(biāo)求圓的方程(共2小題)17．（24-25高二上·寧夏吳忠·期末）已知點(diǎn)，則以為直徑的圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知圓心為，半徑為，進(jìn)而可得圓的方程.【詳解】因?yàn)?，可知線段的中點(diǎn)為，且，即圓心為，半徑為，所以所求圓的方程為.故選：D.18．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，過拋物線焦點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，準(zhǔn)線交對(duì)稱軸于點(diǎn)，過焦點(diǎn)且平行于準(zhǔn)線的直線交拋物線于點(diǎn)，直線分別交準(zhǔn)線于兩點(diǎn).(1)問：以為直徑的動(dòng)圓是否過定點(diǎn)？(2)若直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，求證：點(diǎn)恰為（1）中圓的圓心．【答案】(1)動(dòng)圓過兩個(gè)定點(diǎn)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意直線的斜率存在，設(shè)和相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用三點(diǎn)共線性質(zhì)和韋達(dá)定理，進(jìn)而得到動(dòng)圓方程，即可得解；（2）比較動(dòng)圓圓心和點(diǎn)坐標(biāo)，即可得證.【詳解】（1）由已知分析，得焦點(diǎn)且直線的斜率存在，設(shè).聯(lián)立，得，且.，令，則，同理，所以，同理，即.即以為直徑的圓：，即，整理得.則有定點(diǎn)：，解得或.綜上，以為直徑的動(dòng)圓過定點(diǎn).（2）證明：由（1）得，則（1）中圓的圓心為.聯(lián)立，解得，則的坐標(biāo)為.綜上，證得點(diǎn)恰為（1）中圓的圓心.考點(diǎn)06多邊形的外接圓方程（共3小題）19．（24-25高二上·天津和平·期末）三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，則外接圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用圓的一般方程列出方程組求解即可.【詳解】設(shè)所求圓方程為,因?yàn)椋?，三點(diǎn)都在圓上，所以，解得，即所求圓方程為：.故選：C.20．已知圓，點(diǎn)M為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則當(dāng)四邊形周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形的外接圓方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用切線長(zhǎng)定理求出四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)即可求解作答.【詳解】圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線l的距離，依題意，，四邊形周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，此時(shí)直線，由得點(diǎn)，四邊形的外接圓圓心為線段中點(diǎn)，半徑，方程為.故選：D21．過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別,為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的外接圓方程為A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知，，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，此圓的直徑是，外接圓就是四邊形的外接圓.【詳解】由題意知，，，四邊形有一組對(duì)角都等于，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，此圓的直徑是，的中點(diǎn)為，，四邊形的外接圓方程為，外接圓的方程為.故選：A考點(diǎn)07多邊形的內(nèi)切圓方程(共3小題)22．（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測(cè)）已知三點(diǎn)，點(diǎn)P為內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用兩點(diǎn)距離公式判斷得，進(jìn)而利用三角形等面積法求得內(nèi)切圓的半徑，再利用直線與圓相切的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求得內(nèi)切圓的圓心，從而利用點(diǎn)線距離公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，，則，故，所以，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則，解得，又由可知軸，故，則，由可知軸，故，則，所以內(nèi)切圓的圓心為，則圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)P到直線的最小距離為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用兩點(diǎn)距離公式發(fā)現(xiàn)是直角三角形，進(jìn)而求得內(nèi)切圓的半徑，從而得解.23．（23-24高二上·四川樂山·階段練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，.(1)求的外接圓方程和外心坐標(biāo)；(2)求的內(nèi)切圓方程和內(nèi)心坐標(biāo).【答案】(1)，；(2)，.【分析】（1）由圖知，為直角三角形，故的外接圓是以、的中點(diǎn)為外接圓圓心，一半為外接圓半徑，求出圓心和半徑即可得到的外接圓方程；（2）結(jié)合圖形可設(shè)內(nèi)切圓的圓心，半徑為，利用等面積求出，即可得到的內(nèi)切圓的方程和圓心坐標(biāo).【詳解】（1）由圖知，由，，構(gòu)成的三角形為直角三角形，故的外接圓是以、的中點(diǎn)為外接圓圓心，一半為外接圓半徑.又、中點(diǎn)坐標(biāo)為，即圓心，又，，的外接圓方程是，圓心為.（2）由的內(nèi)切圓的圓心為三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，且，結(jié)合圖形可設(shè)內(nèi)切圓的圓心，半徑為.又，即，的內(nèi)切圓是以為圓心，半徑為1的圓，的內(nèi)切圓的方程為，圓心.24．已知，，為的三個(gè)頂點(diǎn)，圓Q為的內(nèi)切圓，點(diǎn)P在圓Q上運(yùn)動(dòng).(1)求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求以，，為直徑的圓的面積之和的最大值、最小值；(3)若，，求的最大值.【答案】(1)(2)最大值為，最小值為(3)【分析】（1）先判斷出為直角三角形，利用面積關(guān)系求出內(nèi)切圓的半徑，結(jié)合圖形求出圓心坐標(biāo)，然后可得圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式和圓的面積公式將圓的面積之和表示為的函數(shù)，根據(jù)可求出結(jié)果；（3）根據(jù)對(duì)稱性，只研究P點(diǎn)在x軸上方，即的情況，此時(shí)先求出的最大值，然后根據(jù)同角公式可出的最大值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以為直角三角形，如圖：設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，由得，由圖可知，圓心為，所以圓.（2）設(shè)，，，，，，因?yàn)椋?，所以以，，為直徑的圓的面積之和的最大值、最小值分別為，.（3）設(shè)，則，根據(jù)對(duì)稱性，只研究P點(diǎn)在x軸上方，即的情況，當(dāng)垂直x軸時(shí)，，，當(dāng)垂直x軸時(shí)，，，當(dāng)和都不垂直軸時(shí)，，，，因?yàn)闉辄c(diǎn)與的斜率，如圖：由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最小值，設(shè)直線：，即，則，結(jié)合，得，所以，，因?yàn)?，所以，由于，所以?dāng)取最大值時(shí)，取最大值，取最大值，所以.考點(diǎn)08圓的切線方程(共3小題)25．（24-25高二上·江西·階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過點(diǎn)，則圓在點(diǎn)P處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求的值,然后求圓心坐標(biāo)，接著求圓心與點(diǎn)連線的斜率，最后求圓在點(diǎn)處的切線方程.【詳解】因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓的方程可得：.即，所以，則圓的方程為.對(duì)于圓，其圓心坐標(biāo)為，所以此圓的圓心.：根據(jù)斜率公式，這里，，則.因?yàn)閳A的切線與圓心和切點(diǎn)連線垂直，若兩條垂直直線的斜率分別為和，則.已知，所以切線的斜率.又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式方程（這里），可得切線方程為.整理得.故選：A.26．（24-25高二上·遼寧葫蘆島·期末）過點(diǎn)的直線與圓相切，則直線的方程為（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】就直線的斜率是否存在分類討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，利用圓心到直線的距離為半徑可求直線方程，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】若直線的斜率不存在，則直線的方程為：，圓心，半徑為，圓心到直線的距離為，符合要求；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為即，故圓心到直線的距離為，故，故此時(shí)直線的方程為，故選：D.27．（25-26高三上·湖北·開學(xué)考試）與圓相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．6條【答案】B【分析】分類討論，①當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)截距為，②當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為.【詳解】因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上截距相等，所以①當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)截距為，.則直線過點(diǎn)，那么直線斜率為.所以直線方程為.因?yàn)樵撝本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑.即，化簡(jiǎn)得，求解得或（舍去）.此情況下有一條直線符合題意，直線方程為.②當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，即.因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑.即，化簡(jiǎn)得，求解得.此情況下有兩條直線符合題意，直線方程為.綜上，共有3條直線符合題目要求.故選：B.考點(diǎn)09圓的切點(diǎn)弦方程（共3小題）28．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知圓的圓心為，且經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意求得其中一個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出的斜率即可求解.【詳解】由題意，圓的半徑為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．當(dāng)斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線為，與圓相切于點(diǎn)．由圓的切線的性質(zhì)可知，，直線AB的方程為，即．故選：A.29．（24-25高二下·河南漯河·期末）設(shè)點(diǎn)P為直線l：上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O：的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB必過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)為直線上的一點(diǎn)，由切線的性質(zhì)得點(diǎn)、在以為直徑的圓上，求出該圓的方程，與圓的方程聯(lián)立可得直線的方程，將其變形分析可得直線恒過的定點(diǎn).【詳解】如圖，連接，，根據(jù)題意，設(shè)為直線上的一點(diǎn)，則，由于為圓的切線，則有，，則點(diǎn)、在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為，半徑，則其方程為，變形可得，聯(lián)立可得直線AB：，又由，則有AB：，變形可得，則有，解可得，故直線恒過定點(diǎn).故選：B.30．（24-25高二上·福建三明·階段練習(xí)）已知，直線，為上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)四邊形面積最小時(shí)，直線的方程為（

）.A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)幾何性質(zhì)可得當(dāng)最小時(shí)四邊形面積最小，求出四邊形外接圓的方程后可求直線的方程.【詳解】由題意可知，.故四邊形的面積.由圓得①，圓心，半徑，即.

要使四邊形面積最小，即最小，又，即求的最小值.當(dāng)直線與垂直時(shí)，最小.直線的斜率，則方程為即.聯(lián)立得，即.中點(diǎn)，則四邊形外接圓為②，直線方程為①-②，即.故選：C.考點(diǎn)10中點(diǎn)弦方程(共2小題)31．（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)垂徑定理可知，，結(jié)合直線的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】圓的圓心為，而點(diǎn)，所以由題意可知，，則，所以所以弦所在的直線的方程為，即.故選：A.32．（24-25高二上·湖北省直轄縣級(jí)單位·期末）已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，過作直線與圓交于，兩點(diǎn).(1)若弦被點(diǎn)平分，求直線的方程.(2)若，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，根據(jù)圓的性質(zhì)可知與直線垂直，通過求出的斜率，進(jìn)而得到直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線的方程.（2）已知弦長(zhǎng)，先根據(jù)圓的半徑和半弦長(zhǎng)以及圓心到直線的距離的關(guān)系求出圓心到直線的距離，然后分直線斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論，分別求出直線的方程.【詳解】（1）圓的方程為，圓心，已知.根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式，可得.弦被點(diǎn)平分時(shí)，，設(shè)直線斜率為，則，所以.已知直線過點(diǎn)，斜率為，根據(jù)點(diǎn)斜式方程，可得直線的方程為，即.（2）設(shè)圓心到直線的距離：圓的半徑，已知.根據(jù)圓的弦長(zhǎng)計(jì)算公式，可得，所以.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)：直線的方程為.此時(shí)圓心到直線的距離為，滿足圓心到直線的距離，所以是直線的一個(gè)方程.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)：設(shè)直線的方程為，即.圓心到直線的距離.即，兩邊平方得.展開得，移項(xiàng)，解得.所以直線的方程為.綜上所得，線的方程為或.考點(diǎn)11直線中的軌跡方程(共4小題)33．（24-25高二上·安徽·階段練習(xí)）已知點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，且的面積為1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】由題意求得，進(jìn)而可求點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是與平行的直線，設(shè)直線方程為，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由可知，直線的方程為的面積為點(diǎn)到直線的距離，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是與平行的直線，設(shè)直線方程為，則或動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為或.故選：D34．（24-25高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入直線的方程化簡(jiǎn)即得.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由，得點(diǎn)，又點(diǎn)在直線上，因此，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B35．（24-25高三上·河北張家口·開學(xué)考試）已知兩點(diǎn)坐標(biāo)分別.直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之和是3，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題先設(shè)K點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)斜率之和為3列出方程，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則直線的斜率為，直線的斜率為，依據(jù)題意可知，，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)橹本€、的斜率存在，所以，所以，故選：A.考點(diǎn)12圓中的軌跡方程（共5小題）36．（25-26高二上·重慶·開學(xué)考試）點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)所連線段中點(diǎn)為，則點(diǎn)軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而代入即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，即，又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在圓上，所以，則，即，則點(diǎn)軌跡方程為.故選：A.37．（24-25高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知圓，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A．( B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，由，得到，代入圓方程即可求解.【詳解】設(shè)，，由，得，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即.故選：B38．（24-25高三上·寧夏石嘴山·期中）已知的斜邊為，且，，則直角邊中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C．（且） D．（且）【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)是線段的中點(diǎn)，得到，根據(jù)計(jì)算即可求得的軌跡方程.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，是線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以，即，所以，由，得，即，又不能與重合，所以且，解得且，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（且）.故選：C39.（24-25高二上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知圓過原點(diǎn)和點(diǎn)，圓心在軸上．(1)求圓的方程；(2)過圓上一動(dòng)點(diǎn)作平行于軸的直線，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，若向量，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩點(diǎn)距離公式可得，即可求解，（2）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用相關(guān)點(diǎn)法即可求解軌跡方程.【詳解】（1）設(shè)圓心為，由題意可得，則，解得，所以，圓的半徑為，故圓的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，共中，則，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，則，可得，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則，即．故點(diǎn)的軌跡方程為．40．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的軌跡方程，并說(shuō)明其形狀；(2)過直線上的動(dòng)點(diǎn)分別作的兩條切線，（、為切點(diǎn)），，交于點(diǎn).（i）證明：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo)；（ii）是否存在點(diǎn)，使的面積最大？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)，曲線是以為圓心，2為半徑的圓(2)（i）證明見解析，；（ii）存在，【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得軌跡的方程；（2）（i）先判斷出點(diǎn)、在以為直徑的圓上，然后根據(jù)兩個(gè)圓的位置關(guān)系來(lái)證得結(jié)論成立；（ii）求得的面積的表達(dá)式，進(jìn)而求得的面積最大值以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)，由題意得，化簡(jiǎn)整理得①，故曲線是以為圓心，2為半徑的圓；（2）如圖：（i）證明：因?yàn)?，，所以點(diǎn)、在以為直徑的圓上，可求得圓的方程為②，所以直線為圓與圓的公共弦所在的直線，由，整理得，即直線的方程為，故直線恒過定點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、重合，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，點(diǎn)、在直線上，所以，綜上，點(diǎn)在以為直徑的圓上，圓方程為，因?yàn)?，又，所以?dāng)時(shí)，的面積最大，此時(shí)，又由，，三點(diǎn)共線，得，即，，所以存在點(diǎn)，使的面積最大，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，通常根據(jù)已知條件建立動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的等式，然后化簡(jiǎn)得到方程.對(duì)于涉及距離比的問題，利用兩點(diǎn)間距離公式構(gòu)建等式是常用方法.當(dāng)出現(xiàn)圓的切線和切點(diǎn)時(shí)，利用圓的性質(zhì)（如切線與半徑垂直）確定點(diǎn)的位置關(guān)系，進(jìn)而得到相關(guān)圓的方程.求兩圓公共弦所在直線方程，通過兩圓方程相減的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，這是處理兩圓公共弦問題的常見技巧.求三角形面積最大值問題，先確定三角形面積的表達(dá)式，再根據(jù)已知條件分析變量的取值范圍，從而求出最大值.對(duì)于三點(diǎn)共線問題，利用直線斜率相等來(lái)建立等式求解參數(shù)，是解決此類問題的常用方法考點(diǎn)13阿氏圓方程（共2小題）（拓展）41．(多選)（23-24高二上·廣東深圳·期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．人們將這個(gè)圓以他們名字命名為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足．設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓的方程為B．圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為9C．在上存在使得D．當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的平分線【答案】ABD【分析】由題意求出圓的方程，即可判斷A；求出圓心到直線的距離，從而可得直線與圓的位置關(guān)系，再求出圓上的點(diǎn)該直線的最大距離，即可判斷B；假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，求出的坐標(biāo)，即可判斷C；根據(jù)題意及角平分線的性質(zhì)，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，，又因?yàn)?，所以，整理得，即，故A正確；對(duì)于B，由A可知圓心，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則，所以直線與圓相離，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)上的點(diǎn)，則有，且，又因?yàn)?，所以，平方得，即，整理得，解得，將代入，則無(wú)解，所以不存在滿足條件的點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，則，所以射線是的平分線，故D正確.故選：ABD.42．（24-25高二上·重慶·期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓稱為“阿波羅尼斯圓”，在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為；若圓上不存在滿足條件的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】,或或.【分析】由得到點(diǎn)M的軌跡方程為圓，再由兩圓的位置關(guān)系求出a的范圍.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?.所以點(diǎn)M在以為圓心，2為半徑的圓上，因?yàn)榈膱A心，半徑為1，由題意圓C與圓D無(wú)公共點(diǎn)，滿足：或，即或，可得或，解得或或.故答案為：；或或.考點(diǎn)14參數(shù)方程（共3小題）（拓展）43．（24-25高二上·寧夏吳忠·期中）已知實(shí)數(shù)滿足．則的最大值是．【答案】【分析】配方已知等式，利用三角換元法，結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，令得，其中，因?yàn)?，所以，所以的最大值?44．（24-25高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）在平面上，已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，動(dòng)線段AP所形成圖形的面積為【答案】【分析】根據(jù)題意確定的軌跡，數(shù)形結(jié)合及扇形的面積公式求動(dòng)線段AP所形成圖形的面積.【詳解】由題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓弧，如下圖示，其中，而，易知，所以動(dòng)線段AP所形成圖形的面積.45．（24-25高三下·上?！るA段練習(xí)）點(diǎn)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則向量在方向上的投影數(shù)量的最大值為.【答案】2【分析】設(shè)點(diǎn)，即可求出，，再由在方向上的投影數(shù)量為及余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)點(diǎn)，則,又，所以，，所以在方向上的投影數(shù)量為，又，所以在方向上的投影數(shù)量的取值范圍為，即在方向上的投影數(shù)量的最大值為.故答案為：.考點(diǎn)15直線系方程（拓展）46．（2025高二上·上?！ｎ}練習(xí)）直線l經(jīng)過原點(diǎn)，且經(jīng)過兩條直線的交點(diǎn)，則直線l的方程為【答案】【分析】思路一：求出交點(diǎn)坐標(biāo)得直線斜率即可求解；思路二：設(shè)所求直線l的方程為，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入求得的值即可.【詳解】方法1：聯(lián)立，解得，所以兩直線的交點(diǎn)為，所以直線l的斜率為，則直線l的方程為；方法2：設(shè)所求直線l的方程為，因?yàn)橹本€l經(jīng)過原點(diǎn)，所以，解得；所以直線l的方程為.故答案為：.47．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）直線過兩直線和的交點(diǎn)，且與直線平行，則直線的方程是．【答案】【分析】根據(jù)直線系方程的性質(zhì)，兩直線平行的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)過兩直線和的交點(diǎn)的直線系方程為，即．由于與平行，所以，解得．當(dāng)時(shí)，直線的方程是，故符合題意.48．設(shè)直線經(jīng)過和的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為.【答案】或【分析】由題可求交點(diǎn)，結(jié)合條件即可求出；或設(shè)直線系方程，結(jié)合已知即求.【詳解】方法一：由，得，所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（14，10）,由題意可得直線的斜率為1或-1，所以直線的方程為或，即或.方法二：設(shè)直線的方程為，整理得，由題意，得，解得或，所以直線的方程為或.故答案為：或.考點(diǎn)16圓系方程（拓展）49．（23-24高二上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）過圓與直線的兩個(gè)交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程為．【答案】【分析】先得到圓與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到過這兩個(gè)交點(diǎn)且面積最小的圓是以為直徑的圓，得到圓心和半徑，得到答案.【詳解】設(shè)圓與直線的兩個(gè)交點(diǎn)為，聯(lián)立，解得或，不妨設(shè)、，則過這兩個(gè)交點(diǎn)且面積最小的圓是以為直徑的圓，則圓心坐標(biāo)為，半徑為，∴此圓方程為．50．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓系方程（，m為參數(shù)），這些圓的公切線方程為.【答案】【分析】先求圓心的軌跡,再設(shè)切線方程計(jì)算即可求出公切線.【詳解】圓心坐標(biāo)為，所以圓心在直線上，設(shè)圓的切線為，即，所以兩直線間的距離為圓的半徑，，所以直線方程為.故答案為:.51．求經(jīng)過點(diǎn)以及圓與交點(diǎn)的圓的方程.【答案】.【分析】方法一，按照?qǐng)A系方程設(shè)為，再代入點(diǎn)，即可求解；方法二，首先求兩圓的交點(diǎn)，再根據(jù)交點(diǎn)特征，設(shè)出圓的方程，代入交點(diǎn)以及點(diǎn)后，即可求解.【詳解】方法一：將化為一般式，所求圓經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)，則可設(shè)所求圓的方程為，整理得：；此圓經(jīng)過,代入上述方程得，解得,所以該圓的方程為，即.方法二：圓與的交點(diǎn)為，因?yàn)閳A心在軸上設(shè)所求圓的方程為，則，解得，所求圓的方程為，化為一般式為.故答案為：.51．已知圓O：與圓相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．若圓經(jīng)過M，N，P三點(diǎn)，則的方程為．【答案】【分析】聯(lián)立方程求M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，法一：根據(jù)幾何性質(zhì)可得圓心C2在x軸上，設(shè)結(jié)合圓的定義運(yùn)算求解；法二：設(shè)圓，代入點(diǎn)，列方程求解.【詳解】聯(lián)立方程，解得或，故M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)為．法一：可得關(guān)于軸對(duì)稱，即線段的中垂線為軸，故所求的圓的圓心C2在x軸上，設(shè)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵，即，求得m＝5，故要求的圓的圓心，半徑為，故要求的圓的方程為．法二：設(shè)圓，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為，代入點(diǎn)，可得，解得，故要求的圓的方程為，即．故答案為：.考點(diǎn)17兩圓的公切線方程(共2小題)53.（多選）（24-25高二上·四川成都·階段練習(xí)）（多選）已知圓和圓相交于A、B兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．兩圓有兩條公切線B．直線AB的方程為C．線段AB的長(zhǎng)為D．所有過點(diǎn)A、B的圓系的方程可以記為【答案】AC【分析】由圓與圓的位置關(guān)系判斷A；求出公共弦所在直線方程判斷B；利用圓的弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)判斷C；判斷方程是否過A、B兩點(diǎn)，再判斷方程是否表示過A、B的所有圓判斷D.【詳解】圓的圓心，半徑，圓圓心，半徑，對(duì)于A，，圓與圓相交，有兩條公切線，A正確；對(duì)于B，圓與圓的方程相減得直線AB的方程：，B錯(cuò)誤；