PAGE拓展專題05求圓錐曲線離心率的十五種技法考點(diǎn)01利用公式求離心率（共4小題） 4考點(diǎn)02利用勾股定理求離心率（共3小題） 6考點(diǎn)03構(gòu)造齊次方程求離心率（共8小題） 8考點(diǎn)04利用“公式2”求離心率(共3小題) 14考點(diǎn)05利用“公式3”求離心率(共4小題) 15考點(diǎn)06利用“公式5”求離心率（共4小題） 18考點(diǎn)07利用斜率乘積求離心率(共3小題) 21考點(diǎn)08利用余弦定理求離心率(共5小題) 23考點(diǎn)09構(gòu)造不等式求離心率的范圍或最值(共6小題) 26考點(diǎn)10以特殊三角形為載體的離心率計(jì)算（共4小題） 31考點(diǎn)11以特殊四邊形為載體的離心率計(jì)算(共6小題) 34考點(diǎn)12以內(nèi)切圓為載體的離心率計(jì)算(共5小題) 39考點(diǎn)13以外接圓為載體的離心率計(jì)算(共2小題) 42考點(diǎn)14以三角形四心為載體的離心率計(jì)算（共5小題） 44考點(diǎn)15以幾何體的截面為載體的離心率計(jì)算(共4小題) 48【重要方法與結(jié)論】一、求橢圓或雙曲線的離心率的三種基本方法（1）公式法：即利用相應(yīng)的離心率計(jì)算公式（如定義式）直接求得離心率；（2）方程法：先得到關(guān)于的齊次方程，再通過作除法轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解.（3）不等式法：對(duì)于求離心率取值范圍的問題，常尋找不等關(guān)系，從而構(gòu)造關(guān)于的齊次不等式，再通過作除法進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的不等式求解.二、求解橢圓離心率的5個(gè)公式公式1:公式2:變形證明:公式3:已知橢圓方程為,兩焦點(diǎn)分別為,設(shè)焦點(diǎn)三角形,,則橢圓的離心率證明:,由正弦定理得:由等比定理得:,即.公式4:以橢圓兩焦點(diǎn)及橢圓上任一點(diǎn)(除長軸兩端點(diǎn)外)為頂點(diǎn),則證明:由正弦定理有.公式5:點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn),過的弦與橢圓焦點(diǎn)所在軸的夾角為為直線的斜率,且.,則;當(dāng)曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí),注:或者而不是或求解雙曲線離心率的5個(gè)公式公式1:公式證明:公式3:已知雙曲線方程為兩焦點(diǎn)分別為,設(shè)焦點(diǎn)三角形,則證明:,由正弦定理得:由等比定理得:即。公式4:以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)及雙曲線上任意一點(diǎn)除實(shí)軸上兩個(gè)端點(diǎn)外)為頂點(diǎn)的,則離心率，證明:由正弦定理,有即又公式5:點(diǎn)是雙曲線焦點(diǎn),過弦與雙曲線焦點(diǎn)所在軸夾角為為直線斜率,,則,當(dāng)曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí),.四、求離心率的一個(gè)神奇公式——e次元公式已知焦點(diǎn)在軸上的圓錐曲線，經(jīng)過其焦點(diǎn)的直線交曲線C于兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，則曲線C的離心率e滿足等式：．為方便計(jì)算，一般讓.推廣一：當(dāng)AB直線的斜率為k，則推廣二：拋物線中，，推廣三：當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，.考點(diǎn)01利用公式求離心率（共4小題）1．（2025高二上·河南鄭州·期中）若雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)三等分兩焦點(diǎn)間的線段，則此雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】通過條件“兩個(gè)頂點(diǎn)三等分兩焦點(diǎn)間的線段”直接找到和的關(guān)系，利用離心率的定義求解．【詳解】由題意可知，，整理得，則．故選：C．2．（25-26高三上·廣東深圳·開學(xué)考試）若雙曲線的漸近線方程是，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用雙曲線的幾何性質(zhì)，求得，進(jìn)而求得雙曲線的離心率，得到答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程是，可得，解得，則，所以雙曲線的離心率為.故選：C.3．（25-26高三上·四川瀘州·開學(xué)考試）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在直線上但不同于右頂點(diǎn).連接FP交橢圓于點(diǎn)Q，且.連接QO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交橢圓于另一點(diǎn)且A，，P三點(diǎn)共線，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)點(diǎn)，結(jié)合橢圓對(duì)稱性求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量共線的坐標(biāo)表示求解.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，則，設(shè)，由，得，于是，，而，則，由三點(diǎn)共線，得，于是，解得，此時(shí)或符合題意，所以橢圓的離心率為.故選：B4．（25-26高二上·湖南邵陽·階段練習(xí)）已知橢圓，過的右焦點(diǎn)作軸的垂線交于兩點(diǎn)，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】代入焦點(diǎn)橫坐標(biāo)，可得到點(diǎn)坐標(biāo)，代入條件即得答案.【詳解】將代入橢圓方程得，整理得，由，得，代入上式，，因此，點(diǎn)和的坐標(biāo)分別為和，弦長為，由已知，有，，離心率，其中，代入，因此：.故選：B

考點(diǎn)02利用勾股定理求離心率（共3小題）5．（25-26高二上·河南南陽·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且為直角.若，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)，則，則，在中，是直角，可得，再根據(jù)離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，則，由橢圓的定義，得，因?yàn)槭侵苯?，所以在中，由勾股定理，得，即，所以橢圓的離心率.故選：B

6．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，得，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理列方程可得答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，由橢圓的定義可得，，因?yàn)椋谥杏晒垂啥ɡ淼?，解得所以，，在中由勾股定理得，從而可?故選：A7．（25-26高三上·浙江·階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過作直線交雙曲線的右半支于兩點(diǎn)，滿足，且面積是面積的兩倍，則雙曲線的離心率為．【答案】【分析】根據(jù)面積比可確定，結(jié)合定義和勾股定理可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而求得，由可求得結(jié)果.【詳解】的面積是面積的兩倍，，設(shè)，則，由雙曲線定義知：，，，，即，解得：或（舍），，，，即，，雙曲線的離心率.考點(diǎn)03構(gòu)造齊次方程求離心率（共8小題）8．（25-26高二上·云南玉溪·階段練習(xí)）已知，是雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)與軸垂直的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)通徑的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】由于是等邊三角形，故,由于通徑長，所以，故，進(jìn)而，故，即，故，故選：D9．（2025·貴州·模擬預(yù)測）已知橢圓E：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為B，右頂點(diǎn)為A，到直線AB的距離為b，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意寫出直線的方程，進(jìn)而點(diǎn)到直線的距離化簡并轉(zhuǎn)化離心率的表達(dá)式，從而解方程可得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)，左焦點(diǎn)，

則直線的方程為，即，由到直線AB的距離為b，得，又，化簡得，即，所以，解得或（舍去）．故橢圓E的離心率為.故選：C10．（25-26高三上·云南·階段練習(xí)）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓上存在點(diǎn)，滿足，且點(diǎn)到直線的距離為．則該橢圓的離心率為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)、橢圓的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，又因?yàn)?，所以，在等腰三角形中，，底邊，過作，垂足為，由已知可知點(diǎn)到直線的距離為．所以有，由勾股定理可知：，而，化簡得：（舍去），或，即，故選：A11．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，若，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)平面向量數(shù)量積和線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得建立方程組，解得，代入雙曲線方程可得e的方程，解之即可求解.【詳解】如圖，，設(shè)，則,由，得，解得，又在雙曲線上，所以，即，整理得，即，由解得.故選：C12．（24-25高三上·江蘇南通·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為的左支上一點(diǎn)，與的一條漸近線平行.若，則的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】由題意得，，由此建立方程即可求解.【詳解】因?yàn)榕c的一條漸近線平行，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，又因?yàn)椋?，注意到，所以，即，整理得，因?yàn)椋?，解?故選：C.13．（2025·浙江嘉興·一模）已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若的離心率為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理列式，再結(jié)合離心率的計(jì)算公式，可求雙曲線的離心率.【詳解】如圖：設(shè)橢圓：，雙曲線：.因?yàn)樗鼈冇邢嗤慕裹c(diǎn)，所以.不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，且，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以.又，所以.又在雙曲線上，所以.所以.所以雙曲線的離心率為：.故選：A14．（25-26高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，為雙曲線上一點(diǎn)，且滿足，則雙曲線的離心率為．【答案】【分析】由題意可得點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用特殊角的三角函數(shù)值和離心率定義即可求解.【詳解】設(shè)，由題意可得,代入雙曲線方程，得到，因?yàn)?，在中，，所以，即即，解?15．（25-26高三上·河北保定·開學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的左焦點(diǎn)，過且斜率為的直線與在第二象限交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.若，則的離心率為.【答案】/【分析】記的右焦點(diǎn)為，連接,利用雙曲線的性質(zhì)求出的三邊，代入余弦定理構(gòu)造齊次式解出離心率即可.【詳解】記的右焦點(diǎn)為，連接,因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槭请p曲線上一點(diǎn)，，所以，由直線的斜率為，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理得，解得或（舍去），即的離心率為，考點(diǎn)04利用“公式2”求離心率(共3小題)16．（24-25高二上·重慶·期末）已知，設(shè)雙曲線和橢圓的離心率分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用雙曲線和橢圓離心率求法可得，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】易知，，由可得，解得；所以.故選：C17．（25-26高三上·江西·階段練習(xí)）已知直線與焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的其中一條漸近線垂直，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)垂直得到雙曲線的一條漸近線斜率為，故，從而求出離心率.【詳解】直線的斜率為，由兩直線垂直可得雙曲線的其中一條漸近線斜率，即焦點(diǎn)在軸上的雙曲線中，故的離心率．故選：D．18．（25-26高三上·上?！るA段練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為.【答案】【分析】由題意可得，即可計(jì)算離心率.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為，由于一條漸近線過點(diǎn)，可得，則.考點(diǎn)05利用“公式3”求離心率(共4小題)19．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用橢圓定義和勾股定理即可求解.【詳解】如圖依題意，，，，則，，由橢圓定義可得，，所以離心率.故選：D.20．已知為橢圓的焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，垂直于x軸，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在直角中，由得到的等量關(guān)系，結(jié)合計(jì)算即可得到離心率.【詳解】由已知，得，則,又在橢圓中通徑的長度為，，故,即,解得故選：C21．（24-25高二上·浙江·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，若直線與橢圓交于點(diǎn)，滿足，則離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】若點(diǎn)在軸上方，可得其不符合題意，舍去，若點(diǎn)在軸下方，則有，再結(jié)合正弦定理及離心率定義計(jì)算即可得解.【詳解】由橢圓焦距為，故，故直線經(jīng)過點(diǎn)，若點(diǎn)在軸上方，有，即，又，則，此時(shí)，不符，故舍去；若點(diǎn)在軸下方，有，即，又，則，則，故.故選：C.22．設(shè)是等腰三角形，，則以，為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題設(shè)條件可知，由正弦定理可得，再由雙曲線的定義可得，最后由離心率公式進(jìn)行計(jì)算即可得解.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)為，，則，是等腰三角形，，，，由正弦定理即，解得，雙曲線過點(diǎn)，由雙曲線的定義可得，解得離心率，故選：B.考點(diǎn)06利用“公式5”求離心率（共4小題）23．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為，過、分別作于，于，于，根據(jù)直線的斜率為，得到，再利用雙曲線的第二定義得到，又，結(jié)合求解.【詳解】設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為，過、分別作于，于，于，如圖所示：因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的傾斜角為，∴，，由雙曲線的第二定義得：，又∵，∴，∴故選：B24．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交C于A、B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為(

)A． B． C．2 D．【答案】A【分析】設(shè)出，，利用雙曲線的第二定義，結(jié)合直線的斜率為，建立等式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，則，過A、B作雙曲線右準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D、C，過B作AD的垂線，垂足為E.根據(jù)雙曲線的第二定義可得，，，由直線的斜率為，可得在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，∴，，.故選：A.25．已知橢圓C：的離心率為，過左焦點(diǎn)F作一條斜率為的直線，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，滿足，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，由得到A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而得到方程，求出實(shí)數(shù)k的值.【詳解】因?yàn)殡x心率，所以，設(shè)直線方程為：，則與橢圓聯(lián)立得：，設(shè)，不妨令，由可得：，其中①，②，將代入①②可得：，，從而，解得：，因?yàn)椋?故選：B26．過橢圓的左焦點(diǎn)F作直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，且直線傾斜角為，則橢圓的離心率.【答案】【分析】作出準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，過準(zhǔn)線的垂線，過作，垂足為，設(shè)，得到，結(jié)合直線的斜率，得到，結(jié)合橢圓的第二定義列出方程，即可求解.【詳解】作出準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，過準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，過作，垂足為，設(shè)，因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)榈膬A斜角為，所以，則，又由橢圓的第二定義，可得，所以，解得，故橢圓的離心率為.故答案為：.考點(diǎn)07利用斜率乘積求離心率(共3小題)27．過雙曲線：（，）的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交于A，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】先設(shè)出直線AB的方程，并與雙曲線的方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法及條件得到關(guān)于的關(guān)系，進(jìn)而求得雙曲線的離心率【詳解】不妨設(shè)過雙曲線的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線為，令由，整理得則，則，由，可得則有，即，則雙曲線的離心率故選：D28．（23-24高二上·湖北荊州·期末）已知曲線與y軸交于A，B兩點(diǎn)，P是曲線C上異于A，B的點(diǎn)，若直線AP，BP斜率之積等于，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用斜率的坐標(biāo)公式求出即可計(jì)算離心率.【詳解】依題意，，設(shè)點(diǎn)，則有，即，由直線AP，BP斜率之積等于，得，即，顯然曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，，所以C的離心率為.故選：A29．（24-25高二上·山東淄博·期末）已知、分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，直線與斜率之積，則此橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)，可得出，利用斜率公式以及已知條件可得出的取值范圍，再由可求得該橢圓離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，且，可得，易知、，所以，所以，可得，故.故選：D.考點(diǎn)08利用余弦定理求離心率(共5小題)30．（25-26高三上·山西長治·開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)橢圓的定義可得，，結(jié)合勾股定理列方程可得，進(jìn)而結(jié)合余弦定理可求得，進(jìn)而求解即可.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，如圖所示，由橢圓的定義可知，，則，同理，則，因?yàn)椋瑒t，則，化簡可得，則，則（舍去）或，所以，所以為橢圓的上（或下）頂點(diǎn)，又，所以在中，，解得，即.故選：A31．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，在中，通過橢圓的定義，余弦定理以及，得到關(guān)于，，，的等式，再通過基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】在中，設(shè)，，則，如圖：

根據(jù)余弦定理，得，配方得：，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，故，解得.故選：D32．（25-26高三上·天津·開學(xué)考試）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，過作的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】由點(diǎn)到線的距離公式可得，由勾股定理可得，從而得，在中，由余弦定理可得，則有，即可得，最后根據(jù)離心率公式計(jì)算即可.【詳解】由題意得，，雙曲線的漸近線方程為，如圖，不妨設(shè)點(diǎn)在直線上，即點(diǎn)在直線上，則，在直角中，，所以，故，在中，，所以，所以，故雙曲線的離心率.故選：C.33．已知是雙曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)條件，利用余弦定理能夠求出，再由雙曲線定義可以推導(dǎo)出，從而求出該雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)，又，，中，由余弦定理有，即，解得，則，，由雙曲線定義，解得．∴雙曲線的離心率．故答案為：．34．（24-25高二上·江蘇淮安·期中）設(shè)雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P是雙曲線E上的一點(diǎn)，若，，則雙曲線E的離心率為．【答案】/【分析】由雙曲線定義和，求出，由余弦定理得到，求出離心率.【詳解】由雙曲線定義知，又，所以，又，由余弦定理得，解得，故離心率為故答案為：考點(diǎn)09構(gòu)造不等式求離心率的范圍或最值(共6小題)35．（25-26高二上·云南昭通·開學(xué)考試）已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義算出，由焦點(diǎn)三角形三邊關(guān)系列不等式求解.【詳解】由橢圓的定義得，又，故，由，得，又橢圓的離心率，則.故選：B36．（24-25高二上·天津·期末）已知橢圓（）的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為A，在以點(diǎn)F為圓心，c為半徑的圓上存在點(diǎn)M，使得直線AM的斜率為則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點(diǎn)，建立關(guān)于的不等式，再根據(jù)，即可求離心率的范圍.【詳解】如圖，直線的方程為，即，圓的方程為，由題意知，直線與圓有公共點(diǎn)，即直線與圓相交或相切，所以，即，解得：，所以，又，所以離心率，又，所以.故選：A37．（2025·湖南湘潭·一模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若圓上存在點(diǎn)使得的中點(diǎn)在的漸近線上，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)為圓上一點(diǎn)，得到的中點(diǎn)，求得，結(jié)合直線與圓有公共點(diǎn)，得到，求得，進(jìn)而求得雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為，則，即，且雙曲線的漸近線方程為，設(shè)為圓上一點(diǎn)，且圓心為，半徑，則的中點(diǎn)在其漸近線上，可得，即，所以點(diǎn)在直線上，因?yàn)閳A心到直線的距離為，因?yàn)閳A上存在點(diǎn)滿足條件，所以直線與圓有公共點(diǎn)，所以，即，可得，可得，所以，又因?yàn)殡p曲線的離心率，所以，所以雙曲線的離心率的取值范圍為.故選：B.38．（24-25高二上·湖北·階段練習(xí)）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于、兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離，得出的表達(dá)式，再根據(jù)題中不等關(guān)系得到、的齊次式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的不等式，進(jìn)而得到離心率的范圍.【詳解】焦點(diǎn)到漸近線即的距離，所以，因?yàn)椋?，所?解得，即，又因?yàn)殡p曲線中，所以.故選：C39．（24-25高二上·吉林·期中）如圖，已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中.“果圓”與軸的交點(diǎn)分別為，與軸的交點(diǎn)分別為，點(diǎn)為半橢圓上一點(diǎn)（不與重合），若存在，則半橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)從而得到向量坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)表示數(shù)量積得到相應(yīng)等量關(guān)系，再由點(diǎn)的變化范圍得到相應(yīng)不等式，進(jìn)而求得取值范圍.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋贮c(diǎn)為半橢圓上一點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)榇嬖?，所以，即在上有解，因?yàn)?，且，所以在上有解，即在上有解，所以又因?yàn)?，所以，即，解得，故選：D40．（25-26高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，是雙曲線的上支上的任意一點(diǎn)（不在軸上），與軸交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是．【答案】【分析】由切線長定理結(jié)合雙曲線定義可得，結(jié)合條件可得，由此可得，再根據(jù)關(guān)系結(jié)合離心率定義求結(jié)論.【詳解】設(shè)該內(nèi)切圓在，上的切點(diǎn)分別為，由切線長定理可得，，，又，，所以，所以，所以，故，所以，因?yàn)?，所以，故，又，所?故答案為：.

考點(diǎn)10以特殊三角形為載體的離心率計(jì)算（共4小題）41．（25-26高三上·安徽蚌埠·階段練習(xí)）已知是原點(diǎn)，是雙曲線的右焦點(diǎn)，過雙曲線的右頂點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線一條漸近線交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得為等邊三角形，繼而得到即可求解．【詳解】由已知，故，∵以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)，∴，則為等邊三角形，故，，所以雙曲線的離心率．故選：B．42．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，以及正三角形的性質(zhì)求得也即橢圓的離心率.【詳解】如圖所示不妨設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓的上頂點(diǎn).依題意可知，是正三角形.因?yàn)樵谥?，，所以，即橢圓的離心率.故選：A43．（25-26高三上·安徽·開學(xué)考試）已知是雙曲線上的三點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若是等邊三角形，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)，可得點(diǎn)，再代入雙曲線方程并整理求得，進(jìn)而求出離心率范圍.【詳解】由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且是等邊三角形，得，設(shè)，則，即點(diǎn)，因此，整理得，由，得，則，于是，解得，即，則的離心率，所以的離心率的取值范圍為.故選：A44．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，其中為左焦點(diǎn)，點(diǎn)為兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，分別為曲線的離心率，若是以為底邊的等腰三角形，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】該題考查橢圓和雙曲線的性質(zhì)，根據(jù)題意，將應(yīng)用到的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)，進(jìn)行運(yùn)算.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為．則依題意得，，，，．由得于是，．又，則．設(shè)，由，．由在區(qū)間上為減函數(shù)，得的值域?yàn)椋缘娜≈捣秶鸀椋蔬xB．考點(diǎn)11以特殊四邊形為載體的離心率計(jì)算(共6小題)45．（25-26高三上·浙江·開學(xué)考試）已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為，，若橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，，則橢圓的離心率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可求得，利用向量的數(shù)量積為，又由基本不等式可得，可得為等邊三角形，進(jìn)而可求離心率.【詳解】連接，，因?yàn)辄c(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又所以為等邊三角形，所以，所以橢圓的離以率為.故選：C.46．（2025·四川巴中·模擬預(yù)測）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，四邊形為矩形，若，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)矩形的邊角關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義和性質(zhì)，可直接求其離心率.【詳解】如圖：

設(shè)，則，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所?所以，.所以.故選：C47．（25-26高三上·重慶·開學(xué)考試）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，與其左支交于點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)不在同一象限，直線與直線為坐標(biāo)原點(diǎn)）的交點(diǎn)在雙曲線上，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)圖形，取左焦點(diǎn)，證明為平行四邊形，推得，由相似比，結(jié)合題設(shè)條件得到，即可求得離心率.【詳解】如圖，因直線與直線為坐標(biāo)原點(diǎn)）的交點(diǎn)在雙曲線上，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，連接，因，則四邊形為平行四邊形，故，易得，則，化簡得，故.故選：B.48．（24-25高二上·江蘇無錫·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C:-=1（a>0，b>0）的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M，N在雙曲線C上.若四邊形OFMN為菱形，則雙曲線C的離心率為（）A．2 B． C． D．+1【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義（或方程）及對(duì)稱性，結(jié)合菱形的性質(zhì)，可得關(guān)系，進(jìn)而得到雙曲線的離心率.【詳解】如圖，因?yàn)樗倪呅蜲FMN為菱形，所以,記雙曲線的焦距為，右焦點(diǎn)為,則,且根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以，所以,所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,所以點(diǎn)在雙曲線上，代入雙曲線方程，得,整理得：，聯(lián)立,得：,化簡得：兩邊同除以,得：,解得：,.因?yàn)殡p曲線的離心率大于1，所以.方法二：如圖，因?yàn)樗倪呅蜲FMN為菱形，所以,記雙曲線的焦距為，右焦點(diǎn)為,則,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以，所以,所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,所以,以,由雙曲線的定義，知,所以,所以,雙曲線C的離心率為.故選：D.49．如圖所示，橢圓的左焦點(diǎn)為F，A、B兩點(diǎn)在橢圓上，且四邊形為菱形，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由橢圓對(duì)稱性可知y軸垂直平分線段，即有為等邊三角形，即可得，代入橢圓方程計(jì)算即可得.【詳解】連接，設(shè)，因?yàn)檩S，所以，又因?yàn)?，所以，故y軸垂直平分線段，即為等邊三角形，且，可得，將其代入，可得，又，整理可得，即，解得，可得（負(fù)值舍去），由橢圓的離心率，可得.故選：B．50．已知雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為、，、為雙曲線一條漸近線上的兩點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn)，若四邊形為矩形，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由雙曲線方程得到漸近線方程，由得到，，再由得到，則，構(gòu)造齊次式，解出離心率.【詳解】由雙曲線，易得雙曲線的漸近線為或，由題意，易得以為直徑的圓的方程為，設(shè)，，則，，聯(lián)立，解得或，，，又，軸，，則，，即，．故選：．考點(diǎn)12以內(nèi)切圓為載體的離心率計(jì)算(共5小題)51．（24-25高二上·安徽阜陽·期中）已知橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的內(nèi)切圓半徑為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)確定焦點(diǎn)三角形的周長和面積，再應(yīng)用等面積法得到齊次式，即可求離心率.【詳解】由題設(shè)，焦點(diǎn)三角形的周長為，面積為，又其內(nèi)切圓半徑為，所以.故選：A52．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，直線交于另一點(diǎn)，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)得出的周長為，再由橢圓的定義得的周長為，列出等式即可求解．【詳解】設(shè)橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，則，，設(shè)的內(nèi)切圓與，相切于點(diǎn)，如圖所示，則，，所以，所以的周長為，由橢圓定義可得，，所以，則，故選：B．

.53．（2025·貴州貴陽·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，直線交M于另一點(diǎn)B，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)C，若，則橢圓M的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要是橢圓的定義及三角形的內(nèi)切圓，作圖利用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)即得答案.【詳解】由題意，如圖，P，D是內(nèi)切圓與的切點(diǎn)，因?yàn)樽?、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，橢圓參數(shù)關(guān)系，由，結(jié)合對(duì)稱性、圓的切線性質(zhì)，令，且，所以，所以，可得，故，故選：D．54．（24-25高二上·湖北·期中）如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且直線與y軸的正半軸交于A點(diǎn)，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為Q，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用橢圓的定義，結(jié)合圓的相切性質(zhì)列式求出，進(jìn)而求出橢圓的離心率.【詳解】令與圓相切的切點(diǎn)分別為，由橢圓定義得，即，由，得，即，由對(duì)稱性得，即，解得，所以該橢圓的離心率為.故選：A55．（25-26高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，是橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，點(diǎn)是以為底的等腰三角形的內(nèi)切圓圓心，過作，垂足為，，則橢圓的離心率為【答案】/【分析】根據(jù)橢圓的定義及三角形內(nèi)切圓的幾何性質(zhì)，以及三角形中位線的性質(zhì)可得出.【詳解】在等腰中，.分別延長與，交于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是三角形的內(nèi)切圓圓心，所以為的平分線，如圖：又因，故與全等，所以為的中點(diǎn)且.又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為三角形的中位線，所以，得.所以由橢圓的定義可得，得，所以離心率為.故答案為：考點(diǎn)13以外接圓為載體的離心率計(jì)算(共2小題)56．（24-25高三上·山東青島·期末）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，焦距為，圓：與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，其中點(diǎn)，分別在第一、四象限，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及定義結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】由于為等邊三角形，由橢圓的對(duì)稱性可得,所以,由橢圓的定義可得,所以橢圓的離心率.故選：C57．設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，，是橢圓上一點(diǎn)，且，若的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為，，當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理計(jì)算，根據(jù)余弦定理計(jì)算，根據(jù)等面積法列方程得出，的關(guān)系，從而可求出橢圓的離心率．【詳解】橢圓的焦點(diǎn)為，，，根據(jù)正弦定理可得，，．設(shè)，，則，由余弦定理得，，，，又，，即，故，解得：或（舍．故選：B．考點(diǎn)14以三角形四心為載體的離心率計(jì)算（共5小題）58．（24-25高二上·山東青島·期中）已知橢圓的左焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，確定,再結(jié)合列出等式即可求解.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，兩式作差化簡可得：即，得，所以，由恰好為的重心，則即可得：，解得：所以，則，平方后得，即，解得：或，由條件，所以.故選：D59．（24-25高二上·山東青島·期中）已知橢圓的左焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，確定,再結(jié)合列出等式即可求解.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，兩式作差化簡可得：即，得，所以，由恰好為的重心，則即可得：，解得：所以，則，平方后得，即，解得：或，由條件，所以.故選：D60．已知橢圓：，，為其左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，的重心為G，I是內(nèi)心，且有（其中為實(shí)數(shù)），橢圓的離心率.【答案】/0.5【分析】設(shè)，求出重心的坐標(biāo)，利用中面積等積法可求出的關(guān)系，即可得橢圓離心率.【詳解】設(shè)為的重心，點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴IG∥x軸或IG兩點(diǎn)重合，∴I的縱坐標(biāo)為，在中，，，又∵I為△F1PF2的內(nèi)心，∴I的縱坐標(biāo)即知內(nèi)切圓半徑，內(nèi)心I把分為三個(gè)底分別為的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形，，即，，∴橢圓C的離心率故答案為:61．（25-26高三上·湖北恩施·開學(xué)考試）已知雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)分別為，，直線與C的右支交于A，B兩點(diǎn)，P，Q分別為，的內(nèi)心，若，則C的離心率為.【答案】【分析】由已知和雙曲線概念可得P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，可得PQ的直線方程為，又直線AB的傾斜角為，可得，則得答案.【詳解】由題意，直線，則直線過，如圖，設(shè)內(nèi)切