PAGE拓展專題07玩轉(zhuǎn)解析幾何中的切線、切點(diǎn)弦的十大問(wèn)題考點(diǎn)01圓的切線與切點(diǎn)弦問(wèn)題（共3小題） 2考點(diǎn)02橢圓的切線與切點(diǎn)弦問(wèn)題（共4小題） 4考點(diǎn)03雙曲線的切線與切點(diǎn)弦問(wèn)題（共4小題） 7考點(diǎn)04拋物線的切線與切點(diǎn)弦問(wèn)題（共4小題） 10考點(diǎn)05兩曲線的公切線問(wèn)題(共3小題) 13考點(diǎn)06切線、切點(diǎn)弦與離心率的綜合（共3小題） 15考點(diǎn)07切線、切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題（共3小題） 18考點(diǎn)08與切線、切點(diǎn)弦有關(guān)的面積問(wèn)題（共3小題） 22考點(diǎn)09與切線、切點(diǎn)弦有關(guān)的定值問(wèn)題（共4小題） 25考點(diǎn)10與切線、切點(diǎn)弦有關(guān)的最值、范圍問(wèn)題（共5小題） 32【重要方法與結(jié)論】1．二次曲線（圓、圓錐曲線）的切線和切點(diǎn)弦(1)切線方程：過(guò)二次曲線（圓、圓錐曲線）Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全為0)上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線的方程為.(2)切點(diǎn)弦方程：當(dāng)M(x0,y0)在曲線外時(shí)，過(guò)M可引該二次曲線的兩條切線，過(guò)這兩個(gè)切點(diǎn)的弦所在直線的方程為：.上述兩條為一般結(jié)論.特別地：(1)過(guò)圓.=2\*GB2⑵橢圓+=1(a>b>0)，其上有一點(diǎn)M(x0,y0)，則過(guò)該點(diǎn)作切線得到的切線方程.當(dāng)M在橢圓外時(shí)，過(guò)M引兩條切線得到兩個(gè)切點(diǎn)，則過(guò)這兩個(gè)切點(diǎn)的直線方程為.=3\*GB2⑶更為一般地，當(dāng)二次曲線有交叉項(xiàng)時(shí)，即形式為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)時(shí)，過(guò)點(diǎn)M(x0,y0)有對(duì)應(yīng)的一條直線為；當(dāng)M在原二次曲線上時(shí)，這條直線為過(guò)M的切線；當(dāng)M在曲線外時(shí)，過(guò)M可引該二次曲線的兩條切線，這條直線為過(guò)這兩個(gè)切點(diǎn)的弦的直線.2．圓錐曲線的切線和切點(diǎn)弦的相關(guān)結(jié)論切線方程：(1)過(guò)圓上任意一點(diǎn)的切線方程為.(2)過(guò)橢圓的切線方程為：；(3)過(guò)雙曲線的切線方程為：；(4)過(guò).切點(diǎn)弦方程(1)過(guò)圓外一點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程為.(2)過(guò)橢圓+=1外一點(diǎn)Px0,y0(3)過(guò)雙曲線的切點(diǎn)弦方程為：；(4)過(guò).說(shuō)明：上述公式的記憶方法均可用“抄一代一”，即把平方項(xiàng)其中一個(gè)照抄，另一個(gè)將變量用已知點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)代入(從曲線上一點(diǎn)作曲線的切線，切線方程可將原方程作如下方法替換求出，，，，).考點(diǎn)01圓的切線與切點(diǎn)弦問(wèn)題（共3小題）1．（24-25高二下·貴州黔西·期末）過(guò)原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】原點(diǎn)在圓上，而圓心，直線斜率為，因此切線的斜率為，方程為，即.故選：A2．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知圓的圓心為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意，圓的半徑為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．當(dāng)斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線為，與圓相切于點(diǎn)．由圓的切線的性質(zhì)可知，，直線AB的方程為，即．故選：A.3．（25-26高三上·安徽阜陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為.【答案】或.【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后分類討論直線斜率存在和斜率不存在兩種情況，由圓心到直線距離等于圓的半徑即可求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑，過(guò)點(diǎn)，斜率不存在的直線方程為，圓心到直線的距離為2，該直線為圓的切線；過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，當(dāng)直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，此時(shí)切線方程為.4．（25-26高二上·四川內(nèi)江·開(kāi)學(xué)考試）過(guò)點(diǎn)的圓的兩條切線，切點(diǎn)為，求：(1)求切線的方程；(2)求切線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)或(2)【詳解】（1）由圓，則圓心為，半徑為3，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為，此時(shí)圓心到切線方程為的距離為3，等于半徑，滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，則，解得，則切線方程為，即.綜上所述，切線方程為或.（2）由切線的性質(zhì)，得，當(dāng)切線為時(shí)，此時(shí)切線與軸垂直，則.考點(diǎn)02橢圓的切線與切點(diǎn)弦問(wèn)題（共4小題）5．（24-25高二下·浙江嘉興·期中）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,32)且與橢圓xA．x+23y?4=0 C．x+23y?2=0 【答案】A【分析】先利用點(diǎn)斜式，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到一元二次方程，讓此方程根的判斷式為零，求出斜率，即可求出切線方程，要考慮斜率不存在的情況．【詳解】顯然當(dāng)x=1時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)存在斜率k時(shí)，直線方程設(shè)為：y?3y?32=k(x?1)直線與橢圓相切，故Δ=0，即[4k(解得k=?3所以切線方程為x+23故選A．6．（24-25高二上·江西吉安·期末）已知過(guò)圓錐曲線x2m+y2n=1上一點(diǎn)Pxo,yo的切線方程為x0A．x?y?3=0 B．x+y?2=0C．2x+3y?3=0 D．3x?y?10=0【答案】B【分析】根據(jù)題中所給的結(jié)論，求出過(guò)A3,?1的切線方程，進(jìn)而可以求出切線的斜率，利用互相垂直的直線之間斜率的關(guān)系求出過(guò)A點(diǎn)且與直線l【詳解】過(guò)橢圓x212+y24=1上的點(diǎn)A3,?1的切線l的方程為與直線l垂直的直線的斜率為?1，過(guò)A點(diǎn)且與直線l垂直的直線方程為y+1=?x?3，即x+y?2=0故選：B.7．（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）已知橢圓M：y2a2(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l1與橢圓M相切，且直線l1與直線l：x?y?32【答案】(1)y2(2)y=x±22【分析】（1）由焦距、所過(guò)點(diǎn)求橢圓參數(shù)，即可得方程；（2）由平行關(guān)系設(shè)直線方程l1：y=x+b，聯(lián)立橢圓方程得4x2【詳解】（1）由題意得2c=4a2=所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2（2）設(shè)與l平行的l1：y=x+b由y26+由Δ=4b2?4×4b2?68．（25-26高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知橢圓C：的離心率，短軸長(zhǎng)為2，是橢圓外一點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，過(guò)點(diǎn)P作直線l與橢圓C相切，求直線l的方程；(3)若過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線互相垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.【答案】(1)(2)或(3)【詳解】（1）由題意得，因?yàn)?，，所以，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：，易得與橢圓C相切；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：，即，聯(lián)立，可得，由可得，，即，解得.此時(shí)直線l的方程為.綜上所述，直線l的方程為或.（3）設(shè)切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)直線PA斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線的斜率為；當(dāng)直線PA斜率為0時(shí)，此時(shí)直線的斜率不存在，易得；當(dāng)直線PA斜率存在且不為0時(shí)，此時(shí)，，設(shè)直線PA方程為，聯(lián)立，可得，由于直線PA與橢圓C相切，所以，化簡(jiǎn)得，即，由于直線PB斜率為，所以方程的兩個(gè)根分別為k和，所以，化簡(jiǎn)得，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡方程為，將代入中成立，綜上所述，點(diǎn)P的軌跡方程為.考點(diǎn)03雙曲線的切線與切點(diǎn)弦問(wèn)題（共4小題）9．（24-25高三上·湖南永州·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)可以作雙曲線的兩條切線，則點(diǎn)坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立判斷過(guò)點(diǎn)作雙曲線的切線情況即可.【詳解】對(duì)于A：設(shè)過(guò)點(diǎn)切線為：代入化簡(jiǎn)整理有：，，因?yàn)闈u近線為：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B:設(shè)斜率為，則過(guò)點(diǎn)的直線方程為,聯(lián)立得，則由，所以過(guò)點(diǎn)有兩條切線，故B正確；對(duì)于C:因?yàn)殡p曲線得兩條漸近線為：，又因?yàn)樵谥本€上，所以過(guò)點(diǎn)的切線有且只有一條，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D:因?yàn)樵陔p曲線上，所以過(guò)點(diǎn)的切線有且只有一條，故D錯(cuò)誤.故選：B.

10．（2025高二·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作雙曲線：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求直線的方程．【答案】【詳解】設(shè)，易得兩條切線的斜率存在，設(shè)的斜率為，則，聯(lián)立方程，消去得，因?yàn)榕c雙曲線相切，所以，即，即，即，因?yàn)?，所以，代入可得，即，所以，所以，即，同理可得的方程為，因?yàn)樵谇芯€上，所以，所以滿足方程，又由兩點(diǎn)確定一條直線，所以滿足直線方程，所以過(guò)的直線方程為.11．（24-25高二上·山西·期中）已知左、右焦點(diǎn)分別為的雙曲線，其實(shí)軸長(zhǎng)為8，其中一條漸近線的斜率為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)為雙曲線右支上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，證明：雙曲線在點(diǎn)處的切線平分．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意知，因?yàn)橐粭l漸近線的斜率為，所以，即，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，顯然切線的斜率存在．設(shè)的方程為，由，消得，由，整理得，又，得到，所以，得到，解得．設(shè)切線與軸交于點(diǎn)，則，所以，即．因?yàn)?，所以，又，所以，則是的內(nèi)角平分線，故切線平分．12．（2024·廣東汕頭·一模）已知點(diǎn)為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn).(1)判斷直線與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)（i）如果把（1）的結(jié)論推廣到一般雙曲線，你能得到什么相應(yīng)的結(jié)論？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，不必證明；（ii）將雙曲線的兩條漸近線稱為“退化的雙曲線”，其方程為，請(qǐng)利用該方程證明如下命題：若為雙曲線上一點(diǎn)，直線：與的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，則為線段的中點(diǎn).【答案】(1)1個(gè)，理由見(jiàn)解析；(2)（i）過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為；（ii）證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）由點(diǎn)在雙曲線上，得，即由消去y得：，則，顯然，所以該直線與雙曲線有且只有1個(gè)公共點(diǎn).（2）（i）由（1）知，直線與雙曲線相切于點(diǎn)，所以過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為.證明如下：顯然，即，由消去y得：，于是，因此直線與雙曲線相切于點(diǎn)，所以過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為.（ii）當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，由對(duì)稱性知，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，線段的中點(diǎn)，由消去y得：，由，得，則，又，于是，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn).考點(diǎn)04拋物線的切線與切點(diǎn)弦問(wèn)題（共4小題）13．（2025·甘肅臨夏·一模）過(guò)點(diǎn)P(?1,2)作兩條直線與拋物線C:y2=4x相切于點(diǎn)A，B，則弦長(zhǎng)|AB|A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】利用直線與拋物線相切設(shè)直線方程求切點(diǎn)，利用兩點(diǎn)距離公式計(jì)算即可.【詳解】由題意直線斜率存在，可設(shè)過(guò)點(diǎn)P(?1,2)的切線方程為y=kx+1與拋物線方程聯(lián)立可得：y2所以Δ=2k

如圖所示，設(shè)Ax1,當(dāng)k=2?1時(shí)，x1當(dāng)k=?2?1時(shí)，x2所以AB=故選：A.14．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知拋物線，為直線上一點(diǎn)，過(guò)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的值為（

）A．0 B．1 C．-2 D．-1【答案】A【詳解】設(shè)，由求導(dǎo)得，則直線方程為，即，同理可得直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得，由點(diǎn)在直線上，得，即故選：A．15．（24-25高二上·吉林·期末）已知拋物線：的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，(1)求拋物線的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相切，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）拋物線：的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，所以，則，拋物線方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，也拋物線無(wú)交點(diǎn)，不合要求，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，與拋物線聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，解得或，所以切線方程為或.16．（24-25高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且F與圓上點(diǎn)的距離的最小值為2．(1)求；(2)已知點(diǎn)，，是拋物線的兩條切線，，是切點(diǎn)，求．【答案】(1)2(2)【詳解】（1）因?yàn)椋ǎ瑒t其到圓心距離減去半徑為2，故.（2）由（1）可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.如圖：

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的切線一定有斜率，故設(shè)切線方程為：，即，代入得：，整理得：.因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以或.當(dāng)時(shí)，由，所以切點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，所以切點(diǎn).所以考點(diǎn)05兩曲線的公切線問(wèn)題(共3小題)17．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓，圓，則橢圓與圓的公切線段長(zhǎng)的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，判斷圓與橢圓的位置關(guān)系，再聯(lián)立方程組進(jìn)行運(yùn)算.【詳解】由題意可得橢圓與圓不可能相離或內(nèi)含；當(dāng)橢圓與圓相切即有如圖所示的交點(diǎn)，由圖顯然可知公切線段長(zhǎng)為0；當(dāng)橢圓與圓相交有下圖所示的公切線，故而存在公切線段長(zhǎng)；設(shè)點(diǎn)所在公共切線的方程為，，聯(lián)立，，,聯(lián)立，，，所以,，又，，．因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取最大值為1．綜上所述，當(dāng)時(shí)，．故選：A18．（24-25高二上·云南楚雄·期末）若直線與單位圓（圓心在原點(diǎn)）和曲線均相切，則直線的一個(gè)方程可以是【答案】（或，，，只需寫出一個(gè)答案即可）【詳解】顯然直線存在斜率，設(shè)直線：，聯(lián)立方程組,得因?yàn)橹本€與曲線相切，所以，即.因?yàn)橹本€與單位圓相切，所以聯(lián)立方程組解得，故直線的方程可能是，，，19.（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）寫出與橢圓x245+y220=1【答案】x+3y+15=0或x?3y+15=0【詳解】由已知，公切線斜率不為0，設(shè)公切線方程為x=my+t.聯(lián)立x=my+t,20其判別式Δ1即?20m2聯(lián)立.x=my+t,y其判別式Δ2=聯(lián)立①②，解得m=±3,t=?15，所以橢圓和拋物線的公切線方程為x+3y+15=0或x?3y+15=0.故答案為：x+3y+15=0或x?3y+15=0.考點(diǎn)06切線、切點(diǎn)弦與離心率的綜合（共3小題）20.（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）簡(jiǎn)化北京奧運(yùn)會(huì)主體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”的鋼結(jié)構(gòu)俯視圖，如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，由外層橢圓頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓引切線．設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，則外層橢圓方程可設(shè)為．若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】先證明：橢圓上一點(diǎn)，的切線方程為．由橢圓，可得，，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)可得：，當(dāng)時(shí)，，切線方程為，整理為：，兩邊同時(shí)除以得：．同理可證：時(shí)，切線方程也為．當(dāng)時(shí)，切線方程為滿足．綜上，過(guò)橢圓上一點(diǎn),的切線方程為．設(shè)，則切線與的方程分別為，則，將分別代入與的方程中得，解得，將代入橢圓中，得，結(jié)合圖形可得，故，，由于橢圓在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，直線與的斜率之積為常數(shù)，，故，即，故可得．故選：A．21.(2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)雙曲線上一點(diǎn)作雙曲線的切線，若直線OP與直線的斜率均存在，且斜率之積為，則雙曲線的離心率為．【答案】/【詳解】設(shè)，由于雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故切線的斜率，因?yàn)?，則，則，即雙曲線的離心率．故答案為：.故答案為：.22．（24-25高三上·浙江杭州·期末）過(guò)點(diǎn)能作雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率的取值范圍為.【答案】【詳解】當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，由可得，故直線與雙曲線相交，不合乎題意；當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，聯(lián)立可得，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)能作雙曲線的兩條切線，則，可得，由題意可知，關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以，，可得，又因?yàn)?，即，因此，關(guān)于的方程沒(méi)有的實(shí)根，所以，且，解得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，該雙曲線的離心率的取值范圍是.考點(diǎn)07切線、切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題（共3小題）23．（25-26高二上·河南·階段練習(xí)）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，且．(1)求．(2)過(guò)上且在圓外的一動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為．（i）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)2(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)圓心到直線距離與弦長(zhǎng)，利用勾股定理直接計(jì)算即可得半徑；（2）（i）結(jié)合（1）中結(jié)論可知，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，利用對(duì)稱性可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）由題意知在以為直徑的圓上，其方程為，求出直線方程為，即可得直線過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為．點(diǎn)到的距離為，所以．（2）（i）因?yàn)榉謩e是過(guò)點(diǎn)的兩條切線與圓的切點(diǎn)，所以點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由得；則，所以直線的方程為．設(shè)，則；解得，即．（ii）設(shè)點(diǎn)．由題意知，所以在以為直徑的圓上，如下圖所示：以為直徑的圓的方程為，與作差，可得直線的方程為，整理得，由，解得即直線過(guò)定點(diǎn)．24．（24-25高二上·湖南衡陽(yáng)·期末）已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足，且.(1)求的方程；(2)已知直線與交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作的切線，若兩切線交于點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，證明：經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，所以曲線是以為焦點(diǎn)，以2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，所以實(shí)半軸長(zhǎng)，半焦距，虛半軸長(zhǎng)，所以曲線的方程為.（2）由題知切線斜率均存在，所以設(shè)過(guò)點(diǎn)所作的切線分別為，由題意知且，由得，因?yàn)榕c相切，所以，且，整理得.此時(shí)可得，即.同理.由得.直線的斜率為，所以的方程為，令，得，即經(jīng)過(guò)定點(diǎn).25.（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，過(guò)拋物線內(nèi)部一點(diǎn)作拋物線的中點(diǎn)弦（為中點(diǎn)），兩條切線、交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，且，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線、，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】設(shè)、、，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)棰?，②，由①②可得．所以，直線的斜率為，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，解得或，不妨取點(diǎn)、，由圖可知，拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率存在，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立可得，即，，解得，所以拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，即，故直線的方程為，同理可知直線的方程為，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，所以，直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)、，由上可知，直線的方程為，直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)為直線、的公共點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足方程，所以直線的方程為，即．當(dāng)時(shí)，，所以過(guò)定點(diǎn)，即點(diǎn)．考點(diǎn)08與切線、切點(diǎn)弦有關(guān)的面積問(wèn)題（共3小題）26．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，與y軸分別交于點(diǎn)C，D，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用過(guò)點(diǎn)的切線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用直線與拋物線的位置關(guān)系求切線方程，再判斷的形狀，即可求外接圓的半徑，并求外接圓的面積.【詳解】不妨取點(diǎn)C位于x軸上方，如圖．易知兩切線斜率均不為零，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的切線方程為，代入拋物線方程，化簡(jiǎn)得，令，得，解得．所以直線：，直線：，所以直線與直線的斜率之積，所以，故的外接圓是以為直徑的圓．在直線：中，令，得，故．在直線：中，令，得，故．故，所以外接圓的面積為．故選：B27．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)分別作E的切線、，切點(diǎn)分別為A、B，則面積最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓上一點(diǎn)的切線方程求出直線的方程，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理將表示出來(lái)，然后列出三角形面積表達(dá)式，最后根據(jù)不等式的性質(zhì)求出三角形面積的最大值.【詳解】因?yàn)闄E圓方程為，設(shè)切點(diǎn)，則切線的方程為，.因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，切線的方程變?yōu)椋?，因?yàn)辄c(diǎn)都在直線上，所以直線的方程為.該直線必過(guò)點(diǎn)剛好是橢圓的右焦點(diǎn).聯(lián)立直線方程和橢圓方程為：，化簡(jiǎn)得.根據(jù)韋達(dá)定理.而所以.因?yàn)?，要使得面積取得最大值，則應(yīng)取最小值，根據(jù)不等式，所以當(dāng)時(shí)，三角形的面積最大，最大值為.故選：A.28．（23-24高二上·遼寧·期末）過(guò)雙曲線上一點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，且.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線的斜率存在，且與雙曲線相切，切點(diǎn)為與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，求四邊形的面積.【答案】(1)(2)2【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為，,因?yàn)?，所以，故雙曲線的方程為（2）當(dāng)動(dòng)直線的斜率存在時(shí)，且斜率時(shí)，不妨設(shè)直線，故由，從而，化簡(jiǎn)得又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，故由，從而點(diǎn).同理可得，，故MN中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以為的中點(diǎn)，故四邊形MONQ為矩形設(shè)四邊形MONQ面積為，則考點(diǎn)09與切線、切點(diǎn)弦有關(guān)的定值問(wèn)題（共4小題）29．（24-25高三上·廣東揭陽(yáng)·期末）如圖所示，已知是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，雙曲線在點(diǎn)處的切線分別與兩條漸近線交于兩點(diǎn)，則.【答案】1【詳解】如下圖所示，設(shè)雙曲線漸近線上的點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，當(dāng)時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即，代入雙曲線方程化簡(jiǎn)為，則且，因?yàn)?，所以，所以，在點(diǎn)處的切線方程為，當(dāng)也符合；且點(diǎn)A，B又在切線l上，，30．（23-24高三上·浙江·期中）已知雙曲線：（，）過(guò)點(diǎn)，且離心率為2，，為雙曲線的上、下焦點(diǎn)，雙曲線在點(diǎn)處的切線與圓：（）交于A，B兩點(diǎn).(1)求的面積；(2)點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)能作雙曲線的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，，記直線和的斜率分別為，，求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）

∵，∴，∴設(shè)過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線的方程為：，由可得，則，即.又因?yàn)榍悬c(diǎn)為Q，所以，所以解得，則過(guò)點(diǎn)的切線的方程為：.設(shè)，，∴交軸于點(diǎn)，聯(lián)立直線與圓的方程消得，∴，.∴，∴.（2）

設(shè)，，，則設(shè)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的切線方程為：，由（1）可知，又因?yàn)?，則，即（*）而，所以，，則（*）式可化為，即可得，，則切線方程為，整理可得過(guò)點(diǎn)M的雙曲線的切線方程為.同理可得過(guò)點(diǎn)的雙曲線的切線方程為.又兩切線均過(guò)點(diǎn)，則，因此，直線的方程為聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消可得，故所以因?yàn)?，則，則所以.31．（24-25高三上·廣東深圳·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線l，交于兩點(diǎn)，且.(1)求的方程：(2)若在M，N處的切線交于點(diǎn)，設(shè)切線GM，GN的斜率分別為.（i）證明：為定值：（ii）求面積的最小值.【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)詳解；（ii）4【詳解】（1）由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)為，且直線l的斜率可能不存在，但不為0，此時(shí)直線l與拋物線必相交，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，且，可得，所以拋物線的方程為.（2）（i）由（1）可知：，設(shè)拋物線在處的切線斜率不為0，設(shè)為，聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，所以；（ii）由（i）可知：拋物線在處的切線方程為，則切線，聯(lián)立方程，解得，即，則點(diǎn)到直線的距離，且，所以面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最小值為4.32.(2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）已知橢圓的焦距為，離心率為，點(diǎn)在上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上，直線為和的公切線，求線段的長(zhǎng)度；(3)直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．為直線上一點(diǎn)，滿足，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，問(wèn)是否存在一點(diǎn)，使得的長(zhǎng)度為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)，定值【詳解】（1）依題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線，則，整理得，所以，則，此時(shí)，同理由點(diǎn)在圓和直線上且與圓相切可得，，所以，，則，所以，所以，所以線段的長(zhǎng)度為；

（3）顯然，設(shè)，，由，可得為線段的中點(diǎn)，由，整理得，所以，而，，所以，則直線，在直線中，令得，所以，因?yàn)?，所以直線，所以，即，即，所以存在點(diǎn)，使得的長(zhǎng)度為定值.

考點(diǎn)10與切線、切點(diǎn)弦有關(guān)的最值、范圍問(wèn)題（共5小題）33．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上.在中，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用幾何條件轉(zhuǎn)化，得，求出的范圍，結(jié)合基本不等式可得答案.【詳解】過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則由拋物線的定義可得，由，在中由正弦定理可知，所以，所以，設(shè)的傾斜角為，則，當(dāng)取得最大值時(shí)，最小，此時(shí)直線與拋物線相切，設(shè)直線的方程為，則聯(lián)立可得即，所以，所以，即，則.可得，即，所以，當(dāng)時(shí)取等.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得則.故選：B.34．（25-26高三上·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)，線段為的一條直徑．設(shè)過(guò)點(diǎn)且與相切的兩條直線的斜率分別為，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可得圓心和半徑，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合相切即可求解.【詳解】由于點(diǎn)，線段為的一條直徑，故圓心,即，圓的半徑為,由題意可知兩條切線的斜率均存在，故設(shè)切線方程為，由相切可得，化簡(jiǎn)可得，故是方程的兩個(gè)根，故故選：D35．（24-25高二上·江蘇徐州·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分