PAGE拓展專題11斜棱柱、不規(guī)則幾何體建系的十大技巧考點01斜棱柱垂面型建系(共2小題) 3考點02斜棱柱垂線法建系（共2小題） 3考點03棱錐垂面型建系（共2小題） 4考點04斜面棱錐建系（共2小題） 5考點05平行六面體型建系（共3小題） 6考點06等角射影角平分線型建系（共2小題） 7考點07臺體建系（共2小題） 8考點08不規(guī)則幾何體型建系（共2小題） 8考點09翻折型建系（共2小題） 9考點10無垂面垂線型（共3小題） 10 【重要方法歸納】類型策略斜棱柱垂面型從以下幾方面思考：垂面如果是菱形，多是60°角菱形，則可以通過菱形分割成兩個等邊三角形，再借助“等邊三角形的中線就是高”，尋找建系的z軸垂面如果是一般梯形，可以借助梯形的中線（等腰梯形）或者直角梯形的直角腰建系.斜棱柱垂線型建系如果存在垂線（投影型）斜棱柱，則可以直接借助垂線作為z軸建系，下底面，可以尋找或者做出一對垂線作為xy軸.這類建系，主要難點是分析“空中”的點的坐標(biāo).空中點坐標(biāo)可以有以下思維：讓空中點垂直砸下來（落下來，尋找投影），投影點坐標(biāo)以及下落的高度借助向量相等，尋找空中點所在線段的向量對應(yīng)的底面相等向量，即可計算出空中點的坐標(biāo)棱錐垂面型建系棱錐型垂面相對而言較簡單，棱錐型垂面，一般垂面多是等腰三角形較多，可以直接用中線來作為z軸.如果是任意三角形，則借助三角形正余弦定理求出高度.z軸可以選擇合適的底面垂線組處斜面型棱錐建系斜面型棱錐建系斜面型棱錐，不容易找到垂面和垂線，多采用投影法來建系：從棱錐頂點向下底面做垂線，通過題中條件，尋找并計算出三棱錐的高.再在垂足處，構(gòu)造或者尋找一對互相垂直的線作為x、y軸來建立坐標(biāo)系.平行六面體型建系平行六面體建型，一般情況下，平行六面體具有特殊性：平行六面體的測棱和底面兩邊所成的角度相等，此時，側(cè)棱在底面射影是底面相鄰邊所成角度的角平分線（可證明），可以選側(cè)棱上合適的點做底面投影以作為z軸建系.等角射影平分線型建系如果一條線和一個角的兩邊所成角度相等，則該線在角度所在平面射影是角平分線.此時，這個模型也滿足“三面角余弦定理”：大題解答時，需要簡單的證明才能使用臺體建系型正棱臺型，建系較簡單，一般是正多邊形中心作為原點，上下底面連線作為z軸.2.非正棱臺型，如有垂面或者垂線，則可以垂面垂線型建系，無垂面垂線，則可參考三棱錐斜面建系思維.不規(guī)則幾何體型建系不規(guī)則幾何體建系型思維：多是有垂面，可以垂面建系，難點在于需要尋找“空中點坐標(biāo)”.如有垂線，則可以垂線型建系.無有垂線和垂面，則可以通過選擇合適幾個點，“切割出”三棱錐，轉(zhuǎn)化為斜面型三棱錐來建系設(shè)點.翻折型建系翻折型幾何體，尋找翻折前和翻折后的“變與不變”的點線面關(guān)系.翻折前翻折后在同一平面內(nèi)的點線，數(shù)量關(guān)系不變.翻折后，一般情況下是存在垂直的平面，可以利用垂面法建系計算翻折后，可以構(gòu)造三棱錐，利用三棱錐斜面建系法來建系計算考點01斜棱柱垂面型建系(共2小題)1.（24-25高三下·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，是邊長為2的正三角形，側(cè)面是矩形，．(1)求證：三棱錐是正三棱錐；(2)若三棱柱的體積為，求直線與平面所成角的正弦值．2．（24-25高二上·廣東東莞·期中）如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，四邊形是菱形，，是的中點，平面平面．(1)若是線段的中點，求證：平面；(2)若是線段的一點（如圖），且，二面角的余弦值為，求的值．考點02斜棱柱垂線法建系（共2小題）3．如圖，在三棱柱中，平面，點為棱的中點，.

(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦的最大值.4.如圖，在斜三棱柱中，，M為AC的中點，．(1)證明：．(2)若，BB1=4，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.考點03棱錐垂面型建系（共2小題）5.（25-26高三上·云南·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，為等邊三角形，平面平面．點是線段的中點，．(1)證明：平面；(2)求平面與平面的所成角的余弦值．6.（25-26高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）如圖，在三棱錐中，平面平面，底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰直角三角形，，，點是的中點.(1)證明：；(2)設(shè)點，，，均在球的球面上.①證明：點O在平面內(nèi)；②求直線與平面所成角的正弦值.考點04斜面棱錐建系（共2小題）7.如圖，在三棱錐中，為等腰直角三角形，，．

(1)求證：；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值．

8.（25-26高三上·廣西·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，平面，，E為棱的中點，，.(1)證明：平面；(2)若，，求二面角的正弦值.考點05平行六面體型建系（共3小題）9．（2025·浙江·二模）如圖，平行六面體中，底面是邊長為2的菱形，，(1)求平行六面體的體積；(2)求平面與平面夾角的余弦值.10．（24-25高二上·遼寧·階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．11.如圖，平行六面體的體積為6，截面的面積為6．

(1)求點到平面的距離；(2)若，，求直線與平面所成角的正弦值．考點06等角射影角平分線型建系（共2小題）12.如圖，在四棱柱中，(1)求證：平面平面；(2)設(shè)為棱的中點，線段交于點平面，且，求平面與平面的夾角的余弦值.13.如圖，在三棱柱中，，，．(1)求證：；(2)若為線段的中點，求直線與平面所成角的正弦值．考點07臺體建系（共2小題）14．（25-26高三上·湖南·階段練習(xí)）已知四棱臺，底面是邊長為2的菱形，平面，，，E是的中點.

(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.15．（24-25高一下·四川綿陽·期末）如圖，在三棱臺中，點D，E分別為，的中點，，，，．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)點M在側(cè)面內(nèi)，且平面，當(dāng)線段最短時，求平面與平面所成的二面角的正弦值．考點08不規(guī)則幾何體型建系（共2小題）16.如圖所示，在多面體中，底面為直角梯形，，，側(cè)面為菱形，平面平面，M為棱的中點．(1)若點N為的中點，求證：平面；(2)若，，求平面與平面夾角的余弦值．17.如圖，在直角梯形ABCD中，，，四邊形為平行四邊形，對角線和相交于點H，平面⊥平面，，，G是線段上一動點（不含端點）．

(1)當(dāng)點G為線段BE的中點時，證明：平面；(2)若，且直線與平面成角，求二面角的正弦值．考點09翻折型建系（共2小題）18.（2025·遼寧·二模）如圖1在梯形ABCD中，，且為AB中點，為BC上一點，且．現(xiàn)將該梯形沿AC折起，使得點折疊至點的位置（如圖2），且二面角的平面角大小為.(1)求證：；(2)求直線CE與平面PEF所成角的正弦值.19.（25-26高二上·寧夏·階段練習(xí)）立德中學(xué)積極開展社團活動，在一次社團活動過程中，一個數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻甍（méng）”這個五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，分別是邊長為4的正方形三邊的中點，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，連接就得到了一個“芻甍”（如圖2）.(1)若是四邊形對角線的交點，求證：平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值；(3)在（2）的條件下，在棱上是否存在點，使得平面與平面所成的二面角的正切值為？若存在，求出點的位置，若不存在，請說明理由.考點10無垂面垂線型（共2小題）20.如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，分別為棱的中點，為線段的中點．(1)證明：平面．(2)求二面角的正弦值．21.（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，．平面．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值