2/20專題4.2直線與圓錐曲線的綜合問題教學(xué)目標(biāo)1.學(xué)會(huì)解決直線與圓錐曲線的綜合問題.2.掌握坐標(biāo)法解決直線與圓錐曲線相交的問題.教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn):四大常見題型：定點(diǎn)、定值、最值及范圍問題.2.難點(diǎn)：利用設(shè)而不求思想解決直線與圓錐曲線相交的問題.知識(shí)點(diǎn)01點(diǎn)差法以橢圓為例：直線與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，與弦AB中點(diǎn)有關(guān)的問題稱為中點(diǎn)弦問題，這類問題的解決常用到“點(diǎn)差法”，其方法是：將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中，得eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),a2)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),b2)＝1，①eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),a2)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),b2)＝1，②①—②，得eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),a2)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),b2)＝0，即eq\f(（x1＋x2）（x1－x2）,a2)＋eq\f(（y1＋y2）（y1－y2）,b2)＝0③設(shè)M(x0，y0)為AB的中點(diǎn)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x1＋x2,2)，④,y0＝\f(y1＋y2,2)，⑤))同時(shí)有直線AB的斜率kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1).⑥將④⑤⑥代入③得kAB＝.直線與雙曲線、直線與拋物線的中點(diǎn)弦問題同樣用“點(diǎn)差法”，同學(xué)們自己推導(dǎo)．【即學(xué)即練】1．（24-25高二下·陜西西安·期末）直線被拋物線截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是（

）．A． B． C． D．2．（24-25高二上·黑龍江雞西·期中）若雙曲線的弦被點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)02圓錐曲線中的熱點(diǎn)題型1.定點(diǎn)問題：是指直線系或者曲線系中，直線系或者曲線系不受參數(shù)變化影響的直線系上或者曲線系上的點(diǎn).2.定值問題：是指不受參數(shù)變化影響的量，如線段的長度、向量的數(shù)量積、直線的斜率等.3.范圍問題：是指符合一定條件的參數(shù)、點(diǎn)的坐標(biāo)、線段長度、直線斜率、向量的數(shù)量積等，隨著其中某個(gè)量的變化而變化的范圍.4.最值問題：是指某個(gè)量在變化過程中的一個(gè)極端情況，即在某個(gè)情況下這個(gè)量比在其他情況下的值都大（小）.【即學(xué)即練】1．已知斜率為1的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，，滿足，則直線一定過定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為．3．（24-25高二上·上?！て谥校┤鬗，N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，P是該雙曲線上任意一點(diǎn)．當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在時(shí)，記為，，則．題型01中點(diǎn)弦問題【典例1】P(1,1)為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過P引一弦，使此弦在P點(diǎn)被平分，求此弦所在的直線方程．破解中點(diǎn)弦問題的兩大策略(1)根與系數(shù)關(guān)系法：將直線方程代入圓錐曲線的方程，消元后得到一個(gè)一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立等式求解(2)點(diǎn)差法：設(shè)直線與曲線交于A、B兩點(diǎn)，將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程，得到兩個(gè)方程，將這兩個(gè)方程作差即可得到直線AB的斜率與線段AB的中點(diǎn)間的關(guān)系，這種方法稱為點(diǎn)差法．【變式1-1】（24-25高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（24-25高三下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線是線段的垂直平分線，且與的交點(diǎn)為，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．【變式1-3】．（23-24高二上·廣東中山·期中）對稱軸都在坐標(biāo)軸上的雙曲線過點(diǎn)，，斜率為的直線過點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，求斜率的取值范圍；(3)是否存在實(shí)數(shù)使得直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好為AB中點(diǎn)？為什么？題型02定點(diǎn)問題【典例2】已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)，點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線與F2N的傾斜角分別為，試問直線l是否過定點(diǎn)？若過，求該定點(diǎn)的坐標(biāo)。求解圓錐曲線中的定點(diǎn)問題的兩種方法(1)特殊推理法：先從特殊情況入手，求出定點(diǎn)，再證明定點(diǎn)與變量無關(guān)．(2)直接推理法：①選擇一個(gè)參數(shù)建立直線系方程，一般將題目中給出的曲線方程(包含直線方程)中的常量當(dāng)成變量，將變量x，y當(dāng)成常量，將原方程轉(zhuǎn)化為kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根據(jù)直線過定點(diǎn)時(shí)與參數(shù)沒有關(guān)系(即直線系方程對任意參數(shù)都成立)，得到方程組③以②中方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線所過的定點(diǎn)，若定點(diǎn)具備一定的限制條件，可以特殊解決．【變式2】（24-25高三上·江蘇·期末）已知點(diǎn)，分別為雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)到雙曲線E的漸近線的距離為，點(diǎn)A為雙曲線E的右頂點(diǎn)，且．(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若四邊形為矩形，其中點(diǎn)B，D在雙曲線E上，求證：直線過定點(diǎn)．題型03定值問題【典例3】橢圓有兩頂點(diǎn)A(-1，0)、B(1，0)，過其焦點(diǎn)F(0，1)的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P．直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q。（1）當(dāng)|CD|=時(shí)，求直線l的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證：為定值。定值問題破解策略定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)值，就是要求的定值．化解這類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變得的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系、點(diǎn)的坐標(biāo)等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.【變式3】（25-26高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）過坐標(biāo)原點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，，直線恰為拋物線的準(zhǔn)線.(1)求的方程；(2)將拋物線向左移4個(gè)單位長度得到新拋物線，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，，為拋物線上不重合的兩點(diǎn)，交于點(diǎn).若直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：的面積恒為定值.題型04范圍問題【典例4】如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)為，且離心率等于，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，試求的取值范圍。圓錐曲線中的范圍問題的求解常用的三種方法(1)函數(shù)法：用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)的單調(diào)性求解．(2)不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，通過解不等式求參數(shù)范圍．(3)判別式法：建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式Δ求參數(shù)的范圍．【變式4】（24-25高二下·貴州銅仁·期末）已知拋物線過點(diǎn)，焦點(diǎn)為．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、兩點(diǎn)，若在以為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．題型05最值問題【典例5】已知橢圓：.（1）若點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，求證：直線為橢圓的切線；（2）若點(diǎn)P為直線上的任意一點(diǎn)，過P作橢圓的切線PM、ＰＮ，其中Ｍ、N為切點(diǎn)，試求橢圓的右焦點(diǎn)F到直線MN的距離的最大值.圓錐曲線中的最值問題的求解常用的三種方法(1)函數(shù)法：用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)的單調(diào)性求得最值．(2)不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，通過解不等式求最值．(3)判別式法：建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式Δ求最值．【變式5】已知拋物線C：，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，且，過點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)求面積的最小值.題型06向量問題【典例6】已知拋物線的焦點(diǎn)為，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線過定點(diǎn)，求面積的取值范圍；(3)若，求直線的方程．圓錐曲線中的向量問題求解策略(1)建系轉(zhuǎn)化：設(shè)圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)坐標(biāo)化，向量用坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.(2)利用性質(zhì)：結(jié)合圓錐曲線定義（如橢圓定義）、焦點(diǎn)弦等性質(zhì)，簡化向量關(guān)系。(3)韋達(dá)定理：聯(lián)立直線與曲線方程，用韋達(dá)定理處理向量數(shù)量積、共線等條件。(4)參數(shù)法：設(shè)參數(shù)（如橢圓參數(shù)方程），將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式求解。(5)幾何意義：借助向量幾何意義（如垂直、中點(diǎn)），結(jié)合圓錐曲線幾何性質(zhì)解題。【變式6】（24-25高二下·上?！て谀┮阎p曲線，左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)．(1)若，為等腰三角形，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)連接（為坐標(biāo)原點(diǎn)）并延長交于點(diǎn)，若，求的最大值．題型07三點(diǎn)共線問題【典例7】已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)，其中一條漸近線的方程為.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交雙曲線于、兩點(diǎn).直線與直線交于點(diǎn)，證明：三點(diǎn)共線.圓錐曲線中三點(diǎn)共線問題破解策略1.斜率法：算兩點(diǎn)斜率，若相等則共線；2.距離法：三點(diǎn)中，若兩點(diǎn)距離和等于第三段距離，共線；3.方程法：求兩點(diǎn)直線方程，代入第三點(diǎn)，滿足則共線；4.向量法：兩向量共線（成倍數(shù)），且共起點(diǎn)或終點(diǎn)，則三點(diǎn)共線.【變式7】已知橢圓的離心率為，焦距為.斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、.（1）求橢圓的方程；（2）若，求的最大值；（3）設(shè)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.若、和點(diǎn)共線，求.題型08角度轉(zhuǎn)化問題【典例8】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.圓錐曲線中角度轉(zhuǎn)化問題破解策略1.斜率關(guān)聯(lián)：利用夾角公式，將角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)斜率的等式（如夾角相等、垂直時(shí)斜率積為-1）；2.向量工具：用向量點(diǎn)積，將角度（如銳角、鈍角、直角）轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的正負(fù)或零；3.幾何轉(zhuǎn)化：借助等腰、對稱等性質(zhì)，將角度條件轉(zhuǎn)化為線段相等或中點(diǎn)、垂直關(guān)系；4.三角函數(shù)：引入?yún)?shù)（如傾斜角），用正切值關(guān)聯(lián)角度與坐標(biāo)，簡化計(jì)算.【變式8】在直角坐標(biāo)系中，已知為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線，的斜率之積為.(1)求的軌跡的方程；(2)若，經(jīng)過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，求證：.題型09圖形問題【典例9】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的焦距為，過點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，的面積為.(1)求C的方程；(2)證明：為鈍角三角形.圓錐曲線中的圖形問題破解策略以圓錐曲線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)為核心，先設(shè)關(guān)鍵點(diǎn)位坐標(biāo)（如交點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)），代入曲線方程得關(guān)系式；再結(jié)合圖形條件（如線段垂直、中點(diǎn)、距離），用坐標(biāo)公式（斜率、中點(diǎn)、距離公式）轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程；最后聯(lián)立方程求解，驗(yàn)證結(jié)果是否符合圖形幾何意義.【變式9】已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，是橢圓上不同的三點(diǎn)，四邊形是邊長為的正方形．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)在軸上是否存在一點(diǎn)，使得為等邊三角形？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．題型10探究性問題【典例10】已知雙曲線（，）過點(diǎn)，且漸近線方程為．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及該常數(shù)的值；若不存在，請說明理由．圓錐曲線中探索性問題的常見解法=1\*GB2⑴假設(shè)存在法：先假設(shè)滿足條件的點(diǎn)、直線等存在，設(shè)其方程或坐標(biāo)，代入曲線方程推導(dǎo)，若有解則存在，無解則不存在.=2\*GB2⑵特殊值法：取特殊位置（如對稱軸、頂點(diǎn)）或特殊參數(shù)值，探索可能結(jié)論，再驗(yàn)證一般情況.=3\*GB2⑶代數(shù)推導(dǎo)法：聯(lián)立方程，用韋達(dá)定理、判別式等，結(jié)合條件（如垂直、中點(diǎn)）列方程，分析解的情況判斷存在性.=4\*GB2⑷幾何直觀法：借助圓錐曲線幾何性質(zhì)（如對稱性、焦點(diǎn)特性），初步判斷是否存在，再代數(shù)驗(yàn)證.【變式10】已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，是橢圓上不同的三點(diǎn)，四邊形是邊長為的正方形．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)在軸上是否存在一點(diǎn)，使得為等邊三角形？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．練基礎(chǔ)1．如圖，橢圓與過點(diǎn)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率．(1)求橢圓方程；(2)設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，求證：．2．（24-25高二下·廣西梧州·期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，過焦點(diǎn)作一條直線交于兩點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求證：直線與的交點(diǎn)在一條定直線上.3．（2025·江西九江·三模）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，在上，．(1)求的方程；(2)過的直線交于另一點(diǎn)（異于），與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)．4．（2025·海南?？凇つM預(yù)測）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為3．(1)求點(diǎn)M的軌跡方程C；(2)若直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)，且（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍．練提升5．已知橢圓,直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（2）若過點(diǎn)，延長線段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說明理由．6.（25-26高三上·內(nèi)蒙古·開學(xué)考試）已知雙曲線C：（，）的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在C上.(1)求C的方程；(2)已知點(diǎn)，，B為線段PQ上一點(diǎn)，且直線AB交C于D，E兩點(diǎn)，證明：.7．（2025·山東臨沂·三模）已知為拋物線的焦點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)若過的直線與交于，兩點(diǎn)，試探究：在軸上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由；(3)若，拋物線上兩點(diǎn)，滿足，且，求的最大值.8．（25-26