2/37專題05拓展：利用隱圓術(shù)破解圓的五大題型題型一：定義圓 2題型二：斜率圓 3題型三：數(shù)量積圓 3題型四：平方圓 5題型五：阿波羅尼斯圓 5【知識(shí)點(diǎn)綜述】1.“隱圓”的概念在題設(shè)中沒(méi)有明確給出圓的相關(guān)信息，而是隱含在題目中，要通過(guò)分析、轉(zhuǎn)化、發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而最終利用圓的知識(shí)來(lái)求解，我們稱這類問(wèn)題為“隱圓問(wèn)題”.比如，當(dāng)一些點(diǎn)滿足到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)、圓周角相關(guān)定理（如同弧所對(duì)圓周角相等）、四點(diǎn)共圓等條件時(shí)，就可能存在隱圓.通過(guò)發(fā)現(xiàn)這些隱藏的圓，就能利用圓的性質(zhì)（如半徑相等、圓心角與圓周角的關(guān)系等）來(lái)解決幾何問(wèn)題，簡(jiǎn)化思考過(guò)程.2．阿波羅尼斯圓定義及性質(zhì)定義：在平面上給定兩點(diǎn)A,B,P點(diǎn)在同一平面上且滿足,當(dāng)且時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是圓，稱之為阿波羅尼斯圓(時(shí)P點(diǎn)的軌跡是線段AB的中垂線).證明：設(shè).因?yàn)橛蓛牲c(diǎn)間距離公式得化簡(jiǎn)得(1)(1)當(dāng)時(shí)得，P點(diǎn)的軌跡是線段AB的中垂線（定義這樣的直線為阿波羅直線）(2)當(dāng)時(shí)方程(1)變形為所以點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓（定義這樣的圓為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱“阿波羅圓”或“阿氏圓”）.性質(zhì)：(1)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.當(dāng)時(shí),點(diǎn)在圓內(nèi),點(diǎn)在圓外.(2)因，過(guò)是圓的一條切線.若已知圓及圓外一點(diǎn)，可以作出對(duì)應(yīng)點(diǎn),反之亦然.(3)所作出的阿波羅尼斯圓的半徑為，面積為.(4)過(guò)點(diǎn)作圓的切線(C為切點(diǎn))，則,分別為的內(nèi)、外角平分線.(5)過(guò)點(diǎn)作圓不與重合的弦,則平分.題型一：定義圓即符合圓的定義，題干中給出條件：在平面內(nèi)，某動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)，則該動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓.1．（2024·全國(guó)·二模）已知直線l1:y=tx+5t∈R與直線l2:x+ty?t+4=0t∈R相交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P到點(diǎn)Qa,3的距離等于1，則實(shí)數(shù)A．?2B．?2C．?2D．?22．（24-25高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知M(x1,y1)，N(x2,A．10,14 B．8,16 C．52,723．圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則的取值范圍是______________．4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B，C為圓xy4上兩點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)，且AB⊥AC，則線段BC的長(zhǎng)的取值范圍為．5.圓，直線，若直線上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)是，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．6.已知A、B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，,P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是題型二：斜率圓定義：在平面內(nèi)，與兩定點(diǎn)斜率之積為-1的點(diǎn)的集合是圓（除去定點(diǎn)所在垂直于軸的直線與曲線的交點(diǎn)）.數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述：在平面內(nèi)，，其中M為動(dòng)點(diǎn)，A，B為動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)M的橫坐標(biāo)不等于A，B的橫坐標(biāo).（該類型實(shí)質(zhì)就是直徑所對(duì)的圓周角為直角的應(yīng)用．）7.已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（2024·浙江嘉興·二模）已知圓C:(x?5)2+(y+2)2=A．0,5 B．5,15 C．10,15 D．15,+9．（2025·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)A1,0，動(dòng)直線l：x+ay+2a?1=0，作AM⊥l于點(diǎn)M，則點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O距離的最小值為（

A．1 B．2+1 C．2?1 10．（24-25高三下·江蘇揚(yáng)州·開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M,N為圓x2+y2=9上兩點(diǎn)，點(diǎn)A1,2，且A．4?2,4+2C．4?5,4+511.設(shè),過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn),則的最大值是______.題型三：數(shù)量積圓定義：在平面內(nèi)，與兩定點(diǎn)形成向量的數(shù)量積為定值的點(diǎn)的軌跡是圓..數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述：在平面內(nèi)，其中M為動(dòng)點(diǎn)，A，B為定點(diǎn)，為定值.注：若，則點(diǎn)M的軌跡方程為，，此時(shí).特別地，若A，B為定點(diǎn)，且，則點(diǎn)M的軌跡是以AB為直徑的圓.12．（2024·北京·三模）已知圓C:x?32+y?12=1和兩點(diǎn)A?t,0,Bt,0t>0A．0,1 B．1,3 C．2,3 D．3,413．已知平面向量，，且非零向量滿足，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．214.（2024·河南鄭州·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A2,4，B?2,?4，動(dòng)點(diǎn)P滿足PO?PA=?1A．22121 B．42929 C．15.已知圓，直線l滿足___________（從①l過(guò)點(diǎn)，②l斜率為2，兩個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答），且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程.題型四：平方圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值點(diǎn)的集合.數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述：在平面內(nèi)，，其中M為動(dòng)點(diǎn)，A，B為定點(diǎn)，為定值.注：若，則點(diǎn)M的軌跡方程為，，此時(shí).16．（24-25江西撫州高二上·期中聯(lián)考）平面上一動(dòng)點(diǎn)P滿足：PM|2+PN|2=6且A．(x+1)2C．x2+y17.（2024·河南·三模）在平面α內(nèi)，已知線段AB的長(zhǎng)為4，點(diǎn)P為平面α內(nèi)一點(diǎn)，且PA2+PB2=10A．π6 B．π4 C．π318．設(shè)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，若直線上存在點(diǎn)Q使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．19．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A2,0，若點(diǎn)M滿足MA2+MO題型五：阿波羅尼斯圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值點(diǎn)的集合.數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述：在平面內(nèi)，，其中M為動(dòng)點(diǎn)，A，B為定點(diǎn)，為定值.注：若，則點(diǎn)M的軌跡方程為，，此時(shí).20．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0),A(3,0)的距離之比為2，那么直線OM的斜率的取值范圍是（）A．26,62 B．?72,21．（23-24高二上·江西南昌·階段練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書(shū)，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比MQMP=λ（λ>0，λ≠1），那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，已知?jiǎng)狱c(diǎn)的M與定點(diǎn)Qm,0和定點(diǎn)P?12,0的距離之比為2，其方程為xA．6 B．7 C．10 D．1122．已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的面積等于.23．已知點(diǎn)P到兩