14/14專題09空間向量在立體幾何中的應(yīng)用綜合大題考點(diǎn)01解決四點(diǎn)共面問題(共4小題) 1考點(diǎn)02證明線面（面面）平行（共3小題）(重點(diǎn)) 2考點(diǎn)03證明線面（面面）垂直(共2小題)（重點(diǎn)） 3考點(diǎn)04解決異面直線所成的角問題(共2小題)（重點(diǎn)） 4考點(diǎn)05解決線面角問題（共3小題）（重點(diǎn)） 5考點(diǎn)06解決兩平面夾角、二面角問題（共3小題）（重點(diǎn)） 6考點(diǎn)07求點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、線線距（共4小題）（重點(diǎn)） 7考點(diǎn)08求點(diǎn)面距、線面距、面面距（共3小題）（重點(diǎn)） 8考點(diǎn)09解決異面直線間的距離(共2小題)（拓展） 9考點(diǎn)10折疊問題（2小題）（難點(diǎn)） 10考點(diǎn)11夾角、距離中的最值（范圍）問題（共3小題）（難點(diǎn)） 11考點(diǎn)12空間向量中的新文化、新定義問題（共4題）（難點(diǎn)） 12考點(diǎn)01解決四點(diǎn)共面問題(共4小題)1．（25-26高二上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn).(1)若三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)x的值.(2)若，求實(shí)數(shù)x的值.2．（24-25高二上·安徽·階段練習(xí)）已知向量是空間中不共面的三個向量，.(1)若，求的值；(2)若四點(diǎn)共面，求的值.3．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平行六面體，底面是正方形，，，，，，，設(shè)，，．(1)用向量表示向量，并求的長度；(2)設(shè)點(diǎn)滿足，是否存在使得，，三點(diǎn)共線，若存在求出，若不存在請說明理由．4．（2025高二上·全國·專題練習(xí)）已知O，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H為空間的9個點(diǎn)（如圖所示），并且，，，，．求證：(1)A，B，C，D四點(diǎn)共面，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)；(3)三點(diǎn)共線．考點(diǎn)02證明線面（面面）平行（共3小題）5．（24-25高二下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點(diǎn)M，N分別在對角線BD，AE上，且，.用向量方法證明：平面.6.（24-25高二上·山東煙臺·開學(xué)考試）如圖，在長方體中，.

(1)求證：平面平面.（使用向量方法）(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.7.（25-26高二上·全國·單元測試）如圖，已知在三棱錐中，，，OA，OB，OC兩兩垂直．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決下列問題：(1)若OA，OC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，試判斷EF與OB之間的位置關(guān)系；(2)若點(diǎn)D滿足，，試確定點(diǎn)D的坐標(biāo)．考點(diǎn)03證明線面（面面）垂直(共2小題)8．（25-26高二上·河南鄭州·階段練習(xí)）在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上移動，且，(1)當(dāng)為何值時，直線與平面平行？請說明理由.(2)當(dāng)平面與平面垂直時，求的值.9.（24-25高三上·山東青島·期中）如圖，在三棱錐中，為在平面內(nèi)的射影點(diǎn)，已知，，，，.(1)請以、為基底表示，并證明.(2)求證:平面.考點(diǎn)04解決異面直線所成的角問題(共2小題)10．（25-26高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，是的直徑.與所在的平面垂直，，C是上的一動點(diǎn)（不同于A，B），M為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，且.(1)求證：；(2)當(dāng)時，求直線與直線所成角的余弦值.11．（25-26高二上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，正三棱柱的側(cè)棱長為6，底面邊長為3，D為的中點(diǎn)．記，，．

(1)用基底表示向量，；(2)求，，；(3)求異面直線BD與所成角的余弦值．考點(diǎn)05解決線面角問題（共3小題）12.（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面平面，．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．13.（24-25高二上·浙江·期中）如圖，四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)若為線段上一點(diǎn)，且，為何值時，直線與平面所成角的正弦值為?14．（2025·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，與均為等腰直角三角形，，E為BC的中點(diǎn)．(1)若分別為的中點(diǎn)，求證：平面PAB；(2)若平面ABCD，，求直線AB與平面PCD所成角的正弦值．考點(diǎn)06解決兩平面夾角、二面角問題（共3小題）15.（25-26高二上·山西臨汾·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，側(cè)面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面為直角梯形，其中．(1)求證：；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．16．（24-25高一下·廣東深圳·期末）如圖，在四棱錐中，，，，平面平面，E為中點(diǎn).

(1)求證：面；(2)點(diǎn)Q在棱上，若二面角的余弦值為，求的值.17．（2025·天津·高考真題）正方體的棱長為4，分別為中點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求三棱錐的體積．考點(diǎn)07求點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、線線距（共4小題）17.（25-26高二上·全國·單元測試）如圖，在長方體中，，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．

證明，并求直線到直線的距離.18．（25-26高二上·廣西來賓·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，底面，且，為的中點(diǎn).(1)求證：(2)求的長；19.（24-25高二下·廣西桂林·期末）如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求二面角的余弦值；(3)求點(diǎn)到直線的距離．考點(diǎn)08求點(diǎn)面距、線面距、面面距（共3小題）20.（25-26高二上·新疆巴音郭楞·階段練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，點(diǎn)E在線段上，且，D、F、G分別為的中點(diǎn).

(1)求證：平面EGF平面ABD；(2)求平面EGF與平面ABD的距離.21.（24-25高二下·湖南·期末）如圖，在正三棱柱中，底面邊長為2，側(cè)棱長為，D是BC的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)E，使得點(diǎn)到平面ADE的距離為?若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．22．（2025·河北廊坊·模擬預(yù)測）如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，上、下底面半徑分別為2，4，圓臺母線與底面所成角為是下底面圓周上一點(diǎn)（異于點(diǎn)）.

(1)已知，若線段上存在一點(diǎn)，使得平面，試確定點(diǎn)的位置，并求直線與平面的距離；(2)若平面與平面的夾角為，求.考點(diǎn)09解決異面直線間的距離(共2小題)（拓展）23.（24-25高二下·河南開封·期末）如圖，兩個正方形框架、的邊長都是，且它們所在的平面相互垂直．(1)證明：；(2)證明：與是異面直線；(3)定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值．依據(jù)上述定義，求異面直線與之間的距離．24．（24-25高一下·浙江寧波·期末）如圖，在四面體中，，．(1)求二面角的平面角的大??；(2)求異面直線與間的距離．考點(diǎn)10折疊問題（2小題）25．（2025·陜西漢中·模擬預(yù)測）如圖1，在矩形中，，是的中點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，使得平面平面（如圖2），連接，，是棱的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)求直線和平面所成角的正弦值．26.(24-25高二下·廣西南寧·期末）如圖所示，五邊形是正六邊形的一部分，將沿著對角線翻折到的位置，使平面平面，已知點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．考點(diǎn)11夾角、距離中的最值（范圍）問題（共3小題）27.（24-25高二下·浙江溫州·期末）已知正方體棱長為1，點(diǎn)E為正方形內(nèi)（含邊界）一動點(diǎn)．

(1)若，證明：面面；(2)若面面，求直線EB與平面ABCD所成角的正弦值的最大值．28．（24-25高三下·湖北·開學(xué)考試）如圖，在平面四邊形中，為等腰直角三角形，為正三角形，，，現(xiàn)將沿翻折至，形成三棱錐，其中S為動點(diǎn)．

(1)證明：；(2)若，三棱錐的各個頂點(diǎn)都在球O的球面上，求球心O到平面的距離；(3)求平面與平面夾角余弦值的最小值．29．（25-26高二上·黑龍江齊齊哈爾·開學(xué)考試）圖①平面四邊形中，，，，以BE為軸將折起至，如圖②得四棱錐，為中點(diǎn)，為線段上動點(diǎn).

(1)求異面直線所成的角的余弦值(2)求面積的最小值及對應(yīng)的值(3)求點(diǎn)M到EF的距離的取值范圍.考點(diǎn)12空間向量中的新文化、新定義問題（共4題）30．（24-25高二上·上海金山·期末）我們稱為向量與的向量積，現(xiàn)定義空間向量與的向量積：若，，則.區(qū)別于向量的數(shù)量積的結(jié)果是標(biāo)量，向量的向量積的結(jié)果仍然為向量.已知在三棱錐中，記.(1)若，求；(2)①向量是即有大小又有方向的量.試根據(jù)問題（1）的結(jié)果，猜測一個有關(guān)方向的一般結(jié)論（不必證明）.②若，求直線與平面的所成角的大小；(3)證明，并用表示三棱錐的體積.31．（24-25高二上·吉林長春·月考）已知兩個非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量的夾角，記作．定義與的“向量積”為：是一個向量，它與向量都垂直，它的模．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，為線段上一點(diǎn)，．

(1)求的長；(2)若為的中點(diǎn)，求二面角的正弦值；(3)若為線段上一點(diǎn)，且滿足，求．32．（24-25高三下·甘肅白銀·階段練習(xí)）空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：①多面體頂點(diǎn)的曲率等于減去多面體在該點(diǎn)處所有面角之和；②多面體的總曲率等于多面體所有頂點(diǎn)的曲率之和，多面體各頂點(diǎn)的平均曲率等于它的總曲率與頂點(diǎn)數(shù)之商，其中多面體的面的內(nèi)角叫作多面體的面角，角度用弧度制．例如：正四面體每個頂點(diǎn)均有3個面角，每個面角均為，故其各個頂點(diǎn)的曲率均為．(1)如圖1，已知四棱錐的底面ABCD為菱形，，O為BD的中點(diǎn)，且平面ABCD，．①求該四棱錐在頂點(diǎn)P處的曲率的余弦值；②求二面角的平面角的正弦值；(2)瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他對簡單多面體進(jìn)行研究后，提出了著名的歐拉定理：簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E與面數(shù)F滿足．請運(yùn)用歐拉定理解決下列問題：碳60（）具有超導(dǎo)特性、抗化學(xué)腐蝕性、耐高壓以及強(qiáng)磁性，是一種應(yīng)用廣泛的材料．它的分子結(jié)構(gòu)十分穩(wěn)定，形似足球，也叫足球烯，如圖2所示．已知碳60（）的分子結(jié)構(gòu)是一個由60個C原子構(gòu)成的分子，這個多面體有60個頂點(diǎn)，試求碳60（）各頂點(diǎn)的平均曲率．33.（24-25高二上·上?！て谀┪覀冎?，平面中的結(jié)論有不少可以向空間中進(jìn)行推