重難點(diǎn)突破03解三角形中的范圍與最值問(wèn)題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：周長(zhǎng)問(wèn)題 2題型二：面積問(wèn)題 6題型三：長(zhǎng)度和差比問(wèn)題 10題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問(wèn)題 15題型五：倍角問(wèn)題 17題型六：角平分線問(wèn)題與斯庫(kù)頓定理 21題型七：中線問(wèn)題 24題型八：四心問(wèn)題 28題型九：坐標(biāo)法 36題型十：隱圓（阿波羅尼斯圓）問(wèn)題 40題型十一：兩邊逼近思想 45題型十二：轉(zhuǎn)化為正切有關(guān)的最值問(wèn)題 47題型十三：最大角（米勒問(wèn)題）問(wèn)題 51題型十四：費(fèi)馬點(diǎn)、布洛卡點(diǎn)、拿破侖三角形問(wèn)題 55題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似 61題型十六：三角形中的平方問(wèn)題 66題型十七：等面積法、張角定理 7003過(guò)關(guān)測(cè)試 73

1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問(wèn)題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)．解決這類問(wèn)題，通常有下列五種解題技巧：（1）利用基本不等式求范圍或最值；（2）利用三角函數(shù)求范圍或最值；（3）利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；（4）根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；（5）利用二次函數(shù)求范圍或最值．要建立所求量（式子）與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍（也就是函數(shù)的定義域）找完善，避免結(jié)果的范圍過(guò)大．2、解三角形中的范圍與最值問(wèn)題常見題型：（1）求角的最值；（2）求邊和周長(zhǎng)的最值及范圍；（3）求面積的最值和范圍．題型一：周長(zhǎng)問(wèn)題【典例1-1】（2024·全國(guó)·二模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，且，則△ABC周長(zhǎng)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)椋?，由于，故，則，由正弦定理得，故，又，則，所以，則，故△ABC周長(zhǎng)的最大值為.故選：D.【典例1-2】（2024·廣西河池·模擬預(yù)測(cè)）已知中角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，求的周長(zhǎng)的最大值，并求出此時(shí)角，角的大小.【解析】（1）由，則有，即，由，故，則有，即，即；（2）由余弦定理，可得，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，即，即的周長(zhǎng)的最大值為，此時(shí)，即.【變式1-1】（2024·江西南昌·三模）在銳角中，，，(1)求角A；(2)求的周長(zhǎng)l的范圍.【解析】（1）∵，，所以，所以，因?yàn)?，所以，，所?（2），所以,所以，，所以,因?yàn)槭卿J角三角形，且，所以，解得，所以，所以，所以.【變式1-2】（2024·廣東廣州·一模）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且滿足，．(1)求角A的大小；(2)求周長(zhǎng)的范圍．【解析】（1）由余弦定理，，化簡(jiǎn)得，所以，因?yàn)?，所以?）由正弦定理：，則，，由（1），故因?yàn)椋瑒t，所以，即周長(zhǎng)范圍是．【變式1-3】（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若為銳角三角形，，求周長(zhǎng)范圍．【解析】（1）在中，由射影定理得，則題述條件化簡(jiǎn)為，由余弦定理得．可得

所以.（2）在中，由正弦定理得，則周長(zhǎng)，因?yàn)?，則，因?yàn)闉殇J角三角形，，則得，故．題型二：面積問(wèn)題【典例2-1】（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的面積范圍.【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)椋?，又，則，所以.（2）設(shè)的外接圓半徑為，則，所以，，，，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，則，則，所以，所以的面積范圍.【典例2-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，，．(1)求角A的值；(2)若，求面積的范圍．【解析】（1）∵，，，∴．又，∴．又為銳角三角形，∴或∴或（舍去），∴．（2）由正弦定理知，又∵，，∴，∴．故得到：，∴，∴面積的范圍為【變式2-1】（2024·四川攀枝花·三模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為其面積為,且.（Ⅰ）求角；（II）若,當(dāng)有且只有一解時(shí),求實(shí)數(shù)的范圍及的最大值.【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面積公式化簡(jiǎn)得到,再解這個(gè)三角方程即得A的值.（II）先根據(jù)有且只有一解利用正弦定理和三角函數(shù)的圖像得到m的取值范圍，再寫出S的函數(shù)表達(dá)式求其最大值.(Ⅰ)由已知由余弦定理得，所以，即,，所以.(Ⅱ)由已知，當(dāng)有且只有一解時(shí)，或,所以；當(dāng)時(shí)，為直角三角形，當(dāng)時(shí)，由正弦定理，，所以，當(dāng)時(shí)，綜上所述，.【變式2-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形ABCD中，，當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，的最小值為.【答案】【解析】如圖，設(shè),,則四邊形ABCD的面積為，因，故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，.當(dāng)時(shí)，設(shè)，則,于是，因,即,由，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：.【變式2-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，則面積的最大值為.【答案】/【解析】因?yàn)椋?，所以，由正弦定理可得，即，，因?yàn)?，所以，故，由余弦定理得，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由，，得，所以.故答案為：.題型三：長(zhǎng)度和差比問(wèn)題【典例3-1】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角A的大?。?2)若D是邊BC上一點(diǎn)，且AD是角A的角平分線，求的最小值．【解析】（1）由題意知中，，故即，即，所以，而，故，故，即，又，故；（2）由余弦定理：，又，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，則的最小值為.【典例3-2】（2024·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.（1）求證：；（2）若是銳角三角形，，求的范圍.【解析】（1）由兩角差的正弦公式，可得，又由正弦定理和余弦定理，可得，所以（2）由（1）知因?yàn)槭卿J角三角形，所以，可得，又由，可得，所以，所以，所以，可得，符合.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式3-1】（2024·山東濰坊·一模）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答.問(wèn)題：在中，角所對(duì)的邊分別為，且__________.(1)求角的大?。?2)已知，且角有兩解，求的范圍.【解析】（1）若選①：整理得，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以；若選②：因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)椋?；若選③：由正弦定理整理得，所以，即，因?yàn)?，所以；?）將代入正弦定理，得，所以，因?yàn)?，角的解有兩個(gè)，所以角的解也有兩個(gè)，所以，即，又，所以，解得.【變式3-2】在中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，，(1)求角B﹔(2)求的范圍．【解析】（1），又，所以，因?yàn)?，所?（2）在中，由（1）及，得，故，，因?yàn)椋瑒t，﹒所以的范圍為.【變式3-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求角A的大?。?2)若，且，求AP的最小值．【解析】（1）在中，由正弦定理，可得又由知，即，得，得，得，所以；又因?yàn)?，所以．?）由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故AP的最小值為．【變式3-4】（2024·安徽亳州·高三統(tǒng)考期末）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求角的大?。唬?）設(shè)為的垂心，且，求的范圍.【解析】（1）由，結(jié)合正弦定理得，整理得，又為銳角，故.（2）由是銳角三角形，則垂心必在內(nèi)部，不妨設(shè)，則.由為的垂心，則.在中使用正弦定理得，，整理得：.同理在中使用正弦定理得，.，結(jié)合可得.題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問(wèn)題【典例4-1】在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求；(2)求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?（2）由（1）知.因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，即的取值范圍?【典例4-2】已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且．(1)判斷的形狀并給出證明；(2)若，求的取值范圍．【解析】（1）為等腰三角形或直角三角形，證明如下：由及正弦定理得，，即，即，整理得，所以，故或，又、、為的內(nèi)角，所以或，因此為等腰三角形或直角三角形．（2）由（1）及知為直角三角形且不是等腰三角形，且，故，且，所以，因?yàn)?，故，得，所以，因此的取值范圍為．【變?-1】（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）鈍角中，角的對(duì)邊分別為，，，若，則的最大值是.【答案】【解析】因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，可得，所以，則或.當(dāng)時(shí)，可得，與是鈍角三角形矛盾，所以，由，則，可得，所以，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.故答案為：.【變式4-2】在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知.(1)若，求角A的大??；(2)求的取值范圍.【解析】（1）由正弦定理得：，∵，∴或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以舍去，所以.（2）（或者用積化和差公式一步得到）∵，∴，所以A為銳角，又，所以，所以，所以，所以.題型五：倍角問(wèn)題【典例5-1】（多選題）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理得，又因?yàn)?，所以，即，整理得，即?duì)于A項(xiàng)，因?yàn)锳、B、C均為銳角，所以，即，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，因?yàn)锳、B、C均為銳角，所以，即，解得，所以的取值范圍為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于C項(xiàng)，由正弦定理得，，所以，所以．故C項(xiàng)正確．對(duì)于D項(xiàng)，由A項(xiàng)知，，由B項(xiàng)知，，所以，所以，，令，則，所以，，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，即范圍為，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.【典例5-2】（多選題）（2024·河北·三模）已知內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，，則（

）A． B．的最小值為3C．若為銳角三角形，則 D．若，，則【答案】BCD【解析】由，得，由正弦定理得，由余弦定理得，則，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以，所以，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，故選項(xiàng)B正確；在中，，由正弦定理，，若為銳角三角形，又，則，故，所以，所以，則，所以，故選項(xiàng)C正確；在中，由正弦定理，又，，，得，則由余弦定理，，得，整理得，解得，或，當(dāng)時(shí)，有，又，所以，因?yàn)?，則不成立，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.【變式5-1】（2024·江西九江·一模）銳角三角形ABC中，若，則的范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由正弦定理得，由于三角形為銳角三角形，故，所以，所以.故選C.【變式5-2】在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的最小值為.【答案】/【解析】由余弦定理得，又，所以，即，所以，由正弦定理得，即，因?yàn)?，所以，所以或（舍去），所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.題型六：角平分線問(wèn)題與斯庫(kù)頓定理【典例6-1】中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分線.（i）證明：；（ii）若，求的最大值.【解析】（1）因?yàn)橹?，，故，因?yàn)?，故；?）（i）證明：中，由正弦定理得①，又②，同理在中，③，④，BD是的角平分線，則，則，又，故，故①÷③得⑤，即，由②④得，，則，即；（ii）因?yàn)?，故，則由⑤得，則，由以及（i）知，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)等號(hào)成立，故，即的最大值為.【典例6-2】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，，.(1)求角的大??；(2)設(shè)的平分線與交于點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的長(zhǎng).【解析】（1），所以，由正弦定理得，即，得，又，所以，即，又，所以；（2）由余弦定理得即，而，，即，.當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)此時(shí)，則，在中，由正弦定理得，即，解得.【變式6-1】（2024·山西呂梁·一模）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)設(shè)的角平分線交于點(diǎn)，求的最小值．【解析】（1）.由正弦定理，得，即，即（2）由題意可得，即當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9.【變式6-2】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）記銳角的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．(1)求；(2)已知的角平分線交于點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，又，所?（2）因?yàn)椋驗(yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范圍為.題型七：中線問(wèn)題【典例7-1】在△ABC中，，D在邊AC上，∠A，∠B．∠C對(duì)應(yīng)的邊為a，b，c．(1)當(dāng)BD為的角平分線且時(shí)，求的值；(2)當(dāng)D為AC的中點(diǎn)且時(shí)，求的取值范圍．【解析】（1）由題意知，BD為角平分線且長(zhǎng)度已知，則利用面積相等可得，整理可得，所以.（2）以a，c為邊做平行四邊形，另一個(gè)端點(diǎn)設(shè)為M，連接BM，易知BM交AC于點(diǎn)D.設(shè)∠DBC=θ，則由正弦定理知：化簡(jiǎn)可得，，．則，合并化簡(jiǎn)可，易知，則，∴．∴的取值范圍為.【典例7-2】（2024·高三·黑龍江大慶·期末）在中，角的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)求的邊中線的最大值.【解析】（1）由題意，結(jié)合已知有，所以，而，所以，而，所以，解得.（2）由題意，所以，而由余弦定理有，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，所以，即的邊中線的最大值為.【變式7-1】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若邊，邊的中點(diǎn)為，求中線長(zhǎng)的最大值.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得：，則，即，由余弦定理可得：，因?yàn)椋?（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，又由余弦定理得，，即，所以.由得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即，所以，即中線長(zhǎng)的最大值為.【變式7-2】（2024·高三·河北張家口·期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．(1)若，，求的面積；(2)已知為邊的中線，且，求的最大值．【解析】（1）由正弦定理，得，所以．又，所以，又，所以，又，故．由余弦定理，得，由，解得，所以的面積．（2）設(shè)，則．由及正弦定理可得，，所以，，故，其中，，當(dāng)時(shí)，的最大值為．【變式7-3】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為且，(1)求；(2)求邊上中線長(zhǎng)的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，整理得，且，則，可得，即，且，則，由正弦定理，其中為的外接圓半徑，可得，又因?yàn)椋?（2）在中，由余弦定理，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，即設(shè)邊上的中點(diǎn)為D，因?yàn)?，則，即，所以邊上中線長(zhǎng)的取值范圍為.題型八：四心問(wèn)題【典例8-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角；(2)若為的垂心，，求面積的最大值.【解析】（1）由題可得，結(jié)合正弦定理可得，即，∴，又，∴.（2）設(shè)邊，上的高分別為，則為與的交點(diǎn)，則在四邊形中，，∵，∴，故，在中，，，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴，故面積的最大值為.【典例8-2】在銳角中，，點(diǎn)O為的外心．(1)若，求的最大值；(2)若．①求證：；②求的取值范圍．【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接,則,不妨設(shè)，因，同理可得，則由可得，即得：①又由可得，即得：②聯(lián)立①,②，解得：則，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)時(shí)，取得最大值.（2）①由，則，由圖知,則,設(shè)的外接圓半徑為，則,即,又，而,則，而，故,不妨設(shè)與的夾角為，則,因，故，即，故，得證.②因則,即，，其中，，且為銳角，故，因可得,則，.又由解得：因，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又由故，則，于是，即的范圍為.【變式8-1】已知的角，，所對(duì)的邊分別為，，，點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)．(1)若點(diǎn)是的重心，且，求的最小值；(2)若點(diǎn)是的外心，（，），且，，有最小值，求的取值范圍．【解析】（1）延長(zhǎng)，，分別交邊，，于點(diǎn)，，，依題意有，．在和中，由余弦定理有，即，化簡(jiǎn)有，．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．（2）由題意可知：，解得，則．今，原式有最小值，所以．解得．【變式8-2】從①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足：______．(1)求角C的大?。?2)若，的內(nèi)心為I，求周長(zhǎng)的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】（1）選擇條件①，，在中，由正弦定理得，整理得，則由余弦定理，，又，所以．選擇條件②，，于是，在中，由正弦定理得，，因?yàn)?，則，即，因?yàn)?，因此，即，又，所以．?）如圖，由（1）知，，有，因?yàn)榈膬?nèi)心為，所以，于是．設(shè)，則，且，在中，由正弦定理得，，所以，所以的周長(zhǎng)為，由，得，所以，所以周長(zhǎng)的取值范圍為．【變式8-3】已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)若為的內(nèi)心，求的取值范圍.【解析】（1）由及正弦定理，得：即：，所以：，又：，所以：，又：，所以：，所以：.（2）因?yàn)椋?，如圖，連接，因?yàn)闉榈膬?nèi)心，所以：，所以：，設(shè)，則.在中，由正弦定理得:，所以：，所以：，其中：，因?yàn)椋圆环寥?，又，所以，其中，?dāng)時(shí)，取得最大值.因?yàn)?，所以，又，所以，綜上，的取值范圍是.【變式8-4】在中，分別是角的對(duì)邊，．(1)求角A的大??；(2)若為銳角三角形，且其面積為，點(diǎn)為重心，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，線段與線段相交于點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，又因?yàn)?，則，可得，即，所以.（2）由題意可得，，所以，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，故設(shè)，同理、、三點(diǎn)共線，故設(shè)，則，解得，所以，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉殇J角三角形，當(dāng)為銳角，則，即，即，所以；當(dāng)為銳角，則，即，則，即，所以；綜上可得，又因?yàn)椋瑒t，因?yàn)椋瑒t，且在上單調(diào)遞減，，所以，即，所以．題型九：坐標(biāo)法【典例9-1】（2024·山東·二模）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)G是△ABC的重心，且.(1)若，求tan∠GAC的值；(2)求cos∠ACB的取值范圍.【解析】（1）以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)的中點(diǎn)為，則共線且，設(shè)，則，，，，故，故，故，所以.（2）設(shè)，則，故，，故，故，所以，故，而，，故，而，故，故，所以，.【典例9-2】在中，，，點(diǎn)在內(nèi)部，，則的最小值為______．【答案】2【解析】因?yàn)椋?，所?在中，由正弦定理得：（R為的外接圓半徑），所以，解得：.如圖所示：設(shè)的外接圓的圓心為O，建立如圖示的坐標(biāo)系.設(shè)E為AC的中點(diǎn)，所以，.所以點(diǎn)M的軌跡為：，可寫出（為參數(shù)）.因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)部，所以（其中滿足，）.所以因?yàn)闈M足，，所以，所以當(dāng)時(shí)最小.故答案為：2【變式9-1】在中，，，，M是所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】【解析】以A為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建系，如圖所示，根據(jù)題意，可得A、B、C坐標(biāo)，設(shè)，可得的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積公式，可得的表達(dá)式，即可求得答案.以A為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)椋?，，所以，設(shè)，則，所以=，當(dāng)時(shí)，有最小值，且為，故答案為：【變式9-2】在等邊中，為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，以的BC邊的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC為x軸，過(guò)O點(diǎn)垂直于BC的直線為y軸，建立建立直角坐標(biāo)系如圖，再將延x軸翻折得，求得的外接圓的圓心為Q，，M點(diǎn)的劣弧上，不妨設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為2，可得：，，，，點(diǎn)所在圓的方程為：.設(shè)參數(shù)方程為：，，，其中，即，解得，；故選：C.題型十：隱圓（阿波羅尼斯圓）問(wèn)題【典例10-1】阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，則的長(zhǎng)為.【答案】【解析】因?yàn)?，由正弦定理可得，即，因?yàn)?，不妨令，，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的軌跡方程滿足：，整理可得：，，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓（除與軸兩交點(diǎn)外），當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)或時(shí)三角形的面積最大，其最大值為，由勾股定理可得．故答案為：．【典例10-2】阿波羅尼斯是古希臘數(shù)學(xué)家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期的“數(shù)學(xué)三巨匠”，以他名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為定值（）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.已知在中，角的對(duì)邊分別為，則面積的最大值為．【答案】【解析】由已知條件結(jié)合余弦定理，可求出，，建立坐標(biāo)系求出點(diǎn)所在的圓的方程，求出點(diǎn)到距離的最大值，即可求出結(jié)論.依題意，，得，即，以邊所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，則的軌跡為阿波羅尼斯圓，其方程為，邊高的最大值為，∴.故答案為：【變式10-1】在平面四邊形中，連接對(duì)角線，已知，，，，則對(duì)角線的最大值為（

）A．27 B．16 C．10 D．25【答案】A【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB,DC分別為x,y軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則,因?yàn)?，，所以由平面幾何知識(shí)得A點(diǎn)軌跡為圓?。ㄒ?yàn)闉槠矫嫠倪呅?，所以取圖中第四象限部分的圓?。?，設(shè)圓心為E,則由正弦定理可得圓半徑為，因此對(duì)角線的最大值為故選：A【變式10-2】已知中，，為的重心，且滿足，則的面積的最大值為______.【答案】/【解析】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)要使，則在坐標(biāo)原點(diǎn)，顯然不成立，當(dāng)時(shí)要使，則，解得，顯然不成立，所以且，因?yàn)樗?，即整理得?且)所以當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)，的面積取得最大值為.故答案為：【變式10-3】已知等邊的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)G是內(nèi)的一點(diǎn)，且，點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)且滿足，則的最大值為________.【答案】【解析】由，可知點(diǎn)G為的重心，以AB所在的直線為x軸，中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，表示出的坐標(biāo)，設(shè)，由可知在以為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離最值求出的最大值.由，可知點(diǎn)G為的重心.以AB所在的直線為x軸，中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)，由可知P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以的最大值為.故答案為：【變式10-4】在平面四邊形ABCD中，，，．若，則的最小值為____．【答案】【解析】如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正向，建立如下平面直角坐標(biāo)系.則，，設(shè)，則，，因?yàn)樗?，即：整理得：，所以點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上.在軸上取，連接可得，所以，所以由圖可得：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)在圖中的位置時(shí)，最小.此時(shí)最小為.故答案為．題型十一：兩邊逼近思想【典例11-1】在中，若，且的周長(zhǎng)為12．(1)求證：為直角三角形；(2)求面積的最大值．【解析】（1）在中有，，又，則，可得，可得①，又，，是三角形內(nèi)角，若，則，此時(shí)①式不成立；若，則，此時(shí)①式不成立；所以，則，則，所以是直角三角形．（2）設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，則直角三角形的面積，又，則，所以，即，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為．【典例11-2】設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)成等比數(shù)列，，延長(zhǎng)至，若，則面積的最大值為__________.【答案】【解析】，，①又成等比數(shù)列，，由正弦定理可得，②①-②得，，解得，由，得，，為正三角形，設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為，則，，時(shí)等號(hào)成立．即面積的最大值為，故答案為.【變式11-1】設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為，b，c．已知，b，c依次成等比數(shù)列，且，延長(zhǎng)邊BC到D，若，則面積的最大值為______．【答案】【解析】∵，，∴，①∵a，b，c依次成等比數(shù)列，∴，由正弦定理可得，②①-②可得，∴∴，∴，∵，∴，即∴為正三角形，設(shè)邊長(zhǎng)a，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)故答案為題型十二：轉(zhuǎn)化為正切有關(guān)的最值問(wèn)題【典例12-1】在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，即，由余弦定理，所以，又因?yàn)?，所以，解得或，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，由正弦定理得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值為，當(dāng)時(shí)，有最大值為，所以，所以.故答案為：.【典例12-2】（2024·河南·三模）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是（

）A． B． C． D．4【答案】B【解析】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，?所以，顯然必為正（否則和都為負(fù)，就兩個(gè)鈍角），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).所以.故選：B.【變式12-1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，所以，由余弦定理得，，所以，整理得，即，由，知為鈍角，所以，則.所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：B【變式12-2】在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求A角的值；(2)若為銳角三角形，利用（1）所求的A角值求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，∵，∴，∵，∴，∴，因?yàn)椋?，?（2）由正弦定理，，∵為銳角三角形，∴，即，，∴}∴的取值范圍是.【變式12-3】在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．求：(1)；(2)的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)椋?因?yàn)?，，因?yàn)?（2）由正弦定理，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的取值范圍?題型十三：最大角（米勒問(wèn)題）問(wèn)題【典例13-1】某校開展數(shù)學(xué)專題實(shí)踐活動(dòng)，要求就學(xué)校新建的體育館進(jìn)行研究，為了提高研究效率，小王和小李打算分工調(diào)查測(cè)量并繪圖，完成兩個(gè)任務(wù)的研究．(1)小王獲得了以下信息：．教學(xué)樓和體育館之間有一條筆直的步道；．在步道上有一點(diǎn)，測(cè)得到教學(xué)樓頂?shù)难鼋鞘?，到體育館樓頂?shù)难鼋鞘?；．從體育館樓頂測(cè)教學(xué)樓頂?shù)难鼋鞘?；．教學(xué)樓的高度是20米．請(qǐng)幫助小王完成任務(wù)一：求體育館的高度．(2)小李獲得了以下信息：．體育館外墻大屏幕的最低處到地面的距離是4米；．大屏幕的高度是2米；．當(dāng)觀眾所站的位置到屏幕上下兩端，所張的角最大時(shí)，觀看屏幕的效果最佳．請(qǐng)幫助小李完成任務(wù)二：求步道上觀看屏幕效果最佳地點(diǎn)的位置．【解析】（1）由題意知，⊥，由勾股定理得，且可知，，由正弦定理可得，則體育館的高度為10米.（2）設(shè)，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，即米時(shí)，觀看效果最佳．【典例13-2】1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出一個(gè)問(wèn)題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)（即視角最大，視角是指由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角），這個(gè)問(wèn)題被稱為米勒問(wèn)題，諾德爾教授給出解答，以懸桿的延長(zhǎng)線和水平地面的交點(diǎn)為圓心，懸桿兩端點(diǎn)到地面的距離的積的算術(shù)平方根為半徑在地面上作圓，則圓上的點(diǎn)對(duì)懸桿視角最大.米勒問(wèn)題在實(shí)際生活中應(yīng)用十分廣泛.某人觀察一座山上的鐵塔，塔高，山高，此人站在對(duì)塔“最大視角”（忽略人身高）的水平地面位置觀察此塔，則此時(shí)“最大視角”的正弦值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由米勒問(wèn)題的解答可知，此人應(yīng)站在離塔水平距離為處觀察，設(shè)此時(shí)視角為，塔底離地面高度為，塔頂離地面高度為，則，則，故.故選：B【變式13-1】德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出過(guò)如下的“最大視角原理”：對(duì)定點(diǎn)、和在直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與的外接圓相切時(shí)，最大．若，，是軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)對(duì)線段的視角最大時(shí)，的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立,解得，，設(shè)的外接圓的方程為，則，解得，，，的外接圓的方程為．故選：．【變式13-2】（2024·山東濱州·二模）最大視角問(wèn)題是1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問(wèn)題，故最大視角問(wèn)題一般稱為“米勒問(wèn)題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點(diǎn)B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為米時(shí)看A，B的視角最大.【答案】【解析】過(guò)C作，交AB于D，如圖所示：則，設(shè)，在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以取最大值時(shí)，最大，所以當(dāng)離此樹的水平距離為米時(shí)看A，B的視角最大.故答案為：【變式13-3】設(shè)中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，由正弦定理及得：，即，整理得：，即，因，則，否則為鈍角，也為鈍角，矛盾，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.故選：D題型十四：費(fèi)馬點(diǎn)、布洛卡點(diǎn)、拿破侖三角形問(wèn)題【典例14-1】當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”.已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，P是的“費(fèi)馬點(diǎn)”.(1)若，，.①求；②設(shè)的周長(zhǎng)為，求的值；(2)若，，求實(shí)數(shù)的最小值.【解析】（1）①，則②設(shè)而，在中，由余弦定理得:同理有則在中由余弦定理知:即又則又等面積法知：則，，故（2）因?yàn)樗运运运詾橹苯侨切危c(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，則，設(shè)，，，，則由得；由余弦定理得，，，故由得，即，而，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，解得時(shí)，等號(hào)成立，又，即有，解得或（舍去），故實(shí)數(shù)的最小值為．【典例14-2】“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．(1)求；(2)若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求；(3)設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值．【解析】（1）由已知得，由正弦定理可得，故直角三角形，即．（2）由（1），所以三角形的三個(gè)角都小于，則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：，設(shè)，由得：，整理得，則．（3）點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，則，設(shè)，則由得；由余弦定理得，，，故由得，即，而，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，解得時(shí)，等號(hào)成立，又，即有，解得或（舍去），故實(shí)數(shù)的最小值為．【變式14-1】（2024·湖北·三模）內(nèi)一點(diǎn)O，滿足，則點(diǎn)O稱為三角形的布洛卡點(diǎn)．王聰同學(xué)對(duì)布洛卡點(diǎn)產(chǎn)生興趣，對(duì)其進(jìn)行探索得到許多正確結(jié)論，比如，請(qǐng)你和他一起解決如下問(wèn)題：(1)若a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，，證明：；(2)在（1）的條件下，若的周長(zhǎng)為4，試把表示為a的函數(shù)，并求的取值范圍．【解析】（1）設(shè)，在和中，由正弦定理得又，，，，又，，即．（2），即，又成等比數(shù)列，設(shè)（公比）（），，解得：，又，得，由且，則，故在上遞增，所以在上為減函數(shù)，易知，【變式14-2】拿破侖定理是法國(guó)著名軍事家拿破侖最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn)．”某街角公園計(jì)劃對(duì)園內(nèi)的一塊草坪進(jìn)行改建，這塊草坪是由一個(gè)半徑為的圓的一段優(yōu)弧與此圓弧上一條長(zhǎng)為的弦AB圍成，改建計(jì)劃是在優(yōu)弧上選取一點(diǎn)C，以AC、BC、AB為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外心依次記為、、，在區(qū)域內(nèi)種植觀賞花卉．(1)設(shè)、，用a、b表示的面積；(2)要使面積最大，C點(diǎn)應(yīng)選在何處？并求出面積最大值．【解析】（1）設(shè)，的外接圓半徑為R，在中，由正弦定理得，因?yàn)?，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)C在優(yōu)弧上，所以，因?yàn)辄c(diǎn)、是以AC、BC為邊向外所作等邊三角形外接圓圓心，所以，且，，所以，所以，根據(jù)拿破侖定理可知：；（2）在中，由余弦定理得，所以，所以，

因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，整理得，

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）由（1）知：，所以，故點(diǎn)C取在優(yōu)弧中點(diǎn)時(shí)，面積最大值，最大值為．【變式14-3】小明同學(xué)在一次數(shù)學(xué)課外興趣小組活動(dòng)中，探究知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．于是小明進(jìn)一步探究求解以下問(wèn)題：法國(guó)著名的軍事家拿破侖．波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”．在三角形中，角，以為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為，若三角形的面積為，則三角形的周長(zhǎng)最小值為．【答案】6【解析】如圖，設(shè)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，，，都是正三角形，在中，，，可得，同理，在正三角形中，面積為，解得，又，可得，在中，，即，在中，，則，又，又，得，，，令，，所以，由題在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，的周長(zhǎng)最小，最小值為.故答案為：6.題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似【典例15-1】托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，AC、BD是其兩條對(duì)角線，，且為正三角形，則四邊形ABCD的面積為（

）A． B．16 C． D．12【答案】C【解析】設(shè)，由托勒密定理可知，即，所以，，又因?yàn)?，，因此?故選：C.【典例15-2】托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和．其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積．從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)．已知四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，、是其兩條對(duì)角線，，且為正三角形，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，由托勒密定理可知，即，所以，，又因?yàn)?，，因此?故選：C.【變式15-1】克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接AC，BD．由，及正弦定理，得，解得，．在中，，，，所以．因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于半徑為的圓，它的對(duì)角互補(bǔ)，所以，所以,所以，所以四邊形ABCD的周長(zhǎng)為．故選：A．【變式15-2】凸四邊形就是沒(méi)有角度數(shù)大于180°的四邊形，把四邊形任何一邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，如圖，在凸四邊形ABCD中，，，，，當(dāng)變化時(shí)，對(duì)角線BD的最大值為（）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，，，在△ABC中，由余弦定理，得，由正弦定理，得，∴.∵，，，在△BCD中，由余弦定理，得,∴，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，為，即BD的最大值為.故選：C.【變式15-3】在中，，，以為邊作等腰直角三角形(為直角頂點(diǎn)，，兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)).當(dāng)角變化時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】A【解析】中，，，，在中，由正弦定理得：，，在中，，當(dāng)時(shí)最大為9，故最大值為3，故選：A【變式15-4】如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，ACD為正三角形，則BCD面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】在ABC中，設(shè)，，由余弦定理得：，∵ACD為正三角形，∴，，，在ABC中，由正弦定理：，∴，∴，∴，，∵，∴為銳角，，∴，，當(dāng)時(shí)，．題型十六：三角形中的平方問(wèn)題【典例16-1】（2024·高三·江蘇常州·期末）已知中，，所在平面內(nèi)存在點(diǎn)使得，則面積的最大值為．【答案】【解析】設(shè)，以所在直線為軸、其中垂線所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，設(shè)，由，得，即，則，則，即，解得，即，即面積的最大值為.【典例16-2】（2024·遼寧遼陽(yáng)·一模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則的最小值為.【答案】【解析】由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.【變式16-1】已知△ABC的三邊分別為a，b，c，若滿足a2+b2+2c2＝8，則△ABC面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)a2+b2+2c2＝8，得到，由余弦定理得到，由正弦定理得到，兩式平方相加得，而，兩式結(jié)合有，再用基本不等式求解.因?yàn)閍2+b2+2c2＝8，所以，由余弦定理得，即①由正弦定理得，即②由①，②平方相加得，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)，取等號(hào).故選：B【變式16-2】在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】由得：，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由于,故，則，則，故答案為：【變式16-3】（2024·湖南常德·常德市一中?？寄M預(yù)測(cè)）秦九韶是我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書九章》中有已知三邊求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)一為從陽(yáng)，開平方得積．”如果把以上這段文字寫成公式就是，其中a，b，c是的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，且，則面積S的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.故選：B【變式16-4】（2024·云南·統(tǒng)考一模）已知的三個(gè)內(nèi)角分別為、、.若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，由余弦定理得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即為銳角，，，，所以的最大值為.故選：B題型十七：等面積法、張角定理【典例17-1】（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)在邊上，且滿足.(1)求證：；(2)若，，求的面積的最小值.【解析】（1）在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)椋?，且，所?（2）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，由?）知，則，因?yàn)椋?，又，所以因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的面積的最小值為.【典例17-2】已知△ABC的面積為,∠BAC=,AD是△ABC的角平分線,則AD長(zhǎng)度的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】中，∠BAC=,AD是角平分線得，，而因此得而，所以故選D項(xiàng).【變式17-1】（2024·上海寶山·高三海市吳淞中學(xué)?？计谥校┙o定平面上四點(diǎn)滿足，則面積的最大值為_______.【答案】【解析】，，，，，設(shè)到的距離為，則由等面積可得，，面積的最大值為．故答案為：．【變式17-2】已知，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，的角平分線交于點(diǎn)D．若，則的取值范圍是____________．【答案】【解析】對(duì)用正弦定理，可得，設(shè)，，由于為三角形內(nèi)角，則，由可得，，整理得，，對(duì)，由余弦定理，，即，故，即，于是，根據(jù)基本不等式，，即，結(jié)合，解得，即，于是.故答案為：【變式17-3】在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，的平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為.【答案】/【解析】如圖所示，由題意知，因?yàn)槭堑钠椒志€且，，可得，即，即，且，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即也即時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為.故答案為：.1．（2024·甘肅武威·一模）在中，，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因?yàn)?，所?又，所以的范圍是.故選：B2．（多選題）（2024·山東濟(jì)南·三模）已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，外接圓半徑為R．若，且，則（

）A． B．面積的最大值為C． D．邊上的高的最大值為【答案】AD【解析】在中，由及正弦定理，得，而，則，由余弦定理得，而，解得，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令邊上的高為，則，解得，D正確.故選：AD3．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）在中，角所對(duì)的邊分別為且.當(dāng)取最小值時(shí)，.【答案】/【解析】因?yàn)?，由余弦定理得：，整理得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則此時(shí)，此時(shí)，又因?yàn)?，所以．故答案為?4．（2024·四川自貢·三模）如圖，D為的邊AC上一點(diǎn)，，，，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè)，則，在中，，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)取最小值，所以.故答案為：.5．（2024·四川南充·二模）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊．已知，．則的最小值為．【答案】【解析】因?yàn)?，由正弦定理可得，又，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：6．（2024·重慶九龍坡·三模）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其面積為，已知，.則；的最大值為.【答案】/【解析】因?yàn)椋杂烧叶ɡ碇?，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以；由已知及余弦定理得：，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則面積的最大值為.故答案為：；7．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足，則A的最大值是．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，由正弦定理得：?/p>

由余弦定理得：，又由得：，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)，即△為正三角形時(shí)，取“”），因?yàn)椋缘淖畲笾禐椋蚀鸢笧椋?．在中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，D是AB上的三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)且，，則的最大值為.【答案】【解析】由及正弦定理得，整理得，所以因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)D是邊AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則，即，兩邊同時(shí)平方得，即，整理得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是故答案為：9．（2024·遼寧·一模）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且,則的范圍是．【答案】【解析】在中，，因?yàn)?，所以,所以，即，又，由余弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得，又，所以的范圍是.故答案為：.10．中，所在平面內(nèi)存在點(diǎn)P使得，，則的面積最大值為．【答案】【解析】以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)，由，，可得，即，即點(diǎn)P既在以為圓心，半徑為的圓上，也在為圓心，為半徑的圓上，可得，由兩邊平方化簡(jiǎn)可得，則的面積為，由，可得．故答案為：.11．（2024·江蘇蘇州·三模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)若，求的面積;(2)若，求使得恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)的最小值.【解析】（1）因?yàn)?，即，所以，即，則，所以，所以，且，由正弦定理可得，則，所以，則.（2）因?yàn)?，由余弦定理可得，又，則，即，所以，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)椋?，所以，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，故即可，所以的最小值為.12．（2024·江西鷹潭·二模）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，滿足.(1)求證：；(2)求的最小值.【解析】（1）證明：由，可得且，所以，因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，可得，即，得證.（2）由（1）知，且，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為13．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知__________.在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)填在上面的橫線上，并解答問(wèn)題.(1)求角；(2)若的面積為，求的最小值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分