第二節(jié)基本不等式的應用技巧

【方法技巧】

1.基本不等式：abW“+b

(1)基本不等式成立的條件：〃>0,b>0.

(2)等號成立的條件：當且僅當金幺時，等號成立.

(3)其中一叫做正數(shù)a,〃的算術(shù)平均數(shù)，破叫做正數(shù)a,6的幾何平均數(shù).

2.利用基本不等式求最值

(1)已知K,歹都是正數(shù)，如果積少，等尸定值凡那么當x=y時，和x+y有最小值2P-

(2)已知x,y都是正數(shù)，如果和x+y等于定值S,那么當x=y時，枳號有最大值;g.

注意：利用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

【常用結(jié)論】

幾個重要的不等式

22

(\)a-}~b^2ah(atZ>ER).

(2)'+：22(a,6同號).

ab

⑶依歸九,…).

⑹).

(4尸;'

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

1.應月基本不等式呷，‘勿忘

①勿忘“正”：“正”是指使用基本不等式的前提條件是各項均為正實數(shù).

②勿忘“定”：“定”是指用基本不等式時，和或積為定值.

③勿忘“等”：“等”是利用基本不等式求最值時，應注意等號是否可以取到，即等號成立的條件.

④勿忘“同”：“同”是指多次使用基本不等式時，等號成立的條件應相問.

2.在解答基本不等式的問題時，常常會用加項、湊項、常數(shù)的代換、代換換元等技巧，而且在通常情況下往往會考

查這些知識的嵌套使用.

1

【題型歸納】

題型一：常見不等式大小比較

題型二：基本不等式求積的最大值

題型三：基本不等式求和的最小值

題型四、二次與二次（或一次）的商式的最值

題型五：基本不等式‘1’的妙用

題型六：條件等式求最值

題型七：基本不等式恒成立問題

題型八：基本不等式的綜合應用

題型九：基本不等式的實際應用

題型十：基本不等式證明不等式

【題型探究】

題型一：常見不等式大小比較

【例1】.（2025?北京?高考真題）已知。>02>0,則（）

,,1?1

A.a"+b">2abB.—+—>—

abab

l112

C.a+b>>jahD.—+7

abyjab

【跟蹤訓練1】.（24-25高一上?北京?期末）若a,bwR,且曲>0,則下列不等式中，恒成立的是（）

A.a+b>2\[ahB.2a~h+2h~a>2

C.…二!^11、2

D-LiF

2

【跟蹤訓練2】..（23-24高一上?上海,期中）若實數(shù)。、人滿足方>。>0,下列不等式中恒成立的是（）

A.2a+—>2x[abB.2a+—<2\[ab

22

C.2aH—v2\labD.2cr4—>2Jab

22

2

題型二：基本不等式求積的最大值

【例2】..（22-23高一上?吉林?階段練習）已知0<xvg,則4-2工）的最大值為.

【跟蹤訓練1】..（23-24高一上?河北邢臺?期中）已知0cx則Jx（J9x）的最大值為.

【跟蹤訓練2】..（23-24高一上?河北石家莊?階段練習）已知。>0]>0,2〃+3入=5,則（2〃+2）（36+1）的最大值

是.

題型三：基本不等式求和的最小值

【例3】..（24-25高一上?河南商丘?期末）若x>2,則3-x-一二的最大值為________.

x-2

7

【跟蹤訓練11.（24-25高一上?北京延慶?期末）已知x<0,則y=1+2x+4的最大值為，當且僅當x=時,

等號成立.

14

【跟蹤訓練2】..（25-26高一上?全國,期中）已知正實數(shù)X、V滿足一十--4=x+y,則x+歹的最小值為

%y

題型四、二次與二次（或一次）的商式的最值

【例4】..（20-21高一下?江西吉安?期末）函數(shù)/（幻=互41（x>l）的最小值為（）

X-1

A.2x/3B.3+2百C.2+2后D.5

3

【跟蹤訓練1】..（24-25高一上?廣東江門?期末）若x>0,則21—3x+]的最小值是

3r+3%

【跟蹤訓練2】..（23-24高一上?上海浦東新?期中）已知實數(shù)左>0,則國一木工"TT的最大值為______

[2+叫叫+-J

題型五：基本不等式'1’的妙用

12

【例5】..（2。-2】高二上?江蘇宿遷?階段練習）已知x>”>°且滿足x+2jV,則右+了的最小值為.

41

【跟蹤訓練⑵-25高一上?湖北武漢?期末）已知x>°,y>°"十八「則77r”勺最小值為

【跟蹤訓練2】..⑵-25高一上?上海金山?期中）已知正實數(shù)。，〃滿足2"5，則穿的最小值為

題型六：條件等式求最值

【例6】..（24-25高一上?廣東江門?期中）已知。力，R,（1）若a,b都是正數(shù)，且而=。+6+3,則必的最小值

1

為.；(2)若。+〃=4,則a2+\+b2+\的最大值為.

【跟蹤訓練1】..（24-25高一上?福建福州?期中）已知入>0,y>\^6x+y-\-x（y-\）=0,2x+3y的最小值

為■

【跟蹤訓練2】..（24-25高一上?重慶九龍坡?期末）已知,”均為正實數(shù)，若x+y=l,則4"一'"5的最小值為

xy

4

題型七：基本不等式恒成立問題

?>1

【例7】..（23-24高一上?黑龍江佳木斯?期中）已知且:+—=1,若x+2y>>恒成立，則實數(shù)/〃的取

1y

值范圍是.

【跟蹤訓練1】..（24-25高一上?廣東深圳?期末）已知。>0力>0,且2a+b=2,若--3,K3+2恒成立，則實數(shù)/

ba

的取值范圍是.

【跟蹤訓練2】..（23-24高一上?山東?階段練習）若兩個正實數(shù)滿足4x+y=2k，旦不等式工+]</-機有解,

則實數(shù)小的取值范圍是.

題型八：基本不等式的綜合應用

【跟蹤訓練1】..（24-25高一上?四川眉山?期中）求最值:

（1）已知x>0,y>0,且滿足號=4,求9x+y的最小值；

4

（2）已知xvl,求曠=工+；的最大值；

x-1

（3）已知x>0,歹>0,且滿足2x+y=q,求x+8y的最小值.

5

【跟蹤訓練11.(24-25高一上?廣東汕頭?期末)已知正數(shù)工，天滿足戶產(chǎn)6,xy^k

⑴求A的最大值

14

⑵求一+一的最小值

xy

145

(3)若一十—之〃/-恒成立，求實數(shù)小的取值范圍

xy2

【跟蹤訓練2】..(24-25高一上?廣東肇慶?期中)根據(jù)題意，求解下列問題：

(1)已知x>0,>'>0,且滿足x+8y=q，，求x+2y的最小值；

(2)已知x>l,求/")=士塵最小值；

X—1

91

(3)已知。>0,6>0,。+6=4,求一；+工的最小值并求出此時〃，力的值.

。+1b+\

6

題型九：基本不等式的實際應用

【例9】..（25-26高一上?河南平頂山?階段練習）如圖，在周長為8的矩形中（其中現(xiàn)將V/8C

沿力C折疊到VAB'C，設4T與。。交于點f,設48=x,B,E=y.

⑴求△B'EC的周長：

⑵當x為何值時，△8EC的面積S取得最大值，并求出該最大值.

【跟蹤訓練1】..（25-26高一上?江蘇朝京?階段練習）當前，機器人產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，正極大改變著人類生產(chǎn)和生活

方式，為經(jīng)濟社會發(fā)展注入強勁動能.2022年，工業(yè)和信息化部等十七部門印發(fā)了《“機器人+〃應用行動實施方案》,

《方案》指出，到2025年，制造業(yè)機器人密度較2020年應實現(xiàn)翻番，服務機器人、特種機器人行業(yè)應用深度和廣

度應顯著提升，機器人促進經(jīng)濟社會高質(zhì)量發(fā)展的能力應明顯增強.某動力電池生產(chǎn)企業(yè)為提高產(chǎn)能，計劃投入6300

萬元購買一批智能工業(yè)機器人，使用該批智能機器人后的前x（xeN.）年，設備維護成本共（700--300X）萬元，每

年電池銷售收入為6700萬元，設使用該批智能機器人后，前x年的總盈利額為V萬元.

⑴寫出關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；

⑵使用若干年后，對該批資能機器人的處理方案有兩種.

方案一：當總盈利額達到最大值時，將該批智能機器人以2000萬價格處理；

方案二：當年平均盈利額達到最大值時，將該批智能機器人以4800萬元的價格處理.問哪種方案更合理？并說明理

由.

7

【跟蹤訓練2】..（25-26高一上?黑龍江哈爾濱?階段練習）某企業(yè)為響應國家節(jié)水號召，決定對污水進行凈化再利用，

以降低自來水的使用量.經(jīng)測算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設備.這種凈水設備的購置費（單位：

萬元）與設備的占地面積x（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.2,預計安裝后該企業(yè)每年需繳納的水費。（單

70/

位：萬元）與設備占地面積X之間的函數(shù)關(guān)系為c（x）=--（x>0）,將該企業(yè)的凈水設備購置費與安裝后4年需繳

八十J

水費之和合計為y（單位：萬元）.

⑴求y與x的關(guān)系式；

⑵要使不超過7.2萬元，求設備占地面積x的取值范圍；

⑶設備占地面積x為多少時，y的值最??？

題型十：基本不等式證明不等式

I1IQ

【例10】..（25-26高一上?吉林長春?階段練習）（1）已知正實數(shù)出友。，且a+b+c=2,求證：一+1+

ahc2

（2）已知正實數(shù)。力,。，且％=1,求證：-+—a+b+c

abc

149

（3）已知MN*,都是正數(shù)，且—+—+-=1,求證：x+y+z>36.

xyz

8

【跟蹤訓練1】..（25-26高一上?江西?階段練習）已知。>0,b>0,且a+b=3.

⑴求/+〃的最小值;

IQ

⑵求上+3的最小值；

ab

（3）證明：V^+T+x/F+2<2x/3.

【跟蹤訓練2】（25-26高一上?江西景海鎮(zhèn)?階段練習）（1）已知a>0,b>0,。>0,求證：一+一+一0+6+c.

aoc

（2）已知Q>0,/?>0,c>0,且。+〃+c=l.求證：ah+be+ca<-.

3

9

【章節(jié)強化練】

一、單選題

1.（25-26高一上?吉林長春?階段練習）若〃>0,6>0,且。+?=2,則的最小值為（）

ba2

A.72B.2C.2VID.4

2.（25-26高一上?廣東佛山?階段練習）下列命題不正確的是（）

A.若x<0,則x+，的最大值為-2

X

2

B.若x>2,則函數(shù)y=2x+——；的最小值為6.

x-]

C.若。>0,b>0,且。+2方則2。+〃的最小值為9

D.若a>b>c,則一+1（。一。）的最小值為4

{a-bb-cJ

3.626高一上?陜西咸陽?階段練習）已知則=+出的最小值是（）

A.1B.yC.2D.3

4.（25-26高一上?河北保定?階段練習）下列選項不正確的是（）

A.當x>l時，X+」一的最小值是3B.已知x<0,則x的最大值是-2

x-1X

C.當（）<x<l（）時，Jx（lO-x）的最大值是5D.設XCR,則[f+2）+了匕的最小值為2

5.（25-26高一上,江西贛州?階段練習）已知不等式4x+〃?++>0（x>-1）恒成立，則實數(shù)〃?的取值范圍是（）.

A.m<0B.m>-4C.m>0D.tn<4

10

1?2

b.（25-26高一上?甘肅定西?階段練習）若,且滿足x+），=4,則----十一;的最小值是：）

7.（25-26高一上?北京?階段練習）據(jù)育場調(diào)查，某超市的某種商品每月的銷售量V（單位：百件）與銷售價格x（單

位；元/件）滿足關(guān)系式>，=_?2,其中20<x<50.已知該商品的成本為10元/件，則該超市每月銷售該商品所

x-20

獲得利潤的最小值為（）

A.800元B.8000元C.900元D.900()元

131

8.626高一上?江蘇無錫?階段練習）已知實數(shù)“滿足且。<、,求二方的最小值為（）

A.2百B.3+2百

二、多選題

9.（25-26高一上?廣東佛山?階段練習）下列函數(shù)中，最小值為2的是（）

2

=—+—+1B.y=Vx+4+

D.y=j2-x+j2+x

10.（25-26高一上?江蘇鹽城?階段練習）已知為正實數(shù)，一+—=4,則（

A.xy的最大值為4B./+/的最小值為:

94

C.x+4y的最小值為二D.x—-的最小值為-12

y

11

11.（25-26高一上?江蘇?期中）已知〃>0,6>0,4〃+6=",則下列結(jié)論正確的有（）

A.必的最小值為16B.4+6的最小值為9

C.?+-+4b+工的最小值為13D.16a2+b2的最小值為128

b）

12.（25-26高一上?吉林長春?階段練習）已知正數(shù)滿足。+36=8,則下列說法正確的是（）

B.2a+2b>—

3

C.a2+9b2>32D.--------H------------2—

a+6b2a+3力6

13.（25-26高一上?重慶?階段練習）已知正實數(shù)。，力滿足。+助+仍=5,則下列說法正確的是（）

A.0<“<5,0<h<1

B.M的最大值為1

C.a+8的最小值為1

三、填空題

14.（25-26高一上?黑龍江哈爾濱?階段練習）已知0<x<l,PMx（4-3x）的最大值為.

15.（25-26高一上?河北保定?階段練習）已知a>0,Z）>011?+h=l,則1+里的最小值為.

4ab

16.（25-26高一上?遼寧大連?階段練習）若正實數(shù)。、力滿足2〃+8=2,則更+j的最小值為

〃+1b

43

17.⑵-26高一上?遼寧?階段練習）已知2x+-y,則口+戶的最小值為一

12

1?.（25-26高一上?吉林延邊?階段練習）若則-+34+3的最小值是:_________

4+1

四、解答題

19.（25-26高一上?黑龍江哈爾濱,階段練習）利用基本不等式求以下最值：

⑴若0<x<4,求y=x（12-3月的最大值；

（2）已知。>0,6>0,且3。+26-。8=0,求2。+3力的最〃、侑：

⑶求y=二L竺也在工>_3時的最小值.

x+3

20.（25?26高一上?陜西咸陽?階段練習）（1）已知。>0,力>0,a+2b=4