江蘇省南京市寧海中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)

學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知向量。二(2,4),/)=(l,x),且力/力，貝卜二()

A.2B.-2C.8D.-8

(兀、1.…，，、

2.已知cosa十:=7i貝Usin2a的值為()

4

7733

A.-B.——C.—D.—

8844

3.已知tana,tar0是方程￡?5x+6=0的兩根，那么tan(a+B)=().

A.1B.2C.-1D.-2

4.函數(shù)/(x);cos2x+6sinx+1的值域是()

(13--幺13"

A.1-8,萬]B.-6,yC.6,-yD.[-6,6]

5.如圖所示，在四邊形43。中，*，上為3c的中點(diǎn)，且7E=AB+RD,則

3x-2y=

D______C

A±3

B.-

-7?

C.1D.2

6.已知銳角三角形邊長(zhǎng)分別為1,2,x,則x的取值范圍是()

A.(1,3)B.(1,5)C.(AV5)D.不確定

7.箱三—，帆/2-2屈2t+Jl+a)s2r=()

A.J5sinxB.xf5.cosxC.sinxD.cosx

8.已知0<a<三,0<6<色，且sin(2a+。)=4sinp,iota吟=6(1一"與，則a+6的

??

值為()

試卷第I頁(yè)，共4頁(yè)

Tt5712n7t

A.-B.—D.-

66cT

二、多選題

9.已知a=b=(cos0,sinG),則下列命題正確的有（)

A.若G_|_力，則6B.力力的最大值為2

rrrr

C.存在c使得|a+b|=|a|+|Z)|D.一A|的最大值為3

10.已知角48,C是斜三角形力8C的三個(gè)內(nèi)角,下列結(jié)論一定成立的有（）

A+BC

A.sin(4+8)=sinCB.sin，—=siny

C.若sin力〉sinA,則/>BD.taii4+tanB+tanC=tan/ltan8tanC

…=sin2計(jì)V5cos2x+一]

已知函》sin2n:貝

-2xU()

3

A./1冏="')

f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)f,0對(duì)稱

B.

IS7

/（x）在（0，丁、上的最大值為3

C.

kb）

D.將/G）的圖象向左平移得個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

三、填空題

12.已知si4a+30°)=；,則sin(2cr+150o)=

13.已知平行四邊形/BQ）中，卜8=,[=48.Ar=2,點(diǎn)E為邊5c的中點(diǎn)，貝必;「上

的值為.

14.在中，AC=4,BC=3,±^CB=90°?E為邊4c中點(diǎn)，而=；而+；就,

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

則CA.BE的值為一.

四、解答題

15.已知平面向量5,晨忖=2,同=3,且；與1的夾角為

(1)求R+否

(2)若三f與〃+幼(〃￡R)垂直,求〃的值.

16.d)illsin(—+—)cos(—+—)=or€(—,—),cos(/?--)=-,%(1,￡).

89R4*47457

(1)求cos(a+：：的值：

(2)求cos(a+P)的值.

17.某小區(qū)要在-?塊扇形區(qū)域中修建一個(gè)矩形的游泳池.如圖，在扇形0P。中，半徑

O^iOO(m),圓心角上PO0=3,C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，矩形/8CD內(nèi)接于扇形.記上POC=a,

4

矩形ABC。的面積為S(m').

Q

(1)將面積s表示為角a的函數(shù)：

(2)當(dāng)角a取何值時(shí)，S最大？并求出這個(gè)最大值.

18.已知對(duì)任意平面向量7一小一二(xj),將7/繞其起點(diǎn)力沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)8角后得到向量

A0=(Kcoser，sine,xsine-ycose),則叫做把點(diǎn)，繞點(diǎn)/沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)8角得到點(diǎn)P.已

知平面內(nèi)兩點(diǎn)力(,2),可1+6,1).

兒

(1)將點(diǎn)8繞點(diǎn)彳沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)5后得到點(diǎn)P,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)已知向量方=(cos82sin6),且滿足萬.力萬一加40對(duì)任意的角夕￡0,，成立，試求實(shí)數(shù)機(jī)

的取值范圍.

19.定義函數(shù)危)=/wsin.v+ncosx的，錫向量”為dM=(〃],〃)，非零向量5M=(,”,〃)妁“伴

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

《江蘇省南京市寧海中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)12345678910

答案AACDCCAABCDACD

題號(hào)11

答案BCD

1.A

【分析】根據(jù)平面向量共淺的坐標(biāo)表示計(jì)算可得

【詳解】因?yàn)椋?(2,4),3=(1/),且；//力，

所以2x—4=0,解得x=2.

故選：A.

2.A

【分析】先利用兩角和公式對(duì)已知等式整理求得cosa—smor的值，使之平方即可求得sin2a

的值.

【詳解】Vcos?+—^=—cosa--sina=—:

<4J224

cosor-sintz=——，

4

21

：(cosa—sina)=1—2sinacosa=1—sin2CT=—,

o

?c7

sin2a=—.

8

故選：A.

3.C

【分析】根據(jù)tana,匕11￡是方程/一54+6=()的兩根，利用韋達(dá)定理得到

tana+tan/?=5,tana.tan/?=6,再利用兩角和的正切公式求解.

【詳解】解：因?yàn)閠ana,tan0是方程F—5x+6=0的兩根，

所以tana+tan。=5,tana.tan(3=6,

/小tana+tanG5,

月「以tan(a+3)='j~^-------------=7—7=~^.

1-tanatanB1-6

故選：C

4.D

【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)為/U)=—2sir?x+6sinx+2,結(jié)合正弦函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求

答案第1頁(yè)，共U頁(yè)

解.

【詳解】由函頜X)=cos2r+6sinx+1=—2sin?.r+6sin.v+2=-2(sinA：-y)2+，,

因?yàn)閟inxG[—1,1],

當(dāng)sin”1時(shí)，可得/'G)a=6；當(dāng)sinx=—1時(shí)，可徹小)“11n=T，

所以函數(shù)/(i)的值域?yàn)閇-6,6].

故選：D.

5.C

【詳解】?.E為BC的中點(diǎn)，.?.麗=1前，而

2

BC=BA+7D+DC=--AB+7DBE=-BC=------AB+AD\==G5+55.則

322(3J32

一一一2一1一

AE=AB+BE=-AB+-AD

32

___r___r=2=\

且〃=〃8+yAD，:,則3x-2y=I,故選C.

6.C

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系和余弦定理即可求出第三邊的取值范圍.

【詳解】由題意，設(shè)三角形為，!BC,b=l,c=2,

由三角形的幾何性質(zhì)c—<a<c+b,

A1<a<3?

???三角形是銳角三角形，6->b,c>b,

???只需要4c為銳角，

*/cosJ=b+c-">c?即5—下>0,

2bc

cosC="+'———>0，即力—3>0，

lab

聯(lián)立解得：(石，

故選：C.

7.A

【分析】利用倍角公式結(jié)合區(qū)間內(nèi)三角函數(shù)的符號(hào)，化簡(jiǎn)得拉_2$in2v=j2(sinx-cosx).

c〃=Scosx,據(jù)比即可求解.

:

【已到V2-2施=x/2-4?JIM=x/2(l-2sinxcosx)-^J(sinx-cosx),

答案第2頁(yè)，共11頁(yè)

因?yàn)樗詓inx-cosx20,

47

所以在/sinx-cosif=/sinx-cosx)

購(gòu)Jl+毗=Jl+2扇1=416J2cosx?

lM^=x/2(sin^-cosj)+\/2cos.r=s/^inx.

故答案為：A.

8.A

[分析】將sin(2a+。)=4sin。轉(zhuǎn)化為sin[(a+6)+a]=4sin(tz+偽-a,然后由兩用和

與差的正弦公式展開化簡(jiǎn)，由10tanS=G(l-tan2§,利用二倍角公式化簡(jiǎn)最后求解即可.

【詳解】因?yàn)閟in(2a+P)=4sinB,所以sin(a+8)+ab4sin(a+份-a,

所以sin(a+j8)cosOf+cos(a+6)sina=4sin(a+/?)cosa-4cos0f(+/3s)ina,

化簡(jiǎn)得：5cos(a+B)sina=3sin(a+°)cosa,

所以ian(a+6)=1una,

.a.a2a.2a

sin—sin*;—cos——sin—

又由lOtanqu6(1-tan%,可得10---1=6(1-----3=瓜-----------4,

77a>a

cos—cos'—cos'—

7y7

所以10$巾囚854=685。，即5sina=Jkosa,所以tana=3,

?95

所以tan(a+6)=qana=5,又Ova<；,0<夕v,,所以0<a+6<幾，

所以a+6=3.

n

故選：A

9.BCD

【分析】利用向量垂直、數(shù)量枳、模長(zhǎng)等公式，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)依次分析即可得出結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,n\h則cos?+J§sin6=0,：tan。=一^^,「.。二一三+A九,AwZ,故A

26

錯(cuò)誤.

對(duì)于B,a-^=cos9+>/3sin0=2sine[-2,2],故B正確.

rrrr_FTTT

對(duì)于C,|a+/>|=|a|+|b|時(shí)，則〃與b同向，設(shè)〃二兒，則(cos8,sin8)=，1,白)，

答案第3頁(yè)，共11頁(yè)

:cos0=%sin9=A2+3A2=1,^=7,.\cos9=—^in0=—?故C正確.

,79

1=22

對(duì)于D,(n—b)n~^n.b+b=4+1—2cos?2-J^sin0=5—4sin分—,

<6)

當(dāng)4《。+2)二一1,最大值為9,：|。一/)|最大值為3,故D正確.

故選：BCD.

10.ACD

【分析】對(duì)TAB,由X+B=兀一。結(jié)合誘導(dǎo)公式分析判斷，對(duì)于c,利用正弦定理和三角形

的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于D,利用誘導(dǎo)公式與兩角和的正切公式分析判斷.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?+8=兀一C,所以sin(4+8)=sin(?！狢)=sinC,所以A正確,

A-vB.n-Cn_CC

對(duì)于B,因?yàn)?1+8=兀一C,所以sin"-----=sin------=sn=多，所以B錯(cuò)誤,

22~2~~2

對(duì)于C,因?yàn)閟in力,sinB,所以由正弦定理可得a>8，

因?yàn)樵谌切沃写筮厡?duì)大角，所以/1>8,所以C正確,

對(duì)于D,因?yàn)樵谛比切午?C中，A+B=n—C

所以tan(?l+B)-tan(n—C)=—tanC,

tanA+tanB~

所以------------=-tanC,

I-tanJtanR

所以lan/+tanB=tanC(1-lanJianB),

所以taM+tantanC=taivltanBtanC,所以D正確,

故選：ACD

11.BCD

x+過氧判斷(21t、

【分析】根據(jù)輔助角公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)/>),再計(jì)算/A,計(jì)粉--x

2JI3)

可判斷B,由自變量范圍求出sin2/+三范圍，換元后利用對(duì)勾函數(shù)求最值可判斷C,根

I3)

據(jù)圖象平移計(jì)算即可判斷D.

it1[

,/fx)=2sin2x++n-=為in2J+—+

【詳解】I'In3Jsin(2x+*1

sin兀-2rx+-

3

1

2sin2x+-+n+寸《),所以A錯(cuò)誤.

因?yàn)镮3)sin(2x+Z+兀)

I3)

=2sin2(如--+1

因?yàn)椤?-x(3)3j

271It

sin2+-

33

答案第4頁(yè)，共11頁(yè)

=-2sin2x---+2n----彳------------

'，sin（2/--^+2兀

…巾+野一^田，

I3；

（、（兀、

所以/W的圖象關(guān)于點(diǎn)彳,0對(duì)稱，B正確.

13；

（兀、717T2不、,所以sin[2x+e

若“則2"^l3'3）

I3j印1

因?yàn)楹瘮?shù)y=2/+1在yJ上單調(diào)遞增，所以、皿=2+；=3,c正確.

.

=/J+—l=2sin2x+-.+——-7^----^=2cos2x+-!—（、

I}\12J<2）而（2%+；）c‘2x?則g（3gG）,且定義

域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以g（x）=2cos2x+一丁為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸定稱，D正確.

cn^/r

故選：BCD

12.2

0

【分析】以。+30。為整為，結(jié)合誘導(dǎo)公式和倍角公式運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得；

sin（2a+150。）=sin\2（a+30。）+90。.=cos2（a+30。）=1-2sin2a（+30.）=：

故答案為：

13.9

【分析】根據(jù)四邊形ABCD是菱形，可得=2c，作JLXC于尸，尸是7

的四等分靠C

端，力產(chǎn)=7AC將力云=4元+FE代入即可求解.

答案第5頁(yè)，共II頁(yè)

D

【詳解】

因?yàn)槠叫兴倪呅瘟?8中，腐=阿=疝方=2,

所以四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為2的菱形，目上助力=60。,

22

Acf=(AB+AD)=AB+而2+2福通=12,園=2道,

如圖所示，作石尸」_力。于/，AF=^-AC,AE=AF+FE

4

/1E-JC=(JF+F￡)-/lC=JF-JC=|/iF|.pc|=||JC|2=9.

故答案為:9

14.-6

【分析】找到兩個(gè)基底2%,27,然后用兩個(gè)基底向量表示和屋￡一,再通過向量的運(yùn)算

即可得

：/lC=3、BC=4,±JCB=90

.-.CB-C4=|CB|-|G4|COS9C0=0

-：CD=AD-AC=^AB+^AC-AC=^4B-^AC=,

4a

BE=BC+CE=BC+-CA,

2

CDBE=|CB(BC+1G4)=-1BC2+1CB-C4=-1|BC|2+1|CB||C4|COS90°=-6,

故答案為：-6.

15.(1)719

(2)^=|

n

答案第6頁(yè)，共11頁(yè)

【分析】(1)利用向量的平方等于模長(zhǎng)的平方和數(shù)量積公式求解即可;

(2)利用向量垂直數(shù)量積為0求解即可.

【詳解】(I)由題意可得￡+?(=(a+B)=a+2ab+i^

=p|~+2acos<a,h>+|^|*

=4+2x2x3x—+9=19,

所以卜+B卜廂.

--rr

(2)因?yàn)橄蛄縌”與“+A力垂直，

所以@—B)?(￡+〃B)=L+(k-l)￡5-Ar=4+(A-l)x2x3x：-9%=0,

解得k=L

6

16.⑴-：

⑵-等

71n

【分析】(1)利用已知條件，通過二倍角公式以及a的范國(guó)，a+二的值，即可求出cosa+-

4I4)

的值.

求出《通過

(2)si8a+6:+aJ+(8-:itJ,利用兩角和的余弦公式展開，代入

4

函數(shù)值求解即可.

』sin'—+a.n]兀

【詳解】(1)由題知:->sin—+a=cos—va

2(44(4J(4

itnn3兀、

ae:.—+aE故3匕+。

<424[24;2

4

=±

(2)因?yàn)閏os3c==,所以sinQ--5-

I4J5I4,

又停冗、，故夕一者

U;4；44；

從而sin^-7|=cos|a+^)=cos—+a+—I

(4)5

答案第7頁(yè)，共11頁(yè)

17.(1)S=5000^sin(2a+-)-5000,0<a<-；

44

2

(2)a=y,SmiK=5000>/2-5000(m).

X

【分析】(1)根據(jù)給定的圖形，用a的正余弦函數(shù)表示矩形的一組鄰邊即可列式作答.

(2)利用(1)中函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.

【詳解】(1)依題意，在RtZ\O8C中，上O8C==,=BC=OCsinl^OC=lOOsina,

OB=OCcos±POC=lOOcosa,在RtAO/ID中，±OAD=-±POQ=-,則OA=AD,

94

因此AB-OB-OA-100(cosa-sina),S=AB.BC=100sina.100(cosa-sinar)

=10000(sinacosa-sin2a)=5000(sin2a+cos2a-l)=5000及sin(2a+—)-5000.

4

所以面積S表示為角a的函數(shù)是S=5000JLin(2a+=)-5000,0<a<3

44

(2)由(1)知，當(dāng)0<a<四時(shí)，-<2a+-<—?jiǎng)t當(dāng)2a十四=四，即a=2時(shí)，

4444478

[sin(2a+j)]max=l;

2

所以當(dāng)a=?時(shí)，5max=5000>/2-5000(m).

18.(IXL。)

⑵距+⑹

【分析】(1)根據(jù)新定義，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解(2)根據(jù)新定義以及平面向

量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，將不等式恒成立問題分離參數(shù)轉(zhuǎn)化成求最值即可求解

【詳解】(1)易得，JB=(V3-1),

由于將點(diǎn)8繞點(diǎn)力沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)工后得到點(diǎn)尸，

依據(jù)題設(shè)定義，得0

所以力戶=(JJcos如+sin2,5sin如一cos—=(0,-2).

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(M%),則有力P4-I/。-2),

x()-1=0X。=1

從而c、解得

%―2二-2%=0.

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,0).

答案第8頁(yè)，共11頁(yè)

(2)由(1)及題設(shè),得)尸二(Gcos夕+sin8,6sin/一cost).

因?yàn)槿f二(cosG,2sin?),

所以萬=cosO(6cos0+sin0卜2sin0(GsinO-cos。)

=V3+x/3sin2。-sin6cos6

nn\-CQS201rLin2%￡GS29

V3+V3x-------------------sin20zi=

22222

他一即說+四n

23

因?yàn)椴坏仁椒??_加<。對(duì)任意的角9e0,i

2孚-si《29+］：對(duì)任意的角Ow?

即〃?0仁恒成立,

記/⑻=半-sin(M+3，則只須“之/(6)心

由于Ow0,^,所以26+gwp71y4幾

33

冬中嗚N，

所以

所以生-IV邁二］42百,

?\3J

顯然4°)2=2仃，所以,〃>2」.

故所求實(shí)數(shù)”的取值范圍為是［2JI+00).

17

19.(1)--

⑵［2詬-6,6)

【分析】(1)根據(jù)題意得/(、)=Gsinx+cosx