(浙教版)七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第6章圖形的初步知識(shí)》

6.6&6.7角的大小比較&角的和差

A知識(shí)歸納

知識(shí)點(diǎn)一用■角器作一個(gè)角等于已知角

條件已知Na,用顯角器作一個(gè)角，使它等于Na.

圖形

(1)用量角器量得/(1=70人。

(2)作射線。4.

作法(3)用量角器作射線OB,使NAO8=70°.

408=70°=Za，ZA0B就是所求作的角.

知識(shí)點(diǎn)二角的大小比較

?1、角的比較有兩種方法：

方法一：度量法，用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.

測量度數(shù)大的那個(gè)角就大，反之，度數(shù)小的那個(gè)角就小.

方法二：疊合法：利用尺規(guī)作圖把其中的一條邊重合，通過觀察另一條邊的位置作比較.

0(。')也)。(。')N。')

①若邊OB在N/TOb內(nèi)部，則乙4。8<ZA'O'B'.

②若邊0B與O7T重合，則乙4OB=ZA,O'B'.

③若邊0B在NA'OB外部，則NAOO>/A'OB.

知識(shí)點(diǎn)三角的分類

角的名稱定義各種角之間的大小關(guān)系

宜角等于90°的角（1）銳角V直角（直角可以用RlN表示，畫圖時(shí)常在直

角的頂點(diǎn)處加上符號(hào)'”來表示這個(gè)角是直角）<鈍角<

平角v周角.

銳角小于9。的角

（2）1周角=2平角=4直角=36°;

1平角=2直角=180人。；

鈍角大于直角而小于平角的角

1直角=90.

知識(shí)點(diǎn)四角的和差

概念表式圖示

如果一個(gè)角的度數(shù)是另

N4OC是/A08與N8。。的和，

兩個(gè)角的和兩個(gè)角的度數(shù)的和，那么

記作：/AOC=NAOB+N8OC；

這個(gè)角就叫作另兩個(gè)角

2A

的和.

如果一個(gè)角的度數(shù)是另------A

NAOB是NAOC與/BOC的差，

兩個(gè)角的度數(shù)的差，那么

記作NAO8=ZAOC-ZBOC；

兩個(gè)角的差這個(gè)角就叫作另兩個(gè)角

NBOC是NAOC與ZAOB的差，

的差.

記作NBOC=NAOC-NAO8.

知識(shí)點(diǎn)五用■角器作兩個(gè)角的和差

條件已知N1與N2,用量角器作/I與N2的和

圖形

卜___4__小喬X~節(jié)

用量角器量得N1=60°,Z2=45°,

計(jì)算：Zl+Z2=60°+45°=105°,

做法

用量角器作NAOB=105°.

ZAOB=Z1+Z2,ZAOB就是所求作的角.

知識(shí)點(diǎn)六角平分線

?1、角的平分線：

角平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫作這個(gè)角的平分線.

如圖，射線0C是/4。8的平分線，

所以/人OC=ZBOC=^ZAOB,或N/1O8=2N4OC=2NBOC.

【注意】角的平分線是以這個(gè)角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線.

?2、角的三等分線：

如圖，射線OC,OD在N408的內(nèi)部，如果NAOD二NOOUNCO8，那么射線

。。,。。是/4。8的三等分線.類似地，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成〃

個(gè)相等的角的射線，叫作這個(gè)角的〃等分線，如四等分線、五等分線等.

B題型歸納

角的大小比較

&角的和差

題型一角的大小比較

解題技巧提煉

角的大小比較

（1）比較角的大小有兩種方法：

①測量法，即用量角器量角的度數(shù)，角的度數(shù)越大，角越大.

②疊合法，即將兩個(gè)角疊合在一起比較，使兩個(gè)角的頂點(diǎn)及一邊重合，觀察另一

邊的位置.

I.（2023春?岱岳區(qū)期末）在NAO8內(nèi)取一點(diǎn)C,作射線OC則一定成立（)

A.ZAOC=ZBOCB.ZAOOZBOCC.ZBOC>ZAOCD.ZAOB>ZAOC

【分析】由角的大小比較方法，即可判斷.

【解答】解：A、只有。。平分乙408時(shí)，ZAOC=ZBOC,故A不符合題意；

B、NAOC不一定大于N80C,故8不符合題意；

C、N80。不一定大于NAOC,牧。不符合題意；

。、NAOBANAOC,正確，故。符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的大小比較，關(guān)鍵是掌握角的大小比較方法.

2.（2024秋?灤州市期中）已知08是NAOC內(nèi)部一條射線，按如圖所示的方式作圖，得到射線0。，則

A.NAOONDOB

B.NA0CVND0B

C.ZAOC=ZDOB

D.NA0C與NOO8無法比較大小

【分析］根據(jù)角的和差關(guān)系即可解答.

【解答】解：當(dāng)NA0B=NC0。時(shí)，ZA0C=ZB0D,

所以NAOC與/。。8無法比較大?。?/p>

故選：

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角的大小比較，關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì).

3.（2023秋?呼和浩特期末）如圖所示，正方形網(wǎng)格中有Na和N0,如果每個(gè)小正方形的邊長都為1,估

測Na與N0的大小關(guān)系為（)

C.Za>zpD.無法估測

【分析】將Na平移，讓Na與N0兩個(gè)角的頂點(diǎn)重合，即可解答.

【解答】解：將Na平移，使/a與N0兩個(gè)角的頂點(diǎn)重合,

可得：Na在N0的內(nèi)部，

所以/aVNB，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查/角的大小比較，利用平移的方法是解題的關(guān)鍵.

4.（2023秋?紅橋區(qū)期末）如圖，用同樣大小的三角板比較NA和N8的大小，下列判斷正確的

A.ZA>ZB

B.NAVN8

C.NA=NB

D,沒有量角器，無法確定

【分析】由圖知/A/45°,Z^>45°,故可比較大小.

【解答】解：,??圖中三角尺為等腰直角三角形，

AZA<45°，<B>45°，

/./AV/B,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角的大小比較，掌握利用中間角比較角的大小是關(guān)鍵.

5.（2023秋?長安區(qū)校級(jí)期末）用“疊合法”比較N1與N2的大小，正確的是（)

【分析】根據(jù)疊合法，即將兩個(gè)角疊合在一起比較，使兩個(gè)角的頂點(diǎn)及一邊重合，觀察另一邊的位置即

可判斷.

【解答】解：根據(jù)“疊合法”比較N1與N2的大小，可知：正確的是力.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的大小比較，解決本題的關(guān)鍵是掌握用“疊合法”比較N1與N2的大小.

6.（2024春?海陽市期末）若NA=60°27'25",NB=60.45°,則（）

A.ZA>ZBB.NAVN8C./A=/BD.無法確定

【分析】根據(jù)度、分、秒進(jìn)行轉(zhuǎn)化計(jì)算即可解決問題.

【解答】解：VZ5=60.45°=60°27',ZA=60°27'25",

A60°27'25">60°277,

即

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角的大小比較及度分秒的換算，熟知1度等于60分，1分等于60秒是解題的

關(guān)鍵.

7.（2024春?莘縣期末）若Nl=25°12',Z2=25.12°,N3=25.2°,則下面說法正確的是（）

A.Z1=Z2B.Z2=Z3

C.Z1=Z3D.Zl,Z2,N3互不相等

【分析】據(jù)觀察題中的角表示方法，只要把N1轉(zhuǎn)化為度的形式，即可比較一:個(gè)角的大小.

【解答】解：???/1=25、°=25.2°,

60

AZ1=Z3.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查比較的大小，把N1轉(zhuǎn)化為度的形式是解本題的關(guān)鍵.

8.(2023秋?八步區(qū)期末)若44=25°18',N8=25°19'1",NC=25.31°,則()

A.ZB>ZC>ZAB.ZC>ZB>ZAC.ZA>ZB>ZCD.ZB>ZA>ZC

【分析】把25.31°化為25°18'36〃，再比較大小即可.

【解答】解：因?yàn)镹C=25.31°=25°18,36",25°19'1">25°18'36〃>25°18',

所以N8>NC>NA.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角的大小比較，熟練掌握角的單位換算是解答本題的關(guān)鍵.

9.（2023春?萊西市期中）如圖所示，由正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C,D,。是網(wǎng)格線交點(diǎn)，那么

NA08與NCO。的大小關(guān)系是乙408/COD.（填，"V”或“=”）

【分析】連接O&根據(jù)題意可得：NCOE=NAOB,然后進(jìn)行比較即可解答.

【解答】解：如圖：連接OE,

?：ZCOE>ZCOD,

???ZAOB>ZCOD,

故答案為：>.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的大小比較，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

10.（2024春?冠縣期中）對(duì)于如圖所示的各個(gè)角，用“>"、"V”或“="填空：

（1）ZAOB_____NAOC；

(2)ZDOBNBOC；

(3)ZBOC—____ZAODx

(4)ZAOD4BOD.

DC

上產(chǎn)----------------AA

【分析】根據(jù)各角之間的大小關(guān)系判斷即可.

【解答】解：(1)VZAOC=ZAOB+ZBOC,

：,ZAOB＜ZAOC.

故答案為：＜.

(2):NDOB=NDOC+NBOC,

：.ZDOB＞ZBOC.

故答案為：＞.

(3)VZAOD=ZAOB+ZBOC+ZCOD,

???NBOCVNAOZ).

故答案為：＜.

(4)VZAOD=ZBOD+ZAOB,

：,ZAOD＞ZBOD.

故答案為：＞.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的大小比較，利用角之間的數(shù)量關(guān)系比較它們的大小是本題的關(guān)鍵.

題型二角的分類

解題技巧提煉

直角：等于90°的角；

銳角：小于直角的角；

鈍角：大于直角而小于平角的角.

1.（2023秋?灌陽縣期末）下列各角中，為銳角的是（）

A.1平角B.（周角C.|直角D.1周角

【分析】根據(jù)周角、平角的意義分別進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：??T平角=180°,1周角=360°,

?4平角另x180°=90°,結(jié)果是直角，因此選項(xiàng)A不符合題意；

11

二周角="x360°=72°,因此選項(xiàng)B符合題意；

32

二直角=5x90"=135°,因此選項(xiàng)C不符合題意；

24

:周角=2x360。=180。，因此選項(xiàng)。不符合題意；

24

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的概念，掌握平角、周角的定義是解決問題的前提.

2.下列各角中，是銳角的是（）

1221

A.［周角B.孑周角C.三平角D.［平角

【分析】根據(jù)周角、平角的意義分別進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：平角=180°,1周角=360°,

.?J周角=Jx360°=90°,結(jié)果是直角，因此選項(xiàng)A不符合題意；

4

22

一-

33=240°>180°,因此選項(xiàng)8不符合題意;

升角=9180°=120°>90°,因此選項(xiàng)C不符合題意；

:平角=［xl800=45°<90°,因此選項(xiàng)。符合題意；

故選：。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的概念，掌握平角、周角的定義是解決問題的前提.

3.下列各角中，是鈍角的是（）

1541

A.二周角B.二平角C.二周角D.二平角

4652

【分析1由鈍角的概念，即可選擇.

【解答】4、工周角=90°,故A不符合題意；

4

B、:平角=150°,故3符合題意；

6

4

C、E周角=288°,故C不符合題意；

1

D、］平角=90°,故。不符合題意.

故選：從

【點(diǎn)評(píng)】本題考查鈍角的概念，關(guān)鍵是掌握鈍角是大于90度小于18（）度的角.

4.在12：15、6：45、9：（）0、2：20、6：48各時(shí)刻，時(shí)針與分針?biāo)山侵校J角、直角、鈍角的個(gè)數(shù)之

比為（）

A.3：1：1B.2：I：2C.4：1：0D,1：3：1

【分析】首先分別求得12：15、6：45、9：00、2：20、6：48各時(shí)刻，時(shí)針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)，繼而

可求得銳角、直角、鈍角的個(gè)數(shù)之比.

【解答】解：???12：15時(shí)針與分針?biāo)山鞘?82.5°,

6：45時(shí)針與分針?biāo)山鞘牵?7.5°,

9：0（）時(shí)針與分針?biāo)山鞘牵?0°,

2：20時(shí)針與分針?biāo)山鞘?50°,

6：48時(shí)針與分針?biāo)山鞘牵?4。，

???銳角有:12：15,6：45,2：20,6：48,

直角有：9：00,

一角沒有.

，銳角、直角、鈍角的個(gè)數(shù)之比為：4：1：0.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了鐘面角問題.注意在鐘表問題中，常利用時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)關(guān)系：分針每轉(zhuǎn)動(dòng)

1°時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（5）°,并且利用起點(diǎn)時(shí)間時(shí)針和分針的位置關(guān)系建立角的圖形.

5.（2023秋?拱壁區(qū)期末）在綜合與實(shí)踐課上，將NA與N8兩個(gè)角的關(guān)系記為（/；＞0）,探索

〃的大小與兩個(gè)角的類型之間的關(guān)系.（）

A.當(dāng)〃=2時(shí)，若N4為銳角，則N4為銳角

B.當(dāng)〃=2時(shí)，若NA為鈍角，則N3為鈍角

C.當(dāng)〃=2時(shí)，若乙4為銳角，則NB為銳角

D.當(dāng)〃另時(shí)，若NA為銳角，則NB為鈍角

【分析】根據(jù)NA=〃N8,當(dāng)〃=2時(shí)，則乙4=2NB,由NA為銳角得0°<2ZB<90°,進(jìn)而得0°<

N8V45°,由此可對(duì)選項(xiàng)A進(jìn)行判斷;根據(jù)NA為鈍角得90°V2NBVI8()°,進(jìn)而得45°<ZB<90°,

由此可對(duì)選項(xiàng)8進(jìn)行判斷；當(dāng)〃二,時(shí)，則乙4二；/從根據(jù)乙4為銳角得0°V，4V900,進(jìn)而得0°

VN6Vl800,據(jù)此可對(duì)選項(xiàng)C,選項(xiàng)。進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案.

【解答】解：???NA=/iN5,

當(dāng)〃=2時(shí)，

???ZA=2ZZ?,

又???/4為銳角，

A0°</?90°，

.\0°<2Z^<90°,

.*.0°VNBV450,

???N4為銳角，

故選項(xiàng)A正確，

VZA為鈍角，

A90aV/AV180。，

/.90°<2Z^<180°,

/.450<Z5<90°,

???NB是銳角，

故選項(xiàng)H不止確；

當(dāng)〃=；時(shí),

；?ZA=

又二NA為銳角,

r.0°<ZA<90°,

AO°<|ZB<9O°,

.*.0°<ZB<180c,

???NB可能是銳角也可能是鈍角，

故選項(xiàng)C,選項(xiàng)。不正確.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角，鈍角的定義，不等式的應(yīng)用，理解銳角，鈍角的定義，熟練掌握不等式

的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

題型三角的和、差、倍、分

解題技巧提煉

角的和、差、倍、分

①NA03是ZAOC和ZBOC的和，記作：ZAOB=

ZAOC+ZBOC.NAOC是NAOB和N80C的差,記作：ZAOC

=NAO6-NBOC.

②若射線OC^ZAOB的三等分線，貝!|NAOB=3NBOC或N30C=\z.AOB.

I.（2023秋?駐馬店期末）如圖，下列結(jié)論中，不能說明射線OC平分NA08的是（）

A.ZAOC=ZBOCB.ZAOB=2ZBOC

C.ZAOB=2ZAOCD.ZAOC+ZBOC=ZBOA

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得答案.

【解答】解：A、???/AOC'n/BOC,，OC平分N4OB,故4正確;

B、VZAOB=2ZBOC,NAOB=NAOC+NBO,C，N4OC=NBOC,故8正確:

C、VZAOB=2Z13OC,ZAOB=ZAOC+ZBOC,:?NA（）C=/BOC,故C正確；

D.ZAOC+ZBOC=ZAOB,NAOC不一定等于N30C,故。錯(cuò)誤；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義，利用了角平分線的性質(zhì).

2.（2023春?陽谷縣期中）如圖NAOB,以為邊作N8OC,使N8OC=2/AOB,那么下列說法正確

的是（）

A.ZAOC=3ZAOB

B.ZAOC=ZAOB

C.ZAOOZBOC

D.NAOB=NAOC或/4OC=3NAO8

【分析】一種可能。人是NCO8的角平分線，另一種可能是OA在/COB的外邊.

【解答】解：如圖：有兩種可能：

①

NAOC=3Nz4OB不一定，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

NA0C=N40B不一定，故4選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意：

NAOC可能等于280C,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

。選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵考慮到兩種可能的情況，再對(duì)選項(xiàng)一一判斷.

3.（2023秋?雁塔區(qū)校級(jí)期中）如圖，08平分NAOC,則4OD-NBOC等于（）

C.ZAOBD.ZAOC

【分析】根據(jù)角平分線的定義以及圖形中角的和差關(guān)系進(jìn)行解答即可.

【解答】解：:?！ㄆ椒諲AOC,

：.ZAOB=ZBOC,

AZAOD-ZBOC=ZAOD-NAOB=NBOD,

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線，理解角平分線的定義，掌握?qǐng)D形中角的和差關(guān)系是正確解答的前提.

4.（2024?東莞市模擬）如圖，射線OC,。。在/AO8的內(nèi)部.若NAO8=a,NAOO=NBOC=0（0Va）,

A.a-pB.2a-pC.2a-20D.20-a

【分析】由/AO3=N4OO+N8OC-/C。?？傻媒Y(jié)論.

【解答】解：設(shè)NAO8=a,ZAOD=ZBOC=^((3<a),

[TnZAOB=ZAOD-^ZBOC-ZCOD,

Aa=P+p-/COD,

/.ZC0D=2p-a,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角的和差運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確推理.

5.（2023秋?肥西縣期末）如I圖，OC是NAOB的平分線，0。是N8OC的平分線，那么下列各式中正確

12

A.ZCOD=^AOBB.ZAOD=^ZAOB

乙。

12

C.NBOD=^NAODD.ZBOC=^AOD

【分析】根據(jù)角平分線定義，得出角與角的關(guān)系.再根據(jù)選項(xiàng)先取正確答案.

【解答】解：?；OC是NAOB的平分線，0。是N8OC的平分線，

/.ZBOC=ZAOC=^ZAOB,ZBOD=^ZAOC=^ZBOC,

2

：.ZBOC=^ZAOD,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)角平分線定義得出所求角與已知角的關(guān)系轉(zhuǎn)化求酢.

6.（2023秋?宣化區(qū)期末）如圖，已知NA0B=120°,NC0Q在NA08內(nèi)部且/。。。=60°,則NA0。

與NCO8一定滿足的關(guān)系為（）

A.ZA0D=ZC0BB.NAOO+NCOB=180°

C.ZAOD=^ZCOBD.ZAOD+ZCOB=\20°

【分析】根據(jù)角的和差，nJW^AOD+ZCOB=ZAOC+ZCOD+ZCOD+ZDOB=ZAOB+ZCOD,再代

入計(jì)算即可求解.

【解答】解：VZAOD=ZAOC+ZCOD,NCOB=NCOD+NDOB,

???NAOD+NCOB=0C+ZCOD+ZCOD+ZDOB,

=NAOC+Z.COD+ZDCJB+ZCOD

=NA()B+NCOD

VZAOB=120°,ZCOD=60°,

AZAOEH-ZCOB=nO°+60°=180°.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算.解題的關(guān)鍵是利用了角的和差關(guān)系求解.

7.（2023秋?松桃縣期末）如圖，已知O為直線AB上一點(diǎn)，將直角三角板MON的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，

若OC是NMOB的平分線，則下列結(jié)論正確的是（）

AOB

A.ZAOM=3ZNOCB.ZAOM=2ZNOC

C.2/AOM=3/NOCD.3/AOM=￡/NOC

【分析】先求出2ZBON=\SO°-2ZAOM,利用角平分線的定義再求解，NAOM=180。-2/8。。=180。

-2N8ON-2NCON,從而可得答案.

【解答】解：???NMON=90°,

.??/AOM=90°-乙BON,

???2N4ON=180。-2ZAOM,

*：OC是NMOB的平分線，

???/MOC=ABOC=

???N4OM=1800-2ZBOC=180°-2N8ON?2NCON,

???NAOM=180°?(180°-2ZAOM)-2NCON,

???ZAOM=2ZNOC,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的和差運(yùn)算，角的平分線定義，熟練運(yùn)用角的和差關(guān)系探究角與角之間的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

8.（2023秋?閩清縣期末）如圖，已知射線OC在N4OB內(nèi)部，0。平分NAOC,OE平分NBOC,0/平分/

AOB,以下四個(gè)結(jié)論：?/LD0E=^A0B；@2ZDOF=ZAOF-ZCOF；

③NAOQ=N8OC；④乙EOF=X乙COF+乙BOF）.其中正確的結(jié)論有（填序號(hào)）.

1

【分析】①根據(jù)OD平分NAOC，OE平分NBOC,平分得出乙4。0=乙COD=^AOC^BOE=

乙COE=』LBOC,Z-AOF=Z.B0F=^Z-AOB,求出乙0。￡二2乙4。8,即可得出結(jié)論；②根據(jù)角度之間的

關(guān)系得出乙。。尸=,乙8。。=々C0E,得出NAOF-NCOF=NBOF-NCO產(chǎn)=N30C,即可得出結(jié)論；③

無法證明/AOO=N8OC；④根據(jù)乙。。尸=2乙80（;=4COE,得出/￡。尸=/。。。，NC0F+/8。尸=2

/COD,即可得出結(jié)論.

【解答】解：①：。。平分NAOC,0E平分NBOC,0/平分/A08,

：,Z.AOD=乙COD=^Z.AOC,乙BOE=乙COE=建BOC,

Z.AOF=Z.BOF=^AOBt

???ZAOC+ZBOC=NAOB,

:?乙DOC+乙COE=Z.AOD+乙BOE=^Z.AOB,

^^DOE=^AOB,故①正確；

ZDOF=ZDOE-/EOF,

=^AAOR-"OF+1乙BOC）

乙乙

=^LAOB-乙COF-ILBOC

=^z.AOB-QBOF-乙BOC)-義Z.BOC

乙乙

=244OB-(^ZLAOB-乙BOC)-"BOC

111

=搭乙408+Z-BOC-*B0C

LLM

=；CBOC,

ZAOF-NCOF=/BOF-NCOF=NBOC,

：,2ZDOF=ZAOF-ZCOF,故②正確；

③NAO。與NBOC不一定相等，故③錯(cuò)誤；

④根據(jù)解析②可知，NDOF=\LBOC=乙COE,

???ZEOF=ZEOC+ZCOF=ZCOF+ZDOF=ZCOD,

ZCOF+ZBOF=ZCOF+ZAOF=NAOC=2ZCOD,

1_

"EOF=近COF+乙BOF),故④正確；

綜上分析可知，正確的有①?④.

故答案為：①@④.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算，根據(jù)角度之間的關(guān)系得出"。?=^BOC=40E是解題

的關(guān)鍵.

題型四量角器測量角

解題技巧提煉

本題主要考查角的定義以及量角器的使用方法，熟練掌握量角器的使用方法是解

決本題的關(guān)鍵.

1.（2023秋?平泉市期末）用量角器測量NA03的度數(shù)，操作JE確的是（）

【分析】根據(jù)量角器的使用方法解答.

【解答】解：用量角器度量角的方法是：把量角器的中心與角的頂點(diǎn)重合，0刻度線與邊的一邊重合,

角的另一邊所經(jīng)過的量角器上所顯示的刻度就是被量知的度數(shù).

觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)。符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角的概念，用量角器度量角的度數(shù)，量角器的正確、熟練使用是美鍵.

2.（2023秋?寬城縣期末）用量角器測量/MOV的度數(shù)，操作正確的是（）

【分析】根據(jù)用量角器度量角的步驟，即可解答.

【解答】解：用量角器測顯NM0N的度數(shù)，操作正確的是,

N

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的度量，熟練掌握度量角的步驟是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?高碑店市模擬）如圖，/A08的大小為（）

C.50°D.30°

【分析】先找出這個(gè)角兩邊所對(duì)應(yīng)的度數(shù)，然后相減即可求解.

【解答】解：:OA邊對(duì)應(yīng)刻度是80°,。8邊對(duì)應(yīng)的刻度是30°,

???NAO8=80°-30°=50°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的度量，找到角兩邊對(duì)應(yīng)的刻度值是求解的關(guān)鍵.

4.（2023秋?霸州市期末）如圖，將/MON按如圖所示的方式擺放在量角器上，其中點(diǎn)O為量角器的中

心，射線。”，ON都在整10的刻度線上，則/MON=（）

N

【分析】先根據(jù)顯角器讀出OM邊所在的角度，以及ON邊所在的角度，用大角減去小角即可得到結(jié)果.

【解答】解：由圖可得，從右邊開始讀數(shù)，

可得到邊OM所在的角度為：50°,

邊ON所在的角度為：110",

???NMON=110°-50°=60°,

故選:c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了通過幾何圖形得到角度，角的和差運(yùn)算；正確讀出度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

5.（2024?邯鄲模擬）如圖，某同學(xué)利用量角器測量NAO8的度數(shù)，已知OA,OB經(jīng)過的刻度分別是70°,

115°,則NAOB=()

A.25°B.35°C.45°D.55°

【分析】依題意得NCO4=70°,ZCOB=\\5°,再根據(jù)NAO8=NCOB-NCO4可得出答案.

【解答】解：如圖所示:

依題意得：ZCOA=70Q,ZCOB=\\5°,

???/AOB=NCOB-NCOA=1I5°-70°=45°，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了量角器的使用，角的計(jì)算，熟練掌握量角器的使用，角的計(jì)算是解決問題的關(guān)

鍵.

題型五角的平分線的應(yīng)用

解題技巧提煉

1、角平分線的定義:

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線.

2、性質(zhì)：若0C是NA03的平分線：

則NA0C=N80C=g/AOB或NAOB=2NAOC=2N3OC.

（2024春?濰城區(qū)期中）如圖，已知。8是NAOC內(nèi)部的一條射線，下列說法一定正確的是（）

B.ZBOC<ZAOB

C.NAOC可以用N。表示

D.N1與N4O8表示同一個(gè)角

【分析】根據(jù)角的大小比較及先的概念進(jìn)行逐一判斷即可.

【解答】解：4.NAOCK2NBOC,故本選項(xiàng)不符合題意；

B.N60c可能大于乙406,也可能小于NAO6,也有可能筆于NAO8,故本選項(xiàng)不符合題意;

C.NAOC不可以用N0表示，故本選項(xiàng)不符合題意；

D./I與NA08表示同一個(gè)角，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角的大小比較及角的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).

2.（2023秋?蚌埠期末）如圖，ZAOB,以Q4為邊作/AOC,使N8OC=,NAO8,則下列結(jié)論成立的是（）

B.NAOCVNAOB

C.NAOC=/BOC或NAOC=2N8OC

D.NA0C=N80C或NAOC=3N8OC

【分析】分兩種情況，N40C在NAO3的外部，N40C在乙408的內(nèi)部.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)N8OC在NAO8的外部，如圖：

C

'：/BOC=^ZAOB,

???ZAOC=3ZBOC,

當(dāng)N3OC在NAO8的內(nèi)部，如圖:

0c

NBOC=^ZAOB,

/AOC=NBOC,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了角的大小比較，根據(jù)題目的已知條件畫出圖形是解題的關(guān)鍵，同時(shí)滲透了分類討論

的數(shù)學(xué)思想.

3.（2023?大慶開學(xué)）如圖，點(diǎn)0在直線43上，NCOQ=90",OE是N30。的平分線，OC為NBOE的

平分線，ZBOC=.

【分析】依據(jù)題意，設(shè)N8OC=x°,結(jié)合題意，可得NBOE=2x°,ZDOE=W-x°,再由OE是N

/3。。的平分線，即可得解.

【解答】解：由題意，設(shè)N6OC=x°,

?：OC為/BOE的平分線，

：.ZCOE=ZBOC=x0.

???ZBOE=ZCOE+ZBOC=2x°.

又???NCOD=90°,

???NQOE=90°-x°.

又OE是NBOD的平分線，

：.ZBOE=2x<>=NDOE=90°-.

.*..v=30.

故答案為：30°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的定義，解題時(shí)要熟練掌握并理解是關(guān)鍵.

4.（2023秋?南明區(qū)期末）如圖所示，NAO8=30°,ZBOC=40°,ZCOD=26°,OE平分NAOO,

則NBOE的大小為

【分析1先根據(jù)已知的三個(gè)先計(jì)算NAO。的度數(shù)，再根據(jù)角平分線求得NAOE的度數(shù)，最后根據(jù)角的和

差關(guān)系計(jì)算N80E的大小.

【解答】解：???/AO8=30°,N8OC=40°,ZCOD=26a,

???NAOO=96°,

TOE平分NA。。，

AZ/4OE=1x96°=48°,

.??N8OK=NAO￡-NAOA=48'-30°=18°.

故答案為：18°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的定義，注意：角平分線把角分成相等的兩個(gè)角，這是解題的主要依據(jù).

5.（2023秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）已知如圖，ZAOB：N8OC=5：3,。。是/8OC的平分線，。￡是NAOC

的平分線，且NBOE=16°,求/。。我的度數(shù).

【分析】設(shè)N8OC=x°,則乙4。8=5￡,ZAOC=Sxa,再根據(jù)角平分線的定義用工表示出NCOE,通

過NBOE=NCOE-NCOB解出值，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解問題.

【解答】解：設(shè)NBOC=3x°,則乙4OB=5x°,ZAOC=8x°,

YOE是NAOC的平分線，

AZCOE=^ZAOC=4xQ.

ZBOE=ZCOE-NCOB,

A16°=4/-3Z,解得x=16.

???0。是/3。（7的平分線，

：,ABOD=\^BOC=\.5x°=24°.

AZDOE=ZDOB+ZBOE=240+16°=40°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的定義，分析出角的和差倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

6.（2023秋?溫江區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A,O,3在同一直線上，N4OC=78°,ZDOE=71°,。。是N30C

的一條靠近OC邊的三等分線.

①求NCOE的度數(shù)；

②OE是N40C的平分線嗎？說明你的理由.

【分析】①由題意可得NCOO=26°,根據(jù)/（7。E=/。0E-/。。?？傻么鸢?

②由題意可得N4O￡=180°-ZCOE-ZBOC=5\°,則NAOE=/COE,即OE是NA0C的平分線.

【解答】解：①：。。是N8OC的一條靠近。。邊的三等分線，ZBOC=1SQ,

AZCOD=26°,

?：/DOE=TT,

：.ZCOE=ZDOE-ZCOD=5\°.

②OE是NAOC的平分線.

理由：VZ/\OE=180°-NCOE-N80c=180°-51°-78°=51°,

???ZAOE=ZCOE,

???OE是NAOC的平分線.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳角的計(jì)算，明確角的和差關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

題型六三角板中角的計(jì)算

解題技巧提煉

三角板中的角的計(jì)算主要是利用特殊角30°,45°,60°,90°進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.

1.（2023秋?廣州期末）如圖，把一副三角板疊合在一起，則NAOB的度數(shù)是（)

A

B.20°C.30°D.70°

【分析】因?yàn)榈妊前逯械匿J角為45°,而直角三角板板中較大的銳角為60°,宜接相減就可求得結(jié)

果.

【解答】解：由圖形可知，乙4。4=60°-45°=15°.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握三角板各角的度數(shù)，每副三角板中，都有一個(gè)等腰直角三角

板和一個(gè)直角三角板，再根據(jù)用的度數(shù)進(jìn)行計(jì)算.

2.（2023秋?環(huán)江縣期末）把兩塊三角板按如圖所示那樣拼在一起，則NABC等于（）

C

A.70°B.90°C.105°D.120°

【分析】24BC等于30度角與直角的和，據(jù)此即可計(jì)算得至U.

【解答】解：NABC=30°+90°=120°.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角度的計(jì)算，理解三角板的角的度數(shù)是關(guān)鍵.

3.（2023秋?金安區(qū)校級(jí)期末）如圖，一副三角板如圖擺放，若Nl=9。，則N2的度數(shù)為（）

A.24°B.25°C.26°D.27°

【分析】先利用角的和差關(guān)系求出NACQ,再利用角的和差關(guān)系求出N2.

【解答】解：由直角三角板知N8C4=45°,ZDCE=60°,

/.ZACD=ZACB-Z1

=45°-9°

=36°.

：?N2=NECD-NACD

=60°-36°

=24°.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算，掌握三角板各個(gè)角的度數(shù)及角的和差關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

4.（2023春?滕州市校級(jí)期末）將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合放置于A處（兩塊三角板可以在同一平面內(nèi)

自由轉(zhuǎn)動(dòng)），下列結(jié)論一定成立的是（)

A.ZCAE+ZDAB=90°B.ZBAE-ZD4C=45°

C.NZME+/。4c=180°D.ZDAC=2ZBAD

【分析】根據(jù)題意，利用角的和差判斷正誤.

【解答】解：根據(jù)題意可知：NCA￡+NOAC=90°,ZBAE-ZDAB=90°,ZBAE+ZDAC=\S00,Z

DAC+NBAD=90°,

???A、B、。選項(xiàng)不成立，只有C選項(xiàng)成立,

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握角的和差計(jì)算.

5.（2023秋?荊門期末）如圖，將一副三角尺的兩個(gè)銳角（60°角和45°角）的頂點(diǎn)O疊放在一起，若

NA。。與NBOC的和為35°,則NAOC的度數(shù)為（）

A.55°B.65°C.70°D.75°

【分析】根據(jù)題意可得：NAOB=60°,NCOO=45°,從而可得NAO￡>=60°-/DOB,N8OC=45°

-NDOB,再結(jié)合已知可得60°-N008+45°-NOOB=35°,然后求出NDOB=35°,從而求出N8OC

=10°,最后利用角的和差關(guān)系求出NAOC,即可解答.

【解答】解：由題意得：

NAO4=60°,NCOO=45°,

???ZAOD=ZAOB-NOO3=60°-/DOB,

ZBOC=ZCOD-ZDOB=45°-ZDOB,

???NAOO+/8OC=35°,

/.60°-ZDOB+450-NOOB=35°,

???NOOB=35°,

???NBOC=10°,

AZAOC=ZAOB+ZBOC^O0,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了角的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.

6.（2024?任丘市校級(jí)四模）如圖，將兩塊三角板的直角NAO6與NC。。的頂點(diǎn)O重合在一起，繞點(diǎn)O

轉(zhuǎn)動(dòng)三角板A08,使兩塊三角板仍有部分重疊，且NAOO=3N8。。，則NAOC的度數(shù)為（)

A.30°B.45°C.60°D.75°

【分析】根據(jù)題意可得/40。+/80。=/人08+/。0/)=180°,NAOC=N8。。，再由NAOO=3NAOO,

可得3NAOC+NBOC=I80°,即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意得：NMM=NCOQ=9()°,

AZAOD+ZBOC=ZAOC+ZBOC^ZCOD=ZAOB+ZCOD=180°,ZAOB-ZBOC=ACOD-Z

BOC,

r.ZAOC=ZBOD,

,/乙AOD=3乙BOD,

???NAOD=3N4OC

???3N4OC+NBOC=180°,

???2NAOC+NAOB=180°,

???2NAOC+90°=180°,

解得:ZAOC=45°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角的和與差，解題的關(guān)鍵是正確推理.

7.（2023秋?青羊區(qū)校級(jí)期末）如圖，將一個(gè)三角板60°角的頂點(diǎn)與另一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)重合，Z1

=30°,/2的大小是°.

【分析】先求出NEAC的度數(shù),再根據(jù)余角的概念求出N2.

【解答】解；VZBAC=60°,Zl=30°,

???N￡AC=60°-30°=30°,

VZ￡AD=90°,

/.Z2=90°-30°=60°,

故答案為：60°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角的計(jì)算，正確求出NE4c的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

8.(2023秋?江漢區(qū)期末)如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)。放在直線/W上，OE平分/人OC,繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)

三角板，若NBOD=20°,則NAOE=°.

【分析】由題意可得/COO=9(T,由補(bǔ)角的定義可求解N4OC=70°,再由角平分線的定義即可求NAOE

的度數(shù).

【解答】解：由題意得：ZCOD=90°,

*：ZBOD=2(r,

/.ZAOC=180°-ZCOD-ZB6)D=70°,

YOE平分NAOC,

???N4OE=2/AOC=35°.

故答案為：35.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查補(bǔ)角，角平分線的定義，解答的關(guān)鍵是明確互補(bǔ)的兩角之和為180°.

題型七角度計(jì)算的解答題

解題技巧提煉

角度計(jì)算的解答題是綜合運(yùn)算角的和差倍分進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，有時(shí)要用到角分線

的性質(zhì)。

1.（2023秋?靈寶市期末）如圖，點(diǎn)A,O,3在同一條直線上，4Aoe=/B（）D,OM,ON分別是NAOC,

N8OO的平分線.

（1）若NCOQ=80°,求/MON的度數(shù)；

（2）比較NOOM和NCON的大小，并說明理由.

AB

O

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到NMOC=2NAOC,NNOD=》BOD,結(jié)合圖形計(jì)算即可；

（2）根據(jù)角的和差關(guān)系解答即可.

【解答】解：（1）〈OM,ON分別是NAOC,/8。。的平分線，

AZMOC=^ZAOC,NNO力另/ROD,

乙乙

/.ZMON=1（ZAOC+ZBOD）+ZCOD=|x（180°-/.COD）+Z.COD=1x100°4-80°=50°+80。

乙乙乙

=130°；

（2）NDOM=NCON,理由如下：

VZMOC=^ZAOC,NNOD=』NBOD,ZAOC=ZB（）D,

：.ZMOC=ZNOD,

???/MON-ZNOD=ZMON-NMOC,

r.ZDOM=ACON.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角的計(jì)算，掌握角的和差計(jì)算、正確認(rèn)識(shí)圖形是解題的關(guān)鍵.

2.（2023秋?金平區(qū)期末）如圖，射線OC,0。在NAOB的內(nèi)部.

（1）圖中共有個(gè)角；（注：圖中所有角均指小于180°的角）

（2）若NCOD=M,N4O8=〃。，求（I）中所有角的度數(shù)之和.（結(jié)果用含〃?，〃的式子表示）

A