任意角與弧度制

知識點總結(jié)

考點1任意角的概念

1.任意角

定義角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.

構(gòu)成要素始邊、頂點、終邊

常用大寫字母4B,C等表示臘字母a,0,y等表示；特別的，當(dāng)角作為變量時，

表示

常用字母X表示.

2.角的分類

分類定義

正角按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角

負(fù)角按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角

零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角叫做零角

考點2象限角與非象限角

1.象限角

當(dāng)角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，則角的終邊（除端點外）在第幾象限,

就稱這個角為第兒象限角.

2.象限角的集合表示

象限角集合表示

第一象限角{x\k-3600<a<h360。+90/eZ}

第二象限角

{x\k-360。+90。vavh3600+180。MwZ}

第三象限角

{x|kTGOo+lSO。vaV〃?3600+270°MGZ)

笫四象限角

{x\k-360°+270°<a<k-360°+360°,AGZ|

3.非象限角

當(dāng)角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個

角不屬于任何一個象限.

4.非象限角的集合表示

角的終邊位置集合表示

物

X軸的非負(fù)半軸|77=2x360Fez}

X軸的非正半軸Ml6=1x360'+180°,Zez}

X軸上加1/7=1x180°,Aez}

y軸非負(fù)半軸加|"=4x3600+90°,攵ez}

），軸非正半軸物|〃=&x360'-90Fez}

），軸上,R="xl8Cr+90Fwz}

考點3終邊相同的角

一般地，所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合5=加|4=。+八360、,壯2},

即任一與角。終邊相同的角，都可以表示成角。與整個周角的和.

考點4弧度制的概念

1.角度制

規(guī)定周角的為1度的角，這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.

360

2.弧度制的定義

把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度，這種用弧度作為單

位來度量角的單位制叫做弧度制.

3.弧度制與角度制的區(qū)別與聯(lián)系

（1）單位不同，弧度制以“弧度”為度量單位，角度制以“度”為度量單位；

區(qū)別

（2）定義不同.

聯(lián)系不管以“弧度”還是以“度''為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關(guān)的定值.

考點5角度與弧度之間的互化

1.角度制與弧度制的換算

角度化弧度---------------------k弧度化角度

360°=2^rad<-----------------------------------^^rad=360°

180°=nradrrad=180。

1°=—rad=0.01745rad?-------------------Hrad=(-)°?57"18

180/i

2.?些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

n乃2不3n5不3K

弧度0n2乃

77TTT~6T

考點6扇形的弧長與面積公式

設(shè)扇形的半徑為r,弧長為/，a(0<a<2^)或〃。為其圓心隹，則弧長公式與扇形面枳公式如下:

類別/度量單位角度制弧度制

n7TT

扇形的弧長,f=而1=8

01,12

扇形的面積S=------S=-lr=-ar-

36022

題型考點一象限角，軸線角，對稱角，區(qū)域角與集合的關(guān)系

例1、（I）、（2021?福建省福州延安中學(xué)高三開學(xué)考試）已知點a=130。，則角。的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】根據(jù)象限角概念求解即可.

【詳解】因為90°＜130。＜180°,所以。的終邊在第二象限.

故選：B

（2）、（2023春?廣西欽州?高一統(tǒng)考期末）若。是第二象限角，則-。是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【分析】先判斷角-傘終邊的位置，然后再判斷出角-終邊的位置.

【詳解】由。與一。的終邊關(guān)于x軸對稱，可知若。是第二象限角，則一。是第三象限角,

所以-是第二象限角.

故選:B.

（3）、（2023?全國?九年級隨堂練習(xí)）已知角。二-130。，則角。的終邊落在第象限.

【答案】三

【分析】直接由-18（）。＜-1300＜-9（）。結(jié)合象限的定義即可求解.

【詳解】因為一180。〈一130。＜—90°,所以角。二一130。的終邊落在第三象限.

故答案為：三.

（4）、（2023春?上海靜安?高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以下命題中所表述的角都是頂點在坐標(biāo)原

點，始邊與x軸的正半軸重合的角.

①小于90。的角一定是銳角；

②第二象限的角一定是鈍角；

③終邊重合的角一定相等；

④相等的角終i力一定重合.

其中真命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】對于①②③舉例判斷，對于④利用角的定義分析判斷

【詳解】對于①，-60°的角是小于90。的角，但不是銳角，所以①錯誤，

對于②，48伊的角是第二象限的用，但不是鈍角，所以②錯誤，

對于③，48伊的角和120。的角終邊相同，但不相等，所以③錯誤，

對于④，因為角都是頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的正半軸重合的角，所以若角相等，則終邊一定重合，

所以④正確，

所以真命題的個數(shù)是1,

故選：A

【變式訓(xùn)練1-1】、（2023秋?江西吉安?高二江西省萬安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）（多選題）已知下列各角：①

-120，@180;@-240;④495。，其中是第二象限角的是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】CD

【分析】求出給定的各個角與0到360響終邊相同的角，即可伍答.

【詳解】對于①,-120=-36（）+240,而240是第三象限角，①不是；

對干②，180角的終邊為x軸非正半軸，②不是；

對于③，-240。=-360+120。，12（X是第二象限角，③是；

對于④，495=360+135,135是第二象限角，④是.

故選：CD

【變式訓(xùn)練1-2】、（2022?全國?高一課時練習(xí)）下列說法中正確的是（）

A.第二象限角大于第一象限知

B.若公360。＜。＜公360。+180。（人2）,則Q為第一或第二象限角

C.鈍角一定是第二象限角

D.三角形的內(nèi)角是第一或第二象限角

【答案】C

【分析】利用任意角的知識，對選項分別判斷即可.

【詳解】對A選項，如-210。＜30。，故A錯誤.

對B選項，a為第一或第二象限角或終邊落在），軸正半軸上的角.故B錯誤.

對C選項，因為鈍角大于90。且小于180。，所以鈍角一定是第二象限角，故C正確.

對D選型，當(dāng)三角形的一個內(nèi)角為90。時，不是象限角，故D錯誤.

故選:C.

【變式訓(xùn)練1-3】、（2。23?全國?高三專題練習(xí)）若。是第四象限角，則乃十。是第（）象限角

A.一B.二C.三D.四

【答案】B

【分析】由題可得自+2及乃＜4+1＜3萬+2女乃，&wZ,即得答案.

【詳解】a是第四象限角，則當(dāng)+2左萬＜。＜2"+22不，kcZ,

則與+2%4＜/r+a＜34+22乃，kwZ,在第二象限.

故選：B.

【變式訓(xùn)練1-4】、（2023秋?全國?高一隨堂練習(xí)）集合式|"80。4。4h180。+45。水￡2｝中角表示的范圍

（用陰影表示）是圖中的（填序號）.

【答案】@

【解析】當(dāng)女取偶數(shù)時，確定角的終邊所在的象限；當(dāng)k取奇數(shù)時，確定角的終邊所在的象限，再根據(jù)選

項即可確定結(jié)果.

【詳解】集合9伙180。44?左」80。+45。,無€2｝中,

當(dāng)我為偶數(shù)時，此集合與｛a|00?aW45。｝表示終邊相同的角，位于第一象限；

當(dāng)我為奇數(shù)時，此集合與｛m180吃。4225。｝表示終邊相同的角，位于第三象限.

所以集合｛a|&?18?！鉑aKhl80。+45。MeZ｝中角表示的范圍為圖②所示.

故答案為：（2）.

【點睛】本題考查象限角、軸線角的表示方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想.

題型考點02與終邊有的角的問題以及對稱問題2a,L-

23

例2.（1）、（2022春?高一單元測試）（多選題）已知。是第三象限角，則功不可能是第幾象限角（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】CD

【分析】根據(jù)給定條件，由。的范圍，求出2。的范圍作答.

【詳解】因為。是第三象限角，則2E-7T<av2E-與k?Z,

于是4尿?2兀v2av4E-R,k2Z,顯然2a終邊在x軸上方，

所以2a不可能是第三象限角，不可能是第四象限角.

故選：CD

（2）、（2021?安徽省蚌埠第三中學(xué)高一月考）己知a為第三象限角，則;所在的象限是（）

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C.第一或第三象限D(zhuǎn).第二或第四象限

【答案】D

【分析】

用不等式表示第三象限角0，再利用不等式的性質(zhì)求出言滿足的不等式，從而確定角言的終邊在的象限.

【詳解】

由已知a為第三象限角，則2&兀+冗＜。＜2A兀+與MeZ

則也加十2v4〈攵江+包，2?z

224

當(dāng)/:=2〃,〃tZ時

2〃萬+g＜[v2〃乃+手,〃wZ,此時！在第二象限.

2242

當(dāng)A=2"+1,〃€Z時，

2〃”+W＜W＜2〃;r+M，〃wZ,此時三在第四象限.

2242

故選：D

（3）、（2022?全國?高一課時練習(xí)）終邊落在直線丁=底上的角）的集合為（）

A.{距="80。+30。入2}B.{a|a=Jtl800+60°,A：GZ）

C.同。=攵-360。+30。/￡2}D.\a\a=k-360°+60°,A:GZ|

【答案】B

【分析】先確定y=向的傾斜角為60,再分當(dāng)終邊在第一和三象限時角度的表達(dá)式再求解即可.

【詳解】易得），=&的傾斜角為6U,當(dāng)終邊在第一象限時，。=60。+公360。，AcZ；當(dāng)終邊在第三象

限時，==240。+上360。，keZ.所以角。的集合為物故=6180。+60。,壯2}.

故選：B

【變式訓(xùn)練2-1】、（2022?全國?高三專題練習(xí)）若。是第一象限角，則-￡是（）

A.第一象限角B.第一、四象限用

C.第二象限角D.第二、四象限角

【答案】D

【分析】根據(jù)題意求出-今的范圍即可判斷.

【詳解】由題意知，入360°＜。＜&-360。+90。，AeZ,

則2/80。＜4＜%180。+45。，所以一人?180。-45。＜一名〈一心180°,k?7.

22

當(dāng)上為偶數(shù)時，為第四象限角；當(dāng)〃為奇數(shù)時，為第二象限角.

22

所以埸是第二或第四象限角.

故選：D.

n

【變式訓(xùn)練2-2】、（2023秋?高一課時練習(xí)）5的終邊在第三象限，則夕的終邊可能在（）

A.第一、三象限B.第二、四象限

C.第一、二象限或），軸非負(fù)半軸D.第三、四象限或丁軸非正半軸

【答案】C

【解析】根據(jù)題意得出乃+2我乃＜g＜當(dāng)+2版?伏￡Z）,求出。的范圍，據(jù)此可判斷出角。的終邊的位置.

【詳解】由于號的終邊在第三象限，則4+2覬＜5吟+2版?（%Z）,

所以，2萬+4攵乃＜。＜3乃+4&乃（〃EZ）,

因此，。的終邊可能在第一、二象限或N軸非負(fù)半軸.

故選：C.

【點睛】本題考查角的終邊位置的判斷，一般利用不等式來判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

【變式訓(xùn)練2-3］、（2022?寧夏?銀川唐稼回民中學(xué)高一期中）若角a=3rad,則角。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【分析】根據(jù)象限角的定義判斷.

【詳解】因為搟＜3＜萬，所以3rad是第二象限角.

故選：B.

題型考點03弧度制的概念、角度與弧度的互化、弧度制與弧長

例3.（1）、（2022?全國?高一課時練習(xí)）兀的角化為角度制的結(jié)果為

【答案】-300°

【分析】利用角度與弧度的互化即可求得-g兀對應(yīng)角度制的結(jié)吳

【詳解】一步一住呵=-300

故答案為：-300

（2）、（2021?全國?高一專題練習(xí)）675。用弧度制表示為（）

A.-71B.-7TC.

444

【答案】C

【解析】根據(jù)弧度制與角度制的關(guān)系求解即可.

【詳解】因為180。=乃弧度，

所以675。=675x」-=空，

1804

故選：C

（3）、（2022秋?陜西商洛?高一校考階段練習(xí)）（多選題）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是（）

310

A.67。3（）'化成弧度是三兀B.-丁?；山嵌仁?600。

o3

C.-150?；苫《仁且唬逥.已化成角度是15。

【答案】ABD

【分析】根據(jù)角度制與弧度制之間的互化即可逐一求解.

【詳解】對于A,67。30'化成弧度是:r'67.5=%，故A正確，

對于B,-y7C=-yX18O=-600,故B正確，

對于C,-150°=-I50°X-2L=-\,故C錯誤,

1806

對干D,-^=-^xl80=15°,故D正確，

故選：ABD

（4）、（2021秋?高一課時練習(xí)）將下列各弧度換算成角度：①;=______；②彳二______；③

43

一兀=______；④~^-=______；=______:⑥y=______；?~T=______；⑧_至=______；

3624J

@2?（精確到1度）；⑩2萬=.

【答案】45°60°-180°300°-150°90°315°-120°115°

360°

【分析】根據(jù)弧度和角度的進(jìn)率即可求解.：1rad=^j.

【詳解】①￡=尊=45。；

44

②生=幽=60。；

y3

④*乎=300。；

x-x5萬5x180°

=―—―="150

OO

⑥>*90。；

有二兀7x1800

⑦了=315°；

4

⑧苧士=一3

?2=2x—?115°；

乃

@2^=2xl80°=360°；

故答案為：45°,60°,-180°,300°,-150。，90°,315°,-120°,115°,360°.

【變式訓(xùn)練3-1】、（2023?全國?高一專題練習(xí)）若角。=方，則角。對應(yīng)的角度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】利用弧度制與角度制的互化公式即可得出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)弧度制與角度制的互化可知，^=-x—=60\

371

故選：C

【變式訓(xùn)練3-2】、（2023春?貴州遵義?高一遵義二十一中校考階段練習(xí)）（多選題）下列弧度與角度的轉(zhuǎn)化

正確的是（）

A.-2400=---B.二二330。

33

C.225°=—D.--=-310°

44

【答案】AC

【分析】利用角度與弧度的轉(zhuǎn)化關(guān)系即可判斷各選項.

471

【詳解】對于A,-2400=-y,A對；

對于B,y=300°,B錯;

對干C,225°=—,C對；

4

對干D,-^=-315%D錯.

4

故選：AC

【變式訓(xùn)練3-3】、（2023春?安徽六安?高一?？茧A段練習(xí)）若。角的終邊落在第三或第四象限，則"的終

邊落在（）

A.第一或第三象限B.第二或第四象限

C.第一或第四象限D(zhuǎn).第三或第四象限

【答案】B

【分析】根據(jù)。角的終邊落在第三或第四象限，可得?兀+2Evav?5+2E或?阮，

AeZ,進(jìn)而得到多的取值范圍，進(jìn)而求解.

【詳解】因為。角的終邊落在第三或第四象限，

所以.兀+2kitva<--+2hr或.—+2krc<a<2/at,kwZ,

22

所以--+ht<—<-工+E或-—+kn<—<kit,keZ,

22442

當(dāng)上一2〃，〃eZ時，，的終邊落在第四象限，

當(dāng)上=2〃+1,〃eZ時，5的終邊落在第二象限，

綜上所述，券的終邊落在第二或第四象限.

故選：B.

【變式訓(xùn)練3-4】、（2023?高一課時練習(xí)）將下列各弧度化成角度.

T.3兀

---=?--=?

12----------------，4----------------，

7兀a

T=----------------:-----------------.

【答案】-150135°210°-171o54f

【分析】根據(jù)弧度制與角度制之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系可得答案.

【詳解】-△=-'xl8O=-15；—=-xl8O=135；

121244

――=-x180=210；—3=—3x70=—17154,

66兀

故答案為：-15。；135°；210°；-171054;

題型考點04扇形的周長與面積

例4.（1）、（2021?高一課時練習(xí)）已知扇形的弧長/為彳，圓心角。為:，則該扇形的面積S為（）

n八2乃八44一8

A.-B.—C.—D.一

6333

【答案】B

【分析】利用扇形的圓心角和弧長可求出扇形的半徑，再求扇形的面積.

【詳解】解：???扇形的圓心角a為、7T，弧長/為2今7r，

???扇形的半徑，M/UZ,

a

???扇形的面積S=:"=：X2X￥=子.

故選:B.

（2）、（2021?山西省長治市第二中學(xué)校高一月考）《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年II刻的

青銅雕像，它取材于現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力

的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的每只手臂長約肩寬約

4

為箭，“弓”所在圓的半徑約為1.25m,則如圖擲鐵餅者雙手之間的距離約為（）

0

A.—mB.5忘mC.—mD.2m

248

【答案】B

【分析】

由題意知這段弓所在弧長，結(jié)合弧長公式求出其所對圓心角，雙手之間的距離為其所對弦長.

【詳解】

由題得：弓所在的弧長為：/=￡+￡+[=苧；

4488

所以其所對的圓心角。=令=g;

4

兩手之間的距離d=2Rsin石=夜x1.25A=—m.

44

故選:B

【變式訓(xùn)練4-1】、（2023秋?山東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選題）小夏同學(xué)在學(xué)習(xí)了《任意角和弧度制》

后，對家里的扇形瓷器盤（圖I）產(chǎn)生了濃厚的興趣，并臨摹出該瓷器盤的大致形狀，如圖2所示，在扇

形中，NAOB」,OB=OA=2,則()

3

C.扇形。居的周長為與+447r

D.扇形的面積為7

【答案】BC

【分析】根據(jù)角度制與弧度制的互相轉(zhuǎn)化、扇形的弧長與面積公式易得答案.

【詳解】ZAOB=^=60°,所以A錯；

AB=ar=-x2=—,所以B對：

33

扇形0/由的周長為g+4,所以C對；

119IT27r

面積為S=；/r=]x'x2=^,所以D錯;

故選:BC

【變式訓(xùn)練4?2】、（2022?浙江?高三開學(xué)考試）如圖是杭州2022年第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”,形象

象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發(fā)展.如圖是會徽的幾何圖形，設(shè)弧4。長度是4,弧8c長

度是L幾何圖形A8CO面積為s,扇形BOC面積為邑，若5=2,則去=（）

<2

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)弧長公式，可得出兩個扇形的半徑之比，從而可求出面積之比.

【詳解】設(shè)40力=夕，0A=0B=r2,「"=6x4,/2=0xr2,

而上=2,.?.4=2,即3是。4的中點，

l2r2

乙乙乙

,工=3

W?

故選